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2014年寒假物理竞赛集训二导学1-运动学 静力学


? 清北 北学堂 堂集中 培训课 课程导 导学资 资料 ?
? (2014 年寒假 假集中培 培训课程 程使用)?

QB BXT/JY/DX X2013/11‐1‐7

20 014 年寒 寒假物 物理竞赛集训 训二导 导学
( (第一次) )? ?

资 资料说明 明?
本导学用于 于学

员在实际 际授课之前,了解授课方 方向及重难点 点。同时还附 附上部分知识点的 详细 细解读。每个 个班型导学共 共由 4 次书面 面资料构成。此次发布的 的为第一次导 导学,后面的第二 次导 导学,将于 20 013 年 12 月 5 日发布。在 2013 年 12 1 月 20 日,公司还会发 发布相应班型的详 细授 授课大纲,敬 敬请关注。? ? ? ? ? @qbxt.cn? 自主招生邮箱:wanglj@ 数学竞赛邮箱:cuid@qbxt.cn? 物理竞赛邮箱:lin@qbx xt.cn? 化学竞赛邮箱:zhouk@ @qbxt.cn? 生物竞赛邮箱:zhangw@ @qbxt.cn? 理科精英邮箱:wanglj@ @qbxt.cn?

? ?
13‐11‐30 发布 发 ? ?201

?

清北学 学堂教学研 研究部?

清北 北学堂集中培训课程入学测试 试? ?

20 014 年寒 寒假物 物理竞赛集训 训二导 导学
知识 识框架............................................................ 3? 重点 点难点............................................................ 4? 知识 识梳理............................................................ 5?
一 ? 一、 运动 动学?.................................. ........................................ ............................................?5? 1.? 运动的 的合成与分解 解?.................. ........................................ ............................................?5? 2.? 相对运 运动?.................................. ........................................ ............................................?5? 3.? 直线运 运动?.................................. ........................................ ............................................?5? 4.? 曲线运 运动?.................................. ........................................ ............................................?5? 5.? 刚体平 平动?.................................. ........................................ ............................................?7? 6.? 刚体绕 绕定轴转动?...................... ........................................ ............................................?7? 7.? 微元法 法?...................................... ........................................ ............................................?7? 8.? 等效法 法?...................................... ........................................ ............................................?7? 二 ? 二、 静力 力学?.................................. ........................................ ............................................?8?

1.? 力的种 种类与特性?...................... ........................................ ............................................?8? 2.? 力的合 合成与分解?...................... ........................................ ............................................?8? 3.? 共点力 力平衡?.............................. ........................................ ............................................?8? 4.? 一般平 平衡?.................................. ........................................ ............................................?8? 5.? 液体压 压强与浮力?...................... ........................................ ............................................?9? 6.? 液体表 表面张力?.......................... ........................................ ............................................?9? 7.? 虚功原 原理?.................................. ........................................ ............................................?9? 8.? 摩擦角 角?...................................... ........................................ ............................................?9? 例 例题选讲 ?...... ........................................ ........................................ ..........................................?10? 巩 巩固习题—— —运动学?......................... ........................................ ..........................................?14? 巩 巩固练习—— —静力学?......................... ........................................ ..........................................?16? 参 参考答案—— —运动学?......................... ........................................ ..........................................?19? 参 参考答案—— —静力学?......................... ........................................ ..........................................?21?

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知识 识框架?
运动的合成与分解 质点 点(组)运动 动学 运动学 学 刚体运动学 运 运动学经典方 法 静力学基础 平衡 静力学 学 流体静力学 静 静力学经典方 法 相对 对运动 直线运动 曲线运动 刚体平动 刚体绕 绕定轴转动 微 微元法 等 等效法 力的种 种类与特性 力的合 合成与分解 共点 点力平衡 一般 般平衡 液体压 压强与浮力 液体表 表面张力 虚功原理 摩 摩擦角

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重点 点难点?
质点(组)运动学中理论 论部分内容多 多为高考物理 理考纲范围内 内容,在竞赛 赛中非常基本 本,因 此需 需要熟练掌握 握。虽然该部 部分难点较少,但需要灵活 活使用多种解 解题技巧。? 对曲线运动 动的一般描述 述引入曲率半径概念,在解 解题中有时会 会用到,需要 要掌握。? 刚体运动学 学部分在高考 考物理中涉及较少,接受上 上存在一定难 难度。? 在求解运动 动学问题时常 常使用的几种方法在运动学 学部分应作为 为重点及难点 点掌握。? 静力学中的 的平衡问题在 在竞赛中属重点,对物体的 的平衡分析也 也是竞赛中静 静力学的难点 点。? 在求解静力 力学问题时常 常使用的几种方法在静力学 学部分也应作 作为重点及难 难点掌握。?

