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2016年高考数学冲刺卷 文(新课标Ⅰ卷)答案


2016 年高考数学冲刺卷 03 文(新课标Ⅰ卷)答案 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1. 【答案】D 【解析】∵ 0 ? x ? 1 ? 1 ? 1 ? x ? 2 ,∴ ? ? ?1,2? ,∴ ? ? ? ? ?1,2? ,故选 D. 2.【答案】A 【解析

】∵ S5 ? 3.【答案】A 【解析】∵ ?1 ? i ? z ? A. 4.【答案】C

5 ? a1 ? a5 ? 5 ? 2a3 32 ? ? 5a3 ? 32 ,∴ a3 ? ,故选 A. 5 2 2

3 ?i ?

? 3?

2

? ? ?1? ? 2 ,∴ z ?
2

2 ?1 ? i ? 2 ? ? 1 ? i ,∴ z ? 1 ? i ,故选 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

5.【答案】C 【解析】 f ? 4? ? log 1 4 ? ?2 ,∴ f ? ? f ? 4?? ? ? f ? ?2 ? ? 3
2
?2

?

1 ,故选 C. 9

6.【答案】D

? ? ? ,且 a ? 2 , b ? 1 , 3 ? ? ? ? 2 ?2 ?2 2 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ∴ a ? a ? 2b ? a ? 2a ? b ? 4 ? 2 ? 2 ?1? cos ? 6 , a ? 2b ? a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b 3 ? ? ? a ? a ? 2b ? ? ? 6 3 ? 4 ? 4 ? 2 ?1? cos ? 4 ?1 ? 12 ,∴ a ? 2b ? 2 3 ,∴ cos ? ? ? ? , ? ? ? 3 2 2? 2 3 a a ? 2b
【解析】设向量 a 与向量 a ? 2b 的夹角等于 ? ,∵向量 a , b 的夹角为

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

∵ ? ??0, ? ? ,∴ ? ? 7.【答案】D

?
6

,故选 D.

【解析】 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

2? ?? ? ? 2? ,A ? ? ? sin ? ? x ? ? ? cos x ,∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 ? ? 2? 1 ?2 ?

? 正确;∵ y ? cos x 在 ? 0, ?

??

? ?? 上是减函数,∴ f ? x ? ? ? cos x 在 ? 0, ? 上是增函数,B 正确;由图象知 ? 2? ? 2?

f ? x ? ? ? cos x 的图象关于直线 x ? 0 对称,C 正确; f ? x ? ? ? cos x 是偶函数,D 错误.故选 D.
8.【答案】B 【解析】由三视图得几何体的直观图如图所示,∴这个几何体是一个三棱柱,故选 B.

9.【答案】C

10.【答案】C 【解析】 (解法一)如图所示,根据抛物线的定义,不难求出, ?? ? 2 ?? ,由抛物线的对称性,不妨设 直线的斜率为正,∴直线 ?? 的倾斜角为 60 ,直线 ?? 的方程为 y ? 3 ? x ? 1? ,联立直线 ?? 与抛物线
?

2 ? ?1 2 3 ? 2 3? ? y ? 3 ? x ? 1? ? 1? ? ?? ? 3, 2 3 , 的方程可得: , 解之得: ∴ ?? ? ? 3 ? ? ? ? 2 3 ? ? 2 ? ? 3,? 3 ? ?, ? 3 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? y ? 4x

?

?

2

?

16 3 1 4 3 ,而原点到直线 ?? 的距离为 d ? ,∴ S?AOB ? ? AB ? d ? ,故选 C. 3 2 2 3

(解法二) 如图所示, 设 ?F ? m , 则 AD ? AF ? 3m ,AG ?

3m , 又A D ? A G 2O ? F 2 ? 2

, ∴m ?

4 , 3

又 CD ? BE ?

8 3 1 4 3 ,∴ S?AOB ? ? OF ? CD ? ,故选 C. 3 2 3

11. 【答案】A

12. 【答案】A 【解析】 若x ? 0, 则 ?x ? 0 , ∵ x ? 0 时, f ? x ? ? sin 若 f ? x ? ? sin

?

? ? x ?1 , ∴ f ? ? x ? ? sin ? ? 2 ? 2

? ? x ? ? 1 ? ? sin x ? 1 , 2 ?

