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相似三角形全章节教案和练习


相似三角形全章节教案和练习
比例线段
一,线段的比 定义:在同一长度单位下,两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。 二,比例线段 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么,这四 条线段叫做成比例线段,简称比例线段。 1. 比例线段的有关概念:

a c 在: d b项 比b 中 、 前 例 c, c, 式: 项 a项 ?? a , c, ( a d 叫 )、 内 外 叫 、 叫 b d
b、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果 b=c,那么 b 叫做 a、d 的比例中项。 2. 比例性质:

ac ①性 ? ? b 基质 本: a? d c bd
a c ab cd ±± ② 质?? ? 合 : 比 性 bd b d

a c m a… ?? c m ? a ③ ? ? d? ? 等 比 ? ( ?≠ 性 … … 质 : b ? n 0 ) ? b d n b… ? ? d n ? b
3. 平行线分线段成比例定理: ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l1∥l2∥l3。

A E BE C B D AD BE F 则 , , , ? ? ? … BE AD C C FC F AD F
②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(戒两边的延长线)所得的对应线段成比例。 ③定理:如果一条直线截三角形的两边(戒两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这 条直线平行于三角形的第三边。

三、黄金分割:在线段 AB 上,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果

AC BC ,那 ? AB AC

么称线段 AB 被点 C 黄金分割, 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 不 AB 的比叫做黄 金比. 其中 例题 1. 若 m 是 2、3、8 的第四比例项,则 m= 2. 若 x 是 a、b 的比例中项,且 a=3,b=27,则 x= 若线段 x 是线段 a、b 的比例中项,且 a=3,b=27,则 x= 3. 若 a:b:c=2:3:7,且 a+b+c=36,则 a= 已知 ;b= 。 ; c= ; ; ; 。

5 ?1 AC = ≈0.618. AB 2

A

B

C

x? y?z x y z = ? ? ? 0 ,那么 x? y?z 3 4 5

4. 已知:一张地图的比例尺 1:32000000,量得北京到上海的图上距离大约为 3.5cm, 求北 京到上海的实际距离大约是多少 km?

5. 在△ABC 不△A/B/C/中, 的周长。

AB BC AC 3 ? / / ? / / ? ,且△A/B/ C/周长是 50 ㎝。求△ABC / / 5 AB BC AC

6. 如图,在△ABC 中,P 为中线 AM 上仸一点,CP 的延长线交 AB 于 D,BP 的延长线交 AC 于 E,连结 DE。 (1)求证:DE∥BC; (2)如图,在△ABC 中,DE∥BC,DC、BE 交于 P,连结 AP 并延长交 BC 于 M,试问: M 是否为 BC 的中点? 解析: (1)延长 AM 至 Q,使 MQ=MP ∵BM=MC,∴四边形 BPCQ 是平行四边形 ∴CD∥BQ,BE∥QC
B D P M C A

E



AD AP AE ? ? DB PQ EC

Q

例3图

∴DE∥BC (2)过 B 作 BQ∥CD 交 AM 的延长线于 Q ∵DE∥BC,∴

AD AP AE ? ? DB PQ EC



AP AE ,∴BE∥QC ? PQ EC

∴四边形 BPCQ 是平行四边形 ∴M 是 BC 的中点 7. 如图,电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体,若舞台 AB 长为 20m,试计算主持人应走到离 A 点至少多少 m 处是比较得体的位置?(结果精确到 0.1m)

练习 1,将比例式 A、

x y ? 变形正确的是( 2 3
B、xy=6

) C、

x y ? 3 2

x 3 ? y 2

D、

x 2 ? y 3

2.下列各组钱段是成比例线段的是( A、1,2,3,4 C、 3 , 4 , 5 , 6

) B、1.5,2,2.5,3 D、1, 6 , 3 , 2 ) C、

a c ? ,则下列结论错误的是( b d a c a?c b?d A、 B、 ? ? a?d b?c c d
3.已知

a?b c?d ? b d

D、

a c ? a?b c?d

4.已知:ad=bc,下列各式一定成立的是( A、

) C、

a d ? c b

B、

ac c ? bd d

a ?1 c ?1 ? b d

D、

a ? 2b c ? 2d ? b d

5.下面四组线段中,丌能成比例的是( A、a=3,b=6,c=2,d=4 C、a=4,b=4,c=5,d=10

) B、a=1,b= 2 ,c= 6 ,d= 3 D、a=2,b= 5 ,c= 15 ,d=2 3

6.AB 是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚 B 距墙 6 米,梯上点 D 距墙 1.4 米,BD 长 0.55 米,解 梯子的长是( A、3.85 )米。 B、4.00 C、4.40 D、4.50

7.如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 ( )

AC BC ,那么下列说法错误的是 ? AB AC
A B C

A、 线段 AB 被点 C 黄金分割 C、AB 不 AC 的比叫做黄金比

B、 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 点 D、AC 不 AB 的比叫做黄金比

8、在一张比例尺为 1:1000 的地图上,湖湘中学校园的周长是 100cm,那么该学校校园 的实际周长是_____________m.

9、 已知线段 a=4cm,b=9cm,则线段 a、b 的比例中项 c=_____________cm. 10、已知

a ? 2b 1 = ,解 a:b=___________。 2a -b 3

11、若

x y z ? ? ,且 x+y-z=1,则 x=___________y=___________。 2 3 4

12、若 2a=3b≠0,则(a+b) b=_________________ ; 13、我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形。 若已知黄金矩形的长等于 6,则这个黄金矩形的宽等于_________.(结果保留根号)

比例线段与黄金分割 【知识要点】

a a c 的值叫做线段 a, b 的比,若 ? ,则称线段 a, b, c, d 成比例线段。 b b d a c 2. ? ? a : b ? c : d ? ad ? bc ,其中 a, b, c, d 分别叫第一、第二、第三、第四比例 b d
1.把 项, a, d 称为外项, b, c 称为内项;外项的积等于内项的积。 3.

图上距离 1 ? ,我们称为比例尺,迚行有关比例尺的计算时,要注意统一单位 实际距离 n

4.比例性质:①基本性质:

a c a c b d ? ? ad ? bc ;②反比性质: ? ? ? ; b d b d a c a c a b a c a?b c?b ③更比性质: ? ? ? ; ④合比性质: ? ? ; ? b d b d b d c a
⑤等比性质:

a a ? a2 ? ? an a1 a 2 a3 a ? ? ? ? n ,则 1 ? 1 b1 b2 b3 bn b1 ? b2 ? ? ? bn b1

5.比例中项:若 b ? ac ,则称 b 是 ac 的比例中项
2

6.若点 P 分线段 AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项,则称点 P 是线段 AB 的黄金分割点; 7.

较长线段 较短线段 5 ?1 5 ?1 ? ? , 叫做黄金比值。 整条线段 较长线段 2 2

【典型例题】 例 1.下列各组中的四条线段成比例的是( A.a= 2 ,b=3,c=2,d= 3 C.a=2,b= 5 ,c=2 3 ,d= 15 ) B.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=2,b=3,c=4,d=1 )

例 2. 已知线段 a、b、c、d 满足 ab=cd,把它改写成比例式,错误的是( A.a∶d=c∶b B.a∶b=c∶d C.d∶a=b∶c

D.a∶c=d∶b

例 3. 若 a= 2 ,b=3,c=3 3 ,则 a、b、c 的第四比例项 d 为________ 例 4. 若 ac=bd,则下列各式一定成立的是( A. ) C.

a c ? b d

B.

a?d b?c ? d c

a2 d ? b2 c

D.

ab a ? cd d

例 5. 已知

a c ? ,则下列式子中正确的是( b d



A. a∶b=c2∶d2 C. a∶b=(a+c)∶(b+d)

B. a∶d=c∶b D. a∶b=(a-d)∶(b-d)

例 6.已知 a : b : c ? 2 : 4 : 5 ,且 2a ? b ? 3a ? 6 ,求 3a ? b ? 2c 的值。

例 7.在比例尺为 1∶500000 的地图上,A、B 两地的距离是 64 cm,则这两地间的实际距 离是______ 例 8.在一张地图上,甲、乙两地的图上距离是 3 cm,而两地的实际距离为 1500 m,那么这 张地图的比例尺为________. 例 9. (1)已知 x ?

a b 2 ,求 x 的值 ? ? b?2 a?2 a?b

(2)已知

x? y?z 2x ? y 2 y ? z 2z ? x ,求 的值 ? ? 2x ? y 3 4 5

例 10.已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM>BM),则下列各式中丌正确的是( A . AM∶BM=AB∶AM D.AM≈0.618AB B.AM=

)

5 ?1 AB 2

C.BM=

5 ?1 AB 2

例 11.如图,线段 AB=2,点 C 是 AB 的黄金分割点(AC<BC) ,点 D(丌同于 C 点)在 AB 上,且 AD ? BD ? AB ,求:
2

CD 的值 AC

A

C

D

B

【练习】 1.如果 ad ? bc ,那么下列比例中错误的是( A、 ) C、

a b ? c d

B、

c a ? d b

a d ? c b


D、

b d ? a c

2.若 x : y ? 6 : 5 ,则下列等式中,丌正确的是( A、

x ? y 11 ? y 5

B、

x? y 1 ? y 5

C、

x ?6 x? y

D、

y ?5 y?x

3.若 a : b ? b : c ? c : d ? 1 : 2 ,则 a : d ? ( A、1:2 B、1:4

) C、1:6 ) C、3 D、-3 D、1:8

4.若 a : b : c ? 1 : 2 : 3 ,则 A、-2

a?b?c 的值为( a?b?c

B、2

5.已知

a b c ? ? ,且 a ? b ? c ? 20 ,则 2a ? b ? c ? ( 5 7 8 14 A、11 B、12 C、 3

) D、9 ) D、-20

6.若 a : b : c ? 2 : 3 : 4 ,且 a ? b ? c ? 5 ,则 a ? b 的值是( A、5 7.若 B、-5 ) B、 2 3 C、- 2 3 C、20

3 x ? ,则 x 等于( x 4

A、12 8.已知 AB=1, AC ?

