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第一章 集合与函数概念 章末质量评估(人教A版必修1)


第一章

集合与函数概念 章末质量评估

(时间:120 分钟

满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m= ( ).

A.0 或 C.1 或 解析 =0. 答案 B

3 3

B.0 或 3 D.1 或 3

由 A∪B=A,知 B?A,∴m=3 或 m= m(且 m≠1),因此 m=3 或 m

2.设集合 A={-1,3,5},若 f:x→2x-1 是集合 A 到集合 B 的映射,则集合 B 可 以是 ( A.{0,2,3} C.{-3,5} 解析 答案 B.{1,2,3} D.{-3,5,9} ).

当 x=-1,3,5 时对应的 2x-1 的值分别为-3,5,9. D

3.若 P={x|x<1},Q={x|x>-1},则 ( A.P?Q C.?RP?Q 解析 P={x|x<1}, B.Q?P D.Q??RP ).

∴?RP={x|x≥1}. 又∵Q={x|x>-1},∴Q??RP. 答案 C

4.下列图象中不能作为函数图象的是 ( ).

解析 答案

B 选项对于给定的变量有两个值与其对应,不是函数的图象. B

1 5.函数 f(x)= 1+x+x 的定义域是 ( A.[-1,+∞) C.[-1,0)∪(0,+∞) 解析 B.(-∞,0)∪(0,+∞) D.R ).

?1+x≥0, 要使函数有意义,需满足? ?x≠0,

即 x≥-1 且 x≠0. 答案 C

6.下面四个结论: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点, ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数又是偶函数的函数是 f(x)=0. 其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

解析

1 偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定与 y 轴相交,如 y=x2,故①错,

1 ③对;奇函数的图象不一定通过原点,如 y= x,故②错;既奇又偶的函数除 了 f(x)=0,还可以是 f(x)=0,x∈[-1,1],④错. 答案 A

7.下列四个函数中,在(-∞,0)上是增函数的为 ( A.f(x)=x2+1 C.f(x)=x2-5x-6 解析 答案 1 B.f(x)=1- x D.f(x)=3-x ).

A、C、D 选项中的三个函数在(-∞,0)上都是减函数,只有 B 正确. B

8.(2013· 龙海高一检测)若函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x-1,则当 x <0 时,有 ( A.f(x)>0 C.f(x)· f(-x)≤0 解析 B.f(x)<0 D.f(x)-f(-x)>0 ).

f(x)为奇函数,当 x<0 时,-x>0,

∴f(x)=-f(-x)=-(-x-1)=x+1, ∴f(x)· f(-x)=-(x+1)2≤0. 答案 C

9.函数 f(x)=ax3+bx+4(a,b 不为零),且 f(5)=10,则 f(-5)等于 ( A.-10 B.-2 C.-6 D.14 解析 ∵f(5)=125a+5b+4=10,∴125a+5b=6, ).

f(-5)=-125a-5b+4=-(125a+5b)+4=-6+4=-2. 答案 B

10.二次函数 y=x2-4x+3 在区间(1,4]上的值域是 ( A.[-1,+∞) B.(0,3] ).

C.[-1,3] 解析

D.(-1,3]

∵y=(x-2)2-1, ∴函数 y=x2-4x+3 在(1,2]上递减, 在(2,4]上递增. ∴

当 x=2 时,ymin=-1. 又当 x=1 时,y=1-4+3=0, 当 x=4 时,y=42-16+3=3, ∴该函数在(1,4]上的值域为[-1,3]. 答案 C

f?x2?-f?x1? 11.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0, x2-x1 则 ( A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) 解析 B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) f?x2?-f?x1? <0,即 x2-x1 与 f(x2) x2-x1 ).

对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有

-f(x1)异号, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数,又 f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-2)=f(2),∴f(3)<f(-2)<f(1).. 答案 A

f?x?+f?-x? 12. 若函数 y=f(x)为偶函数, 且在(0, +∞)上是减函数, 又 f(3)=0, 则 2x <0 的解集为 ( A.(-3,3) C.(-3,0)∪(3,+∞) 解析 故 ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), B.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) ).

f?x?+f?-x? f?x? <0 可化为 x <0. 2x

又 f(x)在(0,+∞)上是减函数,且 f(3)=0, 故当 x>3 时,f(x)<0.当-3<x<0 时,f(x)>0,

f?x? 故 x <0 的解集为(-3,0)∪(3,+∞). 答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确的答案填在题中 的横线上) 13.已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N∩?IM=?,则 M ∪N=________. 解析 因为 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,N∩?IM=?,所

以由韦恩图可知 N?M,所以 M∪N=M.

