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高三数列试卷及详细答案


数列单元测试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项 符合题目要求) 1. 在等差数列{an}中, 首项 a1=0, 公差 d≠0, 若 ak=a1+a2+a3+?+a7, 则 k=A.22 C.24 B.23 D.25 )

a2 9 2.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则a 的

值为( 11 A.9 C.2 B.1 D.3

3.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为 {an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( A.-110 C.90 )

B.-90 D.110

4.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题错误 的是( )

A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 1 5. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1+a5=2S5, 且 a9=20, 则 S11=( A.260 C.130 答案 D B.220 D.110 )

6.已知 f(x)为偶函数,且 f(2+x)=f(2-x),当-2≤x≤0 时,f(x)=2x,若 n ∈N*,an=f(n),则 a2 014=( A.2 014 ) B.4

1 C.4

1 D.2 014

2 2 2 7.等比数列{an}中,其前 n 项和为 Sn=3n-1,则 a2 1+a2+a3+?+an=

( 1 A.2(3n-1) 1 C.2(9n-1) 8.设函数 f(x)满足 f(n+1)= A.95 C.105 B.3n-1 D.9n-1 2f?n?+n * 2 (n∈N ),且 f(1)=2,则 f(20)=( B.97 D.192 )

)

9.已知等比数列{an}的公比 q<0,其前 n 项的和为 Sn,则 a9S8 与 a8S9 的大 小关系是( ) B.a9S8<a8S9 D.a9S8≤a8S9

A.a9S8>a8S9 C.a9S8≥a8S9

10.数列{an}是等比数列且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值 等于( A.5 C.15 ) B.10 D.20

11.设 a1,a2,?,a50 是以-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1+a2+? +a50=9 且(a1+1)2+(a2+1)2+?+(a50+1)2=107,则 a1,a2,?,a50 当中取零 的项共有( A.11 个 C.15 个 ) B.12 个 D.25 个

12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 acosC,bcosB, ccosA 成等差数列,若 b= 3,则 a+c 的最大值为( 3 A.2 C.2 3 B.3 D.9 )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线 上)

x2 y2 13.若 m,n,m+n 成等差数列,m,n,m· n 成等比数列,则椭圆 m+ n =1 的离心率为________. 14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时 n 等于________. 15. 已知{an}是等差数列,设 Tn=|a1|+|a2|+?+|an|(n∈N*).某同学设计了 一个求 Tn 的部分算法流程图(如图),图中空白处理框中是用 n 的表达式对 Tn 赋 值,则空白处理框中应填入:Tn=________.

16.已知奇函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,数列{xn}是一个公差为 2 的等 差数列,满足 f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0,则 x2 013=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 18.(本小题满分 12 分) 1 数列{an}中,a1=1,an,an+1 是方程 x2-(2n+1)x+ =0 的两个根,求数列 bn {bn}的前 n 项和 Sn. 19.(本小题满分 12 分) 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成 为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;

5 (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+4}是等比数列. 20.(本小题满分 12 分) (2014· 高考调研原创题)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省 区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园, 台湾农民在那里申办个体 工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商第一年年 初到大陆就创办了一座 120 万元的蔬菜加工厂 M,M 的价值在使用过程中逐年 减少,从第二年到第六年,每年年初 M 的价值比上年年初减少 10 万元,从第七 年开始,每年年初 M 的价值为上年年初的 75%. (1)求第 n 年年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An= a1+a2+?+an ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则需在第 n

n 年年初对 M 更新,证明:必须在第九年年初对 M 更新. 21.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N*). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; Tn-2 (2)若 bn=(2n+1)an+2n+1, 数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 >2 2n-1 010 的 n 的最小值. 22.(本小题满分 12 分) 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2-(n+1)an(n∈N*). an (1)求证:数列{ n }是等比数列; 1 1 1 1 2 (2)设数列{2nan}的前 n 项和为 Tn, An=T +T +T +?+T , 试比较 An 与na
1 2 3 n n

的大小.

数列单元测试卷答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项 符合题目要求)

1. A 解析 故选 A. 2. D 解析
2 a9 a7a11 5 由等比数列性质可知 a3a5a7a9a11=a7=243, 所以得 a7=3, 又a = a 11 11

因为 an=(n-1)d, 由题知(k-1)d=d+2d+?+6d=21d, 所以 k=22,

=a7,故选 D. 3D 解析 因为等差数列的公差为-2,所以 a3=a1-4,a7=a1-12,a9=a1-

2 16.因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,所以 a2 7=a3a9,即(a1-12) =(a1-4)(a1-16),

10×9 2 a2 1-24a1+144=a1-20a1+64,所以 4a1=80,a1=20.于是 S10=10a1+ 2 d= 10×20+45×(-2)=110.故选 D. 4 C 1 d d 因为 Sn=na1+2n(n-1)d=2n2+(a1-2)n,所以 Sn 是关于 n 的二次函