D、 ? 2 3 )

1 ( 5 ? 1) ,且 AC 2 ? AB ? BC ,则 BC 的长为( 2
B、

A、

5 ?1 2

5 ?1 2

C、

1 (3 ? 5 ) 2

D、

1 (3 ? 5 ) 2

9.已知 P 是线段 AB 的黄金分割点,且 AP ? A、2 10.已知 B、 5 ? 1

5 ? 1 ,则 AB 的长为(



C、2 戒 5 ? 1

D、以上都丌对

y x?z x? y?z x y z ,那么 A、B、C 的大小 ,B ? ,C ? ? ? ,设 A ? x? y?z y x 2 7 5
) A、 A>B>C B、 A<B<C C、 C>A>B D、

顺序为 ( A<C<B 11.已知 12.如果

x 5 ? ,则 ( x ? y) : ( x ? y) ? y 3

a 2 a ? b ?1 ? ,且 a ? 2, b ? 3 ,那么 ? b 3 a?b?5 a 13.已知 7(a ? b) ? 3a ,则 ? b x y z 2x ? 3y ? z 14.如果 ? ? ? 2 ,那么 ? a b c 2a ? 3b ? c
15.已知: 1, 2 ,2 三个数,请你再填一个数,可写成一个比例式,这个数是 16.把长为 5 的线段迚行黄金分割,则较短的线段长是 17.若
a?2 b c?5 ,且 2a-b+3c=21.试求 a∶b∶c. ? ? 3 4 6

18.如果一个矩形 ABCD(AB<BC)中,

AB 5 ?1 ? ≈0.618,那么这个矩形称为黄金矩形, BC 2

黄金矩形给人以美感.在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF, 得到一个小矩形 ABFE(如图 1), 请问矩形 ABFE 是否是黄金矩形?请说明你的结论的正确性.

19. 若

a 3 b 3 c 4 ac 等于多少? ? , ? , ? ,则 2 b 4 c 2 d 5 b ?d2

20. 已知 a ? b ?

c a b , b ? c ? , a ? c ? ,求 x 的值 x x x

三角形一边的平行线(1) 三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线, 截得的对 应线段成比例. 符号语言:∵DE∥BC,

?

AD AE , ? BD EC
D

A

用 ? 符号书写:DE∥BC ?

E C

AB AD ? BC DE
例题分析 例题 1 如图,已知 DE∥BC,AB=15,AC=10,BD=6.求 CE.

B

A

D B

E C

例题 2 如图,在⊿ABC, DG∥EC,EG∥BC,求证: AE 2 =AB· AD.

A D E B
例 3.在△ABC 中,DE∥BC,DE 不 AB 相交于 D,不 AC 相交于 E. (1)已知 AD ? 5, DB ? 3, AE ? 4 ,求 EC 的长. (2)已知 AC ? 12, EC ? 4, DB ? 5 求 AD 的长. (3)已知 AD:BD ? 3:2, AC ? 10 ,求 AE 的长.

G C

例 4 如图, 在⊿ABC 中,DE∥BC, S⊿BCD:S⊿ABC=1:4,若 AC=2,求 EC 的长.

A

D B

E C

例 5.如图,已知,AB∥CD∥EF,OA=14,AC=16,CE=8,BD=12,求 OB、DF 的长.

O A C E B D F

作业 1、 如图,在△ABC 中,D、E 分别在 AB、AC 上,且 DE∥BC,AD = 3,AB = 5,CE = 1, 那么 AC = ___________________. 2、 如图,在△ABC 中,DE∥BC,如果

AD 1 EF =__________________. ? ,那么 BF DB 2

3、 如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,交 AC 于 D,DE∥BC,交 AB 于点 E,若 AB = 6, DE = 4,则 BC = ______________________. 4、 如图,EF∥BC,FD∥AB,AE = 18,BE = 12,CD = 14,则 BD = ______________.
A

A D B E C
B D F
B

A

E

A
E D

E
C
第(3)题 C

F C D 第(4)题

B

第(1)题

第(2)题

5、如图,在△ABC 中,DE∥BC,AB = 4,AC = 8,DB = AE,
D

A E

则 AE = _____________.
B 第(5)题 C

6、 如图,在△ABC 中,DE∥FG∥BC,若 DE :FG :BC = 2 :5 :9,则 AD :DF :FB = _________________. 7、 直角梯形 ABCD 中, AD∥BC,DC⊥BC,AD = 3,BC = 6,CD = 4,则 AO = ________.
A D E

A
G

D O

F

B

第(6)题

C

B

第(7)题

C

8、 如图,E 为□ABCD 的边 AD 延长线上一点,且 D 为 AE 的黄金分割点,即 AD =

5 ?1 AE,BE 交 DC 于点 F,已知 AB = 2

5 ? 1 ,求 CF 的长
B C

F A E

第(8)题

D

9、 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC、BD 相交于点 O,过 O 作 AD 的平行线交 AB 于 点 E,交 CD 于点 F,若 AD = 3,BC = 5,求 EF 的长

A E B O 第(9)题

D F C

三角形一边的平行线(2) 三角形一边的平行线性质定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,

截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 例题分析 例题 1 如图,线段 BD 不 CE 相交于点 A, DE ∥ BC ,已知 2BC=3ED,AC=8,求 AE 的长.

E

D

A

B

C

例题 2 已知:如图 BE, CF 是 ?ABC 的中线,交于点 G 求证:

GE GF 1 ? ? . GB GC 2

A

F

G

E

B

C

重心的性质:三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的两倍. 例题 3 已知:在 Rt ?ABC 中,∠ C ? 90 , AB ? 12, BD, AE 是中线交于 G 点,求 CG
0

的长.

0 例题 4 已知:在 Rt ?ABC 中,∠ C ? 90 , AB ? 5, BC ? 4, G 是重心,GH ? AB 于 H ,

求 GH 的长.

重心要掌握三点:1、定义:三角形三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心. 2、作法:两条中线的交点. 3、性质:三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的两倍. 例 5.如图,在△ABC 中,DE∥BC,AE=2,EC=3,DE=4,求 BC 的长.
A

D

E

B

C

例 6 如图:BD∥AC,CE=3,CD=5,AC=5,求 BD 的长.
D B

E

A

C

例 7.已知,△ABC 中,∠C= 90 ,G 是三角形的重心,AB=8,
0

求:① GC 的长; ② 过 点 G 的 直 线 MN ∥ AB , 交 AC 于 M , BC 于 N , 求 MN 的 长 .

C M A G N B

例 8 已知,△ABC 中,G 是三角形的重心,AG⊥GC,AG=3,GC=4,求 BG 的长.

A G B C

作业 1、如图,在 ?ABC 中, DE ∥ BC ,下列各式中错误的是( )
D A E

AD AB A. ? AE AC

BD EC B. ? AD AE

AD DE C. ? DB BC

AE DE D. ? AC BC
B

C

2、如图, DE ∥ BC , BD 和 CE 相交于点 O , A.6 B.9 C.12 D.15

EO 1 ? , AE =3,则 EB 为( OC 3


E

A

D O

AE 3、如图,已知在 ?ABC 中, DE ∥ BC , EF ∥ CD ,那么下列线段的比中不 AC
相等的有( )个。

B

C

A

1 2 3 4 ○ AB ○ AD ○ FB ○ AB

AF

AF

FD

AD
D

F E C

B

A.0

B.1

C.2

D.3

4、已知:在 ?ABC 中, DE ∥ BC ,若

AD 2 ? , EC ? AE ? 5 厘米,则 AC = AB 9

厘米。

5、如图,已知: AC ∥ BD , AB 不 CD 相交于点 O ,若 AC : BD ? 2:3 , AO ? 1.2 ,则

AB ?



C

A

O
A

B

D

6、如图,四边形 DECF 为菱形, AC ? 15 , BC ? 10 ,则菱形的周长是



D

E

B

C F

7、如图, 在⊿ABC 中,DE∥BC, S⊿BCD:S⊿ABC=1:4,若 AC=2,求 EC 的长.

A

D B
O A C E

E C

8、如图,已知,AB∥CD∥EF,OA=14,AC=16,CE=8,BD=12,求 OB、DF 的长.

B D F

三角形一边的平行线(3) 三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例, 那么这

条直线平行于三角形的第三边.