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知识 识梳理?
一、
? 1.

运动学 学?

2.

运动的合成 成与分解? 运动的 的合成包括位 位移、 速度和加 加速度的合成 成, 遵守矢量 量合成法则— ——平行四边 边形法 则。? 在进行 行速度分解时 时,应根据实际的运动效果 果选择将速度 度分解为何种 种方向的分量 量。? 相对运动? 我们一 一般把质点对 对地或对地面上静止物体的 的运动称为绝 绝对运动, 质 质点对运动参照系 的运动称相 相对运动, 而运 运动参照系对 对地的运动称 称牵连运动。 以速度为例 例这三种速度分别 称绝对速度 度、相对速度 度、牵连速度,且有 v绝对 = v相对 + v 牵连 牵 。?

3. 直线运动? 直线运动? (1) 匀速直

s = vt ? v = 常数 ? a = 0 ?
(2) 匀变速 速直线运动? 1) 匀变速直线 线运动的一般 般规律?

1 2 vt = v0 + at ? s = v0 t + at 2 ? vt2 ? v0 = 2as ? 2
2) 自由落体运 运动?

vt = gt ? s =

1 2 gt ? 2

运动? 3) 竖直抛体运 1 竖直下抛运动 竖 动的规律:规 规定抛出点为原点,竖直向下为正方向 向,公式为? ○

vt = v0 + gt g ? s = v0 t +

1 2 gt ? 2

2 竖直上抛运动 ○ 竖 动的规律:规 规定抛出点为原点,竖直向上为正方向 向,公式为?

1 vt = v0 ? gt g ? s = v0 t ? gt 2 ? 2
4. 曲线运动? (1) 抛体运 运动? 1) 平抛运动? 分位移、位 位移公式:?

x = v0 t ? y =

1 2 1 g gt gt ? s = x 2 + y 2 = (v0 t ) 2 + ( gt 2 ) ? α = arctan , 移, s 为位移 α 2 2v0 2

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为位 位移 s 和 x 轴方向夹角。 轴 消去参数 t ,得轨迹方程 程: y =

g 2 x ? 2 2v0

分速度、 速度 度公式:v x = v0 ? v y = gt g ? v= 为速 速度 v 与 x 轴方向夹角。 轴 ? 加速度: a x = 0 ? a y = g ? 在自然坐标 标系中,加速 速度: a n = g cosθ = 2) 斜抛运动?

2 2 2 vx + vy = v0 + g 2 t 2 ? β = arctan

gt ,β v0

gv0
2 + g 2t 2 v0

? a r = g sin θ =

g 2t 2
2 v0 + g 2t 2

?

式: v x = v0 cosθ ? v y = ± v 0 sin θ ? gt 抛运动, ? 斜 斜下抛运动。 分速度公式 g , + 斜上抛 分位移公式 式:x = v0 cos θ ? t ? y = ±v0 sin θ ? t ? 去参数 t ,得轨 轨迹方程:? 消去

1 2 gt ,+ 斜上抛运动, 斜 ? 斜下抛运动。 2

y = ± x tan θ ?

g 斜 ? 斜下抛运 运动。? x 2 , + 斜上抛运动, 2v cos s2 θ
2 0

斜上抛运动的几个特征量:飞行时间 T =
2 sin 2θ v0 s= ? g

2v0 sin θ g

射高 H =

2 v0 sin 2 θ ? 射程 2g

(2) 圆周运 运动? 1) 匀速圆周运 运动? 线速度、角 角速度的公式 式和关系为: v =

θ s ? ω = ? v = ωr , s 为弧长, θ 为圆心角 角? t t
v2 = ω 2 r ,指向圆心 心。? r

切向加速度 度 a r = 0 ,法 法向加速度 a n = 2)

变速圆周运 运动? 加速度不指 指向圆心,加 加速度可分解为向心和切向两个分量, ,即?

a K K K 2 + a r2 ? tan θ = r ? a = an + ar ? a = an an
曲线运动? (3) 一般曲 每一光滑平 平面曲线中任 任何一个无限小部分均可属 属于某一圆, , 此圆称为曲 曲线在该部位的曲 率圆 圆,其半径称 称为曲率半径 径,常记为 ρ ,运动速度 v 及向心加速 速度 a n 与曲率半径 ρ 间有关

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系式 式: an = 5.

v2

ρ

?