解析

数,当 d<0 时,Sn 有最大值,即数列{Sn}有最大项,故 A 项命题正确.若{Sn} 有最大项, 即对于 n∈N*, Sn 有最大值, 故二次函数图像的开口要向下, 即 d<0, 故 B 项命题正确.而若 a1<0,d>0,则数列{Sn}为递增数列,此时 S1<0,故 C 项 d d 命题错误.若对于任意的 n∈N*,均有 Sn>0,则 a1=S1>0,且2n+a1-2>0 对于 d n∈N*恒成立,∴2>0,即命题 D 项正确.故选 C 项. 5. D 解析 ∵S5= a1+a5 1 × 5 ,又∵ 2 2S5=a1+a5,∴a1+a5=0.∴a3=0,∴S11=

a1+a11 a3+a9 0+20 2 ×11= 2 ×11= 2 ×11=110,故选 D. 6. C 解析 由 f(x)为偶函数,得 0≤x≤2 时 f(x)=2-x.

又 f(2+x)=f(2-x),∴f(x)的图像关于 x=2 对称. 又 f(x)的图像还关于 x=0 对称, ∴f(x+4)=f(x),∴an+4=an.

1 - ∴a2 014=a4×503+2=a2=f(2)=2 2=4. 7C 解析
-1

由 Sn=3n-1 可知,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-1+1=2· 3n

. 由 an =3(n≥2)可知{an}是以 a1=2 为首项,3 为公比的等比数列. an-1

2 2 ∴{a2 n}是以 3 为公比,a1=4 为首项的等比数列.

∴{a2 n}的前 8.B

4?1-9n? 1 n n 项和为 Tn= =2(9 -1). 1-32

解析

?f?20?=f?19?+ 2 , ?f?19?=f?18?+18, n 2 f(n+1)=f(n)+2,∴? ?? ? ?f?2?=f?1?+1 2.

19

19×20 1 2 19 累加,得 f(20)=f(1)+(2+2+?+ 2 )=f(1)+ 4 =97. 9A 解析 a9a1?1-q8? a8a1?1-q9? a8a1?q-q9-1+q9? a9S8-a8S9= - = =-a1a8= 1-q 1-q 1-q

7 2 2 7 -a2 1q ,因为 a1>0,q<0,所以-a1q >0,即 a9S8>a8S9,故选 A.

10.A 解析
2 2 由于 a2a4=a2 a4+2a3· a5+a4· a6=a2 3,a4a6=a5,所以 a2· 3+2a3a5+a5=

(a3+a5)2=25.所以 a3+a5=± 5.又 an>0,所以 a3+a5=5.所以选 A. 11. A 解析
2 2 (a1 + 1)2 + (a2 +1)2 + ?+ (a50 +1)2 = a2 1 + a2 + ? + a 50 + 2(a1 + a2 + ?

2 2 +a50)+50=107,∴a2 1+a2+?+a50=39,∴a1,a2,?,a50 中取零的项应为 50

-39=11 个,故选 A. 12. C 解析 ∵acosC, bcosB, ccosA 成等差数列, ∴2bcosB=acosC+ccosA.∴cosB

a+c 2 ?a+c?2 1 2 2 2 2 2 = 2 , b = a + c - 2accosB = (a + c) - 3ac≥(a + c) - 3· ( 2 ) = 4 ,即 ?a+c?2 3≥ 4 ,当且仅当 a=c 时,等号成立,∴a+c≤2 3. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线 上) 2 13. 2 解析 由题意知 2n=m+m+n,

∴n=2m.又 n2=m· m· n,∴n=m2,∴m2=2m. ∴m=2,∴n=4,∴a2=4,b2=2,c2=2. c 2 ∴e= = . a 2 14. 6 解析 设该数列的公差为 d,则 a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,解 n?n-1? 2 2 所以当 n=6 时, 2 ×2=n -12n=(n-6) -36,

得 d=2, 所以 Sn=-11n+ Sn 取最小值. 15. n2-9n+40 解析

由流程图可知该等差数列的通项公式是 an=2n-10 或 an=-2n+10.

不妨令 an=2n-10,则当 n≥6 时,Tn=|a1|+|a2|+?+|an|=-a1-a2-?-a5+ ?n-5??2+2n-10? a6+a7+?+an=20+ =n2-9n+40. 2 16. 4 007 解析 因为 f(x)是奇函数,在 R 上是增函数,且数列{xn}是递增数列,所以

由 f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0 可得 x8+x11=x9+x10=0.由数列{xn}的公差为 2, 得 x1=-17,所以 xn=x1+(n-1)d=2n-19.所以 x2 013=2×2 013-19=4 007. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.答案 解析 (1)an=n (2)Sn=2n+1-2

(1)由题设知公差 d≠0.

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列,得 去).