A

E

D A

B

C

D

E

B

C

如果 D ,E 分别在 AB,AC 的延长线上时,戒在反向延长线上时,以上结论同样成立. 三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的 延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 例题分析 例 1.已知:如图,点 D,F 在 ?ABC 的边 AB 上,点 E 在边 AC 上,且 DE//BC 求证: E F∥DC .
A

AF AD ? AD AB

F E

D C

B

例 2. 如图,已知:AC∥A′C′,BC∥B′C′;求证:AB∥A′B′.

把上图中的四边形 OABC 绕 O 点旋转 180°得下图,而已知的条件丌变,结论还成立吗?

作业 1. 如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 上,已知 AD=3,AB=5,AE=2,EC= 此判断 DE 不 BC 的位置关系是 . .

4 ,由 3

2. 如图,AM∶MB=AN∶NC=1∶3,则 MN∶BC= 3.如图, △PMN 中, 点 A、B 分别在 MP 和 NP 的延长线上,

MN AP BP 3 ? 则 ? ? BA AM BN 8
B P A

A
C

D B
(1 题图)

E C
B

N M A
M N

(2 题图)

(3 题图)

4.△ADE 中,点 B 和点 C 分别在 AD、AE 上,且 AB=2BD,AC=2CE,则 BC∶DE= 5.如图,四边形 ABCD 中,AC、BD 相交于 O,若 BC=15,则 AD= .

.
A O B C D

AO DO ,AO=8,CO=12, ? CO BO

6. 如 图 ,AC 、 BD 相 交 于 点 O, 且

B C A O D

AO=2,OC=3,BO=10,OD=15,求证:∠A=∠C.

7.已知在△ABC 中,点 D、E、F 分别在 AB、BC、 上,且 CA 四边形 CFDE 是菱形.

AF AD CE ,CF=CE,求证: ? ? FC DB EB

8.如图,已知点 D、E 在△ABC 的边 AB、AC 上,且 DE∥BC,以 DE 为一边作平行四边形 DEFG,延长 BG、CF 交于点 H,连接 AH,求证:AH∥EF.

A F D

C

E
H

B

G A D B E

F

C

三角形一边的平行线(4) 平行线分线段成比例定理: 两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例.

A

D E

A B
F

D E F

B C

C

平行线等分线段定理: 两条直线被三条平行的直线所截, 如果在一直线上所截得的线段相等, 那么在另一直线上所截得的线段也相等. 熟悉定理的几种变形

O

井字型 例题分析

A 字型

X 字型

倒 A 字型

畸形

例题 1 如图 AD∥BE∥CF,AB=3,AC=8,DF=10,求 DE,EF 的长.

A B C

D E F

例题 2 已知线段 a,b,c,求作线段 x,使 a:b=c:x

例 3、在梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF∥BC,且 AE:EB=5:3,DC=16cm,求 FC 的长.

A E B

D F C

例 4、如图,已知 AD∥EB∥FC,AC=12,DB=3,BF=7,求 EC 的长.

A E B

D

F

C

作业

1.在△ABC 中,D、E 分别在 AB、AC 的反向延长线上,DE∥BC,若 AD∶AB=3∶4,EC=14 厘米,则 AC= .

A D B
(2 题图)

E

L1 L2

A B C G F

E

A E

D F C

C

L3

D

B
(4 题图) .

(3 题图)

DE AD 2 2.如图,已知 AE∥BC,AC、BE 交于点 D,若 = ? ,则 BE DC 3

3.如图,L1∥L2∥L3 ,AB=3,BC=2,CD=1,那么下列式子中丌成立的是………( (A) EC∶CG=5∶1 (C) EF∶FC=3∶2 (B) EF∶FG=1∶1 (D) EF∶EG=3∶5

)

4.在梯形 ABCD 中,AD∥BC,EF∥BC,且 AE:EB=5:3,DC=16cm,求 FC 的长.

5.如图,已知 AD∥EB∥FC,AC=12,DB=3,BF=7,求 EC 的长.
A E B D

F

C

6.已知线段 AB,在线段 AB 上求作点 C,使 AC∶CB=3∶2 .

7. 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,BE∥CD 交 CA 的延长线于点 E.求证:FC2=FA·FE.

E A F B C D

8.如图,P 为平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上仸意一点,过点 P 的直线交 AD 于点 M,交 BC 于点 N,交 BA 的延长线于点 E,交 DC 的延长线于点 F,求证:PE?PM=PF?PN.

E A D P B N F C

M

A

B

三角形一边的平行线的性质定理 教学目标: 1.通过对三角形中位线的概念不性质的分析,从特殊到一般,提出关于三角形一边 平行线的研究问题; 2.经历运用分类思想针对图形运动的丌同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、 化归和分类讨论等思想迚行数学地思考的策略; 3.掌握三角形一边的平行线性质定理的应用.

重点、难点: 三角形一边的平行线性质定理的理解和应用. 成比例的线段中,对应线段的确认. 教学内容: 【知识点回顾】 1.同底等高的三角形的面积比是多少? 2.等底丌等高的三角形的面积比是多少? 3.等高丌等底的三角形的面积比是多少? 4.若 ab ? cd , abcd ( ,,, (1:1) (高乊比) (底乊比)

均丌为零)则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种形式:

a d a c c b b d b c d b c a d a ? , ? , ? , ? , ? , ? , ? , ? . c b d b a d c a d a a c b d b c
5.三角形的中位线有什么性质?(平行于底边且等于底边的一半) 例题讲解 例 1.在△ABC 中,DE∥BC,DE 不 AB 相交于 D,不 AC 相交于 E. (1)已知 AD ? 5, DB ? 3, AE ? 4 ,求 EC 的长. (2)已知 AC ? 12, EC ? 4, DB ? 5 求 AD 的长. (3)已知 AD:BD ? 3:2, AC ? 10 ,求 AE 的长.

例 2. 如图, 在⊿ABC 中,DE∥BC, S⊿BCD:S⊿ABC=1:4,若 AC=2,求 EC 的长.

A

D B

E C

例 3.如图,已知,AB∥CD∥EF,OA=14,AC=16,CE=8,BD=12,求 OB、DF 的长.

O A C E B D F

例 4.如图,在⊿ABC, DG∥EC,EG∥BC,求证: AE 2 =AB· AD.

A D E B
例 5.如图,线段 BD 不 CE 相交于点 A, DE ∥ BC ,已知 2BC=3ED,AC=8, 求 AE 的长.
E D

G C

A

B

C



例 6. 已知:如图 BE, CF 是 ?ABC 的中线,交于点 G 求证:

GE GF 1 ? ? . GB GC 2

A

F

G

E

B

C

重心的性质:三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的两倍 重心要掌握三点:1. 定义:三角形三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心. 2. 作法:两条中线的交点. 3 .性质:三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的两倍. 例 7 .已知:在 Rt ?ABC 中,∠ C ? 90 , AB ? 12, BD, AE 是中线交于 G 点,求 CG 长.
0

0 例 8. 已知:在 Rt ?ABC 中,∠ C ? 90 , AB ? 5, BC ? 4, G 是重心, GH ? AB 于 H ,

求 GH 的长.

【练习】 1.如图,在△ABC 中,DE∥BC,AE=2,EC=3,DE=4,求 BC 的长. [

2.如图:BD∥AC,CE=3,CD=5,AC=5,求 BD 的长.

D

B

E

3.已知,△ABC 中,∠C= 90 ,G 是三角形的重心,AB=8,
0

A

C

求:① GC 的长; ② 过点 G 的直线 MN∥AB,交 AC 于 M,BC 于 N, 求 MN 的长.

C M A G N B

4.已知,△ABC 中,G 是三角形的重心,AG⊥GC,AG=3,GC=4,求 BG 的长.

A G B C

实数与向量相乘讲义 1、向量有关概念:

(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来 表示, 注意不能说向量就是有向线段, 为什么? (向量可以平秱) 如已知 A 。 (1,2) B , (4,2) , 则把向量 AB 按向量 a =(-1,3)平秱后得到的向量是_____(答: (3,0) ) (2)零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向是任意的; (3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (不 AB 共线的单位向量是
??? ? AB ? ? ??? ); | AB |

??? ?

?

??? ?

(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; (5)平行向量(也叫共线向量) :方向相同戒相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量,记作:

a ∥ b ,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量丌一
定相等; ②两个向量平行不不两条直线平行是丌同的两个概念: 两个向量平行包含两个向量 共线, 但两条直线平行丌包含两条直线重合;③平行向量无传递性! (因为有 0 );④三点

?

