当前位置:首页 >> 数学 >>

用向量法计算空间角


P l α A

B

回顾
一、线线角:
直线与直线所成角的范围:

[0, ] 2

?

? ? 设直线CD的方向向量为a,AB的方向向量为b
? ? b
? a ? a ?? ? b

线线夹角与两线方向向量间的关系:

? ? ? ? a??, ??b

|

? ? ? ? ? a??, ??b

结论:

?

? ? | cos ? a, b ?|

|

思考:
直线和平面所成的角能否也转化 为两个向量所成的角去求解呢? 答案是肯定的。

为此先弄清直线和平面所成角的 定义。看下图

直线和平面所成角的定义 A
B D

O
C

α

定义: 平面外一直线与它在该平面内的投影的
夹角叫作该直线与此平面的夹角。
由定义知本图中AB与平面a的夹角是:

?ABO

思考:
直线与平面的夹角 ?
? 和该直线的方向向量 s ? 与该平面的法向量 n ? ? n 的夹角 〈 s ,〉是什么

关系?
? ? ?
2 ? ? ? n, s

P l α
?

A

B

思考:
直线与平面的夹角 ?
? 和该直线的方向向量 s ? 与该平面的法向量 n ? ? 的夹角 〈 s ,〉是什么α n

P l

关系?
? ?

A

?

B

? ? n, s

?

?
2

? ? 结论 : sin ? ? cos n, s

例一:在单位正方体 ABCD ? A B C D 1 1 1 1 中,求对角线 A1C 与平面ABCD的夹 角 ? 的正弦值。
A1 B1

z

D1

C1

A

D
C

y

x

B

练习: 正方体 ABCD ? A B1C1 D1 的棱长为1. 1
z ???? ???? ???? ? 以 AD AA 设正方体棱长为1, AB, , 1为单 A1 0,, 0,, 位正交基底,可得 A(0,0) B1 (1,1) ????? , ,, B1 C (11,, 1 (111) 则B1C1 ? (01 0) ,0) C , ,, C1 ???? ? ???? AB1 ? (1 01) AC ? (11 0) , ,, , , ?? 设平面AB1C的法向量为n ? ( x,y,z ) A ? ???? ? ? ???? 则n ? AB1 ? 0,? AC ? 0 n B C ?x ? z ? 0 所以 ? ,取x = 1, x x? y ?0 ? ? ????? 0 ? 1 ? 0 ? B ?? 得y = z = -1,故n = (1, , , -1 -1) cos n,1C1 ? 1? 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3

求B1C1与面AB1C所成的角.

D1
y

D

3 3

小结:
直线与平面所成角: ? ??? ? sin ? | cos ? n, AB ? |

?

A

?
n
O

?

B

?

? n

目标测试: ??? ? ???? 1、已知 AB =(2,2,1), AC =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ . 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是 n1=(1,0,1), n2 =(0, 1,1),那么这条斜线与平面所成的角是 ______ .

3. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2,?BAC ? 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦 值为_________ .

布置作业:
? 习题2-5 ? 第三题 ? 补充题如下:

练习:

??? ? ???? 1、已知 AB =(2,2,1), AC =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 ? ? a b 影的方向向量分别是 =(1,0,1), =(0,1, 1),那么这条斜线与平面所成的角是______ .

3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1), 则两平面所成的钝二面角为______ .

? 谢谢大家!!

向量法求二面角的大小

四、教学过程的设计与实施
1

温故知新

如何度量二面角α—l—β的大小

?
B

?
O A

l

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法
能否转化成向量的夹角?

问题1: 二面角的平面角

?AOB
?
B

?
O l A

?AOB ?? OA, OB ? 二面角? ?? OA, OB ?

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

?? ?? ? 二面角? ?? n1, n2 ?

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

问题2: 求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角,那么二 面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系?

? n

?

?? n1

?? ? n2
?

a
?

?

l

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

? ?? n1 ,n2 ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ??2 ? n1 n2

根据教师引导,由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定,调动学生探究这一问题的主动性和积极性.

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

? ? ? ? ? n1,n2 ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n cos ? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ? ?? ??2 ? n1 n2

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

问题3: 法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等,什么时候互补? 再次演示课件

四、教学过程的设计与实施
2

探究方法

当法向量 n1 , n2 一个指向二面角内,另一个指向二面角外时, 二面角的大小 ? ?? n1 , n2 ? ; 当法向量 n1 , n2 同时指向二面角内或二面角外时, 二面角的大小 ? ? ? ? ? n1 ,n2 ? .

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
1 AD SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1, ? , 2

求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值.

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
1 AD SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1, ? , 2

求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值.

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

解:由 SA⊥平面 ABCD,AB⊥AD,SA,AB,AD 两两互相垂直. 以 A 为坐标原点,AD 所在的直线为 x 轴,AB 所在的直线为 y 轴 建立空间直角坐标系 A-xyz,则
??? ? 1 ??? ? 1 S (0, 0,1) , S ( , 0, 0) , C (1,1, 0) , SD ? ( , 0, ?1) , SC ? (1,1, ?1) , 2 2

设平面 SCD 的法向量为 n? (x, y, z),则 n?SD 0, n?SC 0, ? ? 转化为坐标运算,得
?1 ? x ? z ? 0, ?2 ? x ? y ? z ? 0. ?

