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高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条


校本培训系列讲座 2

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

数学教研室 寇英龙

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心) :角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心) :外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 (1) OA ? OB ? OC ? 0 ? O 是 ?ABC 的重心. 证法 1:设 O( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 )
x ? x 2 ? x3 ? x? 1 ? ?( x ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ? 0 ? 3 ?? OA ? OB ? OC ? 0 ? ? 1 ?( y1 ? y) ? ( y 2 ? y) ? ( y3 ? y) ? 0 ? y ? y1 ? y 2 ? y 3 ? 3 ? ?ABC 的重心. A 证法 2:如图

? O 是

? OA ? OB ? OC ? OA ? 2OD ? 0 ? AO ? 2OD ? A、O、D 三点共线,且 O 分 AD 为 2:1 ? O 是 ?ABC 的重心

O

E

B

D

C

(2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ? O 为 ?ABC 的垂心. 证明:如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心,BE 垂直 AC,AD 垂直 BC, D、E 是垂足.

OA? OB ? OB ? OC ? OB(OA ? OC) ? OB ? CA ? 0
? OB ? AC

A

E O

同理 OA ? BC , OC ? AB

? O 为 ?ABC 的垂心

B

D

C

(3)设 a , b , c 是三角形的三条边长,O 是 ? ABC 的内心

aOA ? bOB ? cOC ? 0 ? O 为 ?ABC 的内心.
证明:?

AB AC 、 分别为 AB 、 AC 方向上的单位向量, c b

AB AC 平分 ?BAC , ? c b bc AB AC ),令 ? ? ? ? AO ? ? ( a?b?c c b bc AB AC ( ) ? ? AO ? a?b?c c b 化简得 (a ? b ? c)OA ? b AB ? c AC ? 0

?

? aOA ? bOB ? cOC ? 0
(4) OA ? OB ? OC ? O 为 ?ABC 的外心。 典型例题: 例 1 : O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的(
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
A



分析: 如图所示 ?ABC ,D、E 分别为边 BC、AC

的中点.

? AB ? AC ? 2 AD
E

? OP ? OA ? 2? AD
? OP ? OA ? AP ? AP ? 2? AD
? AP // AD
B D C

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的重心,即选 C .
例 2: (03 全国理 4)O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满 足 OP ? OA ? ? (

AB AB

?

AC AC

) , ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( B )
B.内心 C.重心 D.垂心

A.外心 分析:?

AB

AC 分别为 AB 、 、 AC 方向上的单位向量, AB AC

?

AB AB

?

AC AC

平分 ?BAC ,

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的内心,即选 B .
例 3 : O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ? (

AB AB c o s B

?

AC AC c o s C

) ,? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的(
C.重心 D.垂心
A



A.外心

B.内心

分析:如图所示 AD 垂直 BC,BE 垂直 AC, D、E 是

垂足.
E

(

AB AB cos B AB ? BC AB cos B

?

AC AC cosC AC ?BC

) ? BC

=

?

AC cosC
? AC BC cosC AC cosC

B

D

C

=

? AB BC cos B AB cos B

= ? BC + BC =0

? 点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的垂心,即选 D .
练习: 1.已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P ,满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实数 ? 满 足: AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为( A.2 B.
3 2

) C.3 D.6 )

2.若 ?ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1, OA ? OB ? OC ? 0 ,则 OA ? OB ? ( A.
1 2

B.0

C.1

D. ?

1 2

3.点 O 在 ?ABC 内部且满足 OA ? 2OB ? 2OC ? 0 ,则 ?ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积 之比是( ) A.0 B.
3 2 5 4 4 3

C.

D.

4. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,若 OH ? OA ? OB ? OC ,则 H 是 ?ABC 的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
2 2



5. O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,若 OA ? BC ? OB

2

? CA ? OC ? AB ,则 O 是 ?ABC 的(
A.外心 B.内心

2

2

2

) C.重心 D.垂心

6. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH ? m(OA ? OB ? OC) , 则实数 m = → → → → AB AC AB AC 1 → → → 7. (06 陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )〃BC=0 且 〃 = , 则△ → → → → |AB| |AC| |AB| |AC| 2 ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.等边三角形
2

8 .已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C ,若 AB ? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则 ?ABC 为 ( ) A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C

数学教研室 寇英龙

椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)
椭 1. 2. 圆 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 3. 4. 5. 6. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 上,则过 P 若P 在椭圆 ( x , y ) 0 0 0 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 a b x0 x y0 y P1P2 的直线方程是 2 ? 2 ? 1 . a b

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1, F 2, 点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2 ? ? , a 2 b2 ? 则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan . 2 2 2 x y 8. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).