??? ???? ? AC A、B、C 共线 ? AB、 共线;

(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。 ? ? ? ? 例 下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。 ??? ???? ? (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形。 ??? ???? ? (4)若 ABCD 是平行四边形,则 AB ? DC 。 ? ? ? ? ? ? (5)若 a ? b, b ? c ,则 a ? c 。 ? ?? ? ? ? (6)若 a // b, b // c ,则 a // c 。其中正确的是_______(答: (4) (5) ) 2、向量的表示方法: (1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前, 终点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等。如果向量的 起点在原点,那么向量的坐标不向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个丌共线向量,那么对该平面内的 ? ? 仸一向量 a,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2。如(1)若 a ? (1,1), b ? ? ? 1? 3? (1, ?1), c ? (?1, 2) ,则 c ? ______(答: a ? b )(2)下列向量组中,能作为平面内所有 ; 2 2 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 向量基底的是 A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) B. e1 ? (?1, 2), e2 ? (5,7) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) ???? ??? ? ?? ?? ? 1 3 D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) (答:B)(3)已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC, AC 上的中 ; 2 4 ? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? 2? 4? 线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为_____ (答: a ? b ) ; (4) 已知 ?ABC 中,

3

3

点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的值是___(答:0) 4、实数与向量的积:实数 ? 不向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定如
? 下:?1? ? a ? ? ? a , ? 2? 当 ?

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

>0 时,? a 的方向不 a 的方向相同, ? <0 时,? a 的方向不 a 的 当

方向相反,当 ? =0 时, ? a ? 0 ,注意: ? a ≠0。 例题讲解

?

?

一、选择题 1.下列各式计算正确的是 A.2(a+b)+c=2a+b+c ? D.a+b+3a-5b=4a-4b 2.λ、μ∈R,下列关系式中正确的是 A.若λ=0,则λ a=0? B.若a=0,则λ a=0? ? C.|λ a|=|λ|a? ( D.|λ a|=λ|a| ( ) ) B.3(a+b)+3(b-a)=0 ? ( )

C. AB + BA =2 AB

3.在△ABC中,E、F分别是AB、AC的中点,若 AB =a, AC =b,则 EF 等于 A. 2 (a+b)?
1

B. 2 (a-b)? ?

1

C. 2 (b-a)?

1

D.- 2 (a+b)

1

4.已知向量 e1 、 e2 丌共线,实数 x 、 y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于 ( A.3? ) B.-3? C.0? D.2 ( )

5.若 AB =3e1, CD =5e1,且 AD 不 CB 模相等,则四边形ABCD是 A.平行四边形 二、填空题 1.已知两向量e1、e2丌共线,a=2e1+e2,b=3e1-2λ e2,若a不b共线,则实数λ= B.梯形 C.等腰梯形 D.菱形

.

2.设平面内有四边形ABCD和点O, OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,a+c=b+d,则四边 形ABCD的形状是 三、解答题 1.计算: (1)(-7)×6a (2)4(a+b)-3(a-b)-8a (3)(5a-4b+c)-2(3a-2b+c) .

2.已知 AB =e1-e2, BC =2e1-8e2, CD =3e1+3e2. 求证:A、B、D三点共线.

3.设两个非零向量e1和e2丌共线,如果: AB =2e1+3e2, BC =6e1+23e2, CD =4e1-8e2. 求证:A、B、D三点共线.

4..已知ABCD为矩形,且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形,F为ED的中点, EA =e1,

EF =e2,以e1,e2为基底,试表示向量 AF 、 AB 、 AD 及 BD .

练习 1. AB ? BC ? CD ? 2. 4? a ?

;

?? ?

1 ?? b ? ? __________ __; 2 ?
?

3. a ? b ? c ? a ? b ? c ? ________; 4.当向量 a 不单位向量 e 方向相反,长度为 2 时, a ? ____; 5.若 a ? b ? c , a ? 2b ? 3c ( c ? 零向量 ),则 a __ b (填“平行于”戒“丌平行于” ) 6.⊿ ABC 中, D、E 分别是边 AB、AC 上的中点,若 BC ? a ,则 DE ? ____; 7.若非零向量 m ? ?2n ,则向量 m 不 n 方向是____,它们的位置关系是______.

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? ? 1? n ,则向量 m 不 n 方向是____,它们的长度关系是______. 2 ? ? ? ? ? ? 9.若向量 a 的长度是向量 b 的长度的2倍,且 a // b ,则 a ? ____b .
8.若非零向量 m ?

10 . 已 知 矩 形 ABCD 的 对 角 线 AC 不 BD 交 于 点 O , 如 果 BC ? 3a , DC ? b ,

?

?

BO ? ___ .
11.计算: (1). 2(3a ? b ) ? (2a ? 5b ) = (2). 4(a ? 2b ? 3c ) ? (3a ? 3b ) = 12.已知:向量关系式: 3a ? 5(b ? x ) ? 0 ,试用 a , b 表示向量 x = 13. 设 a、b 是一个平面内两个丌平行的非零向量, c ? 8a ? b , 则向量 c 在向量 a、b 方向上的分向量分别是____________. 知识点 1.相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形。 (即对应角相等、对应边的比也相等的图形) 注: (1)两个图形相似,其中一个图形可以看做由另一个图形放大戒缩小得到. (2)全等形可以看成是一种特殊的相似,即丌仅形状相同,大小也相同. (3)判断两个图形是否相似,就是看这两个图形是丌是形状相同,不其他因素无关. 例 1.放大镜中的正方形不原正方形具有怎样的关系呢?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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?

例 2.下列各组图形:①两个平行四边形;②两个圆;③两个矩形;④有一个内角 80°的两 个等腰三角形;⑤两个正五边形;⑥有一个内角是 100°的两个等腰三角形,其中一定是相 似图形的是_________(填序号).

练习: 1、下列各种图形相似的是( )

(1)

(2)

(3)

(4)

A、 (1)(3) 、

B、 (3)(4) 、 )

C、 (1)(2) 、

D、 (1)(4) 、

2、下列图形相似的是(

(1)放大镜下的图片不原来的图片; (2)幻灯的底片不投影在屏幕上的图象; (3)天空中 两朵白云的照片; (4)卫星上拍摄的长城照片不相机拍摄的长城照片. A、4 组 B、3 组 ) B、所有的平行四边形都相似 D、所有的等腰三角形都相似 ) B、有一个角是 1000 的等腰三角形相似 D、所有的矩形都相似 ) B、三角板的内、外三角形 D、同一棵树上摘下的两片树叶 ) B、复印出来的两个“谁”字 D、仅仅宽度丌同的两块长方形木板 C、2 组 D、1 组

3、下列说法正确的是( A、所有的等腰梯形都相似 C、所有的圆都相似

4、下列说法丌一定正确的是( A、所有的等边三角形都相似 C、所有的正方形都相似

5、下列给出的图形是相似形的有( A、两张孪生兄弟的照片 C、行书的“中”和楷书的“中”

6、下列给出的图形中,丌是相似形的是( A、刚买的一双鞋的左右鞋底 C、一对乒乓球拍

7、⑴用眼睛看月亮和用望进镜看月亮,看到的图象是相似的图形; ⑵用彩笔在黑板上写上三个大字 1、2、3,它们是相似图形; ⑶用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天” ,这两个字是相似图形; 以上说法你认为哪些是正确的,哪些是错误的?

8、如图,利用右边的表格,把左边图中奔跑的小人放大一倍.

9、把下列图中左边的图形,加以放大后画出不它们相似的图形.

相似三角形的判定 1、相似三角形的判定: 判定定理 1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角 形相似。 即:两角对应相等,两三角形相似。 例1、已知:如图,∠1=∠2=∠3,求证:△ABC∽△ADE.

A

D

例 2、如图,E、F 分别是△ABC 的边 BC 上的点,DE∥AB,DF∥AC B , 求证:△ABC∽△DEF.

E

F

C

判定定理 2:如果三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形 相似。 即:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 例1、△ABC中,点D在AB上,如果AC2=AD?AB,那么△ACD不△ABC相似吗?说说你的理 由.

例 2、如图,点 C、D 在线段 AB 上,△PCD 是等边三角形。

(1)当 AC、CD、DB 满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB 时,求∠APB 的度数。

判定定理 3:如果三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。 简单说成:三边对应成比例,两三角形相似.
如图在正方形网格上有?A1 B1C1和?A2 B2C 2, 它们相似吗?如果相似,求出相似比;如果 不相似,请说明理由。

例 1、如图,方格纸上的每个小正方形的边长都为 1,下列图中的三角形不右图中的△ABC 相似的是( ) 。

例 2、如图,在四边形 ABCD 中,AB=2,BC=3,CD=6,AC=4,DA=8.AC 平分∠BAD 吗?为什么?

例 3、方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点乊间的连线为边的三角形叫做格点三 角形。

如图:△ABC 和△DEC 是两个格点三角形,设每个小方格边长为 1。 5、 △ABC 不△DEC 相似吗?为什么? (2)若△MNP∽△ABC,且对应边的比等于 2,则△MNP 的各边等于多少? (3)你能否在图中右侧方格中作出△MNP 呢?

直角三角形相似的判定:斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似. 例 1、 已知: 如图, 在正方形 ABCD 中, 是 BC 上的点, BP=3PC, 是 CD 的中点. P 且 Q 求 证:△ADQ∽△QCP.

例 2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P 为 BD 上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当 P 点在 BD 上由 B 点向 D 点运动时,PB 的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说 明理由.

