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2016年郑州市第一次联合考试 理科数学


豫南九校联盟 2015—2016 学年下期第一次联考

高三数学(理)试题精编精析
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上。) 1.已知集合 A={x| x ≥16},B={m},若 A∪B=A,则实数 m 的取值范围是 A.(-∞,-

4) B.[4,+∞) C.[-4,4] D.(-∞,-4]∪[4,+∞) 【答案】D 【考查方向】本题主要考查了集合的运算、一元二次不等式的解法,集合的运算在近几年各 省的高考题中几乎每年都会出现,常常和不等式的解法结合考查,需要高度重视。 【易错点】不会求解不等式 x ≥16 以及不理解 A∪B=A 的含义而导致错误。 【解题思路】先求出集合 A,再根据 A∪B=A 可知 B ? A ,据此可解。 【解析】A={x| x ≥16}={x| x ? ?4, 或x ? 4 },由 A∪B=A 可知 B ? A ,从而可知
2
2

2

m ? ?4, 或m ? 4 .所以选择 D 选项。
2.已知复数 Z 的共轭复数 Z = A.

3 5

1-i ,则复数 Z 的虚部是 1+2i 3 3 B. i C.- 5 5

D.-

3 i 5

【答案】A 【考查方向】本题主要考查了复数的运算、共轭复数的概念,复数的运算在近几年各省的高 考题中几乎每年都会出现,需要高度重视。 【易错点】考生往往会因为没有记清楚复数的实部与虚部的含义而错选 B。 【解题思路】先求出复数 z ,然后根据共轭复数的概念写出 z,进而确定其虚部。 【解析】 z ?

1 3 1-i (1-i)(1-2i) 1 3 ? ? ? ? i ,所以 z ? ? ? i .所以选择 A 选项. 5 5 1+2i (1+2i)(1-2i) 5 5

? 1 x 1 ?( ) ,( x≤0) 3.若 f(x)= ? 3 ,则 f(f( ))= 9 ? ?log3 x? ( x>0)
A.-2 B.-3 C.9 D.

1 9

【答案】C 【考查方向】 本题主要考查了对分段函数的理解以及对复合函数的认识、 分段函数在近几年 的各省高考题出现的频率较高。

1 【易错点】本题易在不理解 f ( f ( )) 的含义而导致错误。 9
1 【解题思路】根据复合函数的运算规则,从内层函数出发,逐层往外计算,因此先算 f ( ) , 9

1 然后再算 f ( f ( )) . 9

1 1 1 1 【解析】因为 >0,所以 f ( ) ? log3 ? ?2 ,此时由于 f ( ) =-2<0,因此 9 9 9 9
1 1 f ( f ( )) ? f (?2) ? ( )?2 ? 9 ,所以选 C 选项。 9 3

4.若{ an }为等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S11= 则的值为 A. 3 B. ? 3 C.

22? ?2 b7 = ,{ bn }为等比数列, b5 · , 3 4

3 3

D. ?

3 3

【答案】C 【考查方向】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质,两角和的正切公式,是数列和三 角函数的综合性问题,同时考查转化与化归的数学思想,难度中等。 【易错点】没有记清楚等差数列与等比数列的相关性质时导致本题出错的主要原因。 【解题思路】先求出 a6 , b6 ,再利用两角和的正切公式求解。

【解析】 S11=

11(a1 ? a11 ) 22a6 22? ? 2? ?2 b7 = b6 2 = , 因此 a6 ? ,b5 · , 因此 b6 ? ? ? ? 4 2 2 3 2 3
3 ,所以选择 C 选项. 3

不论 b6 取那一个值,tan( a6 + b6 )=

5.执行如右图所示的程序框图,则输出的结果是 A.

19 20

B.

20 21

C.

21 22

D.

22 23

【答案】B 【考查方向】本题主要考查了算法与程序框图以及用裂项 相消法求数列和的相关知识。 【易错点】本题容易对循环退出的条件判断不准确而出现 错误,往往会在计算时因失误而失分。 【解题思路】根据程序框图探索该程序所要解决的问题, 然后利用所学知识求解。 【解析】根据题意可知该程序的作用是求

1 1 1 ? ?L ? 的值, 利用裂项相消法可以得到 1? 2 2 ? 3 21? 22

结果为 1 ?

