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等差数列及其求和教师版


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等差数列
一、等差数列及相关概念 例 1、已知方程(x2-2x+m) (x2-2x+n

)=0 的四个根组成一个首项为 A.1 B.

3 4

C.

1 2

1 的等差数列,则|m-n|等于 4 3 D. 8

解析: 设 4 个根分别为 x1、 x2、 x3、 x4, 则 x1+x2=2, x3+x4=2, 由等差数列的性质, 当 m+n=p+q 时, am+an=ap+aq. 设 x1 为第一项,x2 必为第 4 项,可得数列为 答案:C 变式 1-1 项数是 2 n 的等差数列,中间两项为 an 和an?1 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根,求证此数列的和

1 3 5 7 1 7 15 , , , ,∴m= ,n= .∴|m-n|= . 4 4 4 4 2 16 16

S 2 n 是方程 lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0 的根。 ( S 2n ? 0 )
证明:依题意 an ? an?1 ? p ∵ a1 ? a2n ? an ? an?1 ? p ∴ S 2n ?

2n(a1 ? a 2 n ) ? np 2

∵ lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0 ∴ (lg x ? lg np) ? 0
2

∴ x ? np ? S 2 n

变式 1-2 己知 {an } 为等差数列, a1 ? 2, a2 ? 3 ,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构 成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第 12 项是新数列的第几项? (2)新数列的第 29 项是原数列的第几项? 解:设新数列为 ? bn ?, 则b1 ? a1 ? 2, b5 ? a2 ? 3, 根据bn ? b1 ? (n ? 1)d , 有b5 ? b1 ? 4d ,
即 3=2+4d,∴ d

4 即原数列的第 n 项为新数列的第 4n-3 项. (1)当 n=12 时,4n-3=4× 12-3=45,故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项; (2)由 4n-3=29,得 n=8,故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项。

1 1 n?7 ,∴ bn ? 2 ? (n ? 1) ? ? 4 4 4 (4n ? 3) ? 7 ,∴ a ? b 又 ? an ? a1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ? n 4 n ?3 ?

二、等差数列的判定 例 2、设实数 a≠0,函数 f ( x) ? a ( x ? 1) ? (2 x ?
2

1 ) 有最小值-1. a a2 ? a4 ? ? ? a2 n ,证明:数列 ?bn ?是等差数列. n

(1)求 a 的值; (2)设数列{an}的前 n 项和 Sn ? f (n) ,令 bn ? (1)解:∵f(x)=a(x-

1 2 2 1 2 ) +a- ,由已知知 f( )=a- =-1,且 a>0,解得 a=1,a=-2 a a a a

(舍去). (2)证明:由(1)得 f(x)=x2-2x,
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∴Sn=n -2n,a1=S1=-1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,a1 满足上式即 an=2n-3. ∵an+1-an=2(n+1)-3-2n+3=2, ∴数列{an}是首项为-1,公差为 2 的等差数列. n( a 2 ? a 2 n ) ∴a2+a4+…+a2n= 2

n(1 ? 4n ? 3) =n(2n-1) , 2 n(2n ? 1) 即 bn= =2n-1. n
= ∴bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2. 又 b2=

a2 =1, 1

∴{bn}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. 变式 2 已知数列 {a n } 中, a1 ? , an ? 2 ? (1) (2)
3 5

1 1 (n ? 2, n ? N ? ) ,数列 {b n } 满足 bn ? (n ? N ? ) an?1 an ? 1

求证:数列 {b n } 是等差数列; 求数列 {a n } 中的最大值和最小值,并说明理由
1 1 1 a , ? ? n ?1 ,而 bn ?1 ? an ?1 ? 1 an ? 1 (2 ? 1 ) ? 1 an ?1 ? 1 an ?1
5 1 5 ? ? ;故数列 {b n } 是首项为 ? ,公差为 1 的等差数列; 2 a1 ? 1 2

(1) bn ?

∴ bn ? bn?1 ? 1(n ? 2, n ? N ? ) , b1 ? (2)由(1)得 bn ? n ? 函数 f ( x) ? 1 ?