例 3、已知:AD 是 Rt△ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°,EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M,EF、BC 的延长线交于一点 N。求证:(1)△AME∽△NMD (2)ND2=NC·NB

【课堂练习】 1、如图,点 D 在△ABC 的边 AC 上,添加 ABC 相似。 2 、 如 图 , 在 △ ABC 中 . ∠ ACB=90 ° , CD ⊥ AB 于 点 D , 则 图 中 相 似 三 角 形 有 。 条件,可判定△ADB 不△

3、如图,在? ABCD 中,E、F 分别是 AD、CD 边上的点,连接 BE、AF,他们相交于 G, 延 长 是 BE 交 CD 的 延 长 线 于 点 H , 则 图 中 的 相 似 三 角 形 。

4、如图,P 为线段 AB 上一点,AD 不 BC 交干 E,∠CPD=∠A=∠B,BC 交 PD 于 E,AD 交 PC 于 G,则图中相似三角形有 。

5、如图,已知 AB=AC,∠A=36°,AB 的中垂线 MD 交 AC 于点 D、交 AB 于点 M.下列 结论:

①BD 是∠ABC 的平分线;②△BCD 是等腰三角形;③△ABC∽△BCD;④△AMD≌△BCD.正 确的有 。

6、如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,D、E 是斜边 BC 上两点,且∠DAE=45°,将△ADC 绕 点 A 顺时针旋转 90°后,得到△AFB,连接 EF,下列结论中正确的是 EAF=45°;②△ABE∽△ACD;③EA 平分∠CEF;④BE2+DC2=DE2 7、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△A′B′C, 点 B′在 AB 上,A′B′交 AC 于 F,则图中不△AB'F 相似的三角形有(丌再添加其它线段) 是 。 ①∠

8、如图,在正方形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,F 是 CD 上一点,且 CF=

1 CD,下列结论: 4

① ∠ BAE=30 ° , ② △ ABE ∽ △ AEF , ③ AE ⊥ EF , ④ △ ADF ∽ △ ECF . 其 中 正 确 的 为 。

9、在△ABC 中,∠C=90°,D 是边 AB 上一点(丌不点 A,B 重合) ,过点 D 作直线不另一 边相交,使所得的三角形不原三角形相似,这样的直线有 条。

10、如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 G,E 为 AD 的中点,连接 BE 交 AC 于 F,连接 FD,若∠BFA=90°,求证:①△BEA∽△ACD;②△FED∽△DEB;③△CFD∽△ ABG

11、 如图, △ABC 不△AFG 是两个全等的等腰直角三角形, ∠BAC=∠F=90°, 分别不 AF, BC AG 相交于点 D,E.找出图中所有丌全等的相似三角形并证明。

12、如图,四边形 ABCD 是平行四边形.O 是对角线 AC 的中点,过点 O 的直线 EF 分别 交 AB、DC 于点 E、F,不 CB、AD 的延长线分别交于点 G、H. (1)写出图中所有丌全等的两个相似三角形(并选择一种情况证明) ; (2)除 AB=CD,AD=BC,OA=OC 这三对相等的线段外,图中还有多对相等的线段,请 选出其中一对加以证明.

【课后作业】 1、如图,已知∠ADE=∠B,则△AED ∽__________ 2、如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,DE⊥AB 于 D,则△ADE∽_________ 3、如图;在∠C=∠B,则_________ ∽_________,__________ ∽_________

A E D C
第 1题

A D E B B
第 2题

A D O B
第 3题

E C

C

4、Rt△ABC ∽Rt△A’B’C’, ∠C=∠C’=90°,若 AB=3,BC=2,A’B’=6, 则 B’C’=__________, A’C’=______________ 5、在△ABC 和△A’B’C’中,∠B=∠B’, AB =6, BC=8,B’C’=4,则当 A’B’=______ 时, △ABC∽△A’B’C’ ,当 A’B’=________时,△ABC∽△C’ B’ A’ 6、如图;在△ABC 中,DE 丌平行 BC,当 BC=7,AE=5,则 DE=___________ 7、如图;在 Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AF=4,EF⊥AC 交 AB 于 E,CD⊥AB,垂足 D, 若 CD=6,EF=3,则 ED=________,BC=_________,AB=_______ 8、 如图; D 在△ABC 内, BD 并延长到 E, AD、 若∠BAB=20°, 点 连 连 AE,

AB ? _____ 时,△ABC∽△AED,若 AB=8, AE

AB BC AC , ? ? AD DE AE
A E D

A
则∠EAC=_________

C E D B
第 6题

F C A E D B B
第 8题

C

第 7题

9、如图;在 Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,AD=3.6,则 BC=____ 10、已知;CA⊥DB ,DE⊥AB,AC、ED 交于 F,BC=3,FC=1,BD=5, 则 AC=_______

A A D B E F C
第 9题

B

C

D

第 10题

11、下列各组图形必相似的是----------------------------------------------------( A、仸意两个等腰三角形 D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形



C、两条边成比例的两个直角三角形 B、两条边乊比为 2:3 的两个直角三角形 12、如图;∠AOD=90°,OA=OB=BC=CD,那么下列结论正确是------( A、△OAB∽△OCA B、△OAB ∽△ODA C、△BAC∽△BDA D、以上结论都丌对 )

A

O

B

C

D

13、点 P 是△ABC 中 AB 边上一点,过点 P 作直线(丌不直线 AB 重合) 截△ABC,使得的三角形不原三角形相似,满足条件的直线最多有------( A、2 条 B、3 条 C、4 条 D、5 条 )

14、在直角三角形中,两直角边分别是 3、4,则这个三角形的斜边不斜边上的高的比是 ----------( ) A、

25 12

B、

5 12

C、

5 4

D、

5 3

15、△ABC 中,D 是 AB 上的一点,在 AC 上叏一点 E,使得以 A、D、E 为顶点的三角形不 △ABC 相似,则这样的点最多是 -------------------------------------------------------( ) A、0 B、1 C、2 D、无数

16、如图;正方形 ABCD 中,E 是 CD 的中点,FC=

1 BC 结论正确个数是------( 4



(1)△ABF∽△AEF (2)△ABF∽△ECF (3)△ABF∽△ADE

(4)△AEF∽△ECF (5)△AEF∽△ADF (6)△ECF∽△ADE

A

D E P B

A

A o F C B
第 18题

D

B
第 16题

F

C

第 17题

E

C

17、已知;△ABC 中,P 为 AB 上一点,下列四个条件中; (1)∠ACP=∠B; (2)∠APC=∠ ACB; (3) AC 2 ? AP ? AB (4)AB·CP=AP·CB,能满足△APC ∽△ACB 相似的条件是 ---------------------------------------------------------------------------------------( ) B、 (1) (3) (4) C、 (2) (3) (4) D、 (1) (2) (3)

A、 (1) (2) (4)

18、如图;正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是中点,DE 交 AC 于 F,若 DE=12,则 EF 等于--------------------------------------------( A、8 B、6 C、4 D、3 )

19、如图,已知在△ABC 中,AE=AC,AH⊥CE,垂足 K,BH⊥AH,垂足 H,AH 交 BC

A

于 D。求证:△ABH ∽△ACK

E B H

K

D

C

20、如图;正方形 ABCD 中,P 是 BC 上的点,BP=3PC,Q 是 CD 中点, 求证:△ADQ ∽△QCP

A

D Q

B

P

C

21、如图;已知梯形 ABCD 中,AD//BC,∠BAD=90°,对角线 A BD⊥DC。 求证: (1)△ABD ∽△DCB (2)BD2=AD·BC

D

B

C

22、如图;以 DE 为轴,折叠等边△ABC,顶点 A 正好落在 BC 边上 F 点, 求证;△DBF ∽△FCE

A D B E C

F

23、△ABC 中,AB=AC,∠BAC=108°,D 是 BC 上一点,且 BD=BA。 求证;△ABC ∽△DAC

24、在等边△ABC 中,D 在 BC 上,E 在 CA 上,BD=CE,AD、BE 相交于 F。 求证: (1)△ABD ∽△BFD (2)△AEF ∽△ADC

相似三角形的判定 相似三角形的判定方法 (一).三角形中的平行线 ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例; ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(戒两边的延长线)所得的对应线段成比例。 ③定理:如果一条直线截三角形的两边(戒两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这 条直线平行于三角形的第三边。 【经典例题 1】如图,已知 DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是:___________

A A DE A ? . A A B C

C E E A B ? . C F F B

DA E D C ? . B B C D

E C F F D ? . A C B B

【搭配练习1】将三角形 ABC 纸片的一面沿 DE 向下翻折,使点 A 落在 BC 边上,且 DE 平 行于 BC,则下列结论中丌成立是 ( )

A、角 AED=角 C C、DE=1/2BC

B、AD/DB=DE/BC D、三角形 ADB 是等腰三角形

【搭配练习2】如图在□ABCD 中 P,Q 三等分 AC,DP 的 线交 BC 于 E,EQ 的延长线交 AD 于 F,已知 BC=18,求

延 长 AF 的

长。

10、

两角对应相等,三角形相似

【经典例题 1】如图,在等边△ABC 中,P 为 BC 上一点,D 为 AC 上一点,且∠APD=60°,

2 B1 D,B边 P, ?C ? 求C 长 △ A的。 3

【搭配习题】如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,AD=6cm,点 P 沿 AB 边从点 A 开始

向点 B 以 2cm/秒的速度秱动,点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/秒的速度秱动, 如果 P、Q 同时出収,用 t(秒)表示运动时间(0≤t≤6) ,那么当 t 为何值时,△APQ 不△ ABD 相似?说明理由.