1 21 ,因此选择 C 选项. ? 22 22
2

6. 已知点 P 是抛物线 x =4y 上 的动点, 点 P 在 x 轴上的射影是 Q, 点 A 的坐标是 (8, 7) , 则|PA|+|PQ|的最小值为 A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【考查方向】本题主要考查了抛物线的定义、方程以及几何性质等知识点,同时考查了综合 法、转化法等思想方法以及学生的计算能力。 【易错点】本题容易因为对抛物线的性质记忆不清楚而导致题目无法 进行。 【解题思路】确定 P 点满足什么条件时|PA|+|PQ|取得最小值, 然后进行计算即可。 【解析】如图,根据抛物线的定义可知 PH=PF,PQ=PH-1=PF-1, PA+PQ=PA+PF-1,焦点 F 点的坐标为(0,1),由图可知当A、P、F 三点共线时|PA|+|PQ|取得最小值,最小值为 9。

? x-y+1≥0 ? 7.已知 ?7 x-y-7≤0, 表示的平面区域为 D,若 ?( x, y) ∈D,2x+y≤a 为真命题,则实数 ? x≥0, y≥0 ?
a 的取值范围是 A.[5,+∞) B.[2,+∞) C.[1,+∞) D.[0,+∞) 【答案】A 【考查方向】本题主要考查了线性规划的相关知识转化化归思想以及数形结合思想。 【易错点】本题往往会因为不若理解“ ?( x, y) ∈D,2x+y≤a 为真命题”这一条件而导致 错误。 【解题思路】 1、理解“ ?( x, y) ∈D,2x+y≤a 为真命题”所表达的含义; 2、根据线性约束条件画出可行域; 3、画出直线 2 x ? y ? 0 ,通过平移确定最大值的位置. 【解析】“ ?( x, y) ∈D,2x+y≤a 为真命题”即恒成立问题,只需 要 a ? 2x + y 的最大值即可。画出可行域如图所示,易知当直线
2 x ? y ? 0 平移至经过点 A ( , ) 时目标函数取得最大值,最大值为
4 7 z ? 2? ? ? 5 。 3 3

4 7 3 3

8.如右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积是 A.3+ 2 + 3 【答案】C B.

2 3

C.2+ 2 + 3

D.5+ 2

【考查方向】 本题主要考查了三视图以及空间几何体的表面积计算公式, 三视图是新课改中 新增的知识, 在近几年的各省高考题中几乎每年都会出现, 常与空间几何体的表面积和体积 交汇命题。 【易错点】不能根据三视图准确地还原出原来的空间几何体而导致本题不会做。 【解题思路】 1、首先根据三视图还原出原来的几何体; 2、根据空间几何体的结构计算空间几何体的表面积。 【解析】该三视图所对应得空间几何体如图所示: 据三视图中的数据易知三角形 PBC 为直角三角形, 且 PB ? 6 , 根据其表面积为 SPAC ? SPAC ? SPBC ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 6

1 2

1 2

1 2

? 2 ? 2 ? 3 ,所以选 A 选项。
9.已知双曲线 M:

x2 y 2 2 - 2= 1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 c (c 2 a b 3

为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率 e 为 A.

7 3

B.

3 7 2

C.

3 7 7

D. 3 7

【答案】A 【考查方向】本题主要考查了双曲线的定义、方程以及几何性质、点到直线的距离公式等知 识点,同时考查了综合法、转化法等思想方法以及学生的计算能力。 【易错点】本题容易因为对双曲线的性质记忆不清楚而导致题目无法进行。 【解题思路】通过题目条件确定 a 与 c 的代数关系,即可求出双曲线的离心率。 【解析】一条渐近线为 bx+ay=0,一个交点为(c,0),由点到直线的距离公式可得:
bc a 2 ? b2 ?
a2 7 a 7 2c ,化简可得 7b2=2a2,从而 7(c2-a2)=2a2,可得 2 ? ,即 ? ,所以 c 9 c 3 3

选 B 选项。 10.四面体的一条棱长为 x,其余棱长为 3,当该四面体体积最大时,经过这个四面体所有 顶点的球的表面积为 A.

27? 2

B.

9? 2

C.

