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求数列通项公式an的常用方法


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专题:求数列通项公式 a n 的常用方法
一.递推数列求通项问题
一. 观察法 已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从 而 根据规律写出此数列的一个通项。
1 1 5 13 29 61 例 1 已知数列 , ,? , , ? , ? 写出此数列的一个通项公式

。 2 4 8 16 32 64



观察数列前若干项可得通项公式为 a n ? (?1) n

2n ? 3 2n

二、公式法 1 运用等差(等比)数列的通项公式. 2 已知数列 {an } 前 n 项和 S n , a n ? ? 则 例2

n ?1 ? S1 (注意: 不能忘记讨论 n ? 1 ) n?2 ?S n ? S n ?1
求此数列的通项公式。

已知数列{an}的前 n 和 S n 满足 log2 (S n ? 1) ? n ? 1,

解得 S n ? 2 n?1 ? 1 ,当 n ? 1 时 a1 ? 3, 当n ? 2 时 a n ? S n ? S n?1 ? 2 n?1 ? 2 n ? 2 n 所以 a n ? ?
? 3 n ? 2 (n ? 1) (n ? 2)

三. an?1 ? an ? f (n) ( f ? n ? 可以求和) 通项公式。 解析:? an ? an?1 ? 2n ?1(n ? 2)

解决方法 ???? 累加法 ?

例 3、在数列 ?an ? 中,已知 a1 =1,当 n ? 2 时,有 an ? an?1 ? 2n ?1 ? n ? 2 ? ,求数列的

a 2 ? a1 ? 3

a3 ? a 2 ? 5

上述 n ? 1 个等式相加可得:

...
a n ? a n ?1 ? 2n ? 1
练习:1、已知数列 ?an ? , a1 =2, an ?1 = an +3 n +2,求 an 。 2、 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? 3 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, 且
n?1

an ? a1 ? n2 ?1

? an ? n2

? an?1 ? n ? 2? , 求通项公式 an

3、若数列的递推公式为 a1 ? 3, an?1 ? an ? 2 ? 3n?1 (n ? N * ) ,则求这个数列的通项公式

a n ?1 ? a n ?

1 n(n ? 1)

,则求这个数列的通项公式

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四. an?1 ? f (n) ? an ( f (n) 可以求积)
解析:原式可化为 a n ?1

解决方法 ???? 累积法 ?

例 4、 在数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 1, 有 nan?1 ? ? n ? 1? an , n ? 2 )求数列 ?an ? 的通项公式。 (

a

n

? ?

n n ?1 n ?1 n

a a a a

n ?1 n?2

......
2 1

?

2 3

an an ?1 an ?2 a3 a2 ? ? ? ? ? a1 an?1 an?2 an?3 a2 a1 n n ?1 n ? 2 3 2 2 ? ? ? ? ? ?1 ? n ?1 n n ?1 4 3 n ?1 2 又? a1 也满足上式;? an ? (n ? N * ) n ?1 2 n a n ,求 an 。 练习:1、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1 * 2、已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. an ?
3、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2n an ,求通项公式 an 五. an?1

解决方法 ????? 待定常数法 ? ? Aa ? B(其中A,B为常数A ? 0,1)
n

可将其转化为 an?1 ? t ? A(an ? t ) ,其中 t ? 的等比数列,然后求 an 即可。

B ,则数列 ?an ? t? 为公比等于 A A ?1

例 5 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,有 an ? 3an?1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解析:设 an ? t ? 3? an?1 ? t ? ,则 an ? 3an?1 ? 2t

? t ? 1 ,于是 an ?1 ? 3? an?1 ?1?

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 3 为公比的等比数列。
? an ? 2 ? 3n?1 ?1
练习:1、 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 2、已知 a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 2n?1 ,求 an 。 3、已知数列 {a n } 满足 a1 ? 2, an?1 ? 2an ? (2n ?1) ,求通项 a n 4.已知数列 {a n } 满足 a n ? 1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。

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六. an?1 ?

解决方法 c ? an (c? p?d ? 0) 倒数法 pan ? d 2 ? an 例 6 已知 a1 ? 4 , an ?1 ? ,求 an 。 2an ? 1 1 1 1 1 解析:两边取倒数得: ? ? 1 ,设 ? bn , 则 bn ?1 ? bn ? 1 ; 2 an ?1 2an an 1 b ?2 1 令 bn ?1 ? t ? (bn ? t ) ;展开后得, t ? ?2 ;? n ?1 ? ; 2 bn ? 2 2 1 1 7 ??bn ? 2? 是以 b1 ? 2 ? ? 2 ? ? 为首项, 为公比的等比数列。 2 a1 4
n ?1

???? ?

2n ?1 1 ? 7 ?? 1 ? ;即 ; ? 2 ? ? ? ?? ? ,得 an ? n ? 2 2 ?7 an ? 4 ?? 2 ? an 练习:1、设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ? , 求 an . an ? 1 an 2、在数列 {an } 中, a1 ? 2, an ?1 ? ,求数列 {an } 的通项公式. an ? 3 2an 3、在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? ,求数列 {an } 的通项公式. 2an ? 3

? 7 ?? 1 ? ?bn ? 2 ? ? ? ?? ? ? 4 ?? 2 ?

n ?1

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