答案

M

14.(2013· 兰州高一检测)已知定义在 R 上的偶函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=-x3 +1,则 f(-2)· f(3)的值为________. 解析 ∵x>0,f(x)=-x3+1,

∴f(3)=-33+1=-26, f(-2)=f(2)=-23+1=-7. ∴f(-2)· f(3)=(-26)×(-7)=182. 答案 182

15.若 f(x)=(m-1)x2+6mx+2 是偶函数,则 f(0),f(1),f(-2)从小到大的顺序是 ________. 解析 因为 f(x)是偶函数,

所以 f(-x)=f(x)恒成立, 即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2 恒成立. 所以 m=0,即 f(x)=-x2+2. 因为 f(x)的图象开口向下,对称轴为 y 轴, 所以 f(2)<f(1)<f(0), 即 f(-2)<f(1)<f(0). 答案 f(-2)<f(1)<f(0)

16. 若 y=f(x)在(-∞,0)∪(0, +∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(- 2)=0,则不等式 x· f(x)<0 的解集为________. 解析 根据题意画出 f(x)大致图象:

由图象可知-2<x<0 或 0<x<2 时,x· f(x)<0. 答案 (-2,0)∪(0,2)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知集合 A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1 或 x≥4}. (1)当 a=3 时,求 A∩B; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=3 时,A={x|-1≤x≤5},B={x|x≤1 或 x≥4},∴A∩B={x|-

1≤x≤1 或 4≤x≤5}. (2)(ⅰ)若 A=?,此时 2-a>2+a, ∴a<0,满足 A∩B=?. (ⅱ)当 a≥0 时,A={x|2-a≤x≤2+a}≠?, ?2-a>1, ∵A∩B=?,∴? ∴0≤a<1. ?2+a<4, 综上可知,实数 a 的取值范围是 a<1.
2 ?3-x ,x∈[-1,2], 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=? ?x-3,x∈?2,5].

(1)在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间与减区间. 解 (1)函数 f(x)的图象如下图

(2)当 x∈[-1,2]时,f(x)=3-x2,

知 f(x)在[-1,0]上递增;在[0,2]上递减, 又 f(x)=x-3 在(2,5]上是增函数, 因此函数 f(x)的增区间是[-1,0]和(2,5];减区间是[0,2]. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (1)若 a=2,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)a=2 时,f(x)= 3-2x. 3-ax (a≠1). a-1

3? 3 ? 由 3-2x≥0,得 x≤2.∴f(x)的定义域为?-∞,2?. ? ? 3? ? (2)①当 a>1 时,f(x)的减区间是?-∞,a?, ? ? 3 又 f(x)在(0,1]上是减函数,∴a≥1,从而 1<a≤3; ②当 0≤a<1 时,f(x)在区间(0,1]上不是减函数; ③当 a<0 时,显然 f(x)在(0,1]上是减函数. 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 20.(本小题满分 12 分)(2013· 淮安高一检测)已知函数 f(x)= 2x+1 . x+1

(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值. 解 (1)f(x)在[1,+∞)上是增函数.证明如下:任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1

<x2, f(x1)-f(x2)= 2x1+1 2x2+1 x1-x2 - = . x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1?

∵x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0, 所以,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数. (2)由(1)知函数 f(x)在[1,4]上是增函数.所以最大值为 f(4)= 值为 f(1)= 2×1+1 3 =2. 1+1 2×4+1 9 =5,最小 4+1

21.(本小题满分 12 分)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0, ?x? 满足 f?y?=f(x)-f(y). ? ? (1)求 f(1)的值; ?1? (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f?3?<2. ? ? 解 ?x? (1)在 f?y?=f(x)-f(y)中,令 x=y=1, ? ?

则有 f(1)=f(1)-f(1),∴f(1)=0. ?1? (2)∵f(6)=1,∴f(x+3)-f?3?<2=f(6)+f(6). ? ? ?x+3? ?<f(6). ∴f(3x+9)-f(6)<f(6),即 f? ? 2 ? ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, ?x+3>0, ? ∴?x+3 <6, ? ? 2

解得-3<x<9.

∴原不等式的解集为(-3,9). 22.(本小题满分 12 分)(2013· 湖州高一检测)通过研究学生的学习行为,心理学家 发现, 学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间, 讲座开始时, 学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随 后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用 f(x)表示学生掌握和接受 概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强),x 表示提出和讲授概念的时间 (单位:分),可以有以下公式:

?-0.1x +2.6x+43 ?0<x≤10? f(x)=?56 ?10<x≤16? ?-3x+107 ?16<x≤30?
(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? 解 (1)当 0<x≤10 时,

2

f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9, 故 f(x)在 0<x≤10 时递增,最大值为 f(10)=-0.1(10-13)2+59.9=59.

当 10<x≤16 时,f(x)=59. 当 x>16 时,f(x)为减函数,且 f(x)<59. 因此,开讲 10 分钟后,学生达到最强接受能力(为 59),能持续 6 分钟时间. (2)f(5)=-0.1(5-13)2+59.9=53.5, f(20)=-3×20+107=47<53.5. 故开讲 5 分钟时学生的接受能力比开讲 20 分钟时要强一些.


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