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第一部分 温故知新——核心考点突破 - 整理


第一部分 温故知新——核心考点突破 第一讲 实数

中考解读
内容 实数 考点 实数基本概念,如求一个数的相反数. 绝 对值和倒数 实数的运算 比较大小 科学计数法 要求 了解 理解 了解 了解

知识回顾
一. 实数的分类: 1. 按实数的定义分类: 实数

? ? ?正整数 ? ? ? 整数? 零

? ? ? ?有理数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 ? ? ? ?正无理数 ? 无理数? ? ?

有限小数或无限循环数

无限不循环小数

二. 实数的基本概念和性质 1. 数轴:规定了 . . 的直线叫做数轴, 和数轴上的点是一一对应 的,数轴的作用有 . . 等。 2. 相反数:只有 不同的两个数叫做互为相反数,a 的相反数是 ,0 的相反数 是 ,a. b 互为相反数 ? 3. 倒数:实数 a 的倒数是 , 没有倒数,a. b 互为倒数 ? 4. 绝对值:在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。

a=

0

(a>0) (a=0) (a<0)
数,我们学过的非负数有三

因为绝对值表示的是距离,所以一个数的绝对值是 个: . . 。 三. 科学记数法. 近似数和有效数字。 1. 科学记数法:把一个较大或较小的数写成 a 的取值范围是 。 四. 数的开方。

的形式叫做科学记数法。其中

1

1. 若 x =a(a

2

0),则 x 叫做 a 的

,记做± a ,其中正数 a 的 个平方根,它们互为

平方根叫做 a ,0 的平方根

的算术平方根,记做 ,正数有 是 ,负数 平方根。 2. 若 x =a,则 x 叫做 a 的 是 ,负数
3

,记做 3 a ,正数有一个 立方根。

的立方根,0 的立方根

课堂精讲
考点一. 数的分类 【例 1】下列各数中,3.14159, ? 3 8 ,0.131131113…,-π, 25 , ? 数有( B ) A.1 个 【变式练习】 1.实数 π, A.π

1 ,无理数的个 7

B.2 个

C.3 个

D.4 个

1 ,0,-1 中,无理数是( A ) 5 1 B. C.0 5
A )

D.-1

考点二. 相反数,绝对值,倒数 【例 2】(1)(2015·成都) ? 3 的倒数是( (A) ?

1 3

(B)

1 3

(C) ? 3

(D) 3

(2) (2013?成都)2 的相反数是( B ) A. 2 B. ﹣2 (3)(2012 成都) ?3 的绝对值是( A ) A.3 B. ?3 C.

C.

D.

1 1 D. ? 3 3

考点三. 乘方,开方
0 【例 3】(2015?凉山) (π﹣3.14) 的相反数是( D )

A.3.14﹣π

B.0

C.1

D.﹣1

【例 4】(2011?成都)4 的平方根是( C ) A. ±16 【变式练习】 B. 16 C. ±2 D. 2

1.(2015?内江)9 的算术平方根是( C ) A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 0
2

2. 实数-8 的立方根是______-2________

考点四. 比较大小 【例 5】(1)(2014·成都)在-2,-1. 0. 2 这四个数中,最大的数是( D ) A.-2 B.-1 C.0 D.2

(2)(2015·成都)比较大小: 【变式练习】

5 ?1 5 ___<____ .(填 " ? " , " ? " ,或 " ? " ) 2 8
C )

1.(2015?浙江)在数-3,-2,0,3 中,大小在-1 和 2 之间的数是(

A. -3

B. -2

C. 0

D. 3

考点五. 实数的有关概念 【例 6】(2013?遵义)如果+30m 表示向东走 30m,那么向西走 40m 表示为( C) A.+40m 考点六. 实数与数轴 【例 7】(2015·成都)实数 a . b 在数轴上对应的点的位置如图所示,计算 a ? b 的结果 为( C ) B. a ? b C. b ? a D. ? a ? b A. a ? b B.-40m C.+30m D.-30m

【变式练习】 1.(2011?成都)已知实数 m. n 在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是 ( C ) A. m>0 B. n<0 C. mn<0 D. m﹣n>0

2.(2015?山东)已知实数 a,b 在数轴上的位置如图所示,下列结论错误的是( A )

A. |a|<1<|b| B. 1<﹣a<b 考点七. 二次根式(非负性的应用)

C. 1<|a|<b

D. ﹣b<a<﹣1

【例 8】(2013?毕节)估计 11 的值在( C )之间. A.1 与 2 之间 B.2 与 3 之间 C.3 与 4 之间
3

D.4 与 5 之间

【变式练习】 1.(2013?吴江)3+ 3 的整数部分是 a,3-

3 的小数部分是 b,则 a+b 等于

6? 3



【例 9】(2014·成都)函数 y ? (A) x ? ?5 【变式练习】

x ? 5 中自变量 x 的取值范围是( C )
(C) x ? 5 (D) x ? 5

(B) x ? ?5

1.(2011?成都)在函数 = √1﹣2自变量 x 的取值范围是( A ) A. ≤ 2
1

B. < 2

1

C. ≥ 2

1

D. > 2
2013

1

【例 10】 若 a,b 为实数,且|a+1|+ b ? 1 =0,则(ab) A.0 B.1 C.-1

的值是(

C )

