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2012年全国高中数学联赛各省预赛试题分类汇编6——不等式


2012 年高中数学联赛各省预赛试题分类汇编 6——不等式 一、填空题 1.(河北)若关于 x 的不等式 1 2 x ?2 x ? mx? 0 的解集为 { x∣0? x ?2 } ,则 m= 2

2.(河北)已知动点 P(x,y)满足 则动点 P 构成图形的面积为 3.(辽宁)不等式

{

2 x ? y ≤2 x≥ 0 , 2 2 ? x ?? x ?1 ?? y ?? y ?1 ?≥1

8 10 ? ? x 3? 5 x ?0 的解集为 3 x ? 1 ? x ?1? 。(用区间表示) 。 x∈R ,都有 f ' ? x ?? 1 , 2

4.(福建)不等式 x 2 ?ln x ? x 的解集为

5.(福建)函数 f ? x ?=2 ? x ? 3?? 5 ? x 的最大值为 6.(陕西)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且对任意的 则不等式 f ? log 2 x ?? log 2 x ?1 的解集为 2

7.(甘肃)实数 x、y、z 满足 x2 + y2 + z2 = 1,则 xy + yz 的最大值为 8.(黑龙江)如果实数 x、y 满足 3 x ?2 y ?1≥0 , 那么 u = x 2? y 2?6 x ?2 y 的最小值为 9.(江苏)若不等式 a sin2 x ? cos x ≥a 2?1 对任意的 x ∈ R 恒成立, 则实数 a 的取值范围为 10.(贵州)已知 x ≥ 0 , y ≥0 ,且 x 2 ? y 2=1 ,则 x?( x?+ y?) 的最大值为 11.(安徽)设实数 x、y 满足 x2-8x+y2-6y+24=0,则 x-2y 的最大值为 12.(浙江)已知实数 a、b、c、d 满足 ab =?c2 + d2 =1, 则(a - c)2 + (b - d)2 的最小值为
x ?1 13.(湖南)对任意的实数 x,都有 f ? x ?=log a ? 2 ?e ?≤?1 , 则实数 a 的取值范围为 (e 为无理数,e=2.718281828…)

14.(全国)设 x , y , z ∈[ 0,1 ] ,则 M =?∣x ? y∣??∣y ? z∣??∣z ? x∣ 的最大值为 15.(全国)设是 f ? x ? 定义在 R 上的奇函数,且当 x ≥ 0 时, f ? x ?= x 2 ,若对任意 的 x ∈[ a , a ?2 ] ,不等式 f ? x ? a ?≥2 f ? x ? 恒成立,则实数 a 的取值范围为 16.(全国)满足 1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是 4 n 3

二、解答题 1.(吉林)(1)已知 ? 1? x 2 ?? 2 ? x ?? M 对任意的 0<x<1 都成立,求常数 M 的最小值; + (2)设正整数 n ≥3 ,若 x 1 , x 2 , ? , x n ∈ R ,且 x 1? x 2??? x n=1 , 1 1 1 2 n ?1 ? ??? ≥ 求证: 2 2 2 2 1 ? x 1 1? x 2 1? x n

2 2 2.(山东)给定正整数 n,对于满足 a 1? a n?1≤ 2 n? 1

2 的等差数列{an}, 5

试证明:

i = n? 1



ai ≤n ?1 。

ln ?1 ? x ? , x 2 (1)当 x>0 时,求证: f ? x ?? 。 x ?2 3.(河南)已知函数 f ? x ?= (2)当 x>-1 且 x ≠ 0 时,不等式 f ? x ?? 1 ?kx 成立,求实数 k 的值。 1? x

4.(四川)已知 a , b , c ∈ R+ ,满足 abc ? a? b ?c ?=1 。 (1)求 S =? a? c ?? b ?c ? 的最小值; (2)当 S 取最小值时,求 c 的最大值。 1 1 1 1 7 ? 2 2 ? 3 3 ??? n ? n 3? 2 3 ? 2 3 ? 2 3 ???2 ? 6

5.(陕西)对于任意的正整数 n,证明:

6.(甘肃)设 a、b、c 为正实数,且 a+b+c=1, a b c 1 2 2 2 ? ? ≥ 求证: ? a ? b ?c ? b ?c c ?a b ?a 2

?

?

7.(江苏)设

?i 为实数,且 x i=1 ?3 sin2 ?i , i=1 , 2, ? , n ,

1 1 1 5n ? ??? ≤ 证明: ? x 1? x 2 ??? x n? x1 x2 xn 4

?

?? ?

2

8.(贵州)设正实数 x、y、z 满足 xyz=1, 试求 f ? x , y , z ?=? 1? yz ? z ?? 1? zx ? x ?? 1? xy ? y ? 的最大值及此时 x、y、z 的值

?1 , ? ?2 , ? , ? ?n ,以 M 表示满足 9.(安徽)设 n ≥2 ,对平面上的任意 n 个向量 ? 2 n i? j 且 ? ?i?? ? j? 0 的实数对(i?,?j)的个数,证明: M ≤ 3

10.(浙江)已知实数 x 1 , x 2, ? , x 10 满足 求 x 1 , x 2, ? , x 10 的平均值 ? x 。

∑∣x i?1∣≤ 4 , ∑ ∣x i? 2∣≤6
i=1 i =1

10

10



11.(湖南)已知函数 f ? x ?=e x ? x ,(其中 x 为无理数, e =2.71828 ? ) (1)若函数 g ? x ?= f ? x ??ax 2?1 的导函数 g' ? x ? 在[0 , + ∞ )上是增函数, 试求函数 a 的最大值; 1 1 1 1 (2)求证: f ? ?? f ? ???? f ? ?? n 1 ? ? n ? 2 ? ,其中 n ∈ N . 2 3 n 4

[

]

12.(湖南)设{an}是正项递增的等差数列,求证: a l ? 1 al a l ? 1 ? ? (1)对任意的 k, l ∈ N * ,当 l ?k ≥2 时, ; a k ? 1 ak a k ? 1 (2)对任意的 k ∈ N * ,当 k ≥2 时,

?
k

a 2013 k ?1 a k ?2 a2 k ?2 a3 k ? 2 a 2012 k ?2 k a 2012k? 2 。 ? ? ? ? ? a k ?1 a k ?1 a 2 k ?1 a3 k ?1 a2012 k ?1 a2

?

13.(新疆)设 0 ≤ x , y ≤1 ,证明:

1
2

?1 ? x ? 1? y

?

1
2



2 ? 1? xy

1 3 1 14.(全国)已知函数 f ? x ?=a sin x ? cos 2x ? a ? ? , a ∈ R 且 a ≠0 2 a 2 (1)若对于任意的 x ∈ R ,都有 f ? x ?≤0 ,求 a 的取值范围; (2)若 a ≥2 ,且存在 x ∈ R ,使得 f ? x ?≤0 ,求实数 a 的取值范围。

15.(全国)设 P0,P1,P2,…,Pn 是平面上 n+1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d n d (d > 0),求证: ∣P 0 P 1∣ ? P P ? ?? P P ? ∣ 0 2∣ ∣ 0 n∣ 3 ?? n ?1?!

??


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