?
2

x ? 1( x ? 0 )的图象关于 y 轴对称,则 f ? ? x ? ? ? sin

?
2

x ? 1 ? f ? x ? ,即

y ? ? sin

?
2

x ? 1 ,x ? 0 ,设 g ?x ? ?? sin

?

x ?1 ,x ? 0 ,作出函数 g ? x ? 的图象,要使 y ? ? sin x ? 1 , 2 2

?

x ? 0 与 f ? x ? ? loga x , x ? 0 的图象至少有 3 个交点,则 0 ? a ? 1 且满足 g ?5? ? f ?5? ,即 ?2 ? log a 5 ,
即 loga 5 ? loga a?2 ,则 5 ?

1 5 ,解得 0 ? a ? ,故选 A. 2 a 5

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. ) 13.【答案】

1 2

2 【解析】由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以使 f ? x0 ? ? 0 成立的概率是

3 ? ? ?1? 1 ? . 4 ? ? ?4? 2

14.【答案】 9

15.【答案】 1
2 【解析】 f ? ? x ? ? x ? 8x ? 6 ,∵ a1 , a4031 是函数 f ? x ? ?
2 又∵正项等比数列 ?an ? ,∴ a2016 ? a1 ? a4031 ? 6 ,∴ log

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 3 的极值点,∴ a1 ? a4031 ? 6 , 3
6

6

a2016 ? log

6 ?1.

16.【答案】 4 ? 7 ?

?

?

【解析】正四棱锥 ? ? ??CD 的体积 V ?
2 2

1 1 3 2 3 2 ,∴ h ? ,∴斜高为 Sh ? ? 3 ? 3 ? h ? 3 3 2 2

?3 2 ? ? 3? 21 ,设正四棱锥 ? ? ??CD 的内切球的半径为 r ,则 ? ? 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ?
1 ? 1 21 ? 3 2 ?? 3 ? 3 ? 4 ? ? 3 ? ?r ? ,∴ r ? ? ? ? 3 ? 2 2 ? 2
面积为 4? r ? 4 ? 7 ? .
2

2

?

7 ?1 4

? ,∴正四棱锥 ? ? ??CD 的内切球的表

?

?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分)

【答案】(1)

? ;(2) 60 . 4

c b ? , sin C sin ? b sin C ? 4 10 .???????10 分 ∴c ? sin ?
(2)∵ ∴ ???C 的面积 S ?

1 1 3 10 bc sin ? ? ?10 ? 4 10 ? ? 60 .???????12 分 2 2 10

18.(本小题满分 12 分) 【答案】 (1) x ? 40 , y ? 10 , ? ? 60 , ? ? 40 ; (2)条形统计图见解析,疫苗有效; (3)有 99.9 %的 把握认为疫苗有效. 【解析】 (1)设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件 ? ,由已知得

y ? 30 2 ? ,所以 y ? 10 , ? ? 40 , x ? 40 , ? ? 60 .???????5 分 100 5 40 2 10 1 ? , 注射疫苗发病率为 ? . (2)未注射疫苗发病率为 60 3 40 4 ? ? ?? ?

发病率的条形统计图如图所示,???????7 分 由图可以看出疫苗有效.???????8 分

100 ? 20 ?10 ? 30 ? 40 ? (3) ? ? ???????9 分 50 ? 50 ? 40 ? 60
2 2

?

1000000 50 ? ? 16.67 ? 10.828 .???????11 分 50 ? 20 ? 60 3

所以有 99.9 %的把握认为疫苗有效. ???????12 分 19.(本小题满分 12 分) 【答案】 (1)证明见解析; (2) 【解析】

3 . 6

A1 B1 E A B

F

C1 M C

(2)连结 ? C , ?1? ,则 VE?A1BC ? VC?A1EB ∵ AB ? AC ? AA1 ? 1 , AB ? AC , E 是 BB1 的中点, ∴ VC? A1EB ?

1 1 S?A1EB ? CD ? ,???????9 分 3 12

设点 E 到平面 A1BC 的距离为 h ,∴ ?A1BC 是边长为 2 的正三角形,

S?A1BC ?

3 1 3 3h 1 3 ,∴ VE ?A1BC ? ? h ? ? ? ,∴ h ? 6 2 3 2 6 12
3 .???????12 分 6

∴点 E 到平面 A1BC 的距离为 20.(本小题满分 12 分)

【答案】 (1)

x2 y 2 3? 5 ? ? 1; ( 2) . 4 3 2

(2)由 ?F ? ? F? ,可知 ? , ? , F 三点共线,设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , 若直线 ?? ? x 轴,则 x1 ? x2 ? 1,不合题意. 当 ?? 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设方程为 y ? k ? x ?1? .

