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2014届高三数学一轮复习专讲专练:1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


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双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题 1.(2013· 潍坊摸底)命题 p:?x∈R,x2-5x-6<0,则( A.綈 p:?x∈R,x2-5x+6≥0 B.綈 p:?x∈R,x2-5x+6<0 C.綈 p:?x∈R,x2-5x+6>0 D.綈 p:?x∈R,x2-

5x+6≥0 解析:特称命题的否定是全称命题. 答案:D 2. (2012· 石家庄质检)已知命题 p1: ?x∈R, 使得 x2+x+1<0; 2: p ?x∈[- 1,2],使得 x2-1≥0.以下命题为真命题的为( A.綈 p1∧p2 C.綈 p1∧綈 p2 ) )

B.p1∧綈 p2 D.p1∧p2

解析:由题可知,命题 p1 为假命题,命题綈 p2 为真命题,因此綈 p1∧綈 p2 为真命题. 答案:C 3. (2012· 青岛二模)命题 p: ?x∈R, 函数 f(x)=2cos2x+ 3sin2x≤3, 则( A.p 是假命题;綈 p:?x∈R,f(x)=2cos2x+ 3sin2x≤3 B.p 是假命题;綈 p:?x∈R,f(x)=2cos2x+ 3sin2x>3 C.p 是真命题;綈 p:?x∈R,f(x)=2cos2x+ 3sin2x≤3 D.p 是真命题;綈 p:?x∈R,f(x)=2cos2x+ 3sin2x>3 π? ? 解析:由题意得 f(x)=1+ 3sin2x+cos2x=1+2sin?2x+6?≤3,故命题 p 正
? ?

)

确,再根据全称命题和特称命题的关系可得选项 D 正确.

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答案:D 4.(2013· 江西联考)命题 p:若 a· b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角;命题 q:定 义域为 R 的函数 f(x)在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数,则 f(x)在(-∞,+ ∞)上是增函数.则下列说法正确的是( A.“p 且 q”是假命题 C.綈 p 为假命题 )

B.“p 或 q”是真命题 D.綈 q 为假命题

解析:若 a· b<0,则 a 与 b 的夹角可能为平角,命题 p 为假命题;对于命

?0?x=0?, 题 q,函数 f(x)=? 1 ?-x?x<0或x>0?
答案:A

在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数,但

f(x)在(-∞,+∞)上不是增函数,故命题 q 也为假命题.故选项 A 正确.

5.(2012· 福建)下列命题中,真命题是( A.?x0∈R,ex0≤0 B.?x∈R,2x>x2 a C.a+b=0 的充要条件是b=-1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

)

解析:?x0∈R,ex0>0,所以 A 错;当 x=2 时,2x=x2,因此 B 错;a+b a =0 中 b 可取 0,而b=-1 中 b 不可取 0,因此,两者不等价,所以 C 错. 答案:D 6.已知命题 p:?m∈R,m+1≤0,命题 q:?x∈R,x2+mx+1>0 恒成 立.若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( A.m≥2 C.m≤-2,或 m≥2 )

B.m≤-2 或 m>-1 D.-2≤m≤2

解析:∵p∧q 为假命题,∴p、q 中至少有一个是假命题.若 p 是假命题,

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则 m>-1;若 p 是真命题,则 m≤-1,且 q 必是假命题,即 Δ=m -4×1≥0 ?m≤-2 或 m≥2,此时,m≤-2.综上可知,实数 m 的取值范围是 m≤-2 或 m>-1. 答案:B 二、填空题 7.(2013· 苏北三市联考)若命题“?x∈R,使得 x2+(a-1)x+1<0”是真命 题,则实数 a 的取值范围是__________. 解析:∵?x∈R,使得 x2+(a-1)x+1<0 是真命题, ∴(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4. ∴a-1>2,或 a-1<-2. ∴a>3,或 a<-1. 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) 8.已知命题 p:?x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题綈 p 是真命题,那么实 数 a 的取值范围是__________. 解析:因为命题綈 p 是真命题,所以命题 p 是假命题,而当命题 p 是真命 题 时 , 就 是 不 等 式 ax2 + 2x + 3 > 0 对 一 切 x ∈ R 恒 成 立 , 这 时 应 有
? ?a>0, 1 ? 解得 a>3,因此当命题 p 是假命题,即命题綈 p 是真命题时 ?Δ=4-12a<0, ?

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1 实数 a 的取值范围是 a≤3. 1? ? 答案:?-∞,3?
? ?

9. (2012· 北京)已知 f(x)=m(x-2m)( x+m+3), g(x)=2x-2.若同时满足条件: ①?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是__________.

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解析:对条件①,g(x)=2 -2<0?x<1,所以只需当 x≥1 时,f(x)<0,所
?-m-3<1, ? 1 以 m<0,且? 即-4<m<2,所以-4<m<0;对条件②,可知只 ?2m<1, ?

需 f(-4)=m(-4-2m)(-4+m+3)>0,解得 m<-2.综上可知:-4<m<-2. 答案:(-4,-2) 三、解答题 10.(2013· 合肥联考)已知命题 r (x):sinx+cosx>m,命题 s(x):x2+mx+1 >0.如果对?x∈R,r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题,求实数 m 的取值范围. π? ? 解析:∵sinx+cosx= 2sin?x+4?≥- 2,
? ?

∴当 r(x)是真命题时,m<- 2. 又∵对?x∈R,s(x)是真命题,即 x2+mx+1>0 恒成立, 有 Δ=m2-4<0,∴-2<m<2. ∴当 r(x)为真,s(x)为假时,m<- 2, 同时 m≤-2,或 m≥2,即 m≤-2, 当 r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 2,且-2<m<2, 即- 2≤m<2. 综上所述,m 的取值范围是 m≤-2,或- 2≤m<2. 11.已知命题 p:函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,命题 q:关于 x 3 的方程 x2+2x+loga2=0 的解集只有一个子集,若 p∨q 为真,(綈 p)∨(綈 q)也 为真,求实数 a 的取值范围. 解析:当命题 p 是真命题时,应有 a>1;当命题 q 是真命题时,关于 x 的 3 3 3 方程 x2+2x+loga2=0 无解,所以 Δ=4-4loga2<0,解得 1<a<2.由于 p∨q 为 真,所以 p 和 q 中至少有一个为真,又(綈 p)∨(綈 q)也为真,所以綈 p 和綈 q

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中至少有一个为真,即 p 和 q 中至少有一个为假,故 p 和 q 中一真一假.p 假 q 3 真时,a 无解;p 真 q 假时,a≥2.
?3 ? 综上所述,实数 a 的取值范围是?2,+∞?. ? ?

12.(2013· 天津河西区检测)设命题 p:函数 f(x)=lg(x2-4x+a2)的定义域为 R;命题 q:?m∈[-1,1],不等式 a2-5a-3≥ m2+8恒成立;如果命题“p∨ q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 解析:命题 p:Δ=16-4a2<0?a>2 或 a<-2. 命题 q:∵m∈[-1,1],∴ m2+8∈[2 2,3]. ∵对 m∈[-1,1],不等式 a2-5a-3≥ m2+8恒成立, ∴只须满足 a2-5a-3≥3,解得 a≥6 或 a≤-1. 命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则 p 与 q 一真一假.
?a>2或a<-2, ? ①若 p 真 q 假,则? ?2<a<6; ?-1<a<6 ? ?-2≤a≤2, ? ②若 p 假 q 真,则? ?-2≤a≤-1, ? ?a≤-1或a≥6

综合①②,实数 a 的取值范围为[-2,-1]∪(2,6).


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