15? 2

D.15π

【答案】D 【考查方向】 本题主要考查了空间几何体的结构的相关知识, 主要考查学生的空间想象能力 和运算求解能力。 【易错点】本题往往会因为不能准确地想象题目中所要求的空间几何体而无法求解。 【解题思路】先确定在哪一种结构下体积最大,然后再根据题目中的条件求解。 【解析】底面积不变,高最大时体积最大,所以面 BCD 与面 ABD 垂直时体积最大,由于 四面体的一条棱长为 x,其余棱长均为 3,所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点,

半径 R ?

3 1 3 15 ,经过这个四面体所有顶点的球的表面积为: ( )2 ? ( 2 ? ? ? 3) 2 ? 2 3 2 2
15 2 ) ? 15? ,故选 D. 2

S ? 4? (

11.设 x,y∈R,则 (3-4 y-cos x) + (4+3 y+sin x) 的最 小值为 A.4 【答案】B B.16 C.5
2

2

2

D.25
2

【考查方向】本题考查三角函数的最值,理解 (3-4 y-cos x) ?(4+3 y+sin x) 的几何意 思是关键,也是难点,考查转化思想与逻辑思维能力,属于难题。 【解题思路】明确 (3-4 y-cos x) ?(4+3 y+sin x) 的几何意思,为直线 3x+4y-25=0 上
2

2

的点到圆 x ? y ? 1上的点的距离的平方,利用点到直线间的距离公式即可求得答案。
2 2

【解析】因 (3-4 y-cos x) ?(4+3 y+sin x) = [(3 ? 4 y) ? cos x] ? [(4+3 y)+sin x]
2

2

2

2

类比两点之间的距离公式 [( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 而且 3(3 ? 4 y) ? 4(4 ? 3 y) ? 25 ? 0 ,所以所求
2 2

的式子为 3x ? 4 y ? 25 ? 0 上的点到圆 x ? y ? 1 上的一点的距离的
2 2

平方,画图可知,过原点 O(0,0)作 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的垂线段,垂足 为 P, | OP |?

| 3 ? 0 ? 4 ? 0 ? 25 | 32 ? 42
2

? 5 ,OP 与圆的交点分别为 M、N。
2
2 2 2

显然 (3-4 y-cos x) ?(4+3 y+sin x) 的最小值为 | PM | ? (| OP | ? | OM |) ? (| OP | ?1) ? 16 。 12.当|a|≤1,|x|≤1 时,关于 x 的不等式| x -ax- a |≤m 恒成立,则实数 m 的 取值范围是 A.[
2 2

5 3 ,+∞) B.[ ,+∞) 4 4

C.[

3 ,+∞) 2

D.[

5 ,+∞) 2

【答案】B 【考查方向】 本题考查考查绝对值不等式以及函数的最值问题, 考查转化化归思想与逻辑思 维能力,属于难题。 【解题思路】把| x -ax- a |进行等价转化是求解该题的关键。 【解析】| x -ax- a |=|- x +ax+ a | ? |- x +ax|+| a |=|- x +ax|+ a
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

当且仅当- x +ax 与 a 同号时取等号。故当- x +ax≥0 时,有| x -ax- a |=|- x +ax|

2

2

2

2

2

2

5 a 5 2 a ,当 x ? 时,有最大值 a 2 ,而|a|≤1,|x|≤1, 4 2 4 1 1 2 2 2 2 所以当 a=1, x ? 或者 a=-1, x ? ? 时,| x -ax- a |有最大值,且| x -ax- a | 2 2 5 5 ,故 m 的取值范围是[ ,+∞)。 max = 4 4
+ a =- x +ax+ a = ?( x ? ) 2 ?
2

2

2

a 2

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共计 20 分。) 13.设命题 P: ?x0 ∈(0,+∞), 3 0 < x0 ,则命题 ?p 为___________.
x

3

【答案】 ?x ∈(0,+∞), 3 ? x
x

3

【考查方向】本题主要考查了命题的否定、全称量词和存在量词。全称量词和存在量词是新 课改增加的内容,需要引起注意。 【易错点】不理解全称命题和特称命题否定的原则而失分。 【解题思路】全称命题和特称命题否定的原则是否定量词、否定结论。 【解析】先否定量词,后否定结论,得到的新命题是: ?x ∈(0,+∞), 3 ? x .
x
3

14. 设 a=

?

?

