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椭圆双曲线抛物线解析版


绵阳一中高 2013 级 圆锥曲线
一、选择题
1.(2015?北京西城区模拟)直线 y=2x 为双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线,则双曲线 C 的离心率是 ( A. 3 解析 B. 3 2 ) C. 5 D. 5 2

x2 y2 a b

由题意知 =2,得 b=2a,c= 5a,所以 e=

= 5,故选 C.

b a

c a

4.(2014?东北三省四市联考)以椭圆 + =1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的离心率为 8 5 ( 2 26 A. 13 解析 2 6 B. 3 ) 8 C. 3 13 D. 8

x2 y2

由题意知双曲线的 a= 3,c=2 2,所以 e= =

c 2 2 2 6 = .答案 B a 3 3

30. (2013?新课标Ⅱ高考文)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2 =30°,则 C 的离心率为 A. 3 6 1 B. 3 1 C. 2 ( ) D. 3 3

x2 y2 a b

【解析】由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|= 3m,故离心率 e= =

c 2c |F1F2| 3m 3 = = = . a 2a |PF1|+|PF2| 2m+m 3 → →

4.(2015?珠海模拟)已知点 A(1,0),直线 l:y=2x-4,点 R 是直线 l 上的一点,若RA=AP,则点 P 的轨迹方程为 ( A. y=-2x C.y=2x-8 ) B.y=2x D.y=2x+4
1

解析

x +x =1 , ? 2 ? → → ?x =2-x, 设 P(x,y),R(x ,y ),由RA=AP知,点 A 是线段 RP 的中点,∴? 即? y +y ?y =-y. ? ? 2 =0,
1 1 1 1 1

∵点 R(x1,y1)在直线 y=2x-4 上, ∴y1=2x1-4,∴-y=2(2-x)-4,即 y=2x. 答案 B
2

34. (2013?新课标Ⅰ高考文)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y =4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为 ( ) A.2 【解析】选 C B.2 2 C.2 3 D .4

本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想以及运算能力.由题意知抛物线的焦点 F( 2,0),如图,由 1 抛物线定义知|PF|=|PM|,又|PF|=4 2,所以 xP=3 2,代入抛物线方程求得 yP=2 6,所以 S△POF= ?|OF|?yP=2 3. 2

9.(2013?皖南八校联考)已知直线 l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线 C:y =8x 交于 A,B 两点,F 为抛物线 C 的焦点,若|AF| =2|BF|,则 k 的值是 ( )
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2

1 A. 3 解析
2

2 2 B. 3

C.2 2
2

D.

2 4

直线 y=k(x-2)恰好经过抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0), 可得 ky -8y-16k=0,因为
2

由?

?y =8x, ?

?y=k(x-2), ?

8 8 2 |FA|=2|FB|, 所以 yA=-2yB.则 yA+yB=-2yB+yB= , 所以 yB=- , y A? yB=-16, 所以-2yB=-16, 即 yB=±2 2.

k

k

又 k>0,故 k=2 2. 答案 C 2 2 53. (2012?大纲卷高考理)已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2 = ( ) 1 3 3 4 A. B. C. D. 4 5 4 5 因为 c =2+2=4, 所以 c=2,2c=|F1F2|=4, 由题可知|PF1|-|PF2|=2a=2 2, |PF1|=2|PF2|, 所以|PF2| 2 2 2 ?4 2? +?2 2? -4 3 =2 2,|PF1|=4 2,由余弦定理可知 cos∠F1PF2= = . 4 2?4 2?2 2 【解析】 选C 6.(2015?长沙模拟)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),离心率 e= 2,右焦点 F(c,0).方程 ax -bx-c=0 的两个实 数根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)与圆 x +y =8 的位置关系是 ( ) B.点 P 在圆上 D.不确定 A.点 P 在圆外 C.点 P 在圆内 解析
2 2 2

x2 y 2 a b

2

依题意得 a=b,c= 2a,x1+x2= =1,x1x2=- =- 2,x1+x2=(x1+x2) -2x1x2=1+2 2<8,因此点 P
2 2

b a

c a

2

2

2

位于圆 x +y =8 内,故选 C. 二、填空题 20. (2013?四川高考理)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - =1 的渐近线的距离是( 3 1 A. 2 【解析】选 B B.
2 2

y2

)

