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基本初等函数2016


专题三
函数、基本初等函数 的图象与性质

函数、基本初等函数

的图象与性质
主干知识梳理

热点分类突破

真题与押题

1.高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查 以基础知识为主,难度中等偏下. 2.函数图象和性质是历年高考的重要内容,也是热点

内 容,对图象的考查主要有两个方面:一是识图,二是用

考 对函数性质的考查,则主要是将单调性、奇偶性、周期 情 解 性等综合一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以 读 选择、填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合,
难度较大.
3

图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题;

主干知识梳理
1.函数的三要素 定义域、值域及对应关系

两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函
数,定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定 义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符

号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.

(2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质 .偶函数 的图象关于 y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间 上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,

在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.
(3)周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质 .若函数 在其定义域上满足f(a+x)=f(x)(a不等于0),则其一个周期 T=|a|.

3.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 作函数图象有两种基本方法:一是描点法,二是图 象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、 对称变换.

4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1) 指 数 函 数 y = ax(a>0 , a≠1) 与 对 数 函 数 y = logax(a>0 , a≠1) 的图象和性质,分 0<a<1 , a>1 两 种情况,着重关注两函数图象中的两种情况的公共 性质. (2)幂函数y=xα的图象和性质,分幂指数α>0,α<0 两种情况.

热点分类突破

? 热点一
? 热点二 ? 热点三

函数的性质及应用
函数的图象 基本初等函数的图象及性质

热点一

函数的性质及应用

例1 (1)(2014· 课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0, + ∞)单调递减,f(2)= 0.若 f(x- 1)>0,则 x的取值范 围是________.
思维启迪 利用数形结合,通过函数的性质解不等式;

解析

∵f(x)是偶函数,

∴图象关于y轴对称.
又f(2)=0,且f(x)在[0,+∞)单调递减,

则f(x)的大致图象如图所示,

由f(x-1)>0,得-2<x-1<2,即-1<x<3. 答案 (-1,3)

(2)设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t), ? ? 3? 1?? ? ? ? 2 且 x∈?0, ?时,f(x)=-x ,则 f(3)+f?- ?的值等于______. 2? ? ? 2?
思维启迪

1]时的解析式探求f(3)和f(- 3 )的值. 利用f(x)的性质和x∈[0, 2
解析 根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t) =f(1+t), 即f(t+1)=-f(t),进而得到

2

f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),

得函数y=f(x)的一个周期为2,
? 3? ?1 ? 1 ? ? ? ? f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f?- ?=f? ?=- . 4 ? 2? ?2 ?
? 3? ? 1? 1 ? ? ? ? f(3)+f?- ?=0+?- ?=- . 4 ? 2? ? 4?



所以

1 答案 - 4

函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期

思 性以及函数图象的对称性,在解题中根据问题的 维 条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系, 升 华 推证函数的性质,根据函数的性质解决问题.

变式训练1 (1)(2013· 重庆)已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R), f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))等于( A.-5 B.-1 C.3 D.4 C )

解析 lg(log210)=lg ? ?

1 ?? =-lg(lg 2), ? ? ?lg 2?

由f(lg(log210))=5,
得a[lg(lg 2)]3+bsin(lg(lg 2))=4-5=-1, 则f(lg(lg 2))=a(lg(lg 2))3+bsin(lg(lg 2))+4=-1+4= 3.

(2)已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+
? 2? f(x)<0恒成立,则x的取值范围为________. ? ? ?-2, ? 3? ?

解析 易知f(x)为增函数. 又f(x)为奇函数,由f(mx-2)+f(x)<0知, f(mx-2)<f(-x).

∴mx-2<-x,即mx+x-2<0,
令g(m)=mx+x-2,由m∈[-2,2]知g(m)<0恒成立,

?g?-2?=-x-2<0 2 即? ,∴-2<x< . 3 ?g?2?=3x-2<0

热点二

函数的图象

10ln|x+1| 例 2 (1)下列四个图象可能是函数 y= 图象的 x+ 1 是( )
思维启迪 可以利用函数的性质或特殊点,利用排除法确定图象 .

解析 函数的定义域为{x|x≠-1},其图象可由 y= 10ln|x| 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位而得到, x
10ln|x| y= 为奇函数,图象关于原点对称, x 10ln|x+1| 所以, y= 的图象关于点(-1,0)成中心对称. x+ 1
可排除 A,D.

10ln|x+1| 又 x>0 时,y= >0,所以,B 不正确,选 C. x+ 1
答案 C

(2)已知函数 f(x)的图象向左平移 1个单位后关于 y轴
对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,

设 a = f( -
关系为(

A.c>a>b
C.a>c>b

1 2

),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小
)

B.c>b>a
D.b>a>c
思维启迪 考虑函数f(x)的单调性.

解析

由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象

关于y轴对称, 故函数y=f(x)的图象本身关于直线x=1对称,

1 5 所以 a=f(- )=f( ), 2 2
当 x2>x1>1 时, [f(x2)- f(x1)](x2- x1)<0恒成立,等价于函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以b>a>c.选D. 答案 D

(1) 作图:常用描点法和图象变换法 . 图象变换法常 用的有平移变换、伸缩变换和对称变换 .尤其注意 y = f(x) 与 y = f( - x) 、 y =- f(x) 、 y =- f( - x) 、 y =
思 维 (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布 升 范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象 华

f(|x|)、y=|f(x)|及y=af(x)+b的相互关系.

的对应关系.

(3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函
思 维 数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求 升 华 解常与图象数形结合研究.

变式训练2

(1)函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一直角坐标系

中的图象大致是(

)

解析

f(x)=1+log2x的图象过定点(1,1),g(x)=21-x

的图象过定点(0,2).

f(x)=1+log2x的图象由y=log2x的图象向上平移一个
单位而得到,且f(x)=1+log2x为单调增函数,

g(x)=21-x=2×( 1 )x的图象由y=( 1 )x的图象伸缩变换

2 -x为单调减函数. 得到,且g(x)=212

A 中, f(x) 的图象单调递增,但过点 (1,0) ,不满足;

B 中, g(x) 的图象单调递减,但过点 (0,1) ,不满足;
D中,两个函数都是单调增函数,也不满足.选C.

答案 C

2 ? (2)(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数f(x)= ?-x +2x,x≤0, ? ? 若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ) ln?x+1?,x>0. ?

A.(-∞,0] B.(-∞,1]

C.[-2,1]

D.[-2,0]

解析 函数y=|f(x)|的图象如图. ①当a=0时,|f(x)|≥ax显然成立. ②当a>0时,只需在x>0时, ln(x+1)≥ax成立.

比较对数函数与一次函数y=ax的增长速度. 显然不存在a>0使ln(x+1)≥ax在x>0上恒成立. ③当a<0时,只需在x<0时,x2-2x≥ax成立. 即a≥x-2成立,∴a≥-2. 综上所述:-2≤a≤0.故选D. 答案 D

热点三

基本初等函数的图象及性质

?log2x,x>0, 例3 (1)若函数f(x)= ? 若f(a)>f(-a), ? 1 ?log ?-x?,x<0, 则实数a的取值范围是 ?( 2 )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
思维启迪

可利用函数图象或分
类讨论确定a的范围;

解析

方法一

由题意作出y=f(x)的图象如图.

显然当a>1或-1<a<0时,满足f(a)>f(-a).故选C.

方法二

对a分类讨论:

当a>0时,log2a>log 1 a,即log2a>0,∴a>1.
2

当a<0时,log 1 (-a)>log2(-a),即log2(-a)<0,
2

∴-1<a<0,故选C. 答案 C

(2)已知α,β∈[- π,π ]且αsin α-βsin β>0,则下面
结论正确的是(

2) 2
B.α+β>0
D.α2>β2

A.α>β
C.α<β

思维启迪 构造函数 f(x) = xsin x, 利用f(x)的单调性.

π ], 解析 设f(x)=xsin x,x∈[- π, 2 2
∴y′=xcos x+sin x=cos x(x+tan x),
当x∈[- π ,0]时,y′<0,∴f(x)为减函数,

2

π ]时,y′>0,∴f(x)为增函数, 当x∈[0, 2
且函数f(x)为偶函数,又αsin α-βsin β>0, ∴αsin α>βsin β,∴|α|>|β|,∴α2>β2.

答案 D

(1) 指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是 中学阶段所学的基本初等函数,是高考的必考

内容之一,重点考查图象、性质及其应用,同
思 维 其运算能力. 升 (2) 比较数式大小问题,往往利用函数图象或者 华

时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及

函数的单调性.

变式训练 3

1 1b 1a (1)设 <( ) <( ) <1,那么( 5 5 5 A.a <a <b C.a <b <a
a a a b a b b b

)
a a a a

B.a <a <b

D.a <b <a 1x 解析 因为指数函数 y=( ) 在(-∞, +∞)上是递减 5

函数,
1 1b 1a 所以由 <( ) <( ) <1 得 0<a<b<1, 5 5 5

所以0< a <1.

b
所以y=ax,y=bx,y=( 递减函数,

a )x在(-∞,+∞)上都是 b

从而ab<aa,( a)a<1得ba>aa, 故ab<aa<ba,

b

答案选B.
答案 B

? f ? x ? , x ≥ 0 , ? 1 x (2)已知函数 f(x)=2 - x, 函数 g(x)=? 2 ? ?f?-x?,x<0,
0 则函数 g(x)的最小值是________. 解析 当x≥0时,g(x)=f(x)=2x-

所以g(x)≥g(0)=0; 当x<0时,g(x)=f(-x)=2-x- 所以g(x)>g(0)=0, 所以函数g(x)的最小值是0.

1 为单调增函数, x 2

1 为单调减函数, -x 2

本讲规律总结 1.判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的一般用数形结合法去观察. (2) 由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的 函数,常转化为基本初等函数单调性的判断问题. (3)对于解析式较复杂的一般用导数法. (4)对于抽象函数一般用定义法.

