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重庆市万州二中高2016级高三第一次考试理科数学试卷


重庆市万州二中高 2016 级高三第一次考试 理科数学试卷
时间 120 分钟 满分 150 分 姓名 班级 一选择题本大题共 12 分,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1.已知集合 M={x|0<x≤3},N={x|x=2k+1,k∈Z},则图中阴影部分表示的集合是( )

A.φ
2.若复数满足 A . B.

B.{1,3}

C. {1}


D.{0,1,3}

,则的虚部为 ( C.

D. 4

3.下列命题中是真命题的为( ) 2 A、命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的否命题是“若 x2-3x+2=0,则 x≠1” B、若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 C、命题 p:?x0∈R,sin x0>1,则非 p:?x∈R,sin x≤1 D、“φ= 4.函数 的图形面积是( A. B. C. ) D. +2kπ(k∈Z)”是“函数 y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件 ,集合, ,则由 的元素构成

5.现向一个半径为 R 的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高 度 h 随时间 t 变化的函数关系的是 ( )

6.函数 A.

的定义域是( B.

) C. D.

7.现有四个函数①



,③

,④ )

的部分图象如下,但顺序被打乱,

则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是(

A. ④①②③

B.①④③②

C.①④②③

D.③④②①

8.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 , x2 ,不等式

x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? ? x1 f ? x2 ? ? x2 f ? x1 ? 恒成立,则不等式 f ?1 ? x ? ? 0 的解集为(
A. (??,0) B. ?0,?? ? C. (??,1) D. ?1,?? ?



9.函数 f(x)= 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A.a<0 B.0<a< C.<a<1 D.a≤0 或 a>1 10.已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“Ω 集合”.给出下列 4 个集合: ① ③M={(x,y)|y=cosx} ②M={(x,y)|y=ex-2} ④M={(x,y)|y=lnx}

其中所有“Ω 集合”的序号是( ) A.②③B.③④C.①②④D.①③④
11. 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的增函数, 函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点 (1,0) 对称, 若任意的 x 、y ? R , 不等式 f ( x ? 6 x ? 21) ? f ( y ? 8 y ) ? 0 恒成立,则当 x ? 3 时, x ? y 的取值范围是(
2 2 2 2



A. (13, 49)

B. 13, 49

(

]

C. 9, 49

(

]

D. (13,34)

? 1og3 x , 0 ? x ? 3 ? ? 12.已知函数 f(x)= ? ?2 ? 1og3 x, x ? 3 ,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=
f(c) ,则 a+b+c 的取值范围为( ) A. ( 3

20 32 , 3 )

19
B. (6,l2) C. ( 3 ,12)

19
D. ( 3

,11



二填空题

本大题 4 小题,每题 5 分,共 20 分

13 已知
x

,则



14 若方程 2a =|a -1|(a>0 且 a≠1)有两个根,则实数 a 的取值范围是 15 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称.若 f(x)= √x (0<x≤1),则 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式为 . 16 如图,点 P 从点 O 出发,分别按逆时针方向沿周长均为 12 的正三角形、正方形运动一周,O,P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系分别记为 y=f(x),y=g(x),定义函数 h(x)= { f(x) ,f(x)≤g(x) g(x) ,f(x)>g(x)

对于函数 y=h(x),下列结论正确的是 (填序号) ①h(4)= √10 ; ②函数 h(x)的图象关于直线 x=6 对称; ③函数 h(x)增区间为(0,5); ④.函数 h(x)值域为[0 ,√13 ] 三解答题 共 70 分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(本小题满分 12 分)已知命题 p,函数 知函数 的图像在点 在 处的切线恰好与直线 )上是单调减函数,命题 q,已 平行,且 在

上单调递减,若命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围
18. (本题满分 12 分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C (单 位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ( x) ?
k (0 ≤ x ≤ 10) ,若不建隔热层,每年能源消耗 3x ? 5

费用为 8 万元,设 f ( x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ( x) 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x) 达到最小,并求最小值.

19(本小题满分 12 分)已知函数 y=f(x),若存在 x,使得 f(x)=x,则称 x 是函数 y=f(x)的一个 不动点,设二次函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-2 (Ⅰ)当 a=2,b=1 时,求函数 f(x)的不动点; (Ⅱ)若对于任意实数 b,函数 f(x)恒有两个不同的不动点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若函数 y=f(x)的图象上 A,B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点,且

直线 y=kx+

是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围.
x

20. (本题满分 12 分)已知函数 f (3 ? 2) ? x ? 1 ( x ? [0, 2]) ,函数 g ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 .