取 z=1,则 n ? (2,?1,1) ,
1 ? 2 ? 0 ? (?1) ? 0 ? 1 n ? AD 6 2 cos ? n, AD ?? ? ? 1 3 . n ? AD ? 6 2

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤: 1)建立坐标系,写出点与向量的坐标; 2)求出平面的法向量,进行向量运算求出法向量的 夹角; 3)通过图形特征或已知要求,确定二面角是锐角或 钝角,得出问题的结果.

四、教学过程的设计与实施
3

实践操作

巩固练习:

正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点Q是BC的中点,求二面角A—DQ— A1的余弦值.

四、教学过程的设计与实施
4

归纳总结
半平面内分别垂直于棱的向量的夹角

?两种方法 两个平面的法向量的夹角求解

?一个步骤

用法向量求二面角大小的步骤

数形结合 ?两个思想 类比转化

四、教学过程的设计与实施
4

归纳总结

课后作业:
1、如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 , 试用多种方法求二面角A1-BD-C1的余弦值.

四、教学过程的设计与实施
板书设计
用向量法求二面角的大小 1、
3、例题 解: SA、 、 两两垂直, A 为坐标原点, AB AD 以 由 n ? SC ? 0 , n ? SD ? 0 ,得

? ?? n1 , n2 ? , cos? ?
2、

n1 ? n2 n1 n2

AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),S(0,0,1),D (

?1 ? x ? z ? 0, ?2 ? x ? y ? z ? 0. ?
取 z=1,得 n ? (2,?1,1) ,

1 ,0,0) , 2

C(1,1,0, SC ? (1,1,?1) , SD ? ( 1 ,0,?1) , 2

cos ? n, AD ??

n ? AD n ? AD

?

6 3

1 AD ? ( ,0,0) 为平面 SAB 的法向量, 2

?? n, AD ? 与二面角大小相等

? ?? n1 ,n2 ?
cos? ? n1 ? n2 n1 n2

? ? ? ? ? n1 , n2 ?
cos? ? ? n1 ? n2 n1 n2

, 设平面 SCD 的法向量为 n? (x y, z),

? 平面 SAB 与平面 SCD
二面角的余弦值

的所成

6 3

www.themegallery.com

四、教学过程的设计与实施
1

温故知新

异面直线所成的角

?

v1 v1
?

v2

|

v2

? ?? v1,v2 ?

? ? ? ? ? v1,v2 ?

四、教学过程的设计与实施
1

温故知新

直线与平面所成的角
? n

? ? 直线的方向向量为 a ,平面的法向量为 n
a
?

a
B?

?

?

??

?
2

? ? a, n ?

? n

? ?? a, n ? ?

?
2


相关文章:
用向量法求空间角_图文
用向量法求空间角_化学_自然科学_专业资料。龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 用向量法求空间角 作者:秦晓菲 来源:《高中生学习· 高二文综版》2015 年第...
向量法求空间角及距离
向量法求空间角及距离_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 向量法求空间角及距离_高二数学_数学_高中教育_教育专区。用向量...
用向量法求空间角与距离
用向量法求空间角与距离_其它课程_初中教育_教育专区。用向量法求空间角与距离 1.1. 向量的数量积和坐标运算 ? ? a, b 是两个非零向量,它们的夹角为 ? ...
用向量法求空间中角的练习题
用向量法求空间中角的练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。1.如图:ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD,M、N 分别是 PC、AB 中点,求 NM 与平面 ABCD ...
利用向量方法求空间角
利用向量方法求空间角_高三数学_数学_高中教育_教育专区。利用向量方法求空间角 ...(1)求异面直线所成的角,用向量法比较简单,若用基向量法求解,则 必须选好...
用向量法求空间角与距离
用向量法求空间角与距离 向量法温景洪 1. 基本概念: 基本概念: 1.1. 向量的数量积和坐标运算 向量的数量积和坐标运算 a , b 是两个非零向量,它们的夹角为...
向量法求空间角和距离
向量法求空间角和距离_数学_高中教育_教育专区。专题讲解_向量法求空间角和距离 空间角与距离的向量解法在立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“...
利用空间向量法证明与求空间角——解答题篇·解题技能(...
课题 利用空间向量法证明与求空间角——解答题篇·解题技能 一、空间向量(一)空间向量基本定理 对于如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ...
利用向量方法求空间角
的角的大小为___. 探究点一 利用向量法求异面直线所成的角 例 1 已知直三棱柱 ABC—A1B1C1,∠ACB=90°,CA=CB=CC1,D 为 B1C1 的中点,求异 面直线...
向量法求空间角(高二数学,立体几何)
向量法求空间角(高二数学,立体几何)_数学_高中教育_教育专区。高二数学,立体几何,向量法求空间角向量法求空间角 1. (本小题满分 10 分) 在如图所示的多面体中...
更多相关标签: