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深圳市高级中学2012-2013学年第一学期期中测试高一数学试卷附答案


深圳市高级中学 2012-2013 学年第一学期 期中测试高一数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 每小题只有一个正确答案)

1. 函数

f ( x) ? 1 ? x ?

x 的定义域为 1? x
C. R D. ? ?1,1? ? ?1, ?? ?

>
A. [?1, ??)

B. ? ??, ?1?

2.已知 M ? {0,1, 2} , N ? {x | x ? 2a, a ? M } , 则 M ? N ?

A. {0}

B.

{0,1}

C. {0,1,2}

D. {0,1,2,4}

3.下列函数中值域是 (0,??) 的是

A. y ? x 2 ? 3 x ? 2 C. y ?
1 |x|
2 x

B. y ? x 2 ? x ? D. y ? 2 x ? 1

1 2

4.已知 f ( x) ? 2 x ? 2 ,则在下列区间中, f ( x) 有零点的是

A. (?3, ?2)

B. (?1,0)

C. (2,3)

D. (4,5)

5. 三个数 a ? 0.3 , b ? log 2 0.3 , c ? 2
2

0.3

之间的大小关系是

A.a < c < b

B.a < b < c

C. b < a < c

D. b < c < a

6. lg10 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) ?
2

?2

A.

?1

B.

0

C. 1

D.

2

7. 已知函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,它在 [0, ??) 上是减函数,若 f (ln x ) ? f (1), 则 x 的取值范围是

A. (e ?1 ,1)

B. (0, e ?1 ) ? (1, ??)

C. (e ?1 , e )

D. (0,1) ? (e, ??)

1/7

8. 如果一个函数 f ( x ) 在其定义区间内对任意实数 x , y 都满足 f (
是下凸函数,下列函数 ks5u (1) f ( x ) ? 2 ;
x

x? y f ( x) ? f ( y) ,则称这个函数 )? 2 2

(2) f ( x ) ? x ;
3

(3) f ( x ) ? log 2 x( x ? 0); 中是下凸函数的有( )

(4) f ( x ) ? ?

? x, ? 2 x,

x?0 x?0

A. (1),(2)

B. (2),(3)

C.(3),(4)

D. (1),(4)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.已知集合 A ? {1, 2} ,集合 B 满足 A ? B ? {1, 2}, 则集合 B 有________个.
? x 2 ? 1, x ? 0, 10. f ( x ) ? ? 若 f ( x ) ? 10, 则 x ? ____________. x ? 0. ? ?2 x ,

11.已知幂函数 y ? f ( x) 的图像过点 (2,
x x

2 ) ,则函数 f ( x) =____________. 2

12. 设 0 ? x ? 2 ,则函数 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 5 的最大值为_________. 13. 若方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 (a , b) 上有一根,其中 a, b 是整数,且 b ? a ? 1 ,则 a ? b ? ______.
3

14.将函数 f ( x ) ? lg( x ? x ? 1) 写成一个偶函数与一个奇函数的和,其中奇函数为________.
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本题 12 分) 已知全集 U = R,A ? { x | ?3 ? x ? 6, x ? R} ,B ? { x | x ? 5 x ? 6 ? 0, x ? R} . 求:
2

(1) A ? B ; (2) (?UB)∩A.

16. (本题 12 分) (1) 计算 3 ? 3 1.5 ? 6 12 (2)若 x log 3 4 ? 1, 求 4 ? 4 的值 ks5u
x ?x

17.(本题 14 分) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? a (a ? 1),
x

(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 若不等式 f ( x) ? 4 的解集为 [?2, 2] ,求 a 的值.

2/7

18.

(本题 14 分) 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且对任意实数 x ,有 f (1 ? x) ? x ? 3x ? 3 .
2

(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 若 g ( x) ? f ( x) ? (1 ? 2m) x ? 1(m ? R) 在 [ , ??) 上的最小值为 ?2 ,求 m 的值.