0

(sin x+cos x)dx , 则二项式 (a x-

1 6 ) 展开式中含 x 2 项的系数是________. x

【答案】-192 【考查方向】本题主要考查了定积分的运算、二项式定理及其通项公式。定积分是新课程增 加的内容,二项式定理是高考的热点考题,两部分内容均需要高度重视。 【易错点】对二项展开式的通项公式应用不熟练而导致错误的出现。 【解题思路】先求出 a,然后再确定含 x 的项,最后即可求解。 【解析】a=
2

?

?

0

r 6? r (sin x+cos x)dx = ? cos x ? sin x |? (? 0 ? 2 ,Tr ?1 ? C6 (2 x )

1 r ) ? (?1)r 26?r C6r x3?r , x

若某一项含有 x ,则 r ? 1 ,该项的系数为 (?1) 2 C6 ? ?192 ,故答案为-192.
2

1 5

1

15.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动 点,则| PA +3 PB |的最小值为____________. 【答案】5 【考查方向】本题考查向量在几何中的应用,以及向量模的求法,同时考查学生灵活应用知 识分析解决问题的能力。 【易错点】复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【解题思路】根据题意,利用解析法求解,以直线 DA,DC 分别为 x,y 轴建立平面直角坐 标系,则 A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设 P(0,b)(0≤b≤a),求 出 PA+3PB,根据向量模的计算公式,即可求得|PA+3PB|,利用完全平方式非负,即可求得 其最小值。

uur

uur

【解析】 如图, 以直线 DA、 DC 分别为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(2,0),B(1,a),C(0,a), D(0,0),设 P(0,b)( 0 ? b ? a ),则 PA ? (2, ?b), PB ? (1, a ? b) . PA ? 3PB ? (5,3a ? 4b) , | PA ? 3PB |? 案为 5. 16.已知函数 f(x)= ?

uur

uur

uur

uur

uur

uur

25 ? (3a ? 4b)2 ? 5 ,故答

? ? ln(-x) , x<0 ? ? x -4x+3, x≥0
2

,若 H(x)= [f(x)]2-2bf(x)+3 有 8 个不同的零点,

则实数 b 的取值范围为______________. 【答案】 ( 3,2] 【考查方向】本题主要考查了函数的图像、函数的零点等知识,同时考察了数形结合思想, 该类综合性在近几年各省的高考试题中频繁出现,需要引起重视。 【易错点】本题容易因为不理解“若 H(x)= [f(x)]2-2bf(x)+3 有 8 个不同的零点”这一条件 所反映的信息而无法做答。 【解题思路】 根据题目中的信息画出符合条件的函数的草图, 结合草图利用函数的图像予以 解决。 【解析】首先画出 f ( x) 的图像(如右图所示:),H(x)有 8 个零点说明二次函数
?? ? 0 ? g (t ) ? t ? 2bt ? 3 在区间(0,3]上有两个不同的解,因此: ?0 ? b ? 3 ,解得 3 ? b ? 2 . ? g (3) ? 0 ?
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤。) 17.(本小题满分 12 分) 如图, 在△ ABC 中, 点 D 在 BC 边上, ∠CAD=

7 ? , AC= , 2 4

cos∠ADB=-

2 . 10

(Ⅰ)求 sin∠C 的值; (Ⅱ)若 BD=5,求△ ABD 的面积. 【答案】(1)

4 ;(2)7. 5

【考查方向】本题考查了解三角形的问题,主要考查同角三角函数的基本关系、三角恒等变 换、正弦定理等知识,同时考查了转化化归思想以及运算求解能力。 【解题思路】 1、第(1)问根据同角三角函数的基本关系求出 sin ?ADB ,然后再利用两角和与差的正弦 公式即可求解; 2、第(2)问可以先用正弦定理求出 AD,然后利用三角形的面积公式求解。 【解析】试题分析:本题第(1)问属于同角三角函数基本关系以及三角恒等变换的知识, 是基础知识,难度中等;第(2)问是解三角形的问题,用主要考查了正弦定理。解答过程

如下:(Ⅰ)因为 cos ?ADB ? ? 又因为 ?CAD ?

