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第三章 不等式 单元测试1(人教A版必修5)


第三章 不等式 单元测试 1
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分,每 小题给出的四个备选答案中,有且仅有一个是符合题目要求的) 1.a、b∈R 下列命题正确的是( A.若 a>b,则 a2>b2 B.若|a|>b,则 a2>b2 C.若 a>|b|,则 a2>b2 D.若 a≠|b|,则 a2≠b

2 [答案] C )

[解析] 由不等式的可乘方性质知 a>|b|≥0?a2>b2. 2.设 M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则有( A.M>N C.M<N [答案] [解析] A 1 M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=(a+ )2 2 D.M≤N B.M≥N )

3 + >0,∴M>N. 4
?x+y-1<0 ? 3.下面给出的四个点中,位于 ? ,表示的平面区域 ? ?x-y+1>0

内的点是( A.(0,2)

) B.(-2,0) D.(2,0)

C.(0,-2) [答案] C

[解析] 点(0,2)不满足 x+y-1<0,故 A 不正确;点(-2,0)不满 足 x-y+1>0, B 不正确; 故 点(2,0)不满足 x+y-1<0, D 不正确, 故 故选 C. 1 4.若 a>0,b>0,则不等式 a>x>-b 等价于( 1 1 A.-b<x<0 或 0<x<a 1 1 B.-a<x<0 或 0<x<b 1 1 C.x<-b或 x>a 1 1 D.-a<x<b [答案] C )

[解析] 不等式可化为

?1+b>0 ?x ?1 ?x-a<0 ?

?x<-1或x>0 ? b ,即? ?x<0或x>1 ? a

.

1 1 所以 x<-b或 x>a. 1 1 5.设 M=a+ (2<a<3),N=log0.5(x2+ )(x∈R)那么 M、 16 a-2 N 的大小关系是( A.M>N C.M<N [答案] [解析] A M=a+ 1 1 =a-2+ +2>4, a-2 a-2 ) B.M=N D.不能确定

(∵2<a<3)

1 1 N=log0.5(x2+ )≤log0.5 =4,∴M>N. 16 16
?x+2 x≤0 ? 6.已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解集为 ? ?-x+2 x>0

(

) A.[-1,1] C.[-2,1] [答案] A B.[-2,2] D.[-1,2]

[解析] 本题考查分段函数的概念及一元二次不等式的解法. 解法一:(排除法)当 x=2 时,f(x)=0,不等式 f(x)≥x2 不成立, 排除 B、D 选项;当 x=-2 时 f(x)=0,不等式 f(x)≥x2 不成立,排 除 C 选项. 解法二:(直接法)当 x≤0 时,原不等式化为 x+2≥x2, ∴-1≤x≤2, 又∵x≤0,∴-1≤x≤0; 当 x>0 时,原不等式化为-x+2≥x2, ∴-2≤x≤1, 又∵x>0,∴0<x≤1, 综上可知,不等式 f(x)≥x2 的解集为[-1,1]. 7.如果函数 y=ax2+bx+a 的图象与 x 轴有两个交点,则点(a, b)在 aOb 平面上的区域(不含边界)为( )

[答案]

C

[解析] 由题意知 Δ=b2-4a2>0 ∴(b-2a)(b+2a)>0
? ? ?b-2a>0 ?b-2a<0 ∴? 或? 画图知选 C. ?b+2a>0 ?b+2a<0 ? ?

1 1 8.已知 a>0,b>0,a,b 的等差中项是 ,且 α=a+a, 2 1 β=b+b则 α+β 的最小值是( A.3 C.5 [答案] B.4 D.6 C )

1 1 [解析] 由题意 a+b=1,则 α+β=a+a+b+b 1 =1+ab≥1+ 1 =5. a+b 2 ? ? 2

1 9.设 b>a>0,a+b=1,则下列四个数 ,2ab,a2+b2,b 中, 2 最大的数是( 1 A. 2 B.b D.a2+b2 B )

C.2ab [答案]

[解析] 因为 b>a>0,a+b=1, 1 所以 0<a< <b<1,a2+b2>2ab. 2 又因为 a2+b2-b=a2+b(b-1)=a2-ab=a(a-b)<0. 所以 a2+b2<b,故四个数中最大的数是 b.