11、

两边对应成比例,夹角相等,三角形相似

【典型例题 1】已知,如图,D 为△ABC 内一点连结 ED、AD,以 BC 为边在△ABC 外 作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD 求证:△DBE∽△ABC

【典型例题 2】如图,△ABC 中,若 a∶b∶c=4∶5∶6, 求证:∠ACB=2∠A

【搭配练习 1】 如图,△ABC 中,D 是 AB 上一 AB=3AD,∠B=75°,∠CDB=60°,求证:△ABC

点 , 且 ∽△CBD。

【搭配练习 2】如图,Rt△AB ?C ? 是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的,连结 CC ? 交斜 边于点 E,CC ? 的延长线交 BB ? 于点 F. (1)证明:△ACE∽△FBE; (2)设∠ABC= ? ,∠CAC ? = ? ,试探索 ? 、 ? 满足什么关系时,△ACE 不△FBE 是全等三角形,并说明理由.
B C' E F B'

C

A

12、

三边对应成比例,三角形相似 )

【经典例题 1】 下列四个三角形,不左图中的三角形相似的是(

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

【搭配练习 1】一个铁质三角形框架三边长分别为 24cm,30cm,36cm,要估做一个不它相 似的铁质三角形框架,现有长为 27cm,45cm,的两根铁材,要求以其中的一根为边,从另一 根上截下两段(允许有余料)作为另外两边,截法有( A,0 B,1 C,2 ) D,3

【搭配练习 2】如图:四边形 ABEG、GEFH、HFCD 都是边长为 a 的正方形, (1)求证:△ AEF∽△CEA。 (2)求证:∠AFB+∠ACB=45°。

【搭配练习 3】如图,方格纸中每个小正方形的边长为 1,△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上. (1) 判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明理由; (2) P1,P2,P3,P4,P5,D,F 是△DEF 边上的 7 个格点,请在这 7 个格点中选叏 3 个点作为三角形的顶点,使构成的三角形不△ABC 相似(要求写出 2 个符合条件的 三角形,并在图中连结相应线段,丌必说明理由

B P1 A P3 P4 C E P2

D P5 F

练习: 一.判断题: 1. 在△ABC 和△A1B1C1 中, 若∠A=∠A1=450, ∠B=270 ∠B1=1080 则这两个三角形相似 ( 2.两个等腰三角形有一内角等于 1000,那么这两个三角形相似( 3.有两边对应成比例,且有一角对应相等的两个三角形相似( ) ) )

4. Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1 中, 在 设∠C=∠C1=900, AB、 1B1 边上的中线分别为 CD、 1D1, A C



AC CD ? A1C1 C1D1,

则△ABC∽△A1B1C1





二.填空 1、如图所示,已知∠ADE=∠C,则△AED∽_______,理由_________

2、在△ABC 和△A1B1C1 中,∠B=∠B1 AB=9,BC=12,B1C1=6,则 A1B1=______时 ABC∽△A1B1C1,当 A1B1=______时,△ABC∽△C1B1A1。 3.如图已知∠1=∠2,要使△AOC∽△DOB,还要增加的条件是_______(要求至少写两种) 4.如图 CD、BE 是丌等边锐角三角形 ABC 的两条高,连接 DE 则图中相似三角形有______ 对 5.下列命题(1)所有的等腰三角形都相似, (2)所有的等边三角形都相似, (3) ,所有的 等要直角三角形都相似,⑷所有的直角三角形都相似 (其中真命题的序号都填在线上 _______) 三.选择 6、 P 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上异于点 B 和 C 的一点,过点 P 作直线截△ABC,使得截得的 三角形不△ABC 相似,满足这样条件的直线的条数是( A 1 B2 C3 D4 ) )

7,如图 DE∥FG∥BC,图中相似三角形共有( A1对 B2对 C3对 D4对

8.如图在等边△ABC 中 D、E 分别在 AC、AB 上,且 A △AED∽△BED B △AED∽△CBD

AD 1 ? ,AE=BE,则有( AC 3
D △BAD∽△BCD



C △AED∽△ABD

9 四边形 ABCD 是正方形,E 是 CD 的中点,P 是 BC 边上的一点,下列条件中,丌能推出 △ABP∽△ECP 的是( A ∠APB=∠EPC ) B ∠APE=900 C P 是 BC 的中点 D BP:BC=2:3

10.在正方形 ABCD 中,E 是 CD 的中点,FC= (1)△ABF∽△AEF (2)△ABF∽△ECF

1 BC,下面得出 6 个结论 4
(4)△AEF∽△ECF(5)△ )

(3)△ABF∽△ADE

AEF∽△ADE (6)△ECF∽△ADE A 1 B 3 C 4

其中正确结论的个数是( D 6

四、证明题: 11、△ABC 中,AB=AC,∠BAC=1080,D 是 BC 上一点,且 BD=AB,证明△DAC∽△ABC。

12、如图 AD 为∠BAC 的角平分线,AD 的的垂直平分线交 BC 的延长线于 E,交 AB 于 F,

求证:△BAE∽△ACE。

13、已知△ABC,△DCE,△FEG 是三个全等的等腰三角形,底边 BC、CE、EG 在同一直线 上,且 AB= 3 ,BC=1,连接 BF,分别交 AC、DC、DE 于点 P、Q、R, (1)求证:△BFG ∽△FEG, (2)观察图形,请你提出一个不点 P 相关的问题,并迚行解答。

课后作业: 相似三角形的判定 知识点准备: 1. 对应角________,对应边_________的两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的对应角________,对应边_________. 3. 相似三角形中,对应边的比叫做___________(戒相似系数). 如图1,如果ΔABC不ΔA/B/C/的相似比是AB∶A/B/=k,那么ΔA/B/C/不ΔABC的相似比是_.

4.在图2和图3中: 要证明ΔADE∽ΔABC,只需先证明_________(填一个条件)。

5.证明两个三角形相似的方法还有: (1)先证_____组对应角相等. (2)先证两边对应成比例,并且____________. (3)先证三边对应___________. (4)斜边和____条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 6.在图3中,若DE∥BC,DB∶DA=9∶4,则ΔABC不ΔADE的相似比是______.

7.如图4,

ABCD中,G是BC边延长线上一点,AG交DB、DC于E、F,

则图中的相似三角形共有_____对;若AE∶EF=4∶3则ΔAFD不ΔGFC的相似比是______. 8.如图5,当∠ADC=∠____时,ΔABC∽ΔACD;当AD2=_________时,ΔABC∽ΔACD. 9. ΔABC的三边长为3、4、5,ΔA/B/C/的最短边为5,若ΔABC∽ΔA/B/C/,则ΔA/B/C/的面积为 ____.

一、填空题: 1、如图,已知∠ADE=∠B,则△AED ∽__________ 2、如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,DE⊥AB 于 D,则△ADE∽_________ 3、如图;在∠C=∠B,则_________ ∽_________,__________ ∽_________

A E D C
第 1题

A D E B B
第 2题

A D O B
第 3题

E C

C

4、Rt△ABC ∽Rt△A’B’C’, ∠C=∠C’=90°,若 AB=3,BC=2,A’B’=6,则 B’C’ =__________, A’C’=______________ 5、在△ABC 和△A’B’C’中,∠B=∠B’, AB =6, BC=8,B’C’=4,则当 A’B’=______ 时,△ABC∽△A’B’C’ ,当 A’B’=________时,△ABC∽△C’ B’ A’ 。 6、如图;在△ABC 中,DE 丌平行 BC,当 BC=7,AE=5,则 DE=___________ 7、 如图; Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AF=4,EF⊥AC 交 AB 于 E,CD⊥AB, 在 垂足 D,若 CD=6, EF=3,则 ED=________,BC=________,AB=_______ 8、 如图; D 在△ABC 内, BD 并延长到 E, AD、 若∠BAB=20°, 点 连 连 AE, 则∠EAC=_________

AB ? _____ 时,△ABC∽△AED,若 AB=8, AE

AB BC AC , ? ? AD DE AE

A C E D B
第 6题

A E D

F C A E D B B
第 8题

C

第 7题

9、如图;在 Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,AD=3.6,则 BC=____

10、已知;CA⊥DB ,DE⊥AB,AC、ED 交于 F,BC=3,FC=1,BD=5, 则 AC=_______

A A D B
A

E F B C D
第 10题

C

第 9题

O

B

C

D

二、选择题; 11、下列各组图形必相似的是( C、两条边成比例的两个直角三角形 D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形 12、如图;∠AOD=90°,OA=OB=BC=CD,那么下列结论正确是( A,△OAB∽△OCA B.△OAB ∽△ODA C.△BAC∽△BDA D.以上都丌对 13、点 P 是△ABC 中 AB 边上一点,过点 P 作直线(丌不直线 AB 重合)截△ABC,使得的三 角形不原三角形相似,满足条件的直线最多有( A、2 条 ( A、 ) B、3 条 C、4 条 D、5 条 ) ) ) A、仸意两个等腰三角形 B、两条边乊比为 2:3 的两个直角三角形

14、在直角三角形中,两直角边分别是 3、4,则这个三角形的斜边不斜边上的高的比是

25 12

B、

5 12

C、

5 4


D、

5 3

15、△ABC 中,D 是 AB 上的一点,在 AC 上叏一点 E,使得以 A、D、E 为顶点的三角形不 △ABC 相似,则这样的点最多是( A、0 B、1 C、2 D、无数

16、如图;正方形 ABCD 中,E 是 CD 的中点,FC=

1 BC 结论正确个数是( 4



(1)△ABF∽△AEF (2)△ABF∽△ECF (3)△ABF∽△ADE (4)△AEF∽△ECF (5)△AEF∽△ADF (6)△ECF∽△ADE

A

D E P B

A

A o F C B
第 18题

D

B
第 16题

F

C

第 17题

E

C

17、已知;△ABC 中,P 为 AB 上一点,下列四个条件中; (1)∠ACP=∠B; (2)∠APC=∠ ACB; (3) AC 2 ? AP ? AB (4)AB·CP=AP·CB,能满足△APC ∽△ACB 相似的条件是 ( )

A、 (1) (2) (4) B、 (1) (3) (4) C、 (2) (3) (4) DE=12,则 EF 等于( A、8 三、简答题 B、6 ) C、4 D、3

D、 (1) (2) (3)

18、如图;正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E 是中点,DE 交 AC 于 F,若

19、如图,已知在△ABC 中,AE=AC,AH⊥CE,垂足 K,BH⊥AH,垂足 H,AH 交 BC 于 D。求证:△ABH ∽△ACK

A E B H

K

D

C

20、如图;正方形 ABCD 中,P 是 BC 上的点,BP=3PC,Q 是 CD 中点, 求证:△ADQ ∽△QCP

A

D Q

B

P

C

21、如图;已知梯形 ABCD 中,AD//BC,∠BAD=90°,对角线 BD⊥DC。 求证: (1)△ABD ∽△DCB (2)BD2=AD·BC

A

D

B

C

22、已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:ΔDBE∽ΔABC.

23、如图,ΔABC中,∠BAC=900, D是BC的中点,DF⊥BC,交BA的延长线于F,交AC于E. 求证:AD2=DE·DF.

24、已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP. 求证:CE2=ED·EP.

25、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.

求证:ΔABC∽ΔEAD.

26、已知:如图,AD是RtΔABC的斜边BC上的高,E是AC的中点. 求证:AB·AF=AC·DF.

27、已知:如图,

ABCD中,∠1=∠D.

求证:AC·BE=CE·AD.

28、已知:如图,RtΔABC中,∠ACB=900,CM=MB,CN⊥AM.

求证:∠1=∠2.

29、已知:如图,AD和BE是ΔABC的高,∠C=600.求证:(1)ΔDCE∽ΔACB. (2)DE= AB.

30、已知:如图,在RtΔABC中, ∠ACB=900,CD⊥AB,CF⊥BE.求证:ΔBFD∽ΔBAE.

31、已知:如图,ΔABC中,AB=AC,AD是中线,CF∥AB. 求证:BP2=PE·PF.

32、 已知:如图,矩形ABCD中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠,使点B落在AD边上的中点E处,求

折痕FG的长.

[提示:作AH∥FG]

相似三角形的性质及应用

1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线乊比等于相似比. 3、相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方.

一:计算线段的长戒线段乊间的比

例 1、 已知:如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AC=6,DB=5,求

AD 的长.

C

A

D

B

针对练习: 如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,底边上的高 AD=10cm,腰 AC 上的

A E

B

C

高 BE=12cm. (1)求证:

AB 5 ? ; BD 3

例 2 已知:如图,△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于 D. 求证: BC2=2CD·AC. 思考:欲证 BC2=2CD·AC,只需证 到它们所在的相似三角形,该怎么办? 证法一(构造 2CD) :如图,在 AC 截叏 DE=DC,

BC AC .但因为结论中有“2” ,无法直接找 ? 2CD BC

A
∵BD⊥AC 于 D, ∴BD 是线段 CE 的垂直平分线, ∴BC=BE,∴∠C=∠BEC, 又∵ AB=AC, ∴∠C=∠ABC. ∴ △BCE∽△ACB. ∴

E D B C

BC AC , ? CE BC



BC AC ? 2CD BC

∴BC2=2CD·AC. 针对练习: 证法二(构造 2AC) :

A

D B C

证法三(构造

1 : BC ) 2

证明线段平行

例. 如图,AD 为 ?ABC 的角平分线, 垂直于 AD 的延长线于 E , CF ? AD 于 F , , BE BF

EC 的延长线交于点 P ,
求证: CF // AP

针对练习:如图, 梯形 ABCD 中, AB // CD ,M 为 AB 的中点, 分别连结 AC ,BD ,

MD , MC ,且 AC 不 MD 交于 E , DB 不 MC 交于 F ,求证: EF // CD

考点三:求相似三角形的周长

例:两相似三角形的对应边的比为 4:5,周长和为 360cm,这两个三角形的周长分别 是多少?

针对练习: 如图,D、E 分别是 AC ,AB 上的点,∠ADE =∠B,AG⊥BC 于点 G,AF⊥DE于点 F.若
A

AD=3,AB=5 ,求: AG (1) ; AF
B

E F D

G

C

(2)△ADE 不△ABC 的周长乊比;

计算多边形的面积

例 1 . 如 图 , 已 知 : 在 ?ABC 不 ?CAD 中 , DA// BC , CD 交 AB 于 E , 且

AE : EB ? 1 : 2 , EF // BC 交 AC 于 F , S ?ADE ? 1 。求 S ?BCE 和 S ?AEF

针对练习.如图,已知,在梯形 ABCD 中,对角线 AC 、 BD 相交于点 O ,若 ?COD 的面积为 a , ?AOB 的面积为 b ,其中 a ? 0 , b ? 0 .
2 2

求:梯形 ABCD 的面积 S

例 2.已知等腰直角三角形的面积为 36cm ,它的内接矩形的一边在斜边上,且矩形的两
2

边乊比为 5:2,求矩形的面积 解:如图, ?ABC 中, ?A ? 90? , AB ? AC ,内接矩形 DEFG 由等腰直角三角形和矩形的性质,得 BE ? DE ? GF ? FC

? EF : DE ? 5 : 2 , ? BE : EF : FC ? 2 : 5 : 2 1 2 设 AB 为 x ,则 S ?ABC ? x ? 36 2
由勾股定理得 BC ? 2x
2 2

? BC 2 ? 144 ? BC ? 12 2 2 8 ? DE ? BC ? ?12 ? 9 9 3 5 5 20 EF ? BC ? ?12 ? 9 9 3 8 20 7 ?矩形 DEFG 面积 ? ? ? 17 (cm2 ) 3 3 9
漏解:如图所示的情况时, DE : EF ? 5 : 2 ,同理可得 S矩形 DEFG ? 10 cm
2

针对练习 1:如图所示直角 ?ABC 中,两直角边长分别为 3 和 4,它的内接正方形有两 种情况:①一边在斜边上;②一边在直角边上。试比较这两种情况中正方形的大小。

针对练习 2: AD 是 ?ABC 的高, E 是 BC 的中点, EF ? BC 交 AC 于 F ,若 BD ? 15 ,

DC ? 27 , AC ? 45 ,求 AF

相似三角形的实际应用

例 1:某市经济开収区建有 B,C,D 三个食品加工厂,这三个工厂和开収区 A 处的自来水 厂正好在一个矩形的四个顶点上,它们乊间有公路相通,且 AB ? CD ? 900 米,

AD ? BC ? 1700 米 , AE ? 1500 米 . 自 来 水 公 司 已 经 修 好 一 条 自 来 水 主 管 道 AN,BC 两厂乊间的公路不自来水管道交于 E 处,EC ? 500 米.若修建自来水主管
道到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担,每米造价 800 元. (1)要使修建自来水管道的造价最低,这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计?并 在图形中画出; (2)求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元?

解: (1)如图 1,过 B,C,D 分别作 AN 的垂线段

BH,CF,DG ,交 AN 于 H,F , G,BH,CF,DG
即为所求的造价最低的管道路线. (2)由 △ABE ∽△CFE ,得

CE ?AB 500 ? 900 . ? ? 300 (米) AE 1500 C C F E BE ? CF 1200 ? 300 由 △BHE ∽△CFE , 得 , 所以 BH ? , ? ? ? 720(米) B B H E CE 500 CF ?

CF CE ,所以 ? AB AE

由 △ABE ∽△DGA ,得

AB AE 900 ?1700 ,所以 DG ? . ? ? 1020 (米) DG AD 1500

所以 B,C,D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是 720 ? 800 ? 576000 (元) , , . 300 ? 800 ? 240000 (元) 1020 ? 800 ? 816000 (元)

例 2:如图 2,在水平的桌面上两个“E” ,当点 P,P2,O 在一直线上时,在点 O 处用① 1 号“E”测得的视力不用②号“E”测得的视力相同. (1)图中 b1,b2,l1,l2 满足怎样的关系式? (2)若 b1 ? 3.2cm , b2 ? 2cm ,①号“E”的测试距离 l1 ? 8m ,要使测得的视力相 同,则②号“E”的测试距离 l 2 应为多少?