1+2d 1+8d 1 =1+2d,解得 d=1,或 d=0(舍

所以{an}的通项公式 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 2an=2n,由等比数列前 n 项和公式,得 Sn=2+22+23+?+2n 2?1-2n? n+1 = =2 -2. 1-2 18. 答案 解析 n Sn= n+1 1 ∵an,an+1 是 x2-(2n+1)x+b =0 的两根,
n n

1 ∴an+an+1=2n+1,an· an+1=b . ∴an+1+an+2=2n+3. ∴an+2-an=2. ∴a3-a1=2, a5-a3=2, ?? a2n-1-a2n-3=2. ∴a2n-1-a1=2(n-1). ∴a2n-1=2n-1,∴当 n 为奇数时,an=n. 同理可得当 n 为偶数时,an=n. ∴an=n. 1 1 1 1 ∴bn= = = - . an· an+1 n?n+1? n n+1 ∴Sn=b1+b2+b3+?+bn 1 1 1 1 1 1 1 =1-2+2-3+3-4+?+n- n+1 =1- 19. 1 n = . n+1 n+1

答案 解析

5 n-1 - (1)bn=4· 2 =5· 2n 3

(2)略

(1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d.

依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2. 5 由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22,解得 b1= . 4 5 5 n-1 所以{bn}是以4为首项, 2 为公比的等比数列, 其通项公式为 bn=4· 2 =5· 2n
-3

. 5 n 4?1-2 ? 5 (2)数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2n-2-4, 1-2 5 即 Sn+4=5· 2n-2. 5 5 所以 S1+4=2, 5 Sn+1+4 5· 2n-1 = =2. 5 5· 2n-2 Sn+4

5 5 因此{Sn+4}是以2为首项,公比为 2 的等比数列. 20. 130-10n,n≤6, ? ? (1)an=? 3 70×?4?n-6,n≥7 ? ?

答案 思路

(2)略

(1)根据题意, 当 n≤6 时, 数列{an}是等差数列, 当 n≥7 时, 数列{an}

是等比数列,分别写出其通项公式,然后进行合并即可;(2)先对 n 进行分类, 表示出 An, 利用数列的单调性质确定其最小项, 并与 80 比较大小, 确定 n 的值. 解析 (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列,故

an=120-10(n-1)=130-10n. 当 n≥7 时,数列{an}从 a6 开始的项构成一个以 a6=130-60=70 为首项,

3 3 - 以4为公比的等比数列,故 an=70×(4)n 6. 130-10n,n≤6, ? ? 所以第 n 年初 M 的价值 an=? 3 70×?4?n-6,n≥7. ? ? (2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差数列和等比数列的求和公式,得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1), Sn An= n =120-5(n-1)=125-5n≥95>80, 当 n≥7 时,由于 S6=570, 3 3 故 Sn = 570 + (a7 + a8 + ? + an) = 570 + 70× 4 ×4×[1 - ( 4 )n - 6] = 780 - 3 210×(4)n-6. 因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列. 3 780-210×?4?n-6 Sn 因为 An= n = , n 3 780-210×? ?2 4 A8= ≈82.734>80, 8 3 780-210×?4?3 A9= ≈76.823<80, 9 所以必须在第九年年初对 M 更新. 21. 答案 解析 (1)略 (2)10

(1)因为 Sn+n=2an,所以 Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N*).两式相

减,得 an=2an-1+1. 所以 an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N*),所以数列{an+1}为等比数列. 因为 Sn+n=2an,令 n=1 得 a1=1. a1+1=2,所以 an+1=2n,所以 an=2n-1. (2)因为 bn=(2n+1)an+2n+1,所以 bn=(2n+1)· 2n. 所以 Tn=3×2+5×22+7×23+?+(2n-1)· 2n-1+(2n+1)· 2n,①

2Tn=3×22+5×23+?+(2n-1)· 2n+(2n+1)· 2n+1,② ①-②,得-Tn=3×2+2(22+23+?+2n)-(2n+1)· 2n+1 =6+2× 22-2n+1 -(2n+1)· 2n+1 1-2

=-2+2n+2-(2n+1)· 2n+1=-2-(2n-1)· 2n+1. 所以 Tn=2+(2n-1)· 2n+1. Tn-2 ?2n-1?· 2n+1 若 >2 010,则 >2 010, 2n-1 2n-1 即 2n+1>2 010. 由于 210=1 024,211=2 048,所以 n+1≥11,即 n≥10. 所以满足不等式 22. 答案 解析 (1)略 2 (2)An<na
n

Tn-2 >2 010 的 n 的最小值是 10. 2n-1

1 (1)证明:由 a1=S1=2-3a1,得 a1=2.

an 1 an-1 an 1 当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1,得 n =2× ,所以{ n }是首项和公比均为2 n-1 的等比数列. n?n+1? an 1 (2)由(1)得 n =2n,于是 2n· an=n,Tn=1+2+3+?+n= 2 . 1 1 1 1 2n 所以T =2(n- ),于是 An=2(1- )= . n + 1 n + 1 n +1 n 2 2 2n n 而na = n2 ,所以问题转化为比较n2与 的大小. n+1 n 2n n 设 f(n)=n2,g(n)= , n+1 当 n≥4 时,f(n)≥f(4)=1,而 g(n)<1,所以 f(n)>g(n). 经验证当 n=1,2,3 时,仍有 f(n)>g(n). 2 因此对任意的正整数 n,都有 f(n)>g(n),即 An<na .
n n+1


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