7 2 1 2 ,则 an ? 1 ? ? 1 ? ;设函数 f ( x) ? 1 ? , 2 2x ? 7 bn 2n ? 7

7 7 2 在 (??, ) 和 ( ,??) 上均为减函数,当 x ? 3 时, f ( x) ? f (3) ? ?1 ;当 x ? 4 时, 2 2 2x ? 7 3 ,当 n 趋向于 ?? 时, f ( x) 接近 1, 5

f ( x ) ? f ( 4) ? 3 ;且 f (1) ?

∴ (an )min ? a3 ? ?1 , (an )max ? a4 ? 3 . 三、等差数列的性质与应用 例 3、等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a2+a4+a15 的值是一个确定的常数,则数列{an}中也为常数的 项是( ) B.S8 C.S13 D.S15

A.S7

解析:设 a2+a4+a15=p(常数), 1 ∴3a1+18d=p,解 a7= p. 3 13×(a1+a13) 13 ∴S13= =13a7= p. 2 3 答案:C
24

变式 3-1 在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 ?
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.

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变式 3-2 在等差数列 ?an ? 中,公差 d =1, a4 ? a17 =8,则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 = A.40 B.45 C.50 D.55

( B



变式 3-3 已知 {an } 是等差数列,且 a4 ? a7 ? a10 ? 57, a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a14 ? 77, 若ak ? 13, 则 k= 8 .

例 4、 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项之和记为 Sn , S10 ? 10 ,S30 ? 70 ,则 S 40 等于 错解:S30= S10·2d. ? d=30, ? S40= S30+d =100. 错因:将等差数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等差数列.



10 ? 9 ? 10a1 ? d ? 10 ? 2 2 ? 2 正解:由题意: ? 得 a1 ? , d ? 5 15 ?30a ? 30 ? 29 d ? 70 1 ? 2 ?
代入得 S40 = 40 a1 ?

40 ? 39 ? 40 d ? 120 。 2
225 。

变式 4 等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为

例 5、等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn、Tn.若

Sn a 7n ? 1 ? (n ? N ? ), 求 7 ; b7 Tn 4n ? 27

错解:因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.

?

a7 7 ? 7 ? 1 10 ? ? b7 4 ? 7 ? 27 11 Sn a n ? bn Tn

错因:误认为

正解:?

a7 a7 ? a7 S13 7 ? 13 ? 1 92 ? ? ? ? b7 b7 ? b7 T13 4 ? 13 ? 27 79
Sn 3n ? 1 ,那么 ? Tn 4n ? 3

变式 5 设 { an } 与 { bn } 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若

an ? ___________; bn
四、等差数列前 n 项和 例 6、等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? ? ? a50 ? 200, a51 ? a52 ? ? ? a100 ? 2700 , 则a1 等于( A.-20.5 B.-21.5
3

A )

C.-1221
2

D.-20

变式 6 已知某数列前 n 项之和 n 为,且前 n 个偶数项的和为 n (4n ? 3) ,则前 n 个奇数项的和为
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B

) B. n 2 (4n ? 3) C. ? 3n
2

A. ? 3n 2 (n ? 1)

D.

例 7、数列 ?an ? 是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。 (1)求数列公差; (2)求前 n 项和 sn 的最大值; (3)当 sn ? 0 时,求 n 的最大值。
16.解: (1)?a
1

1 3 n 2

? 23,

a6 ? 0 , a7 ? 0 ,

a ? 5d ? 0 ∴ ? 1
(2) s n

? ?a1 ? 6d ? 0

?

?

23 23 ?d ?? 5 6

? d 为整数,



d ? ?4 .

? 23n ?
=-2 n
2

n(n ? 1) ? (?4) =23 n ? 2n(n ? 1) 2

? 25n

=- 2( n ?