刚体平动? 意一条直线在 在各个时刻位置彼此平行称 称之为刚体的 的平动。 其特 特点为: 刚体 体上任 刚体上任意 意两 两点的运动轨 轨迹相似。因此,刚体的平 平动可用其内 内任一质点的 的运动来代表 表。其公式同质点 (组 组)运动公式 式。? 6. 刚体绕定轴 轴转动? 刚体绕定轴 轴转动特点是 是刚体上的各 各点都在与转 转轴垂直的平 平面内做圆周运动,各点做圆 周运 运动的半径可 可以不相等, 但 但各点的转过 过的角度都相 相同。 转动涉 涉及的运动学 学变量为角位移 ? 、 角速 速度 ω 、角加 加速度 β :?

? = s r = ω0 t + βt 2 ? ω = v r = ω 0 + β ? β = a r ? ω 2 ? ω 02 = 2 β (? ? ? 0 ) ?
微元法? 微元法本质 质上是从部分 分出发求解整体的思维方式 式。 即将复杂 杂问题分解为 为无限小的 “微元 体”或“元过程 程” ,在这样的 的“微元体” ”或“元过程 程”上可使用 用较简单的物 物理规律,而 而每一 “微 微元体”或“ “元过程”上 上遵从相同的物理规律,通 通过一定的数 数学或物理方 方法将“微元 元体” 或“ “元过程”叠 叠加合成为待 待求解问题的解。? 由于分解的 的微元无限小 小,因而在“ “微元体”或 或“元过程”中变化的量 量可以视为常数, 如匀 匀加速直线运 运动中的“元 元过程”可视为匀速直线运 运动。? 8. 等效法? 若某物理过 过程中一些因 因素所起的作 作用和另一些 些因素所起的 的作用相同,则前一些因素与 后一 一些因素是等 等效的,可以 以互相代替并 并不影响最后 后结果,这种 种方法就是等 等效法。等效思维 的实 实质是在效果 果相同的情况 况下,将较为复杂的实际问题变换为简 简单的熟悉问 问题。? ? 7.

1 2

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二、

静力学 学?

? 1. 力的种类与 与特性? (1) 重力? 重力是由地 地球引力引起的,实际上除 除了地球两极 极,万有引力 力有两个分量 量,一个提供物体 随地 地球自转的向 向心力,另一 一个为重力,方向并不是 是竖直向下。但通常计算 算中认为重力方向 竖直 直向下,作用 用在物体重心 心上。重力为非接触力。 (2) 弹力? 弹力由形变 变引起,为接触力。产生必 必要条件为相 相互接触且有 有形变。? 1) 轻绳、轻杆 杆、轻弹簧? 轻绳受力,只能产生拉 拉力,方向沿绳子且指向绳 绳子收缩的方 方向。? 轻杆受力,有拉伸、压 压缩、弯曲、扭转形变,与 与之对应,杆 杆的弹力方向 向具有多向性 性。? 轻弹簧受力 力,有压缩和 和拉伸形变,能产生拉力和 和压力,方向 向沿弹簧的轴 轴线方向。? 点与面接触? 2) 面与面、点 指向受力物体。? 面与面、 点与面接触时, , 弹力方向垂 垂直于面 (若 若是曲面则垂直于切面) , 判断形变的 可采用假设 的存在至关重 重要, 对于不能 能明确是否产 产生形变的, 设法判断物体 体间是 否具 具有相对运动 动趋势或相对 对运动。它们的大小,可通 通过牛顿定律 律和力平衡条 条件来确定。? (3) 摩擦力 力? 摩擦力由相 相对运动趋势 势或相对运动产 产生, 为接触 触力。 产生必 必要条件为有 有相互作用弹力及 相对 对运动趋势或 或相对运动。? 滑动摩 摩擦力 f = μN , μ 为滑动 动摩擦系数。 。静摩擦力 0 < f s < f sm , f sm = μ 0 N 为 最大静摩擦 擦力, μ 0 为静 静摩擦系数。实际上 μ 0 > μ ,但一般 般认为 μ 0 ≈ μ 。? 摩擦力可以通过判断相对运动或 或相对运动趋 趋势确定存在 在, 有时也需 需要通过假设法判 断。? 力的合成与 与分解? 力的合 合成与分解遵循 循平行四边形 形法则。? 力的分 分解可根据其作用效果分解 解为两个或多 多个效果单一 一的力。? 共点力平衡 衡? 共点力平衡条件为合力为零,即

2.

