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一个公式的妙用


CH   Z  0  G S  嚣   G S  l   i 夔   一 个公式 的妙用  张 海 燕  l   l   l6  在人教版八下教材 2 4页 “ 容 器 中 的 水  能倒完 吗 ” 的 阅读 与 思 考 中 , 我 们 知 道 了  分 式 计 算 的一 个 重 要 公 式 ( 详见 2 4页的 选  学 内容 ) , 即:   1   1   1   +1 6   X 2 +1 6 x   例2 在1 - 1 0 0共 1 0 0个 自然数 中选 1 O   个 自然 数 , 使这 1 0个 自然 数 的 倒 数 和 为 1 .   n ( n + 1 )  n  n + 1   【 分析 】 看似很 简单 的 问题 , 但如 果 随  意 挑 选 求 解会 很 困难 .此 时 我 们 可 用 公 式   =   一   分 析一下 这个公 式 的特点 , 我 们 发 现  进行如下探 究 : 因 为  1   1、   — 它 恰 好 将 两 个 分 式 的 积 化 成 了 两 个 分 式  差 的形式 , 充 分 地 利 用 这 个 公 式 有 时 会 帮  我 们 解 决 很 多 问题 , 下 面看 两 个 例 子 .   例 1 计算 :   +   十l,   十 上八   十  2     1   = 一 ,   1   1   1   1   1   — = 1一 — — :—— = — = — — 一 — — :— — = — 1 x2   = 2   6   2x3   2   3   1 2   3 x4   + . 一   = ÷ — 3 —   一   — 4 1 —   . ; . … . 。 ; :   一 9 1 0   = — 9 x - l — 1 0   =   — 9 1 —   一   — 1 1 — 0   . 上 [H l 一 a l 的 J 、 … 数 镘   艾 _   共 有 9个 , 它 们 的和 为 :   2+   6+   +  +   — — — — — —   — ~   ’ ( x + 1 5 ) ( x + 1 6 ) ‘   【 分析 】 直接采用 通分 的方法显然行 不  通, 观察分 式 的特点 , 利用 公式 “   一 —   + — 4 — 2   + — 5 — 6   + — 7 — 2   + — — = ( f   \ l 一   — 2 — 1 / f + ( f \   — 2 — 一   — 3 — ) / f   +  +  +  +  9 0= =   + nL   n+ l   J   n   n + J   ” 应 该 有 :   【   三 +  : J   J   ÷ 一   + J   ;  ) L m ̄ - 0, 则 1 0个 数 的 和 恰 为 1 , 从 而 得 到  1   一 ( ÷ 一 丢 ) + . . ? + ( 吉 一   ) = ? 一   =   . 最 后   1 1   1   x +l一  l   一;   了 问题 的解 .   解 : 在 1 ~1 0 0之 问 的 1 0个 自然 数 :   : —   一   . +l 5   +1 6   所 以我 们 可 将 “ 积” 式 化 为  。。   。 。     ‘   。 2 , 6 , 1 0 , 1 2 , 2 0 , 3 0 ,

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