??? ?

??? ?

? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得 ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 .① ?1 ? ? ?4 3
4 2 2 2 由①的判别式 ? ? 64k ? 4 4k ? 3 4k ? 12 ? 144 k ? 1 ? 0 .

?

??

?

?

?

因为 x1 ? x2 ?

8k 2 ???????7 分 4k 2 ? 3
1 8k 2 1 ? ,所以 k 2 ? .???????8 分 2 4 4k ? 3 2

所以 x1 ? x2 ? 将k ?
2

1 2 代入方程①,得 4 x ? 2 x ?11 ? 0 , 4

解得 x ?

1? 3 5 .???????10 分 4

又因为 ?F ? ?1 ? x1 , ? y1 ? , F? ? ? x2 ? 1, y2 ? , ?F ? ? F? ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??

1 ? x1 3? 5 ,解得 ? ? .???????12 分 2 x2 ? 1
? ? 1? 2?

21.(本小题满分 12 分) 【答案】 (1) f ? x ? ? ln x ? 2x ? 3 ; (2) f ? x ? 的单调增区间为 ? 0, ? ,单调减区间为 ?

?1 ? (3) , ?? ? ; ?2 ?

17 ? ? ? ??, ? ? . 2? ?

(3)由在区间 ? ,5? 内 f ( x) ? x ? ln x ? kx 得: 2
2

?1 ?

? ?

ln x ? 2 x ? 3 ? x2 ? ln x ? kx ,? k ? ? x ? 2 ?
设 g ( x) ? ? x ? 2 ?

3 ???????8 分 x

3 3 , g ?( x ) ? ?1 ? 2 ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 (负值舍去) . x x

令 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 3 ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 故当 x ? ( , 3) 时, g ( x) 单调递增,当 x ? ( 3,5) 时, g ( x) 单调递减, 从而 g ( x) 的最小值只能在区间 ? ,5? 的端点处取得??????? 10 分 2

1 2

?1 ?

? ?

17 3 38 1 1 17 g ( ) ? ? ? 2 ? 6 ? ? , g (5) ? ?5 ? 2 ? ? ? , ∴ [ g ( x)]min ? ? . 2 5 5 2 2 2
所以 k ? ?

17 17 ? ? ,即 k 的取值范围为 ? ??, ? ? .???????12 分 2 2? ?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.(本题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 【答 案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析.

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 【答案】 (1) ? x ? 1? ? y ? 1 ? y ? 0 ? ; (2) ? ,
2 2

?3 2? 3 ? ?. 2 ? ?2

【解析】 试题解析: (1)由 ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? ? ,得 x ? y ? 4 ? y ? 0? 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x, y ? ,
2 2

则x?

x1 ? 2 y , y ? 1 ,即 x1 ? 2x ? 2, y1 ? 2 y ,代入 x12 ? y12 ? 4 ? y ? 0? , 2 2
2 2 2 2

得 ? 2 x ? 2 ? ? ? 2 y ? ? 4 ,∴ ? x ? 1? ? y ? 1 ? y ? 0 ? ;???????5 分 (Ⅱ)轨迹 C 是一个以 ?1,0 ? 为圆心, 1 半径的半圆,如图所示,

设 M ?1 ? cos ?,sin ? ? ,设点 M 处切线 l 的倾斜角为 ? 由 l 斜率范围 ? ? 3, ?

? ?

2? 5? 3? ?? ? , ? ,可得 3 6 3 ?

而? ? ? ?

?
2

,∴

?
6

?? ?

?
3

,∴

3 2? 3 , ? 1 ? cos ? ? 2 2

所以,点 M 横坐标的取值范围是 ? ,

?3 2? 3 ? ? .???????10 分 2 ? ?2

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 【答案】 (1) x x ? ?5或x ? 3 ; (2)证明见解析.

?

?

(2) f ? ab ? ? a f ?

?b? ? ,即 ab ?1 ? a ? b . ?a?

因为 a ? 1 , b ? 1 , 所以 ab ? 1 ? a ? b ? a b ? 2ab ? 1 ? a ? 2ab ? b
2 2 2 2 2

?

? ?

2

? ? ?a

2

? 1?? b 2 ? 1? ? 0 ,

所以 ab ?1 ? a ? b ,故所证不等式成立.???????10 分


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