3.

∑F
i

K

i

K K = 0 ,分量形式 式为 ∑ Fix = 0 , ∑ Fiy = 0 。 ?
i i

受三个不平行的力作用平衡 衡时,三力必 必为共点力。? 物体受 4. 一般平衡? (1) 物体受 受力平衡的一 一般条件? 物体一 一般的受力平衡条件为合力为零且合力矩为零,即
i

∑F

K
i

K = 0 ,∑Mi = 0。
i

合力矩为零 零的含义是对任意转轴(支 支点)合力矩 矩为零。? (2) 平衡分 分类? 物体的平衡可分为稳 稳定平衡、不 不稳定平衡和 和随遇平衡三 三类。? 稳定平 平衡:当物体稍 稍稍偏离平衡 衡位置时,有 有力或力矩使 使其回到平衡 衡位置。? 不稳定 定平衡:当物体稍稍偏离平 平衡位置时, ,有力或力矩 矩使其偏离继 继续增大。? 随遇平 平衡:当物体偏 偏离平衡位置 置时,它所受 受的力或力矩 矩不发生变化 化,能在新的位置 上再次平衡 衡。?

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5.

平衡类 类型的判断方法 法有受力(力 力矩)分析法 法、重心升降 降法和支面判 判断法。? 受力(力矩)分析法 法:偏离平衡 衡位置时,所 所受外力指向 向平衡位置,稳定平衡;外力 背离平衡位 位置,不稳定平衡;外力为 为零,随遇平 平衡。? 重心升 升降法:偏离平 平衡位置时, ,重心升高,稳定平衡;重心降低,不稳定平衡 衡;重 心高度不变 变,随遇平衡。? 支面判断法:有支面 面物体平衡时 时重力作用线 线过支面。偏 偏离平衡位置 置时,重力作用线 仍过支面,稳定平衡;重力作用线不 不过支面,不 不稳定平衡。 。? 液体压强与 与浮力? 静止液体的 的压强与液体 体密度和深度成正比,即 P = ρgh , ρ 为液体密度 度, h 为深度 度。? 浸在静止液 液体中物体受 受到液体对它各个方向总压 压力的合力, , 其大小就等 等于被物体所排开

V ,式中 V 为物体浸没在 液体受的重力 力。 F = ρgV 为 在液体部分的 的体积, ρ 为 为液体密度。浮力 的液
的方 方向是竖直向 向上的,浮力 力的大小与物体的重量无关 关,与物体在 在液体中深度 度无关。? 6. 液体表面张 张力? 液体与其他 他相物体交界 界面处会产生表面张力, F = σL ,σ 为表面张力 力系数, L 为交界 面长 长度。表面张 张力垂直于交 交界面。? 7. 虚功原理? 假设平衡物 物体偏离平衡 衡位置移动无限小位移, 该过程中物体 该 体所受作用力 力对其做功, 虚功 理得到的结论 论是外力做功 功代数和为零,即 原理 8. 摩擦角? 力因数为 μ s ,则摩擦角定 定义为 ? = ar rctan μ s 。 设静摩擦力 摩擦角几何 何意义:最大 大静摩擦力 f sm 法线间的夹角 角。? s 与支持力 N 的合力 Rm 与接触面法 全反力:物 物体受到的摩擦力 f 与支持力 N 的合 合力 R 叫支持 持面对物体的 的全反力。当 R 与 线夹角 α ≤ ? 时,静摩擦 擦力不超过最大静摩擦力。因此在 α ≤ ? 的范围内 内斜向下推物 物体, 法线 。? 无论 论力多大物体 体都不会滑动 动,这就是“自锁现象”

∑ F Δs
i i

i

= 0 。?

?

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例题 题选讲
例 1.? 一 只 兔 子 沿 直 线 以 恒 定 速 度 u = 5 m s 奔跑。 。某时一只狐 狐狸发现了这 这只兔 子,便以恒定的 的速度 v = 4 m s 开始追它 它。狐
奔跑时速度方 方向始终对准 准兔子。开始时 时两者 狸奔 距离 离减小。后又 又不断增大。 已知最近距 距离为 L = 30m , 求两者距离最近时 时, 狐狸的加 加速度。 ? 狸与兔子相距最近时,以兔 兔子为 解:当狐狸 参考 考系的狐狸相 相对速度 v ′ 方向与二者连 方 连线垂 K K K 直,由相对运动 动原理,有 v = v ′ + u ,矢 矢量关系如图 图所示。? 当兔子经时 时间 Δt 从 A → A′ 时,狐 狐狸从 B → B′ ,有 AA′ = uΔt ,而 BB ′ = vΔt ?