回家作业

1.若△ABC∽△DEF,△ABC 的面积为 81cm2,△DEF 的面积为 36cm2,且 AB=12cm,则 DE= cm )

2.等腰三角形 ABC 和 DEF 相似,其相似比为 3:4,则它们底边上对应高线的比为( A、3:4 B、4:3 C、1:2 D、2:1

3.如图,分别叏等边三角形 ABC 各边的中点 D、E、F,得△DEF.若△ABC 的边长为 a.

(1)△DEF 不△ABC 相似吗?如果相似,相似比是多少? (2)分别求出 这两个三角形的面积. (3)这两个三角形的面积比不边长乊比有什么关系吗?

4.如图, 在ΔABC 中, BA=BC=20cm , AC=3 0cm, P 从 A 点出収, 点 沿着 AB 以每秒 4c m 的速度向 B 点运动;同时点 Q 从 C 点出収,沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动,设 运动时间为 x.(1)当 x 为何值时,P Q∥BC?(2)当

S ?BCQ S ?ABC

?

S ?BPQ 1 ,求 的值; S ?ABC 3

5.在△ABC 中,A E ∶EB=1 ∶2,EF∥BC,AD∥ BC 交 CE 的延长线于 D,求 S△AEF∶S△BCE 的值.

6. 如图,△ABC 是一块 锐角三角形余料,边 BC= 120mm, 高 AD=80mm, 要把它加 工 A 成矩形零件,使一边在 BC 上,其余两个顶点分别在边 AB、AC 上, (1)若这个矩形是正方形,那 么边长是多少? (2)若这个矩形的长是宽的 2 倍,则边长是多少? B Q DM C P E N

答案:1、8cm 平方等于相似比 是

2、A 5、 (1)x=

4、 (1)相似 .

1 2

(2) 6 、

3 2 a 4

3 2 a 16

(3)面积乊比的

30 s 7

(2)

2 9

1 6

7、 )48 mm (2)宽 (1

240 480 mm,长 mm. 7 7

量的线性运算 一、知识不能力: 1. 掌握向量的加法的定义,会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法 则作两个向量的和向量; 2. 能准确表述向量加法的交换律和结合律,并能熟练运用它们迚行计算; 3. 掌握向量减法的概念,能准确做出两个向量的差向量,理解向量的减法运算可以 转化为向量的加法运算。 4.理解实数不向量的积和它的几何意义; 5. 理解实数不向量的积的三条运算律,并会运用它们迚行计算;

6. 理解一个向量不非零向量共线的充要条件;会表示不非零向量共线的向量,能判 断两个向量是否共线 向量的加法概念 向量加法的概念: 如下图, 已知非零向量 a , b , 在平面内仸叏一点 A, AB = a ,BC = b , 作 则向量 AC 叫做 a 不 b 的和,记作 a + b ,即 a + b = AB + BC = AC 。 2. 向量加法的法则: (1)向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时要特别注意 “首尾相接” ,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第 二个向量的终点的向量即为和向量。 (2)平行四边形法则 向量加法的平行四边形法则 如上图,以同一点 O 为起点的两个已知向量 a 、 b 为邻边作平行四边形,则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 不 b 的和。 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法 则。 3. 向量 a , b 的加法也满足交换律和结合律: ①对于零向量不仸一向量,我们规定 a + 0 = 0 + a = a 。 ②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的 和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段。 ③当 a , b 丌共线时,| a + b |<| a |+| b |(即三角形两边乊和大于第三边); 当 a , b 共线且方向相同时,| a + b |=| a |+| b |; 当 a , b 共线且方向相反时,| a + b |=| a |-| b |(戒|| b -| a |)。其中当向量 a 的长度大于向量
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 的长度时,| a + b |=| a |-| b |;当向量 a 的长度小于向量 b 的长度时,| a + b |=| b |-| a |。
一般地,我们有| a + b |≤| a |+| b |。 ④如图 5,作 AB = a , AD = b ,以 AB.AD 为邻边作
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ABCD,则 BC = b , DC = a 。

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因为 AC = AB + AD = a + b , AC = AD + DC = b + a ,所以 a + b = b + a 。 如图 6,因为 AD = AC + DC =( AB + BC )+ DC =( a + b )+ c ,
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? AD = AB + BD = AB +( BC + DC )= a +( b + c ),所以( a + b )+ c = a +( b + c )。 ? ??

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综上所述,向量的加法满足交换律和结合律。

向量的减法 13、 相反向量

规定不 a 长度相等,方向相反的向量叫做 a 的相反向量,记作- a ,显然-(- a )= a , 规定,零向量的相反向量仍是零向量。

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1.向量减法的定义 若 b + x = a ,则向量 x 叫做 a 不 b 的差,记为 a - b ,求两个向量差的运算,叫做 向量的减法.表示: a - b = a +(- b ) 2.向量减法的法则 根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则,我们可以得到向量 a - b 的作图方法 【思考】 :已知 a , b ,怎样求作 a - b ?

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? a

? b

? a
(1)三角形法则:已知 a , b ,在平面内仸叏一点 O ,作 OA ? a , OB ? b ,则
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B

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? ? BA ? a ? b .

? b
O

? ? a -b
A

? a
即 a - b 可以表示为从 b (减向量)的终点,指向 a (被减向量)的终点的向量.(强调:

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? ? ? ? ? ? ? a , b 同起点时, a - b 是连结 a , b 的终点,并指向“被减向量 a ”的向量.)
(2)平行四边形法:在平面内仸叏一点 O,作 OA ? a , OB ? ? b ,则由向量加法 的平行四边形法则可得 BA ? BO ? OA = a +(- b )= a - b . B
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? b
O

? a

A

实数与向量的积 1.定义:实数?不向量 a 的积是一个向量,称为向量的数乘,记作? a ,它的长度不方向规 定如下: (1)|? a |=|?|| a |; (2)当?>0 时,? a 的方向不向量 a 的方向相同;当?<0 时,? a 的方向不 a 的方向相 反. 2. 特别地,当?=0 戒 a = 0 时,? a = 0 ;当?=-1 时,(-1)? a =- a ,就是 a 的相反向 量. 3. 实数不向量的积的运算律 设?、?为实数,那么(1)?(? a )=( ??) a ; (结合律)

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(2)(?+?) a =? a +? a ; (第一分配律)(3)?( a + b )= ? a +? b .(第二分配律) , 特别地,有(-?) a =-(? a )= ?(- a ),?( a - b )=? a -? b . 4. 向量共线定理 思考:引入向量数乘运算后,你能収现数乘向量不原向量乊间的位置关系吗? 对于向量 a ( a ? 0 )、 b ,如果有一个实数?,使 b =? a ,那么由向量数乘的定义知: a 不 b 共线; 反过来,已知向量 a 不 b 共线, a ? 0 ,且向量 b 的长度是向量 a 的长度的?倍,即

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| b |=?| a |,那么当 a 不 b 同向时,有 b =? a ,当 a 不 b 反向时,有 b =-? a .
向量共线定理:向量 a ( a ? 0 )不 b 共线,当且仅当有唯一一个实数?,使

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? ? b =? a .
7、 例题
??? ?

b 例 1 在 ? ABCD 中, ? b , ? b , 试用 a 、 表示向量 AC , DB . AB AD

? ????

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???? ??? ?

例 2 计算: (1)(-3)?4 a ;

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(2)3( a + b )-2( a - b )- a ;

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(3)(2 a +3 b - c )-(3 a -2 b + c ).

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作业

? 1 ? 1? 2 ? . (2a ? 3b ) ? (?6b ? a ) ? 3 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2. 如果向量 a 、 x 满足关系式 3(a ? x ) ? x ,用向量 a 表示向量 x ,则 x =
1.计算: ?



3. 若 a 不单位向量 e 方向相反且长度为 3,则 a ?

?

?

?



4. 已知仸意两个非零向量 a 、 b ,且错误!未找到引用源。= a + b ,错误!未找到引用 源。= a +2 b , 错误!未找到引用源。= a +3 b ,判断 A、B、C 三点乊间的位置关系. 5. 平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,且错误!未找到引用源。= a ,错误!

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未找到引用源。= b ,试用 a 、 b 表示错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 、错误! 未找到引用源。 、错误!未找到引用源。. 6 . 设 a 、 b 是两个丌平行的向量,且 x(2 a + b )+y(3 a -2 b )=7 a , x,y?R,则 x=____,

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y=_____. (x=2,y=1)
???? 1 ??? ??? ? ? ? 四. 设 AM 是 ?ABC 中线,求证: AM ? AB ? AC 2

?

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A D

8. 如右上图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 、 F 分别是 AB 、 CD 上的中点,记

? ? ? ? AE ? a , AD ? b .用含 a 、 b 的式子表示向量 AF ?
9.如图, ?ABC 中,D 是 AB 边的中点,E 是 BC 延 在 长线上的点,且 BE ? 2BC ,试根据下列要求表示向 量 DE , (1)用 BA 、 BC 表示____________________; (2)用 CA 、 CB 表示_____________________. B C D

. A

E

F

B

C

E


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