D.±1

【分析】根据非负数的性质列式求出 a. b,然后代入代数式进行计算即可得解. 【解答】根据题意得,a+1=0,b-1=0,解得 a=-1,b=1, 2013 2013 所以,(ab) =(-1×1) =-1. 故选 C. 【变式练习】 1.(2013?攀枝花)已知实数 x,y,m 满足 x ? 2 +|3x+y+m|=0,且 y 为负数,则 m 的取值 范围是( A ) A.m>6 考点八. 科学记数法 【例 11】(2015·成都)今年 5 月,在成都举行的世界机场城市大会上,成都新机场规划 蓝图首次亮相。新机场建成后,成都将成为继北京. 上海之后,国内第三个拥有双机场的 城市,按照远期规划,新机场将新建的 4 个航站楼的总面积约为 126 万平方米,用科学计 数法表示 126 万为( C ) (A) 126 ? 104 (B) 1.26 ? 105 (C) 1.26 ? 106
n

B.m<6

C.m>-6

D.m<-6

(D) 1.26 ? 107

【分析】科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的 值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】C 【变式练习】

4

1.(2014·成都)正在建设的成都第二绕城高速全长超过 220 公里,串起我市二. 三圈层 以及周边的广汉. 简阳等地,总投资达 290 亿元,用科学计数法表示 290 亿元应为 ( C ) A. 290× 10 8 B. 290× 10 9 C. 2.90× 1010 D. 2.90× 1011

2.(2013?成都)参加成都市今年初三毕业会考的学生约有 13 万人,将 13 万用科学记数法 表示应为( A ) 5 4 5 6 A. 1.3×10 B. 13×10 C. 0.13×10 D. 0.13×10 3.(2015?黑龙江)石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料 ,其理论厚度仅是 0.00000000034m ,这个数用科学记 数法表示正确的是( A.3.4×10-9 考点九. 实数的运算
o 【例 12】 (1) (2016·成都) ? ?2 ? ? 16 ? 2sin 30 ? ? 2016 ? ? ? 3 0

C ) D.3.4×10-11

B.0.34×10-9

C.3.4×10-10

1 解:原式= -8+4-2× +1= -4-4+1= -4 2 (1) (2015·成都)计算: 8 ? (2015 ?π )0 ? 4 cos 45? ? (?3)2 解:原式 ? 2 2 ? 1 ? 2 2 ? 9

?8
(2)(2014·成都)计算 9 ? 4 sin 30 ? ? (2014 ? ? ) 0 ? 2 2 . 解: (1)原式=3﹣4× +1﹣4 =3﹣2+1﹣4 =﹣2; (3) (2013?成都) (1)计算: 解:原式=4+ 【变式练习】 1.(2014·成都)计算: ? +2× ﹣2 =4;

2 ? _____

2 __________.
D. (﹣2013) =0
0

2.(2013?成都)下列运算正确的是( B ) ﹣3 A. B. 5﹣8=﹣3 C. 2 =6 ×(﹣3)=1

3.(2013?永州)已知

ab a b 的值为 ? ? 0 ,则 | ab | |a| |b|
5

-1



4.(1)(2012 成都)计算: 4cos 45 ? 8 ? (? ? 3) ? (?1)
0

2

解:原式=4×

﹣2

+1+1=2

﹣2

+2=2;
0 2011

(2)(2011?成都)(1)计算:2cos30°+∣ ﹣3 ∣ ﹣√3(2010﹣π) + (﹣1) 解:(1)原式=2× +3﹣√3×1﹣1=2; 考点十 . 实数中的规律探索
√3 2



【例 13】(2013?台州)任何实数 a,可用[a]表示不超过 a 的最大整数,如[4]=4, [ 3 ]=1.现对 72 进行如下操作: 72第一次[72] ? 8第二次[8] ? 2第三次[2] ? 1 ,这样 对 72 只需进行 3 次操作后变为 1,类似的,①对 81 只需进行几次操作后变为 1:②只需进 行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中,最大的是几? 【分析】①根据规律依次求出即可; ②要想确定只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数,关键是确定二次操作后数的大小不 能大于 4,二次操作时根号内的数必须小于 16,而一次操作时正整数 255 却好满足这一条 件,即最大的正整数为 255. 【解答】解:①[ ]=9,[ ]=3,[ ]=1, 故答案为:3; ②最大的是 255, [ ]=15,[ ]=3,[ ]=1,而[ ]=16,[ ]=4,[ ]=2,[ 即只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中,最大的正整数是 255, 故答案为:255.