K



BB ′ v ρΔθ ρ ρ v′ = cos θ = ? = = ul AA′ u l Δθ cos θ l
v 2 2 而 v′ = u ? v ,所以狐狸 l ,而 v′

狐狸轨迹该 该处(与兔子 子最近距离)的曲率半径 径ρ = 此时 时的加速度 a =

v2

ρ

=

vv ′ v u 2 ? v 2 = = 0 . 4 m s 2 。? l l

简析:本题 题使用“微元思想”结合曲 曲线运动中“曲率半径”概念,取最 最近距离附近 近的微 小运 运动进行分析 析, 解决了难以整体计算运 运动过程的问 问题。 此类解 解题思路及方 方法值得学习和借 鉴。?

例 2. 一只 只蚂蚁从蚂蚁 蚁洞沿直线爬 爬出, 已知爬出 出速度 v 的大 大小与距蚂蚁 蚁洞中心的距离 L
反比,当蚂蚁 蚁到达距蚂蚁洞中心的距离 离 L1 = 1m 的 A 点时,速 速度大小为 v1 = 20 cm s ,问 成反 当蚂 蚂蚁到达距蚂 蚂蚁洞中心的 的距离 L2 = 2m 的 B 点时 时, 其速度大小 小为 v2 是多少?蚂蚁从 A 点 到达 达 B 点所用的 的时间 t 是多少 少? 解:由已知 知可得蚂蚁在 在距离洞中心上 L 处的速度 度v为v = k

1 ,代入已 已知得: L

k = vL = 0.2 × 1 m 2 s = 0.2 m 2 s ,所以当 L2 = 2m 时,其 其速度 v2 = 0.1m s 。
由速度的定 定义得:蚂蚁 蚁从 L 到 L + ΔL 所需时间 间 Δt 为

Δt =

ΔL 1 = ? L ? ΔL k v

(1 )

类比初速度 度为零的匀加 加速直线运动的两个基本公 公式 ?

?Δs = v ? Δt t ?v = at

在 t 到 t + Δt 时刻所经位 位移 Δs 为 Δs = a ? t ? Δt (2 ) 比较(1) 、 (2)两式可 可以看出两式的表述形式相 相同。 据此可得蚂 蚂蚁问题中的 的参量 t 和 L 分别类比为初 分 初速度为零的 的匀加速直线 线运动中的 s 和 t ,

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1 相当于加速 速度 a 。 k 1 1 1 于是,类比 比 s = at 2 可得:在此蚂 可 蚂蚁问题中 t = ? ? L2 2 k 2 1 2 ? = t L1 1 ? 2 k 令 t1 对应 L1 , t 2 对应 L2 ,则所求时 时间为 ? 1 2 ?t 2 = L2 2k ?
代入已知可 可得从 A 到 B 所用时间为 为:

Δt = t 2 ? t1 =

1 2 2 ( L2 ? L1 ) = 75s 。 2k

简析:本题 题实质上是一道 道微积分的计 计算题,如果 果掌握一定的 的微积分知识 识,本题求解会十 分容 容易。在物理 理竞赛中有许 许多题目使用微积分方法进 进行计算能起 起到另辟蹊径 径的作用。

例 3.? 炮弹 弹从具有倾角 角为 α 的平斜 斜顶的掩蔽所 所下向外发射 射,炮位与斜顶的顶点 A 相距
为 d,炮弹发射的初速度为 v0 ,求炮弹能 能发射的最远 远距离。? 解:以炮位为坐标原点,平行 行和垂直于斜 斜顶分 别为 x 和 y 轴,炮弹运动的加速度

ax = ? g cos α ? a y = ? g sin 坐标系 n α 。在此坐
中,斜顶的 y 坐标 坐 y = h = d sin α 。? 若要炮弹射 射程最远,则 则炮弹轨道要 要与斜顶相切 切,应满足 h = d sin α =
2 即 v0 sin 2 (θ ? α ) = gd sin 2α ?