3 2

19. (本题 14 分) 某厂生产一种产品的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产一百件这样的产品, 需要增加可变成本(即另增加投入)0.25 万元. 市场对此产品的年需求量为 500 件,销售的收入函数为

R(t ) ? 5t ?

t2 ,其中 t (t ? N ) 是产品售出的数量(单位:百件) (0 ? t ? 5, t ? N ) (单位:万元) 2

(1) 该公司这种产品的年产量为 x( x ? N ) 百件, 生产并销售这种产品所得到的利润为当年产量 x( x ? N ) 的 函数 f ( x) ,求 f ( x) ; (2) 当年产量是多少时, 工厂所得利润最大? (3) 当年产量是多少时, 工厂才不亏本? ks5u

20. 函数.

(本题 14 分) 已知指数函数 y ? g ( x) 满足: g (2) ? 4 ,定义域为 R 上的函数 f ( x) ?

? g ( x) ? n 是奇 g ( x) ? m

(Ⅰ)求 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)判断 y ? f ( x) 在 R 上的单调性并用单调性定义证明; (Ⅲ)若方程 f ( x ) ? b 在 ( ?? , 0) 上有解,试证: ?1 ? 3 f (b) ? 0 .

3/7

深圳市高级中学 2012-2013 学年第一学期 期中测试高一数学试卷参考答案
一.
1 D

选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。每小题只有一个正确答案) 。
2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 C 8 D

二. 填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
? 1 2

9. 12.

4 9

10. 13.

-3 -3

11. 14.

x

1 x2 ? x ? 1 lg 2 x2 ? x ? 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 12 分) 已知全集 U = R,A = {x |-3 < x ≤ 6,x ?R},ks5u

B = {x | x2-5x -6 < 0, x ? R}.
求: (1) A ? B ; (2) (?UB)∩A. 解:(1) B={x | -1<x<6}; …………………………..3

A ? B ? { x | ?3 ? x ? 6}

……………………………6

(2) ?UB ={x | x≤-1 或 x≥6} …………………………………………9 ( ?UB )∩A= {x | -3<x≤-1 或 x=6}. …………………………….12
16. (本小题满分 12 分) (1) 计算 3 ? 3 1.5 ? 6 12 (2)若 x log 3 4 ? 1, 求 4 ? 4 的值
x ?x

解:(1)

3 ? 3 1.5 ? 6 12 =3……………………………….6
x

(2)由 x log 3 4 ? 1, 知, 4 ? 3, 4 所以 4 ? 4
x ?x

?x

1 ? , 3

?

10 ……………………………………..12 3
x

17.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? a (a ? 1), (1)求函数 f ( x) 的解析式;
4/7

(2)若不等式 f ( x) ? 4 的解集为 [?2, 2] ,求 a 的值.ks5u 解: (1) 当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f (? x) ? a ∵ f ( x) 为偶函数,∴ f ( x) ? a
?x

?x





? a ? ∴ f ( x) ? ? 1 x ?( ) ? a (2)∵ a ? 1,
x

x ? 0, x?0
,……………………………………6

?x ? 0 ?x ? 0 ? ∴ f ( x) ? 4 等价于 ? x 或? 1 x , ? a ? 4 ?( ) ? 4 ? a ∴ 0 ? x ? log a 4 或 ? log a 4 ? x ? 0 , …………ks5u……………12
由条件知 log a 4 ? 2 ,∴ a ? 2 …………………………………………………14 18. (本小题满分 14 分)设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对任意实数 x ,有 f (1 ? x) ? x ? 3x ? 3
2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? f ( x) ? (1 ? 2m) x ? 1(m ? R) 在 [ , ??) 上的最小值为 ?2 ,求 m 的值. 解:令 1 ? x ? t 得 f (t ) ? (1 ? t ) ? 3(1 ? t ) ? 3
2

3 2

即 f (t ) ? t ? t ? 1
2

即 f ( x) ? x ? x ? 1, x ? R ,------------------------------------6
2

(2)令 g ( x) ? x ? 2mx ? 2 ? ( x ? m) ? 2 ? m
2 2

2

(x?

3 ) 2

若m ? 若m ?