3 C.1 D. 3 2 本题考查抛物线的焦点、双曲线的渐近线及点到直线的距离公式,意在考查考生的基本运算能力.因为抛 3 ,故选 B. 2 2 .过 F1 2

物线的焦点坐标为(1,0),而双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,所以所求距离为

151. (2011?新课标高考)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为____. 【解析】根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),∵e= =16,因此 a=4,b=2 2, 所以椭圆方程为 + =1. 16 8
2 2

x2 y2 a b

2 c 2 ,∴ = .根据△ABF2 的周长为 16 得 4a 2 a 2

x2

y2

x y 3 13.(2015?云南统一检测)已知双曲线 S 与椭圆 + =1 的焦点相同,如果 y= x 是双曲线 S 的一条渐近线,那么双曲 9 34 4
线 S 的方程为________. 解析 3 a 3 2 2 由题意可得双曲线 S 的焦点坐标是(0,±5).又 y= x 是双曲线 S 的一条渐近线,所以 c=5, = ,a +b = 4 b 4 9 16

y2 x2 c2,解得 a=3,b=4,所以双曲线 S 的标准方程为 - =1.
40. (2013?四川高考文)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴
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x a

2

y b

2

的 交 点 , B 是 椭 圆 与 y 轴 正 半 轴 的 交 点 , 且 AB ∥ OP(O 是 坐 标 原 点 ) , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 是 ( ) 2 4 【解析】选 C A. 1 2 3 B. C. D. 2 2 2 本题主要考查椭圆的简单几何性质,意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想.由已知,点 P(-c,

b2 b b2 c 2 y)在椭圆上,代入椭圆方程,得 P?-c, ?.∵AB∥OP,∴kAB=kOP,即- =- ,则 b=c,∴a2=b2+c2=2c2,则 = , a? a ac a 2 ?
即该椭圆的离心率是 2 . 2

15.(2014?山东卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F.若双 曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为________. 解析

x2 y2 a b

2

c2=a2+b2.① p c2 p2

由双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c 知, 双曲线过点?c,- ?,即 2- 2=1.② 2? a 4b ? 由|FA|=c,得 c =a + ,③ 4 由①③得 p =4b .④ 将④代入②,得 2=2.∴
2 2 2 2

p2

c2 a

a2+b2 b =2,即 =1, a2 a

故双曲线的渐近线方程为 y=±x,即 x±y=0. 三、解答题 16.(2014?东北三省四市联考)圆 M 和圆 P:x2+y2-2 2x-10=0 相内切,且过定点 Q(- 2,0).(1)求动圆圆心 M 的轨迹方程; 1 (2)斜率为 3的直线 l 与动圆圆心 M 的轨迹交于 A, B 两点, 且线段 AB 的垂直平分线经过点?0,- ?, 求直线 l 的方程. 2? ? 解 (1)由已知|MP|=2 3-|MQ|, 即|MP|+|MQ|=2 3, 且 2 3大于|PQ|, 所以 M 的轨迹是以(- 2,0),( 2,0)为焦点,2 3为长轴长的椭圆,即其方程为 x2 +y2=1. 3

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y= 3x+m,代入椭圆方程得 10x2+6 3mx+3m2-3=0, 3 3 所以 x1+x2=- m, 5 3 则 AB 的中点为?- ? 10 AB 的垂直平分线方程为 y- 3 1 3 m=- ?x+ 10 10 3? 3m?, 1 3m, m?, 10 ?

?

1 5 将?0,- ?代入得 m= , 2? 2 ? 5 所以直线 l 的方程为 y= 3x+ . 2

17. (2014?安徽卷)设 F1, F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, 过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, |AF1| =3|F1B|.
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x2 y2 a b

(1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; 3 (2)若 cos∠AF2B= ,求椭圆 E 的离心率. 5 解 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得, |AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理可得, |AB| =|AF2| +|BF2| -2|AF2|?|BF2|cos∠AF2B, 6 2 2 2 即(4k) =(2a-3k) +(2a-k) - (2a-3k)?(2a-k). 5 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而 a+k>0,故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2| =|F2A| +|AB| , 可得 F1A⊥F2A, △AF1F2 为等腰直角三角形. 从而 c= 2 c 2 a,所以椭圆 E 的离心率 e= = . 2 a 2
2 2 2 2 2 2

18.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 b a

3 ,椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到焦点的距离为 2. 2

(2)已知直线 l: y=kx+ 3与椭圆 C 交于 A, B 两点, 是否存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O? 若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. ?a=2, 解 (1)设椭圆的焦半距为 c,则由题设,得?c
? ?a=2, ?c= 3, ?

?

= , ? ?a 2

3

解得?

所以 b =a -c =4-3=1,

2

2

2

故所求椭圆 C 的方程为 +x =1. 4 (2)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 理由如下: 设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线 l 的方程 y=kx+ 3代入 +x =1, 4 并整理,得(k +4)x +2 3kx-1=0.(*) 2 3k 1 则 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O, 所以OA?OB=0,即 x1x2+y1y2=0.又 y1y2=k x1x2+ 3k(x1+x2)+3, 于是- 1 +k 6k 11 - +3=0,解得 k=± , k2+4 k2+4 2 11 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 2
2 2 2 2

y2

2

y2

2

→ →

2

经检验知:此时(*)式的 Δ >0,符合题意.所以当 k=±

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