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高一数学上册第三章指数函数和对数函数测试题及答案(北师大版必修1)


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第三章《指数函数和对数函数》章末检测 (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)

1.化简[ ?-5?2] A.5 C.- 5

3

3

4

的结果为 B. 5 D.-5

(

)

3 解析:[ ?-5?2] 答案:B

3 4

3 =( 52)

3 4

=5

2 3 × 3 4

=5

1 2

= 5.

1 2.若 log5 · 36· 6x=2,则 x 等于 log log 3 A.9 C.25 1 B. 9 1 D. 25

(

)

1 lg 3 lg 6 lg x 解析:由换底公式,得 · · =2, lg 5 lg 3 lg 6 lg x ∴- =2. lg 5 ∴lg x=-2lg 5=lg 答案:D 3.(2011· 江西高考)若 f(x)= 1 1 .∴x= . 25 25
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1 log 1 ? 2 x1?
2

,则 f(x)的定义域为

(

)

1 A.(- ,0) 2 1 C.(- ,+∞) 2

1 B.(- ,0] 2 D.(0,+∞)

解析:f(x)要有意义,需 log 1 (2x+1)>0,
2

1 即 0<2x+1<1,解得- <x<0. 2 答案:A 4.函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是 A.|a|>1 C.a> 2 B.|a|>2 D .1<|a|< 2
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(

)

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解析:由 0<a2-1<1 得 1<a2<2, ∴1<|a|< 2. 答案:D 5.函数 y= ax-1的定义域是(-∞,0],则 a 的取值范围是 A.a>0 C.0<a<1 B.a>1 D.a≠1 ( )

解析:由 ax-1≥0 得 ax≥1,又知此函数的定义域为(-∞,0],即当 x≤0 时,ax≥1 恒成立,∴0<a<1. 答案:C 1 x? ?x 2 6.函数 y= 的图像的大致 形状是 |x|

(

)

??2? ,x>0, 解析:原函数式化为 y=? 1 ?-?2? ,x<0.
1
x x

答案:D x≤1, ?3 -2, ? 7.函数 y=? 1 x-1 的值域是 ??3? -2, x>1 ? A.(-2,-1) C.(-∞,-1] 解析:当 x≤1 时,0<3 ∴-2<3x 1-2≤-1. 1 1 1 - 1 当 x>1 时,( )x<( )1,∴0<( )x 1<( )0=1, 3 3 3 3 1 - 则-2< ( )x 1-2 <1-2=-1. 3 答案:D 8.某工厂 6 年来生产甲种产品的情况是:前 3 年年产量的增大速度越来越快,后 3 年 年产量保持不变,则该厂 6 年来生产甲种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图像为 ( )


x-1

(

)

B.(-2,+∞) D.(-2,-1]
x-1

≤3

1-1

=1,

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解析:由题意知前 3 年年产量增大速度越来越快, 可知在单位时间内,C 的值增大的 很快,从而可判定结果. 答案:A

?log2?x-1?, x≥2, ? 9.设函数 f(x)=? 1 x 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是 ? ??2? -1, x<2,
A.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(3,+∞) 解析:当 x0≥2 时,∵f(x0)>1, 1 1 1- ∴log2(x0-1)>1,即 x0>3;当 x0<2 时,由 f(x0)>1 得( )x0-1>1,( )x0>( ) 1, 2 2 2 ∴x0<-1. ∴x0∈(-∞,-1)∪(3,+∞). 答案:C 10.函数 f(x)=loga(bx)的图像如图,其中 a,b 为常数.下列结论正确的是 A.0<a<1,b>1 B.a>1,0<b<1 C.a>1,b>1 D.0<a<1,0<b<1 解析:由于函数单调递增,∴a>1, 又 f(1)>0,即 logab>0=loga1,∴b>1. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) B.(0,2) D.(-1,3)

(

)

(

)

1 ??1?x x∈[-1,0], ?3 2 11.若函数 y=? 则 f(log3 )=________. ?3x x∈?0,1], ? 1 3 1 2

解析:∵-1=log3

<log3

<log31=0,

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∴f(log3

1 2

)=( ) 3

1 1 log3 2

=3

1 -log3 2

=3log32=2.

答案:2

12.化简:

2 2 · 1 1 =________. a 3 +2 3 ab +4 b 3 a 3 -2 b 3

5 2 a 3 -8 a 3 b

1 a3

解析:原式=

2 1 1 2 · 1 1 a 3 +2 a 3 b 3 +4 b 3 a 3 -2 b 3
1 a3

2 a 3 ? a 8b ?

1 a3



1 2 1 1 2 1 1 a 2 ( a 3 ? 2 b 3 )( a 3 ? 2 a 3 b 3 ? 4 b 3 ) 2 1 1 2 a 3 ? 2a 3 b 3 ? 4b 3
2 3 1 3

· 1

1 a 3 -2 b 3

=a

· a

=a.

[来源:学*科*网]

答案:a 13.若函数 y=2x+1,y=b,y=-2x-1 三图像无公共点,结合图像求 b 的取值范围为 ________. 解析:如图.

当-1≤b≤1 时,此三函数的图像无公共点. 答案:[-1,1] 14.已知 f(x)=log3x 的值域是[-1,1],那么它的反函数的值域为________. 解析:∵-1≤log3x≤1, 1 1 ∴log3 ≤log3x≤log33,∴ ≤x ≤3. 3 3 1 ∴f(x)=log3x 的定义域是[ ,3], 3

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1 ∴f(x)=log3x 的反函数的值域是[ ,3]. 3 1 答案:[ ,3] 3 三、解答题(本大题共 4 个小题,共 50 分) 15.(12 分)设函数 y=2|x
+1|-|x-1|

.

(1)讨论 y=f(x)的单调性, 作出其图像; (2)求 f(x)≥2 2的解集. x≥1, ?2 , ? 2x 解:(1)y=?2 , -1≤x<1, ?2-2, x<-1. ? 当 x≥1 或 x<-1 时,y=f(x)是常数函数不具有单调性, 当-1≤x<1 时,y=4x 单调递增, 故 y=f(x)的单调递增区间为[-1,1),其图像如图.
2

(2)当x≥1 时,y=4≥2 2成立,

当-1≤x<1 时,由 y=22x≥2 2=2×2 3 3 3 得 2x≥ ,x≥ ,∴ ≤x<1, 2 4 4 1 - 当 x<-1 时,y=2 2= <2 2不成立, 4 3 综上,f(x)≥2 2的解集为[ ,+∞). 4

1 2

=2

3 2



16.(12 分)设 a>1,若对于任意的 x∈[a,2a ],都有 y∈[a,a2]满足方程 logax+logay=3, 求 a 的取值范围. 解:∵logax+logay=3,∴logaxy=3. a3 ∴xy=a3.∴y= . x a3 ∴函数 y= (a>1)为减函数, x a3 a2 又当 x=a 时,y=a2,当 x=2a 时,y= = , 2a 2 a2 a2 2 ∴? 2 ,a ??[a,a2].∴ ≥a. ? ? 2

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又 a>1,∴a≥2.∴a 的取值范围为 a≥2. 1 x x 17.(12 分)若-3≤log1x≤- ,求 f(x)=(log2 )· 2 )的最大值和最小值. (log 2 2 4 2 解:f(x)=(log2x-1)(log2x-2) 3 1 =(log2x)2-3log2x+2=(log2x- )2- . 2 4 又∵-3≤log
1 2

1 1 x≤- ,∴ ≤log2x≤3. 2 2

3 1 ∴当 log2x= 时,f(x)min=f(2 2)=- ; 2 4 当 log2x=3 时,f(x)max=f(8)=2. 2x-1 18.(14 分)已知函数 f(x)= x , 2 +1 (1)证明函数 f(x)是 R 上的增函数; (2)求函数 f(x)的值域; x (3)令 g(x)= ,判定函数 g(x)的奇偶性,并证明. f?x? 解:(1)证明:设 x1,x2 是 R 内任意两个值,且 x1<x2,则 x2-x1>0,y2-y1=f(x2)-f(x1) 2x2-1 2x1-1 2· 2-2· 1 2x 2x 2?2x2-2x1? = - = = , 2x2+1 2x1+1 ?2x1+1??2x2+1? ?2x1+1??2x2+1? 当 x1<x2 时,2x1<2x2,∴2x2-2x1>0. 又 2x1+1>0,2x2+1>0,∴y2-y1>0, ∴f(x)是 R 上的增函数; (2)f(x)= 2x+1-2 2 =1- x , x 2 +1 2 +1 2 <2, 2x+1

∵2x+1>1,∴0< 即-2<-

2 2 <0,∴-1<1- x <1. 2 +1 2 +1
x

∴f(x)的值域为(-1,1);
x x 2 +1 (3)由题意知 g(x)= = x · x, f?x? 2 -1

易知函数 g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 2 x+1 1+2x 2x+1 g(-x)=(-x)·-x =(-x)· x=x·x =g(x), 2 -1 1-2 2 -1 ∴函数 g(x)为偶函数.


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