7 2 2 ,所以 sin ?ADB ? . 10 10

? ? ,所以 ?C ? ?ADB ? . 4 4

? ? ? 所以 sin ?C ? sin(?ADB ? ) ? sin ?ADB ? cos ? cos ?ADB ? sin 4 4 4
? 7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5
7 4

? AC ? sin ?C 2 5 AD AC ? ?2 2 . ? (Ⅱ)在 ?ACD 中,由 ,得 AD ? sin ?ADC 7 2 sin ?C sin ?ADC 10

所以 S?ABD ?

1 1 7 2 AD ? BD ? sin ?ADB ? ? 2 2 ? 5 ? ? 7. 2 2 10

18.(本小题满分 12 分) 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关, 某数学兴趣小组为了验证这个结论, 从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20),给所有同学几何题和代 数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人) 几何题 男同学 女同学 总计 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50
[

(Ⅰ)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5-7 分钟,乙每次解答一 道几何题所用的时间在 6-8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答 完的概率. (Ⅲ)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X). 附表及公式:

【答案】(1)有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关;(2) (3) X 的分布列为:

1 . 8

X
P

0 15 28

1 3 7

2 1 28

E( X ) ? 0 ?

15 12 1 1 +1 ? +2 ? ? 28 28 28 2

【考查方向】本题考查了独立性检验的基本思想及其应用、几何概型、离散型随机变量的分 布列、 排列组合以及数学期望的基础知识, 考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实 际问题的能力,考查运算求解能力和应用意识。 【易错点】本题容易因第(2)问不能分析出考查几何概型而导致出错; 【解题思路】 1、根据独立性检验的相关知识解决第(1)问; 2、画出图形,利用几何概型的知识解决第(2)问; 3、根据排列组合、古典概型的概率以及数学期望的计算公式求出相应的数学期望. 【解析】试题分析:本题第(1)问属于独立性检验中的基础知识,难度不大;第(2)问是 概率统计中的常见的几何概型问题,考查面积,需要在计算的时候细心。第(3)问是概率 考试中的常见题型。解答过程如下: (1)由表中数据得 K 的观测值 K 2 ?
2

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 ? ? 5.556 ? 5.024 , 30 ? 20 ? 30 ? 20 9
2

所以根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关 (2) 设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟, ?5 ? x ? 7 则基本事件满足的区域为 ? (如图所示) ?6 ? y ? 8
1 y

1 O 设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y 1 ? 1? 1 1 1 2 ? ,即乙比甲先解答完的概率为 . ? P ( A) ? 2? 2 8 8 (3) 由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C8 2 ? 28

x

种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种;恰有一人被抽到有
C21 ? C61 =12 种;两人都被抽到有 C2 2 ? 1 种

? X 可能取值为 0,1, 2 , 12 3 15 1 , P( X ? 1) ? ? , P( X ? 2) ? P( X ? 0) ? 28 7 28 28 X 的分布列为: 0 1 2 X 15 3 1 P 28 28 7 15 12 1 1 ? E ( X ) ? 0 ? +1 ? +2 ? ? 28 28 28 2
19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且 AD=CD= 2 2 ,BC=4 2 ,PA=2,点 M 在 PD 上.

(Ⅰ)求证:AB⊥PC; (Ⅱ)若二面角 M-AC-D 的大小为 45° ,求 BM 与平面 PAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)略; (2)a=3; 【考查方向】本题考查了空间点、线、面的位置关系,同时考查了空间想象能力和运算求解 能力。 【解题思路】 1、第(1)问根据线面垂直的性质定理可证,在平面 PAC 中寻找两条与 AB 垂直的直线; 2、第(2)问可以通过建立空间直角坐标系,用向量的方法来解决; 【解析】试题分析:本题第(1)问属于空间线面垂直关系的判定,是基础知识,难度中等; 第(2)问是线面角与二面角的综合问题,用向量解决时需要在计算的时候细心。解答过程 如下: (1)取 BC 中点 E ,连结 AE ,则 AD ? EC , AD // EC ,所以四边形 AECD 为平行 四边形,故 AE ? BC ,又 AE ? BE ? EC ? 2 2 ,所以 ?ABC ? ?ACB ? 45 , 故 AB ? AC ,又 AB ? PA , AC ? PA ? A ,所以 AB ? 平面PAC , 故有 AB ? PC
?

(2)























A ? xyz





A?0,0,0?, B 2 2 ,?2 2 ,0 , C 2 2 ,2 2 ,0 , P?0,0,2?,

? ? ? 设 PM ? ? PD ? ?0,2 2? ,?2? ??0 ? ? ? 1? ,易得 M ?0,2
设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ?x, y, z ? , 则?