2.函数奇偶性的应用 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性,是函数的 整体特性. 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质 问题转化到只研究部分 (一半)区间上,是简化问题的 一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质:f(|x|)=f(x).

3.函数图象的对称性

(1) 若函数 y = f(x) 满足 f(a + x) = f(a - x) ,即 f(x) =
f(2a - x) ,则 f(x) 的图象关于直线 x = a 对称 . 提醒:

函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图象对称轴为x=0,
并非直线x=a.

(2) 若 f(x) 满足 f(a + x) = f(b - x) ,则函数 f(x) 的图象
关于直线x= 对称.

a+ b 2

(3) 若函数 y = f(x) 满足 f(x) = 2b - f(2a - x) ,则该函数图 象关于点(a,b)成中心对称.

4.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有
机的整体,要深刻理解它们之间的相互关系,能用函数

与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次
”有关的问题,高考对“三个二次”知识的考查往往渗

透在其他知识之中,并且大都出现在解答题中.

5. 指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影
响,解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问

题时,首先要看底数a的范围.
比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程

时,一般是构造同底的对数函数,若底数不同,可
运用换底公式化为同底的对数,三数比较大小时,

注意与0比较或与1比较.

6.解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形 结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.

真题与押题

? 真题感悟

? 押题精练

1

2

真题感悟

1.(2014· 安徽)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数,
? ?x?1-x?,0≤x≤1, 且在[0,2]上的解析式为 f(x)=? ? ?sin πx,1<x≤2,



?29? ?41? ? ? ? ? f? ?+f? ?=________. ?4? ?6?

1

2

真题感悟

解析

∵f(x)是以4为周期的奇函数,

?29? ? ? ? 3? ?41? ? ? ? 7? 3 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴f? ?=f?8- ?=f?- ?,f? ?=f?8- ?=f?- ?. 4? ? 4? ? 6 ? ? 6 ? ? 6? ?4? ?

∵当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),
?3 ? 3 ? ? 3 3 ? ? ? ? ∴f? ?= ×?1- ?= . 4? 16 ?4 ? 4 ?

∵当1<x≤2时,f(x)=sin πx,
?7 ? ? ? ∴f? ?=sin ?6 ?

7π 1 =- . 6 2

1

2

真题感悟

又∵f(x)是奇函数,
? 3? ?3? ? 7? ?7 ? 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ∴f?- ?=-f? ?=- ,f?- ?=-f? ?= . 16 ? 6? ? 4? ?4? ?6 ? 2
?29? ?41 ? 1 3 5 ? ? ? ? ∴f? ?+f? ?= - = . ?4? ? 6 ? 2 16 16

5 答案 16

1

2

真题感悟

2.(2014· 福建)若函数y=logax(a>0,且
a≠1)的图象如图所示,则所给函数图

象正确的是(

)

1

2

真题感悟

解析

由题意得y=logax(a>0,且a≠1)的图象过(3,1)点,

可解得a=3. 选项A中,y=3-x=( 1)x,显然图象错误; 选项B中,y=x3,由幂函数图象可知正确;

3

选项C中,y=(-x)3=-x3,显然与所画图象不符;
选项 D 中, y = log3( - x) 的图象与 y = log3x 的图象关于 y 轴对称,显然不符,故选B. 答案 B

1

2

3

押题精练

1.已知函数

? ? 1 ? |ln x| ? f(x)=e -?x- ?,则函数 ? x?

y=f(x+1)的

大致图象为(

)

1

2

3

押题精练

解析

据已知关系式可得

? ? ? 1 ?e-ln x+?x- ?=x?0<x≤1?, ? ? ? ? x? f(x)=? ? 1 1 ? ln x ? ? ? e -?x- ?= ?x>1?, ? ? ? x? x

作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y=

f(x+1)的图象.
答案 A

1

2

3

押题精练

2.已知函数 f(x)=|log x|,若 m<n,有 f(m)=f(n),则
1 2

m+3n 的取值范围是( A.[2 3,+∞) C.[4,+∞)

) B.(2 3,+∞) D.(4,+∞)

1

2

3

押题精练

解析 ∵f(x)=|log 1 x|,若m<n,有f(m)=f(n),
2

∴log1m=-log1n,
2 2

∴mn=1,∴0<m<1,n>1,

∴m+3n=m+

当m=1时,m+3n=4,∴m+3n>4. 答案 D

3 在m∈(0,1)上单调递减, m

1

2

3

押题精练

3. 已 知 f(x) = 2x - 1 , g(x) = 1 - x2 , 规 定 : 当 |f(x)|≥g(x) 时, h(x) = |f(x)| ;当 |f(x)|<g(x) 时, h(x) =-g(x),则h(x)( ) A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,无最小值

C.有最小值-1,无最大值
D.有最大值-1,无最小值

1

2

3

押题精练

解析 由题意得,利用平移变化的知
识画出函数|f(x)|,g(x)的图象如图,

?|f?x?|,|f?x?|≥g?x? 而 h(x)=? , ?-g?x?,|f?x?|<g?x?
故h(x)有最小值-1,无最大值. 答案 C


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