(1)求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x ) 的解析式,并求出 f ( x) , g ( x) 的定义域; (2)设 h( x) ? [ g ( x)] ? g ( x ) ,试求函数 y ? h( x) 的最值.
2 2

21(本小题满分 12 分)已知函数

满足



(Ⅰ)求

的解析式及单调区间;

(Ⅱ)若 ,求 的最大值。 请从下面所给的第 22,23,24 三题中选定一题作答,多答按所答的第一题评分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ADC 的外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2 AC .
C E

A

D

B

(Ⅰ)求证: BE ? 2 AD ; (Ⅱ)当 AC ? 3 , EC ? 6 时,求 AD 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在平面直角坐标系 x?y 中,直线的参数方程为 ? (为参数) .在以原点 ? 为极点, x 轴正半轴为极 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)写出直线的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 ? 坐标为 3, 5 ,圆 C 与直线交于 ? , ? 两点,求 ?? ? ?? 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a . (1)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (2)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,

?

?

1 1 ? ? a ? m ? 0, n ? 0 ? ,求证: m ? 2n ? 4 . m 2n

一 1--------6BCCBCD 二 13 14 0<a<

7------12CCAABD 15 f(x) =- √-x-4 16①②④

17(本小题满分 12 分)命题 p,函数 数 的图像在点

在 处的切线恰好与直线

)上是单调减函数,命题 q,已知函 平行,且 在

上单调递减,若命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围 答案 命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,等价于 p 真 q 假或者是 p 假 q 真.

命题 p:对称轴是 命题 q: 过点

,

递减,1 必然是在 ,有 ,

右侧.就是 ,同时切线与

,p 成立的条件是 平行,

,. ,

,

根为 0,

,

根据图像有

上递减.

,

,

q 成立的条件就是 a 属于 然后就是 p 真 q 假,数轴上画就有

, p 假 q 真,同理有空集

,

18. (本题满分 12 分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C (单

位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ( x) ?

k (0 ≤ x ≤ 10) ,若不建隔热层,每年能源消耗 3x ? 5

费用为 8 万元,设 f ( x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ( x) 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x) 达到最小,并求最小值. 【答案】 (1) k = 40 , (2)隔热层修建为 5 厘米时,总费用最小,且最小值为 70 万元 【解析】 试题分析: 解决该问题的关键是要明确变量之间的关系, 注意利用题中所给的解析式, 找出 k 所满足的等量关系, 从而求得 k 的值,下一步找出各项费用做和即可,注意自变量的取值范围,对于第二问,相当于求函数的最值, 将式子进行构造,应用基本不等式求解即可,注意基本不等式中等号成立的条件. 试题解析: (1)依题意得: 所以 ;

(2) , 当且仅当 而 ,即 时等号成立,

,所以隔热层修建为 5 厘米时,总费用最小,且最小值为 70 万元.

考点:函数的应用题,基本不等式求最值. 19(本小题满分 12 分)已知函数 y=f(x),若存在 x,使得 f(x)=x,则称 x 是函数 y=f(x)的一个

不动点,设二次函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-2 (Ⅰ)当 a=2,b=1 时,求函数 f(x)的不动点; (Ⅱ)若对于任意实数 b,函数 f(x)恒有两个不同的不动点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若函数 y=f(x)的图象上 A,B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点,且

直线 y=kx+

是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围.

答案 【答案】分析:(Ⅰ)把 a=2,b=1 代入方程 f(x)=x,解出 x 即可; (Ⅱ)方程 f(x)=x 恒有两个不相等的实数根,即方程 ax2+(b+1)x+b-2=x 恒有两个不相等的实数 根,则 对任意 b 恒成立,根据二次函数的性质可得 a 的不等式;

(Ⅲ) 设函数 ( f x) 的两个不同的不动点为 x1, x2, 则A (x1, x1) , B (x2, x2) , 且 x1, x2 是 ax2+bx+b-2=0 的两个不等实根,则 ,由题意可得 k=-1,且 AB 中点(,)在直线 y=kx+ 上,

代入可得 a,b 的关系式,分离出 b 后根据 a 的范围可得 b 的范围; 解答:解:(Ⅰ) 当 a=2,b=1 时,f(x)=2x2+2x-1,解 2x2+2x-1=x,

