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2015年高考数学(文)一轮课件:5-4函数y=asin(ωx+φ)的图像及应用


第五章 三角函数、三角恒等变换、解三角形

第四节

函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用

教材回归 自主学习

核心考点 引领通关

考题调研 成功体验

开卷速查 规范特训

【考点分析】

(1)考查函数y

=Asin(ωx+φ)的图像变换;(2)

结合三角恒等变换考查y=Asin(ωx+φ)的性质和应用;(3)考查给 出图像的解析式. 【复习指导】 (1)掌握“五点法”作图,抓住函数y=

Asin(ωx+φ)的图像的特征;(2)理解三种图像变换,从整体思想和 数形结合思想确定函数y=Asin(ωx+φ)的性质.

教材回归 自主学习
必考必记 夯基固本

1.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念

2.用五点画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关 键点,如下表所示.

3.函数y=sinx的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步 骤如下

答案:

●一个提醒 在用“代点法”求φ时,若条件中既有最值点,也有零点, 应代入最值点,这样可得到一个确定的φ值.

●两种变换 (1)平移变换:①沿x轴平移,按“左加右减”法则;②沿y轴 平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换:①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短 1 (ω>1)为原来的 ω 倍(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长 (A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变).

●三点注意 (1) 像. (2)要注意平移前后两个函数的名称一致,若不一致,应先利 用诱导公式化为同名函数. (3)由y=Asinωx的图像得到y=Asin(ωx+φ)的图像时,需平移 φ 的单位数应为|ω|,而不是|φ|. 要弄清楚是平移哪个函数的图像,得到哪个函数的图

x 1.函数y=sin2的图像的一条对称轴的方程是( A.x=0 C.x=π π B.x=2 D.x=2π

)

x π x 解析:由 = +kπ得x=π+2kπ(k∈Z).故x=π是函数y=sin 2 2 2 的一条对称轴.

答案:C

?π ?? π? 2.已知简谐运动f(x)=2sin ?3x+φ? ?|φ|<2? 的图像经过点(0,1), ? ?? ?

则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( π A.T=6,φ=6 π C.T=6π,φ= 6 π B.T=6,φ=3 π D.T=6π,φ= 3

)

2π 解析:最小正周期为T= =6; π 3 1 π 由2sin φ=1,得sin φ= ,φ= . 2 6

答案:A

3.要得到函数y=cos(2x+1)的图像,只要将函数y=cos2x的 图像( ) B.向右平移1个单位 1 D.向右平移2个单位

A.向左平移1个单位 1 C.向左平移2个单位

? 1? 解析:∵y=cos(2x+1)=cos2?x+2?, ? ?

1 ∴只要将函数y=cos2x的图像向左平移 个单位即可. 2

答案:C

4.用五点法作函数y=sin

? π? ?x- ? 6? ?

在一个周期内的图像时,主

要确定的五个点是__________、__________、__________、 __________、__________.
?π ? 答案:?6,0? ? ? ?2π ? ? ,1? ?3 ? ?7π ? ? ,0? ?6 ? ?5π ? ? ,-1? ?3 ? ?13π ? ? ? , 0 ? 6 ?

5.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区 间[-π,0]上的图像如图所示,则ω=__________.

2π 解析:观察函数图像可得周期T= , 3 2π 2π 则T= = ,所以ω=3. 3 ω
答案:3

核心考点

引领通关
考点研析 变式通关

考点一

函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
? π? 已知函数y=2sin?2x+3?, ? ?

【例1】

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像; (3)说明y=2sin 换而得到.
? π? ?2x+ ? 3? ?

的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变

思维启迪:(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决. (2)五点法作图,关键是找出与x相对应的五个点. (3)只要看清由谁变换得到谁即可.

? π? 2π 解析:(1)y=2sin?2x+3?的振幅A=2,周期T= =π, 2 ? ?

π 初相φ= . 3
? π? π (2)令X=2x+ ,则y=2sin?2x+3?=2sinX. 3 ? ?

列表,并描点画出图像:

x X y=sinX
? π? y=2sin?2x+3? ? ?

π - 6 0 0 0

π 12 π 2 1 2

π 3 π 0 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0 0

π (3)方法一:把y=sinx的图像上所有的点向左平移 个单位, 3
? ? π? π? 得到y=sin?x+3?的图像,再把y=sin?x+3?的图像上的点的横坐标 ? ? ? ? ? π? 1 缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到y=sin ?2x+3? 的图像,最后 2 ? ?

把y=sin

? π? ?2x+ ? 3? ?

上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不

? π? 变),即可得到y=2sin?2x+3?的图像. ? ?

1 方法二:将y=sinx的图像上每一点的横坐标x缩短为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到y=sin2x的图像;再将y=sin2x的图像向左
? ? π? π? π 平移 个单位,得到y=sin2 ?x+6? =sin ?2x+3? 的图像;再将y= 6 ? ? ? ? ? π? sin ?2x+3? 的图像上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来 ? ? ? π? 的2倍,得到y=2sin?2x+3?的图像. ? ?

π 答案:(1)振幅为2,周期为π,初相为 ;(2)图像略; 3 (3)图像变换略.

点评:(1)作三角函数图像的基本方法就是五点法,此法注意 在作出一个周期上的简图后,应向两端伸展一下,以示整个定义 域上的图像;(2)变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩
? φ? 还是先伸缩后平移,对于后者可利用ωx+φ=ω ?x+ω? 来确定平移 ? ?

单位.

通关训练1

?1 π? 已知函数f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ?

(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数y=sinx的图像怎样的变换可得到f(x)的图像?

解析:(1)列表取值: π 2 0 0 3 2π π 2 3 5 2π π 0 7 2π 3 2π -3 9 2π 2π 0

x 1 π 2x-4 f(x)

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

π (2)先把y=sinx的图像向右平移 个单位,然后把所有的点的 4 横坐标扩大为原来的2倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的3 倍,得到f(x)的图像.

答案:略.

考点二

求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

【例2】 (1)已知f(x)=Asin(ωx+φ)

(A,ω,φ为常数,A>0,

ω>0)的部分图像如图所示,则f(0)的值是__________.

π (2)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x)的部分图 2
?π? 像如图所示,则f?24?等于( ? ?

)

A.2+ 3 B. 3 3 C. 3 D.2- 3 思维启迪:(1)由平衡点和相邻最低点间的相对位置确定周 期;根据待定系数法求φ. (2)将“ωx+φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解.

T 7π π π 解析:(1)由题图知A= 2,4=12-3=4, 2π ∴T=π,ω= π =2. π π ∴2×3+φ=2kπ+π,k∈Z,∴φ=2kπ+3(k∈Z). π 令k=0,得φ=3. ∴函数解析式为f(x)= π 6 ∴f(0)= 2sin 3= 2 .
? π? 2sin?2x+3?, ? ?

?3 π? π π (2)由图形知,T= =2?8π-8?= ,∴ω=2. ω ? ? 2

3 3 由2× π+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ- π,k∈Z. 8 4
? π? π π 又∵|φ|< ,∴φ= .由Atan?2×0+4?=1, 2 4 ? ? ? π? 知A=1,∴f(x)=tan?2x+4?, ? ? ?π? ? π π? π ∴f?24?=tan?2×24+4?=tan3= ? ? ? ?

3.

6 答案:(1) 2

(2)B

点评:根据y=Asin(ωx+φ)+k的图像求其解析式的问题,主 要从以下四个方面来考虑: ①A的确定:根据图像的最高点和最低点,即A= 最高点-最低点 ; 2 ②k的确定:根据图像的最高点和最低点,即k= 最高点+最低点 ; 2

2π ③ω的确定:结合图像,先求出周期T,然后由T= (ω>0) ω 来确定ω; ④φ的确定:由函数y=Asin(ωx+φ)+k最开始与x轴的交点 φ φ (最靠近原点)的横坐标为-ω(即令ωx+φ=0,x=-ω)确定φ.

通关训练2

π 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|<2,ω>0)

的图像的一部分如图所示,则该函数的解析式为__________.

解析:观察图像可知:A=2且点(0,1)在图像上, 1 ∴1=2sin(ω· 0+φ),即sinφ=2. π π ∵|φ|<2,∴φ=6. 11 又∵ π是函数的一个零点,且是图像递增穿过x轴形成的零 12 11π π 点,∴ 12 ω+6=2π,∴ω=2.
? π? ∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ? ? π? 答案:f(x)=2sin?2x+6? ? ?

考点三

函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质的综合应用

【例3】 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω> π π 0,0<φ< 2 )的图像与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 2 ,
?2π ? 且图像上的一个最低点为M? 3 ,-2?. ? ?

(1)求f(x)的解析式;
?π π? (2)当x∈?12,2?时,求f(x)的值域. ? ?

思维启迪:(1)利用图像的最低点可求A,由相邻两点之间的 距离可求T,从而求出ω,再由最低点坐标可求φ;(2)用整体思想 求解.

?2π ? 解析:(1)由最低点为M? 3 ,-2?,得A=2. ? ?

π T π 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为 ,得 = ,即T=π, 2 2 2
?2π ? ? ? 2π 2π 2π 所以ω= T = π =2.由点M ? 3 ,-2? 在图像上,得2sin ?2× 3 +φ? ? ? ? ? ?4π ? =-2,即sin? 3 +φ?=-1. ? ?

4π π 11π 故 +φ=2kπ- ,k∈Z,∴φ=2kπ- (k∈Z). 3 2 6
? π? π 又φ∈?0,2?,∴φ= , 6 ? ? ? π? 故f(x)的解析式为f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

?π π? π ?π 7π? (2)∵x∈?12,2?,∴2x+ ∈?3, 6 ?. 6 ? ? ? ?

π π π 当2x+ = ,即x= 时,f(x)取得最大值2; 6 2 6 π 7π π 当2x+6= 6 ,即x=2时,f(x)取得最小值-1. 故函数f(x)的值域为[-1,2].
? π? 答案:(1)f(x)=2sin?2x+6?;(2)[-1,2]. ? ?

点评:利用三角函数图像与x轴的相邻两个点之间的距离为 1 三角函数的 2 个最小正周期,去求解参数ω的值,利用图像的最低 点为三角函数最值点,去求解参数A的值等.在求函数值域时, 由定义转化成ωx+φ的范围,即把ωx+φ看作一个整体.

通关训练3

[2014· 南京统考]已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>
?π ? ? ,0? ?12 ?

0,ω>0)的图像过点P
?π ? 是Q?3,5?. ? ?

,图像上与点P最近的一个最高点

(1)求函数的解析式; (2)求函数f(x)的递增区间.

?π π? 解析:(1)依题意得:A=5,周期T=4?3-12?=π, ? ?

2π ∴ω= =2,故y=5sin(2x+φ), π
?π ? ?π ? 又图像过点P?12,0?,∴5sin?6+φ?=0, ? ? ? ?

π π 由已知可得6+φ=0,∴φ=-6,
? π? ∴y=5sin?2x-6?. ? ?

π π π (2)由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,得: 2 6 2 π π - +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 6 3
? π π? 故函数f(x)的递增区间为:?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). ? ?

? ? π? π π? 答案:(1)y=5sin?2x-6?;(2)?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). ? ? ? ?

易错警示系列(22) 零点的属性认识不清致误

【示例】

如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的

部分图像,由题中条件写出该函数解析式__________.

1 5π 3π 错解:由图可知,A=5, T= -π= ,∴T=3π, 2 2 2
?2 ? 2π 2 ∴ω= = ,∴y=5sin?3x+φ?, T 3 ? ?

∵(π,0)在函数图像上, 2π 2π ∴ 3 +φ=kπ,即φ=kπ- 3 . 2π π 又|φ|<π,∴φ=- 3 或φ=3.
?2 ?2 2π? π? ∴函数解析式为y=5sin?3x- 3 ?或y=5sin?3x+3?. ? ? ? ?

错因分析:在利用(π,0)列方程时,没有确定(π,0)是第几 2π 个零点,由图可知,(π,0)是第二个零点,故 3 +φ=π.

1 5π 3π 正确解答:由题图知,A=5, T= -π= , 2 2 2
?2 ? 2π 2 ∴T=3π,∴ω= = ,∴y=5sin?3x+φ?. T 3 ? ?

∵(π,0)在函数图像上,且是其第二个零点, 2π ∴ 3 +φ=π,
?2x π? π ∴φ=3,故函数解析式为y=5sin? 3 +3?. ? ?

误区警示: 由函数y=Asin?ωx+φ?的图像确定A、ω、φ的题 φ 型,常常以“五点法”中的第一零点(- ω ,0)作为突破口,要从图 像的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.

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