7.

椭圆

9.

设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、 Q, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点, A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB
x2 y 2 b2 ? ? 1 k ? k ? ? 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, 则 , ( x , y ) OM AB 0 0 a 2 b2 a2 b2 x ?? 2 0 。 a y0 x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 . 内, 则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2 a2 b a b x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 1 ? ? 2 ? 2 . 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a 2 b2 a b

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

1. 2. 3. 4.

双曲线 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)
x2 y 2 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 )上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点 a b xx y y 为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一 a b

5.

6.

7.

点 ?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 co t 8. 双曲线

?
2

.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a 2 b2 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a .

当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点, A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线 点,则 K OM
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中 a 2 b2 b 2 x0 b 2 x0 ? K AB ? 2 ,即 K AB ? 2 。 a y0 a y0

x2 y 2 12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a b 2 2 x0 x y0 y x0 y ? 2 ? 2 ? 02 . 2 a b a b x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b> 0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 13. 若 P 在双曲线 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 2 2 x y 1. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭 a b x2 y 2 圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭 a b b2 x 圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0

3.

若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ?1 (a>b>0) 上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a 2 b2
a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

?PF2 F1 ? ? ,则

4.

x2 y 2 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意 a b

一点, 在△PF1F2 中, 记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? , 则有

sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

5.

若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e a 2 b2

≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中 项. 6. P 为椭圆
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭圆
( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与 直 线 A x? B y ? a2 b2 2 2 A2a 2? B b ? ( Ax0 ? By0 ? C) . 2
C ? 0 有公共点的充要条件是

8.

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ . a 2 b2 4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? (1) ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ;(3) S?OPQ 的最小 a 2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2

已知椭圆

9.

a 2b 2 . a 2 ? b2 x2 y 2 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN a b | PF | e ? . 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2

值是

10. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 a 2 b2

11. 设 P 点是椭圆

?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |?

? 2b2 .(2) S?PF1F2 ? b 2 tan . 2 1 ? cos ?

12. 设 A、 B 是椭圆

x2 y 2 ? ?1 ( a>b>0) 的长轴两端点, P 是椭圆上的一点,?PAB ? ? , a 2 b2 2ab2 | cos ? | c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率, 则有(1) | PA |? 2 2 2 .(2) ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , a ? c co s ? 2 2 2a b cot ? . tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的 a 2 b2

13. 已知椭圆

直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦 点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半 径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心 率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 高三数学备课组 双曲线 1. 双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的 a 2 b2 x2 y 2 直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直 a b

2.

线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 3.

b2 x0 (常数). a 2 y0

x2 y 2 若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 a b

是焦点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则 4. 设双曲线

c?a ? ? c?a ? ? ?a n t t co (或 ? tan co t ) . c?a 2 2 c?a 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双 a 2 b2

曲线上任意一点,在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有
sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a

5. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则 a 2 b2

当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定 a 2 b2

点,则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧 时,等号成立. 7. 双曲线
x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a 2 b2 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点, a b 且 OP ? OQ . 4a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最小值为 ;(3) S?OPQ 的最小 b2 ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2

8.

(1) 值是

a 2b 2 . b2 ? a2 x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两 a 2 b2

9. 过双曲线

点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 10. 已知双曲线

| PF | e ? . | MN | 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦 a b ? 2b2 点记 ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? .(2) S?PF1F2 ? b 2 cot . 2 1 ? cos ? 2 2 x y 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, a b ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有

(1) | PA |?

2ab2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s2 ? |
2

(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB

2a 2 b 2 ? 2 cot ? . b ? a2

x2 y 2 13. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右 a b

焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直 线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点 与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线 必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.


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