3 2 ,当 x ? m 时, g ( x) min ? 2 ? m ? ?2 ? m ? 2 --------------------10 2 3 17 25 3 3 ,当 x ? 时, g ( x)min ? ? 3m ? ?2 ? m ? ? 舍去 2 4 12 2 2

综上可知 m ? 2 ----------------------ks5u-----------------14 19. (本小题满分 14 分) 某厂生产一种产品的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产一百件这样的产品,需要增加可变成 本 ( 即 另 增 加 投 入 ) 0.25 万 元 . 市 场 对 此 产 品 的 年 需 求 量 为 500 件 , 销 售 的 收 入 函 数 为

t2 R( t ) ? 5t ? ( 0? t ? 5 t ,? N ) (单位:万元) ,其中 t (t ? N ) 是产品售出的数量(单位:百件) 2
(1) 该公司这种产品的年产量为 x( x ? N ) 百件, 生产并销售这种产品所得到的利润为当年产量 x( x ? N ) 的 函数 f ( x) ,求 f ( x) ;
5/7

(2) 当年产量是多少时, 工厂所得利润最大? (3) 当年产量是多少时, 工厂才不亏本? 解: (1)利润

? x2 ??0.5 ? 4.75 x ? , 0 ? x ? 5, x ? Z , f ( x) ? ? ………………………………………….6 2 ? 12 ? 0.25 x, x ? 5, x ? Z . ?
(2) 若 0 ? x ? 5, 则 y ? ?0.5 ? 4.75 x ?

x2 , 对称轴 x ? 4.75 ,所以,当 x=5 时 y 有最大值 10.75 2

若 x.>5,则 y ? 12 ? 0.25 x 是减函数,所以,当 x=6 时 y 有最大值 10.50 综上:年产量 500 件时,工厂所得利润最大。………………………………………….10 (3)当 0 ? x ? 5, 时,由 y ? 0 得, 0 ? x ? 5, x ? Z , 当 x ? 5, 时,由 y ? 0 得, 5 ? x ? 48, x ? Z , 综上:年产量 x 满足 1 ? x ? 48, x ? Z , 时,工厂不亏本。……ks5u……….14

20. (本小题满分 14 分) 已知指数函数 y ? g ( x) 满足: 定义域为 R 上的函数 f ( x) ? g (2) ? 4 , 是奇函数。 (Ⅰ)求 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)判断 y ? f ( x) 在 R 上的单调性并用单调性定义证明; (Ⅲ)若方程 f ( x ) ? b 在 ( ?? , 0) 上有解,试证: ?1 ? 3 f (b) ? 0 . 解: (1) 设 g ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) ,由 g (2) ? 4 得 a ? 2 ,故 g ( x) ? 2 ,………2 分
x x

? g ( x) ? n g ( x) ? m

由题意 f ( x) ?

? g ( x) ? n ? 2 x ? n ? x g ( x) ? m 2 ?m
…………3 分

因为 f ( x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) =0,得 n ? 1

? 2x ?1 1? 2x ∴ f ( x) ? x , 又由 f(1)= -f(-1)知 m ? 1 ∴ f ( x) ? …………5 分 2 ?m 1? 2x
(2) f ( x) 是 R 上的单调减函数。 证明:设 x1 ? R, x2 ? R 且 x1 ? x2
6/7

…………6 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
x1

因为 y ? 2 为 R 上的单调增函数且 x1 ? x2 ,故 2 又1 ? 2
x1

? 2 x2 ,

? 0 , 1 ? 2 x2 ? 0 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
…………9 分

所以 f ( x) 是 R 上的单调减函数 (3)方程 f ( x ) ? b 在 ( ?? , 0) 上有解,即

2 ? 1 ? b 在 ( ?? , 0) 上有解。 2 ?1
x

2 ? 1 ? (0,1) 从而 b ? (0,1) ------------------------------12 2 ?1 ? f ( x ) 在 R 上是减函数,? f (1) ? f (b) ? f (0), 1 即 ? ? f (b) ? 0, 从而 ?1 ? 3 f (b) ? 0 。…………ks5u……………………14 3
? x ? ( ??, 0) ? 2 x ? (0,1),
x

7/7


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