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高三一轮总复习理科数学新课标课时作业30


课后限时自测
A组 一、选择题 1.(2014· 昆明模拟)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a3=3,S9-S6=27, 则该数列的首项 a1 等于( 6 A.-5 6 C.5 【解析】 ) 3 B.-5 3 D.5 ?a1+2d=3, 由? ?9a1+36d-?6a1+15d?=27, 基础训练

?a1+2d=3, 得? ?a1+

7d=9, 3 解得 a1=5. 【答案】 D

2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最 小值时,n 等于( A.6 C.8 【解析】 设{an}的公差为 d, ) B.7 D.9

∵a1+a9=a4+a6=-6,且 a1=-11, ∴a9=5,从而 d=2. 所以 Sn=-11n+n(n-1)=n2-12n, ∴当 n=6 时,Sn 取最小值. 【答案】 A

3.(2014· 大同模拟)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87, 则此数列前 20 项的和等于( A.290 ) B.300

C.580

D.600

【解析】 由 a1+a2+a3=3a2=3 得 a2=1,由 a18+a19+a20=3a19=87,得 a19=29, 20?a1+a20? 所以 S20= =10(a2+a19)=300. 2 【答案】 B
n

Sn 4.(2014· 烟台模拟)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,若T = 3n-2 a7 ,则b =( 2n+1 7 37 A.27 39 C.29 ) 38 B.28 40 D.30 a1+a13 2 ×13 S13 a7 2a7 a1+a13 =T b7=2b7=b1+b13=b1+b13 13 2 ×13

【解析】



3×13-2 37 = . 2×13+1 27 A

【答案】

5.(2013· 课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm =0,Sm+1=3,则 m=( A.3 C.5 【解析】 ) B.4 D.6 ∵{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0,

∴am=Sm-Sm-1=2. ∵Sm+1=3, ∴am+1=Sm+1-Sm=3, ∴d=am+1-am=1. 又 Sm= m?a1+am? m?a1+2? = =0, 2 2

∴a1=-2,

∴am=-2+(m-1)· 1=2, ∴m=5. 【答案】 二、填空题 6.(2012· 广东高考)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 2-4,则 an =________. 【解析】
2 设等差数列公差为 d,则由 a3=a2 -4,得 1+2d=(1+d)2-4,

C

∴d2=4,∴d=± 2.由于该数列为递增数列,∴d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. 【答案】 2n-1
5

S5 7.(2014· 海淀模拟)数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a2+a6=a8,则a =________. 【解析】 在等差数列中,由 a2+a6=a8 得 2a1+6d=a1+7d,即 a1=d≠0, 5×4 5a1+ 2 d 5a1+10d 15 S5 所以a = = = 5 =3. a1+4d a1+4d 5 【答案】 3

8. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容 积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容 积为________升. 【解析】 为等差数列. ?a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3, 则? ?a7+a8+a9=3a1+21d=4. 13 7 解之得 a1=22,d=66, 67 故 a5=a1+4d=66. 【答案】 三、解答题 67 66 设自上第一节竹子容量为 a1,则第 9 节容量为 a9,且数列{an}

9.(2013· 福建高考)已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围.
2 【解】 (1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,所以 a1 =

1×(a1+2), 即 a2 1-a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 所以 5a1+10>a2 1+8a1, 即 a2 1+3a1-10<0, 解得-5<a1<2. 10.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3· a4=117, a2+a5=22. (1)求通项 an; Sn (2)若数列{bn}满足 bn= ,是否存在非零实数 c 使得{bn}为等差数列?若 n+c 存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由. 【解】 (1)由等差数列的性质,得 a2+a5=a3+a4=22,

∴a3,a4 是方程 x2-22x+117=0 的根,且 a4>a3, ∴a3=9 且 a4=13, 从而 a1=1,公差 d=4, 故通项 an=1+4(n-1)=4n-3. (2)由(1)知 Sn= n?1+4n-3? =2n2-n, 2

2n2-n Sn 所以 bn= = . n+c n+c 法一 1 6 15 所以 b1= ,b2= ,b3= (c≠0). 1+c 2+c 3+c

1 令 2b2=b1+b3,解得 c=-2. 2n -n 1 当 c=-2时,bn= 1 =2n, n-2
2

当 n≥2 时,bn-bn-1=2. 1 故当 c=-2时,数列{bn}为等差数列. 法二 当 n≥2 时,

2n2-n 2?n-1?2-?n-1? bn-bn-1= - n+c n-1+c = 2n2+?4c-2?n-3c , n2+?2c-1?n+c?c-1?

欲使{bn}为等差数列, 只需 4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1)(c≠0), 1 解得 c=-2. 1 故当 c=-2时,数列{bn}为等差数列. B组 能力提升

1.(2013· 辽宁高考)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题:p1:
?an? 数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列? n ?是递增数列;p4: ? ?

数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( A.p1,p2 C.p2,p3 ) B.p3,p4 D.p1,p4

【解析】 因为 d>0,所以 an+1>an,所以 p1 是真命题.因为 n+1>n,但是 an 的符号不知道,所以 p2 是假命题.同理 p3 是假命题.由 an+1+3(n+1)d-an -3nd=4d>0,所以 p4 是真命题. 【答案】 D

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 am-1+am+1-a2 m=0,S2m-1=38,则 m =________. 【解析】 ∵am-1+am+1=2am,

∴2am-a2 m=0,则 am=2,am=0(舍),

?2m-1??a1+a2m-1? 又 S2m-1= =(2m-1)am=2(2m-1)=38. 2 解之得 m=10. 【答案】 10

3.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).
?1? (1)证明数列?a ?是等差数列; ? n?

(2)求数列{an}的通项; (3)若 λan+ 【解】 ≥λ 对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 λ 的取值范围. an+1 由 3anan-1+an-an-1=0(n≥2)得, 1

(1)证明

1 1 an-an-1=3(n≥2),
?1? ∴数列?a ?是以 1 为首项,3 为公差的等差数列. ? n?

1 (2)由(1)可得,a =1+3(n-1)=3n-2.
n

1 ∴an= . 3n-2 (3)λan+ 即 ≥λ 对 n≥2 的整数恒成立, an+1 1

λ +3n+1≥λ 对 n≥2(n∈N*)恒成立. 3n-2 ?3n+1??3n-2? (n≥2,n∈N*), 3?n-1?

整理得 λ≤

?3n+1??3n-2? 令 Cn = , 3?n-1? ?3n+4??3n+1? ?3n+1??3n-2? Cn+1-Cn= - 3n 3?n-1? = ?3n+1??3n-4? , 3n?n-1?

因为 n≥2,所以 Cn+1-Cn>0, 28 ∴{Cn}为单调递增数列,C2 最小,且 C2= 3 ,

28? ? 故 λ 的取值范围为?-∞, 3 ?. ? ?


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