2 v0 sin 2 (θ ? α ) , 2 g cos α

若 v < gd sin 2α , 则轨道不 不可能与斜顶 顶相切, 最大射 射程只需取 θ =
2 0

π
4

, 最大射程 Lmax

2 v0 = 。 ? g

2 若 v0 ≥ gd sin 2α ,则轨道要 要与斜顶相切 切,应取 θ = α + sin

?1

gd sin 2α 。? v0

(i )

2 v0 π 若 θ ≥ ,即 2 ≤ sin s 2α ,此时 时最大射程只 只需应取 θ = ,最大射程 4 4 v0 + 2 gd

π

Lmax x

2 v0 = 。? g

(ii)

若θ <

π
4

,即

2 v0 时最大射程需 需使炮弹轨道 道与斜顶相切 切,即 > sin 2α ,此时 2 v0 + 2 gd

应取 取 θ = α + sin n ?1

gd sin 2α ,此时最 最大射程为 v0

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Lmax x =

2 gd sin 2α v2 v0 )? sin 2θ = 0 sin 2( (α + sin ?1 g v0 g

简析:本题 题需根据炮弹轨道特性建立 立合适的坐标 标系,使计算 算化简。若建 建立水平竖直 直坐标 系则 则本题计算繁 繁琐求解困难 难。

例 4.? 两个 个质量分布均 均匀的球,半 半径为 r ,重 重为 P ,置于 于两端开口的 的圆筒内,圆筒半 径为 为 R ( r < R < 2r ) ,并竖 竖直放在水平 平面上(如图 图 1) 。设所有 有接触面均光 光滑,为使圆筒不
致于 于倾倒,圆筒 筒的最小重量 量 Q 为多少?如果换成有底的圆筒,情 情况又如何? ??

?
图 1 图 2

解:球 Q2 受力如图 受 2,由共点力平 平衡条件得

N = P cot θ = P ?

2 R ? 2r ( 2r ) ? ( 2 R ? 2r ) 2
2

球 Q1 受到向 向右的支持力 力 N ′ = N ,两力构成力偶 偶,对圆筒有 有 可得 QR = N ? ( 2r ) 2 ? ( 2 R ? 2r ) 2 ,可

Q=

2( R ? r ) P R

若换成有底 底的筒,则不 不会翻。 简析:本题 题受力分析中使用到了力偶 偶的概念。等 等大、反向不 不在一直线上 上的两个力构成力 偶,力偶矩为力与力偶臂(两 两平行力之间 间的距离)的 的乘积,因而 而力偶矩与转 转轴的具体位置无 关。

例 5. 如图 图所示,一个 个半径为 R 的四分之一光 的 光滑球面放在水平桌面上,球面上放置 置一 光滑 滑均匀铁链, 其 A 端固定在球面的顶点 点, B 端恰与 与桌面不接触 触, 铁链单位长 长度的质量为 为ρ . 试求 求铁链 A 端受 受的拉力 T 。

W = TΔl 。拉 解:设 A 点受到水平拉 点 拉力的作用下移动一小段距 距离为 Δl 则拉力做功 则 拉动的

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Δl 的铁 效果 果可看做 B 端长为 端 铁链被搬到了 了 A 端,重力 力做功 W ′ = ? ρ ( Δl ) gR 。由虚功原理 理可
知,外力做功代 代数和为零,即: TΔl = ρ ( Δl ) gR ,易得 T = ρgR g 。 简析:本题 题使用虚功原 原理求解 A 点所受拉力, 点 过程非常简洁,若使用其 其他方法则求 求解 程均十分繁琐 琐。虚功原理 理在静力学求解受力时非常 常有用,需要 要熟练掌握。 过程

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巩固 固习题—— —运动学 学
1.有两个斜抛物 有 体从地面抛出 出,他们的初 初速度大小相 相同,方向斜 斜向上,与水 水平地面所成的角 度分 分别为 45° + α 和 45° ? α ,在空气阻 阻力可以忽略 略不计的情况 况下,他们的 的水平射程之比是 ( )

n α ) : (cos α + sin α ) A. (cos α ? sin
C. 1: 1

os α ? sin α ) B. (cos α + sin α ) : (co
D. sin 2α : cos 2α

白板,位于水 一 水平桌面上,处于静止状 状态.一石墨 墨块(可视为 为质点)静止 止在白 2.一块足够长的 板上 上.石墨块与 与白板间有摩擦,滑动摩擦 擦系数为 μ.突然,使白板以恒定的速 速度 v0 做匀速直 经过某一时 线运 运动, 石墨块将 将在板上划下 下黑色痕迹. 时间 t, 令白板 板突然停下, 以 以后不再运动 动. 在 最后 后石墨块也不 不再运动时,白板上黑色痕 痕迹的长度可 可能是(已知 知重力加速度 度为 g,不计石墨 与板 板摩擦划痕过 过程中损失的 的质量) ( ) A.
2 v0 2μ g

B. v0t

C. v0t ?

1 μ gt 2 2

D.