?

2? ,2 ? 2?

?

? ?n1 ? AC ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ?n1 ? AM ? 2 2?y ? ?2 ? 2? ?z ? 0
2 , 得x ? ? 2 , z ? 2? 2? ? ? ,即 n1 ? ? ? 2 , 2 , ? ? ?1 ? ? ?1 ?

令y?

又平面 ACD 的一个法向量为 n2 ? ?0,0,1? ,

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2? ? ?1 ? 2? ? 4?? ? ? ? ?1 ?
2

? cos 45? ,解得 ? ?

1 , 2

即 M 0, 2 ,1 , BM ? ? 2 2 ,3 2 ,1 , 而 AB ? 2 2 ,?2 2 ,0 是平面 PAC 的一个法向量, 设直线 BM 与平面 PAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? cos ? BM , AB ?? 故直线 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆形:

?

?

?

?

?

?

| ?8 ? 12 | 5 3 . ? 9 4?3 3

5 3 9

3 x2 y 2 + 2= 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左 2 2 a b

顶点 A 在圆 O: x +y = 16 上. (Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交 点为 Q.是否 存在点 P,使得

2

2

PQ AP

=3? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)

| PQ | x2 y 2 ? 3. ? ? 1 ;(2)不存在直线 AP ,使得 | AP | 16 4

【考查方向】本题考查了椭圆的标准方程与几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识, 同时考查了解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 【解题思路】 1、第(1)问根据椭圆的标准方程以及几何性质,通过待定系数的方法即可求解; 2、第(2)问可以通过直线与椭圆的位置关系建立方程组,利用韦达定理、解方程求解; 【解析】试题分析:本题第(1)问属于椭圆简单几何性质的应用,是基础知识;第(2)问 是直线与椭圆的位置关系的问题,常用解析几何的基本思想方法求解,运算量比较大,需要 考生在计算过程中认真、细心。解答过程如下: (1)因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x ? y ? 16 上,令 y ? 0 ,得 x ? ?4 ,所以 a ? 4 .
2 2
2 2 2 3 c 3 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 ,所以 b ? a ? c ? 4 , 2 a 2

又离心率为

x2 y2 ? ?1. 16 4 (2)设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,
所以 W 的方程为

? y ? k ( x ? 4) ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ? 2 2 2 2 化简得到 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 , 因为 ?4 为方程的一个根,
所以 x1 ? ( ?4) ?

4 ? 16k ?32k 2 ,所以 x1 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
| 4k |

2

,所以 | AP |? ,

8 1? k2 . 1 ? 4k 2

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?
2 所以 | AQ |? 2 16 ? d ? 2

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | 16 ? ? ?1 , ? , 因为 2 2 | AP | | AP | | AP | 1? k 1? k

k2 ?1 8

8
2 | PQ | 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? 2 2 2 | AP | 8 1 ? k 1? k 1? k 1? k2 1 ? 4k 2 | PQ | 3 ? 3. ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 显然 3 ? 2 | AP | 1? k

代入得到

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)=

x -ax. ln x
2

(Ⅰ)若函数 f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的最小值; (Ⅱ)已知 f ?( x) 表示 f(x)的导数,若 ?x1 , x2 ∈[e, e ](e 为自然对数的底数),使 f(x1)- f ?( x2 ) ≤a 成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1)

1 1 1 ;(2) a ? ? 2 。 4 2 4e

【考查方向】 本题考查了导数的运算、 利用导数研究函数的性质、 不等式等基础知识和方法, 考查函数思想和化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力。 【解题思路】 1、第(1)问可以通过函数的单调性与导数的关系,利用导数判断函数的单调性,再结合函 数的单调性确定 a 的取值范围; 2、第(2)问可以通过转化化归的方法,将问题转化为函数的最大、最小值问题进行求解。 【解析】试题分析:本题第(1)问属于用导数研究函数的性质的问题,是导数题目中的常 见问题;第(2)问是用导数作为工具来解决不等式问题,题目综合性较强,难度较大。解 答过程如下: (1)由已知得函数 f ( x) 的定义域为 (0,1) ? (1,??) ,