??x-2??x-5?≤0 ? 10.不等式组? 与不等式(x-2)(x-5)≤0 同解, ? ?x?x-a?≥0

则 a 的取值范围是( A.a>5 C.a≤5 [答案] D

)

B.a<2 D.a≤2

[解析] 由(x-2)(x-5)≤0 可得
??x-2??x-5?≤0 ? 2≤x≤5, 所以不等式组? 的解集为{x|2≤x≤5}. ? ?x?x-a?≥0

∴[2,5]?[a,+∞), 故 a≤2. 1 4 11.若 x、y 是正数,且x+y=1,则 xy 有( 1 A.最大值 16 B.最小值 16 C.最小值 16 D.最大值 [答案] C 4 4 = ,∴ xy≥4,∴ xy xy 1 16 )

1 4 [解析] ∵x>0,y>0,∴x+y=1≥2 xy≥16.

12. 在“家电下乡”活动中, 某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的 乡镇, 现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用. 每辆甲型货车运 输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运输费用 300 元, 可装洗衣机 10 台.若每辆至多只运一次,则该厂所花的最少运输费 用为( ) B.2200 元

A.2000 元

C.2400 元 [答案] B

D.2800 元

[解析] 设需甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,由题意知

?x≤4,x∈N ? ?y≤8,y∈N* ?20x+10y≥100 ?
*



作出其可行域如图所示.

可知目标函数 z=400x+300y 在点 A 处取最小值,z=400×4+ 300×2=2200(元). 二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 4 分,共 16 分.将正 确答案填在题中横线上) x+1 13.(2011· 上海理)不等式 x ≤3 的解集是________. [答案] [解析] 1 {x|x≥ 或 x<0} 2 x+1 1-2x 2x-1 原不等式等价于 x -3≤0? x <0? x ≥0?

1 x(2x-1)≥0,且 x≠0,解得 x≥ 或 x<0. 2 14. 关于 x 的不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|-1<x<2}则关 于 x 的不等式 bx2-ax-2>0 的解集为________________. [答案] {x|x>1 或 x<-2}

[解析] ∵ax2+bx+2>0 的解集为{x|-1<x<2},

?2=-2 ?a ∴? ?-b=1 ? a

?a=-1 ? ,解得? . ?b=1 ?

∴bx2-ax-2>0,即 x2+x-2>0, 解得 x>1 或 x<-2. 15.设点 P(x,y)在函数 y=4-2x 的图象上运动,则 9x+3y 的最 小值为________. [答案] 18 [解析] 由题意,得 2x+y=4, 由 9x+3y=32x+3y≥2 32x+y =2 34=18,当且仅当 2x=y, 即 x=1,y=2 时等号成立. 16.当 x>1 时,不等式 x+ 为________. [答案] 3 [解析] x+ 1 1 ≥a 恒成立?(x+ ) ≥a x-1 x-1 min 1 ≥a 恒成立,则实数 a 的最大值 x-1

∵x>1 即 x-1>0 ∴x+ x-1= 1 1 =x-1+ +1≥2 x-1 x-1 1 ?x-1?· +1=3, 当且仅当 x-1

1 ,即 x=2 时,等号成立. x-1

∴a≤3 即 a 的最大值为 3. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 74 分, 共 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式(a2-4)x2+(a+2)x

-1≥0 的解集是空集,求实数 a 的取值范围. [解析] 当 a2-4=0,即 a=± 2. 1 若 a=2 时,原不等式化为 4x-1≥0,∴x≥ . 4 此时,原不等式的解集不是空集. 若 a=-2 时,原不等式化为-1≥0,无解. 此时,原不等式的解集为空集. 当 a2-4≠0 时,由题意,得
? 2 ?a -4<0 ? , 2 2 ?Δ=?a+2? -4?a -4?×?-1?<0 ?

6 ∴-2<a< . 5 6 综上所述,a 的取值范围为-2≤a< . 5 18.(本小题满分 12 分)已知 x,y 都是正数. (1)若 3x+2y=12,求 xy 的最大值; 1 1 (2)若 x+2y=3,求x+y 的最小值. [解析] 1 1?3x+2y?2 ? =6. (1)xy= · 2y≤ ? 3x· 6 6? 2 ?

? ? ?3x=2y, ?x=2 当且仅当? 即? 时取“=”号. ?3x+2y=12, ?y=3 ? ?

所以当 x=2,y=3 时,xy 取得最大值 6.
?1 1? 1 1 1 (2)x+y= (x+2y)?x+y ? 3 ? ?