2 v0 μg

3.若质点作直线运 若 运动的速度 v 随时间 t 变化的图线如 变 如图 2-31 所示 示, 则该质点 点的位移 s (从 从 t=0 开始 始)随时间 t 变化的图线可 可能是图 2-3 32 中的哪一个?( )

图 2

图 3

历 历史上有些科 科学家曾把在 在相等位移内速度变化相等的单向直线 线运动称为“匀变速直线运动” 4. (现 现称“另类匀变 变速直线运动 动” ) ,“另类加 加速度”定义 义为 A=(vt-v0)/s,其中 中 v0 和 vt 分别表 分 示某 某段位移 s 内的初速和末速。A>0 表示物体做加 表 加速运动,A<0 表示物体 体做减速运动。而 现在 在物理学中加 加速度的定义 义式为 a=(vt-v0)/t,下 下列说法正确 确的是( A.若 A 不变,则 a 也不变 保持不变,则 则 a 逐渐变大 大 B.若 A>0 且保 间位置处的速 速度为(vt+v0)/2 C.若 A 不变,则物体在中间 速度为 (vt2+v02)/2 D.若 A 不变,则物体在中间位置处的速 )

第一次从高为 为 h 处水平抛 抛出一个球,其水平射程为 其 为 s,第二次 次用跟第一次 次相同的速度从另 5.第 一处 处水平抛出另 另一小球,水 水平射程比前 前一次多了△s,不计空气 气阻力,则第 第二次抛出点的高 度为 为_______ 。

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6.物 物体 A 以初 初速度 v1 竖直向上抛出,经 经过时间 T 后,物体 B 在同一地点以初速度 v 2 竖直 向上 上抛出.若 v1 > v 2 ,则欲使 使两物体尽早 早相遇(从物 物体 A 抛出时 时算起) ,T 的 的取值为___ ___, 相遇 遇点离地面的 的高度为____ __。 老 穴沿直线前进 进,它的速度 度与到洞穴的距离成反比.当它进行到洞穴距离为 d 1 的 7. 老鼠离开洞穴 甲处 处时,速度为 为 v1 ,则它进 进行到离洞穴 穴距离为 d 2 的乙处时的速 的 速度为______ _,老鼠从甲到乙 用去 去的时间为__ _____。

θ 斜向上抛出 8.以 以初速度 v0 ,抛射角为 , 出一小球,小 小球将沿一抛 抛物线运动。如有一小飞虫也
沿此 此抛物线以恒 恒定的速率

v0

匀速飞行,求当他飞到最大高度一半 半处时的加速 速度。

9. 一只蜗牛从地 一 地面开始沿竖 竖直电杆上爬 爬, 它上爬的 的速度 v 与它 它离地面的高 高度 h 之间满足

关系 系式 v=

lv0 ,其中常数 数 l =20cm, v0 =2cm/ /s。求它上爬 爬 20cm 所用 用的时间。 l+h

10.一飞机相对于 一 于空气以恒定 定速率 v 沿正 正方形轨道飞行, 在无风天 天气其运动周 周期为 T. 若有恒 定小 小风沿平行于 于正方形的一 一对边吹来,风速为 V = kv (k << 1) .求飞机仍 仍沿原正方形(对 地)轨道飞行时 时周期要增加 加多少.

11. 如图所示,M 是水平放 放置的半径足 足够大的圆盘 盘,绕过其圆 圆心的竖直轴 轴 OO ' 匀速转 转动, 经过 O 水平向 向右的方向作 作为 x 轴的正 正方向。在圆心 O 正上方 方距盘面高为 为 h 处有一个正在 以经 间断 断滴水的容器 器,在 t=0 时刻开始随传 时 传送带沿与 x 轴平行的方 方向做匀速直 直线运动,速 速度大 小为 为 v。 已知容器 器在 t=0 时滴 滴下第一滴水 水, 以后每当前 前一滴水刚好 好落到盘面上 上时再滴一滴 滴水。 问: ) 经多长时间滴 滴落到盘面上 上? (1)每一滴水经 (2)要使每一滴 ) 滴水在盘面上 上的落点都位 位于一条直线 线上,圆盘转 转动的最小角速度 ω。 (3 ) 第二滴水与 与第三滴水在 在盘面上的落点间的最大距 距离 s。