25 2 625 ) ? 4 2

∴当 n (3) sn

? 6 时 sn 最大=78
2

? ?2n 2 ? 25n ? 0 时,0 ? n ? 25 ,故 n 最大值为 12.

a11 变式 7 已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn>0 的 n 的最大值为 a10 ( ) A.11 B.19 C.20 D.21

a11 解析:∵ <-1,且 Sn 有最大值, a10 ∴a10>0,a11<0,且 a10+a11<0, 19(a1+a19) ∴S19= =19· a10>0, 2 20(a1+a20) S20= =10(a10+a11)<0. 2 所以使得 Sn>0 的 n 的最大值为 19,故选 B. 答案:B

例 8、设等差数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn ,且 S4 ? ?62, S6 ? ?75 ,求: (1) {an } 的通项公式 an 及前 n 项的和 Sn ; (2) a1 ? a2 ? a3 ??? a14 .
分析:通过解方程组易求得首项和公差,再求 an 及 Sn;解答②的关键在于判断项的变化趋势。 解:设等差数列首项为 a1,公差为 d,依题意得 ?4a1 ? 6d ? ?62 解得:a1=-20,d=3。

? ?6a1 ? 15d ? ?75

(a1 ? a n )n n(?20 ? 3n ? 23) 3 2 43 ; ? n ? n ? 2 2 2 2 ⑵? a1 ? ?20, d ? 3, ??an ?的项随着n的增大而增大
⑴ a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 23, S n ?
设ak ? 0且ak ?1 ? 0, 得3k ? 23 ? 0, 且3(k ? 1) ? 23 ? 0,? 20 23 ? k ? (k ? Z ), k ? 7, 即第7项之前均为负数 3 3



| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | a14 |? ?(a1 ? a2 ? ?? a7 ) ? (a8 ? a9 ? ?? a14 )
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? S14 ? 2S7 ? 147 .
五、等差数列的综合问题 例 9、将正偶数按下表排成 5 列:
第1列 第1行 第2行 第3行 …… 16 第2列 2 14 18 …… 第3列 4 12 20 28 第4列 6 10 22 26 24 第5列 8

那么 2004 应该在第______________行第______________列. 解法一:由 2004 是正偶数列中第 1002 项,每一行四项,故在第 251 行中的第二个数.又第 251 行是从 左向右排且从第二行开始排,故 2004 为第 251 行第 3 列. 解法二: 观察第三列中的各数, 可发现从上依次组成一个首项为 4, 公差为 8 的等差数列, 可算得 2004 为此数列的第 251 项. 答案:251 3 例 10、已知数列 ?an ? ,首项 a1 ? 3 且 2an?1 ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) . (1)求证:{

(3)数列 ?an ?中是否存在自然数 k0,使得当自然数 k≥k 0 时使不等式 ak ? ak ?1 对任意大于等于 k 的自 然数都成立,若存在求出最小的 k 值,否则请说明理由. 分析:证 ? 1 ? 为等差数列,即证 1 ? 1 ? d (d 是常数) 。 ? ? S S S n n ? 1 n ? ?
解:⑴由已知当 n ? 2时

1 }是等差数列,并求公差; (2)求 ?an ?的通项公式; Sn

2an ? Sn ? Sn ?1得 : 2( Sn ? Sn ?1 ) ? Sn ? Sn?1 (n ? 2). ? ?{

2( Sn ? Sn ?1 ) 1 1 1 ?1? ? ? ? (n ? 2) Sn Sn ?1 Sn Sn ?1 2 ⑵

1 1 1 1 1 }是以 ? ? 为首项, 公差d ? ? 的等差数列。 Sn S1 a1 3 2

?

1 1 1 1 5 ? 3n 6 ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1)(? ) ? , ? Sn ? (n ? 2) Sn S1 3 2 6 5 ? 3n

?3 (n ? 1) 1 18 ? 从而an ? Sn ? Sn ?1 ? (n ? 2),因此an ? ? 18 2 (3n ? 5)(3n ? 8) (n ? 2) ? (3 n ? 5)(3 n ? 8) ? 2 5 8 ⑶ 令ak ? ak ?1 ? 0,即(3k ? 2)(3k ? 5)(3k ? 8) ? 0,可得 ? k ? 或k ? 。故只需取k ? 3, 则对 3 3 3 大于或等于3的一切自然数总有ak ? ak ?1成立, 这样的自然数存在最小值3。

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