1? x 2y? 1? = ?3+ y+ x ?≥ ?3+2 3? ? 3? =1+ 2 2 . 3

x 2y? ? y· ? x

?x=2y 当且仅当?y x ?x+2y=3

?x=-3+3 即? 3 y=3- 2 ? 2

2 时,取“=”号.

所以, x=-3+3 2, 当 y=3-

3 1 1 2 2 2时, +y取得最小值 1+ . x 2 3

19.(本小题满分 12 分)设 z=2x+y,变量 x,y 满足条件

?x-4y≤-3 ? ?3x+5y≤25, ?x≥1 ?
[解析]

求 z 的最大值与最小值.

?x-4y≤-3 ? 满足条件?3x+5y≤25 ?x≥1 ?

的可行域如图,将目标函数 z

=2x+y 变形为 y=-2x+z,直线 y=-2x+z 是斜率 k=-2 的平行 线系,z 是它们的纵戴距.作平行直线过平面区域内的点 A、B 时直 线的纵截距取最值.求 A、B 点坐标,代入 z=2x+y,过 A 点时 zmax =12,过 B 点时 zmin=3.

20.(本小题满分 12 分)如图,要设计一张矩形广告,该广告含 有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之 和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽 度为 5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告 面积最小?

[解析] 解法一: 设矩形栏目的高为 acm, 宽为 bcm, ab=9000. 则 ① 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500 +25a+40b≥18500+2 25a· 40b =18500+2 1000ab=24500. 5 当且仅当 25a=40b 时等号成立, 此时 b= a, 代入①式得 a=120, 8 从而 b=75. 即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500, 故广告的高为 140cm,宽为 175cm 时,可使广告的面积最小. 解法二:设广告的高和宽分别为 xcm、ycm,则每栏的高和宽分 别为 x-20, y-25 ,其中 x>20,y>25. 2

y-25 18000 两栏面积之和为 2(x-20)· =18000,由此得 y= +25 2 x-20
?18000 ? 18000x 广告的面积 S=xy=x?x-20+25?= +25x ? ? x-20

整理得 S=

360000 +25(x-20)+18500. x-20

因为 x-20>0

所以 S≥2 =24500. 当且仅当 14400(x>20) 解得 x=140 代入 y=

360000 +25?x-20?+18500 x-20

360000 = 25(x-20)时等号成立,此时有 (x- 20)2 = x-20

18000 +25,得 y=175. x-20

即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140cm,宽为 175cm 时,可使广告的面积最小. x2 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (a、b 为常数),且 ax+b 方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3,x2=4. (1)求函数 f(x)的解析式; ?k+1?x-k (2)设 k>1,解关于 x 的不等式 f(x)< . 2-x [解析] 9 x2 (1)将 x1=3,x2=4 分别代入方程 -x+12=0,得 ax+b

?3a+b=-9 ? 16 ?4a+b=-8
? ?a=-1 解得? . ?b=2 ?



x2 ∴f(x)= (x≠2) 2-x x2-?k+1?x+k x2 ?k+1?x-k (2)原不等式即为 < ,可化为 <0. 2-x 2-x 2-x

即(x-2)(x-1)(x-k)>0. ①当 1<k<2 时,1<x<k 或 x>2; ②当 k=2 时,x>1 且 x≠2; ③当 k>2 时,1<x<2 或 x>k. 综上所述,当 1<k<2 时,原不等式的解集为{x|1<x<k 或 x>2}; 当 k=2 时,原不等式的解集为{x|x>1 且 x≠2}; 当 k>2 时,原不等式的解集为{x|1<x<2 或 x>k}.

?x-2y+7≥0 ? 22.(本小题满分 14 分)已知 x,y 满足条件?4x-3y-12≤0 ?x+2y-3≥0 ?
求 z=x2+y2 的最大值与最小值.



[解析] 在同一直线坐标系中,作直线 x-2y+7=0,4x-3y-12 =0 和 x+2y-3=0,再要据不等式组确定可行域为△ABC(如图所 示),把 x2+y2 看作点(x,y)到原点(0,0)的距离的平方.
? ?x-2y+7=0 由? , ? ?4x-3y-12=0

解得点 A 的坐标(9,8). 所以(x2+y2)max=|OA|2=92+82=145. 因为原点 O 到直线 BC 的距离为 |0+0-3| 3 = , 5 5

9 所以(x2+y2)min= . 5

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