]=1,

【变式练习】 2 1.(2013?永州)我们知道,一元二次方程 x =-1 没有实数根,即不存在一个实数的平方等 2 2 于-1.若我们规定一个新数“i”,使其满足 i =-1(即方程 x =-1 有一个根为 i).并且进 一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是 1 2 3 2 4 2 2 2 有 i =i,i =-1,i =i ?i=(-1)?i=-i,i =(i ) =(-1) =1,从而对于任意正整数 n,我 4n+1 4n 4 n 4n+2 4n+3 4n 们可以得到 i =i ?i=(i ) ?i=i,同理可得 i =-1,i =-i,i =1.那么 2 3 4 2012 2013 i+i +i +i +…+i +i 的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.i 1 2 3 2 4 2 2 2 5 4 【分析】i =i,i =﹣1,i =i ?i=(﹣1)?i=﹣i,i =(i ) =(﹣1) =1,i =i ?i=i, 6 5 i =i ?i=﹣1,从而可得 4 次一循环,一个循环内的和为 0,计算即可. 1 2 3 2 4 2 2 2 【解答】解:由题意得,i =i,i =﹣1,i =i ?i=(﹣1)?i=﹣i,i =(i ) =(﹣1) =1, 5 4 6 5 i =i ?i=i,i =i ?i=﹣1, 故可发现 4 次一循环,一个循环内的和为 0, ∵
2

=503…1,
3 4 2012

∴i+i +i +i +…+i 故选:D.

+i

2013

=i.

6

课 后 精 练
A组 (A 组题 7-10 个题,根据所编写内容难度适当调整) 一. 选择题 1.比 0 大的数是( D ) A.-1 B.-

1 2

C.0

D.1

2.在-2,0,1,-4 这四个数中,最大的数是( D ) A.-4 B.-2 C.0 3.计算(-3)+(-9)的结果等于( B ) A.12 B.-12 C.6 4.气温由-1℃上升 2℃后是( B ) A.-1℃ B.1℃ C.2℃ 5.与-3 的差为 0 的数是( B ) A.3 B.-3 C.

D.1 D.-6 D.3℃

1 3

D.-

1 3

6.计算:(-2)×3 的结果是( A ) A.-6 B.-1 C.1 7.下列计算正确的是( A ) 2 A.-1+2=1 B.-1-1=0 C.(-1) =-1 8.计算:12-7×(-4)+8÷(-2)的结果是( D ) A.-24 B.-20 C.6 9.计算 2 × 8 + 3 ?27 的结果为( B A.-1 B.1 ) C.4-3 3

D.6 D.-1 =1 D.36
2

D.7

10.设边长为 3 的正方形的对角线长为 a.下列关于 a 的四种说法:①a 是无理数;②a 可 以用数轴上的一个点来表示;③3<a<4;④a 是 18 的算术平方根.其中,所有正确说法 的序号是( C ) A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④ 二. 填空题 11.比较大小:-1 < 2(填“>”或“<”) 5 4 12.若 a=1.9×10 ,b=9.1×10 ,则 a > b(填“<”或“>”). 13.计算(-4)×(14.计算:|-3|15.大于 2 且小于

1 )= 2
4=
1

2

. . 2
0

5 的整数是

. 2
3

16.计算: 2 sin45°+(- 2013 ) =
b

. 81 .

17.定义一种新的运算 a﹠b=a ,如 2﹠3=2 =8,那么请试求(3﹠2)﹠2=

7

B组 5 18.计算:3 +1=4,3 +1=10,3 +1=28,3 +1=82,3 +1=244,…,归纳计算结果中的个位数 2009 字的规律,猜测 3 +1 的个位数字是 4 . 19.在计数制中,通常我们使用的是“十进位制”,即“逢十进一”,而计数制方法很 多,如 60 进位制:60 秒化为 1 分,60 分化为 1 小时;24 进位制:24 小时化为一天;7 进 位制:7 天化为 1 周等…而二进位制是计算机处理数据的依据.已知二进位制与十进位制 比较如下表:
1 2 3 4

十进位制 二进位制

0 0

1 1

2 10

3 11 170

4 100 .

5 101

6 110

… …

请将二进位制数 10101010(二)写成十进位制数为

20.我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数(只有数码 0 和 1),它们 两者之间可以互相换算,如将(101)2,(1011)2 换算成十进制数应为: 2 1 0 3 2 1 0 (101)2=1×2 +0×2 +1×2 =4+0+1=5;(1011)2=1×2 +0×2 +1×2 +1×2 =11 按此方式,将二进制(1101)2 换算成十进制数的结果是 三. 计算题 21.(1)计算: 13 .

4 +|-3|-2sin30°.

(2)计算:(

解:原式=2+3-2×

1 =5-1=4. 2
3 -π)0× 3 8 +(

1 -1 1 2 0 ) - 3 -1) +| - |。 3 2 3 2 1 13 解:原式=3-1+ - = . 3 2 6

(3)计算:(-1)

2013

-|-2|+(

1 -1 ) . 4

解:原式=-1-2+1×2+4=3.

(4)计算:(2013-π) -(

0

1 -2 ) -2sin60°+| 3 -1|. 2
3 + 3 -1=-4. 2

解:原式=1-4-2×

(5)计算:2013 -

0

27 +2cos60°+(-2)

解:原式=1-3 3 +2× (6)计算:|-3|+

1 -2=-3 3 . 2

3 ?tan30°- 3 8 -(2013-π)0.

解:原式=3+ 3 ×

3 -2-1 =3+1-2-1 =1. 2
8


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