ln x ? 1 ? a ,又函数 f ( x) 在 (1,??) 上是减函数 (ln x) 2 ln x ? 1 ? a ? 0 在 (1,??) 上恒成立 ∴ f ?( x) ? (ln x) 2 ∴当 x ? (1,??) 时, f ?( x) max ? 0 1 1 1 ln x ? 1 1 2 1 ? )2 ? ? a 由 f ?( x) ? ? a ? ?( ) ? ? a = ? ?( 2 ln x 2 4 ln x ln x (ln x) 1 1 1 ? ,即 x ? e 2 时, f ?( x) max ? ? a ∴当 ln x 2 4 1 1 ∴ ?a ?0 即a ? 4 4 1 所以实数 a 的最小值为 。 4 2 (2)若 ?x1 , x2 ? [e, e ] ,使 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ? a 成立, 2 则有 x ? [e, e ] 时, f ( x) min ? f ?( x) max ? a
而 f ?( x) ?

1 1 ? a ,所以 f ?( x) max ? a ? 4 4 1 2 由此问题转化为:当 x ? [e, e ] 时, f ( x) min ? 4 1 2 ①当 a ? 时,由(1)知,函数 f ( x) 在 [e, e ] 上是减函数 4 1 1 e2 1 2 ? ae 2 ? , 所以 a ? ? 2 ; 则 f ( x) min ? f (e ) ? 2 4e 2 4 1 ②当 a ? 时, 4
由(1)知 当 x ? [e, e ] 时, f ?( x) max ?
2

由于 f ?( x) ?
2

1 1 1 ln x ? 1 1 2 1 ? )2 ? ? a ? a ? ?( ) ? ? a ? ?( 2 ln x 2 4 ln x ln x (ln x)
2

在 [e, e ] 上是增函数

1 1 ? a ,此时 ? a ? 0 4 4 2 2 ? 若 ? a ? 0 ,即 a ? 0 时, f ( x) ? 0 在 [e, e ] 上恒成立,函数 f ( x) 在 [e, e ] 上是增函
所以 f ?(e) ? f ?( x) ? f ?(e ) ,即 ? a ? f ?( x) ? 数 所以 f ( x) min ? f (e) ? e ? ae ? e ? 若 ? a ? 0 ,即 0 ? a ?

1 ,不合题意; 4

1 1 2 时,而 f ?( x) 在 [e, e ] 上是增函数,且 ? a ? f ?( x) ? ? a 4 4
2

所以存在唯一的 x0 ? [e, e ] ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足: 当 x ? [e, x0 ] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 [e, x0 ] 上是减函数; 当 x ? ( x0 , e ] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( x0 , e ] 上是增函数;
2

2

x0 1 ? ax0 ? , x0 ? [e, e 2 ] ln x0 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴a ? ? ? ? ? ? ? 与 0 ? a ? 矛盾,不合题意。 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 1 1 综上,得实数 a 的取值范围是 a ? ? 2 。 2 4e
所以 f ( x) min ? f ( x0 ) ? 【选考题】 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的 第一题记分,答 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图,直线 AB 经过圆 O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,圆 O 交直线 OB 于点 E、D,其中 D 在线段 OB 上.连结 EC,CD. (Ⅰ)证明:直线 AB 是圆 O 的切线; (Ⅱ)若 tan∠CED=

1 ,圆 O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

【答案】(1)略错误!未找到引用源。;(2)5. 【考查方向】本题考查了几何证明选讲的专题知识,考查了相交弦定理。 【解题思路】本题考查几何证明选讲的相关知识,解题步骤如下: 1、根据图形做辅助线,利用切线的判定定理即可证明。 2、利用切割弦定理解决长度的问题。 【解析】 试题分析: 本题属于几何证明选讲中的基本问题, 题目的难度一般, 解题过程如下:
CA ? CB ,所以 OC ? AB. 又 OC 是圆 O 的半径,所 (1)证明:连结 OC . 因为 OA ? OB ,

以 AB 是圆 O 的切线. (2)因为直线 AB 是圆 O 的切线,所以 ?BCD ? ?E. 又 ?CBD ? ?EBC ,所以 △BCD ∽△BEC.