解得



所以函数 f(x)的不动点为 ; (Ⅱ)因为对于任意实数 b,函数 f(x)恒有两个不同的不动点, 所以对于任意实数 b,方程 f(x)=x 恒有两个不相等的实数根, 即方程 ax2+(b+1)x+b-2=x 恒有两个不相等的实数根, 所以 所以 ,即对于任意实数 b,b2-4ab+8a>0, ,

解得 0<a<2; (Ⅲ)设函数 f(x)的两个不同的不动点为 x1,x2,则 A(x1,x1),B(x2,x2), 且 x1,x2 是 ax2+bx+b-2=0 的两个不等实根,所以 直线 AB 的斜率为 1,线段 AB 中点坐标为 , ,

因为直线

是线段 AB 的垂直平分线,

所以 k=-1,且(-

,-

)在直线 y=kx+

上,

则-

=

+

,a∈(0,2),

所以 b==-, 当且仅当 a=1∈(0,2)时等号成立, 又 b<0, 所以实数 b 的取值范围是[-,0). 点评:本题考查函数恒成立问题、直线的垂直关系直线方程,考查转化思想,本题的关键是准确理解 不动点的定义.
20. (本题满分 12 分)已知函数 f (3 ? 2) ? x ? 1 ( x ? [0, 2]) ,函数 g ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 .
x

(1)求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x ) 的解析式,并求出 f ( x) , g ( x) 的定义域; (2)设 h( x) ? [ g ( x)] ? g ( x ) ,试求函数 y ? h( x) 的最值.
2 2

【答案】 (1) [?1, 7] , [1,9] ; (2)最大值为 13,最小值为 6 【解析】

试题分析: (1)复合函数求定义域关键在于适当设立新变量; (2)亦求函数 y ? h( x) 的最值,必须先得出其解析 式,对于复合函数最值要能整体替换设立新变量

2 t ?[-1,7],则 x ? log 3 (t ? 2) , 试题解析: (1)设 t ? 3 ? (
x

于是有 f (t ) ? log 3 (t ? 2) ? 1 , t ? [?1, 7] , ∴ f ( x) ? log 3 ( x ? 2) ? 1 根据题意得

? x ? [?1, 7]? ,

g ( x) ? f ( x ? 2) ? 3 ? log 3 x ? 2 ,

又由 ? 1 ? x ? 2 ? 7 得 1 ? x ? 9 , ∴

g ( x) ? log 3 x ? 2 ? x ? [1,9]?
2 2

(2)∵ g ( x) ? log 3 x ? 2, x ? [1,9] ∴要使函数 h( x) ? [ g ( x)] ? g ( x ) 有意义, 必须 ?

?1 ? x 2 ? 9 ∴1 ? x ? 3 , ?1 ? x ? 9

∴ h( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x 2 ) ? (log 3 x ? 2) 2 ? 2 ? log 3 x 2 ? (log 3 x) 2 ? 6 log 3 x ? 6 ( 1 ? x ? 3 ) 设 t ? log 3 x ,则 h( x) ? t ? 6t ? 6 ? ?t ? 3? ? 3 (0 ? t ? 1) 是
2
2

?0,1? 上增函数,

∴ t ? 0 时 h( x) min =6, t ? 1 时 h( x) max ? 13 ∴函数 y ? h( x) 的最大值为 13,最小值为 6. 考点:复合函数定义域、函数最值 21(本小题满分 12 分)已知函数

满足



(Ⅰ)求 (Ⅱ)若 答案 (Ⅰ)

的解析式及单调区间; ,求 的最大值。





得:





得:





上单调递增,





得:

的解析式为

,且单调递增区间为



单调递减区间为



(Ⅱ)





①当

时,



上单调递

增,

时,



矛盾;

②当

时,





得:当

时,







; 则









时,





时,

的最大值为



解析 本题主要考查函数的求导和函数的单调性,利用函数单调性求极值。 (Ⅰ)先对函数求导得 。当 时, 单调递增,求得的 的取值范围

即为单调增区间;当

时,

单调递减,求得的

的取值范围即为单调减区间。

(Ⅱ)构造函数

,求导得

。讨论在不同

取值的情况下函数

的单调性,通过求得

函数

的极值,求得关于

表达式的取值范围,再构造函数

,求导取极值,得出

的最大值。

请从下面所给的第 22,23,24 三题中选定一题作答,多答按所答的第一题评分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ADC 的外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2 AC .

C E

A

D

B

(Ⅰ)求证: BE ? 2 AD ; (Ⅱ)当 AC ? 3 , EC ? 6 时,求 AD 的长. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) AD ?

3 . 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)由圆的性质先证 ?DBE ? ?CBA ,利用相似三角形性质及角平分线性质可证结论成立; (Ⅱ)由切割线定理列出方程解之即可. 试题解析: (Ⅰ)连接 DE ,因为 ACED 是圆内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA,

C E

A

D

B

BE DE , ? BA CA 又因为 AB ? 2 AC ,可得 BE ? 2 DE 因为 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD
又 ?DBE ? ?CBA, ? ?DBE ∽ ?CBA ,即有 (Ⅱ)由条件知 AB ? 2 AC ? 6 ,设 AD ? t ,

则 BE ? 2t , BC ? 2t ? 6 ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC , 即 (6 ? t ) ? 6 ? 2t ? (2t ? 6), 即 2t 2 ? 9t ? 18 ? 0 ,解得 t ?

3 3 或 ? 6 (舍去) ,则 AD ? . 2 2

考点:1.圆及圆的性质;2.三角形内角平分线性质定理及相似三角形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在平面直角坐标系 x?y 中,直线的参数方程为 ? (为参数) .在以原点 ? 为极点, x 轴正半轴为极 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)写出直线的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 ? 坐标为 3, 5 ,圆 C 与直线交于 ? , ? 两点,求 ?? ? ?? 的值. 6. (1)直线的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0

?

?

x2 ? y ? 5 ;

?

?

2

? 5 (2) 3 2 . ;

【解析】 试题分析: (1)首先联立直线的参数方程并消去参数即可得到其普通方程,然后运用极坐标与直角坐标 转化公式将圆 C 转化为直角坐标方程即可; (2)首先将直线的参数方程直接代入圆 C 的直角坐标方程, 并整理得到关于参数的一元二次方程,由韦达定理可得 t1t2 ? 4 意义即可求出所求的值.
2 ? ? x ? 3? 2 t 试题解析: (1)由 ? 2 ? ? y? 5? 2 t

?

t1 ? t2 ?3 2

,最后根据直线的参数方程的几何

得直线的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0

又由 ? ? 2 5 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 5 y ? 0 ,
2 2

x2 ? y ? 5 即
2

?

?

2

? 5.

? 2 ? ? 2 ? (2)把直线的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 ? 3 ? t? ?? t? ? 5 ,即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
由于 ? ? 3 2

2

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实数根,所以 t1t2 ? 4

?

t1 ? t2 ?3 2

又直线过点 P 3, 5 ,

?

?

A, B 两点对应的参数分别为

t1 , t2 ,所以

PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 .

考点:1、参数方程;2、极坐标系;3、直角坐标与极坐标系之间的转化; 4、参数方程与普通方程之间的转化; 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a .

(1)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (2)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,

1 1 ? ? a ? m ? 0, n ? 0 ? ,求证: m ? 2n ? 4 . m 2n

(1) ? ??, ? ? ? ? , ?? ? ; (2)见解析. 2 2

? ?

1? ?

?7 ?

? ?

【解析】 试题分析: (1)当 a ? 2 时,对原函数进行分情况解不等式,得到原不等式的解集; (2)根据的解集为 f ? x ? ? 1 , 得到 a ? 1 ,所以

1 1 m 2n ?1 1 ? , ? ? 1? m ? 0, n ? 0 ? ,所以 m ? 2n ? (m ? 2n) ? ? ? ? 2 ? ? m 2n 2n m ? m 2n ?

利用均值不等式得到 m ? 2n ? 4 ,结论得证. 试题解析: (1)当 a ? 2 时,不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 4 , 不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? , ?? ? ; 2 2

? ?

1? ?

?7 ?

? ?

5分

(2) f ? x ? ? 1 即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ? x ? ? 1 解集是 ? 0, 2? ,

?a ? 1 ? 0 1 1 ,解得 a ? 1 ,所以 ? ?? ? 1? m ? 0, n ? 0 ? m 2n ?a ? 1 ? 2
所以 m ? 2n ? (m ? 2n) ?

?1 1 ? ? ? ? 4. ? m 2n ?

10 分

考点:1.含绝对值的不等式;2.均值不等式


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