则有

BC BD CD BD CD 1 CD 1 ,又 tan ?CED ? ? ? ? ? . ? ,故 BE BC EC BC EC 2 EC 2

设 BD ? x ,则 BC ? 2 x ,又 BC 2 ? BD ? BE ,故 (2 x)2 ? x( x ? 6) ,即 3x2 ? 6 x ? 0 . 解得 x ? 2 ,即 BD ? 2 . 所以 OA ? OB ? OD ? DB ? 3 ? 2 ? 5. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,设倾斜角为 α 的直线 l: ? C:

? ? x=2+tcos? (t 为参数)与曲线 y = 3 + t sin ? ? ?

? x=2cos? (θ 为参数)相交于不同的两点 A,B. ? ?y=sin?
(Ⅰ)若 α=

? ,求线段 AB 中点 M 的坐标: 3

(Ⅱ)若|PA|· |PB|=|OP|2,其中 P(2, 3 ),求直线 l 的斜率.
5 12 3 ) ;(2)直线 l 的斜率为 【答案】(1)点 M 的坐标为 ( , ? . 4 13 13 【考查方向】本题考查了坐标系与参数方程的专题知识,考查了普通方程、参数方程的相互 转化以及三角恒等变换的相关知识。 【解题思路】本题考查坐标系与参数方程的知识,解题步骤如下: 1、根据普通方程、参数方程之间的相互关系进行转化。 2、根据相关知识求出|PA|、|PB|、|OP|的关系,然后利用三角函数的知识求最值。 【解析】试题分析:本题属于坐标系与参数方程中的基本问题,题目的难度一般,解题过程 如下:

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程是

x2 ? ? y 2 ? 1 .当 ? ? 时,设点 M 对应的参数为 3 4

1 ? x ?2? t ? x2 2 ? t0 .直线 l 方程为 ? ( t 为参数),代入曲线 C 的普通方程 ? y 2 ? 1 , 4 ?y ? 3 ? 3 t ? ? 2

得 13t 2 ? 56t ? 48 ? 0 ,设直线 l 上的点 A , B 对应参数分别为 t1 , t2 . 则 t0 ?
t1 ? t2 12 3 28 ). ? ? ,所以点 M 的坐标为 ( , ? 13 13 2 13

? x2 ? x ? 2 ? t cos ? (2 ) 将 ? 代入曲线 C 的普通方程 ? y 2 ? 1 , 4 ? ? y ? 3 ? t sin ?

得 (cos2 ? ? 4sin 2 ? )t 2 ? (8 3 sin ? ? 4cos ? )t ? 12 ? 0 , 因为 | PA | ? | PB |?| t1t2 |?
12 , | OP |2 ? 7 , 2 cos ? ? 4sin ?
2

所以

12 5 ? 7 ,得 tan 2 ? ? . 2 16 cos ? ? 4sin ?
2

由于 ? ? 32cos? (2 3 sin ? ? cos ? ) ? 0 ,故 tan ? ?

5 5 .所以直线 l 的斜率为 . 4 4

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-3|. (Ⅰ)若不等式 f(x-1)+f(x)<a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<3,且 a≠0,判断

f (ab) b 与 f( )的大小,并说明理由. a a

[来

【答案】(1)实数 a 的取值范围是 (?? , 1] ;(2)略。 【考查方向】本题考查了含绝对值的不等式的解法与证明。 【易错点】对绝对值不等式的解法不理解是阻碍本题顺利解答的关键; 【解题思路】 1、第(1)问根据根据绝对值不等式的解法,通过转化为恒成立问题即可求解; 2、 第 (2) 问是含有多个绝对值问题的求解, 可以用绝对值三角不等式求解, 也可以采用 “零 点分段法”求解; 【解析】试题分析:本题是含有绝对值不等式中的常见问题,难度中等。解答过程如下: (1)因为 f ( x ? 1) ? f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? 3| ≥| x ? 4 ? 3 ? x |? 1 , 不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a 的解集为空集,则 1 …a 即可,
1] . 所以实数 a 的取值范围是 (?? ,

(2)

f (ab) b f (ab) b ? f ( ) ,证明:要证 ? f ( ) ,只需证 | ab ? 3 | ? | b ? 3a | , |a| a |a| a

即证 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 ,
| b |? 3 , 又 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 ? a2b2 ? 9a2 ? b2 ? 9 ? (a2 ? 1)(b2 ? 9) 因为 | a |? 1,

所以 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 ? 0 ,所以原不 等式成立.


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