O
v h M

O

x

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巩固 固练习—— —静力学 学
1.如 如图所示,光 光滑半球形容器固定在水平 平面上,O 为球心,一质 为 质量为 m 的小 小滑块,在水平力 P 点。设滑块 F 的作用下静止 的 块所受支持力 力为 FN。OF 与水平方向的 与 的夹角为 0。下列关系正确的 是( ( )

mg m tan nθ m mg C. FN = tan nθ
A. F =

B. F = mg tan nθ D. FN = mg tan nθ

Γ 型均匀杆总长 2.如图所示, 如 型 长为 3L,在竖 竖直平面内可 可绕水平轴 O 转动,若在 在杆的右端 A 点

加一 一方向竖直向 向下的力 F,使 使杆顺时针缓 缓慢转动,在 在 AB 杆由水平 平转过 90 0 的 的过程中,以下说 法中 中正确的是( (? ? )? A. 力 F 不变? B. 力 F 变大? C. 力 F 的力矩变 变小? D. 力 F 的力矩先 先变大后变小 小?

3.? 如图所示,均 如 均匀的直角三 三角板 ABC 重为 重 20N,在 在 C 点有固定 定的转动轴,A 点用竖直 直的线 AD 拉住,当 拉 BC C 处于水平平 平衡位置时 AD 线上的拉力 力大小为 F。 D? 后将 将一块凹槽口 口朝下、重为 4N 的木块卡 卡在斜边 AC 上,木块恰 A? 能沿 沿斜边 AC 匀速 速下滑,当木 木块经过 AC 的中点时细线 线的拉力大 小变 变为F+△F,则下述正确 确的是( ? ? ? ? ? )? B? A.F=10N? ? ? ? B.?F>10N? ? ? ? C. C ? △F=2N? ? ? ? D.? △F=4N N? ? ? ? C? ? 4.如 如图所示,质 质量不计的杆 杆 O1B 和 O2A 长度均为 L,O1 和 O2 为光滑固定转 为 转轴,A 处有一凸 起物 物搁在 O1B 的中点, 的 B 处用绳系在 处 O2A 的中点,此时两短杆 杆便组成一根 根长杆,今在 在 O1 B 杆的 的C点 (C 为 AB B 的中点) 悬挂 挂一重量为 G 的物体, 则 A 处受到的支 支撑力大小为 为_________ ____, B 处绳的拉力大 处 小为_______ _______.? ? ? ? ? ?

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5.如 如图所示,质 质量为 m 的小球放在倾 的 倾角为 α 的光 光滑斜面上,小球被与水平 平成 β 角的细线 系住 住,斜面体位 位于光滑水平面 面上,用水平 平力 F 缓慢地 地向左推物 体, β 角将减小 小,当 β =__ ____________ _时细线拉力 力最小,此
α

β

F

F __。? ? ? ? ? ? ? 时 F=__________ ? ? 6、 如 如图所示, 把 把三条质量均 为 M、 长度均 均为 L 的均匀 匀薄铁皮一端 端搁在碗口上 上的三等分的点, 另一 一端搁在其他 他铁皮的中点 点,保持平衡.此时,碗口对每条铁片的 的的弹力大小 小为_______ _,两 铁皮 皮间的相互作 作用的弹力大 大小为______.?

? ? 7.两 两根等长的细 细线,一端拴 拴在同一悬点 O 上,另一 一端各系一个 个小球,两球的质量分别为 为 m1 和 m2 ,已知两球 球间存在大小 小相等、方向 向相反的斥力 力而使两线张 张开一定角度,分别为 45°和 30°,如图所示 示。则 m1 : m2 为多少? ? ? ? ? ?

a ,高度 8.底边为 底 度为 b 的匀质 质长方体物块 块置于斜面上 上,斜面和物 物块之间的静 静摩擦因数为 为μ ,
斜面 面的倾角为 θ ,当 θ 较小时,物块静止 止于斜面上,如果逐渐增 增大 θ ,当 θ 达到某个临界值

θ0 时,物块将开 时 开始滑动或翻 翻倒。试分别 别求出发生滑 滑动和翻倒时 时的 θ ,并说 说明在什么条件下
出现 现的是滑动情 情况,在什么条件下出现的是翻倒情况 况。? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b?
θ?

?

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9.如 如图所示,两 两本书 A 和 B, ,逐页交叉后 后叠放在一起 起,平放在光 光滑的水平桌 桌面上。设书的每 张纸 纸质量为 5g,每本书均为 为 200 张纸,纸与纸之间的动摩擦因数μ=0.3。问至少需用多 多大 的水 水平力,才能 能将它命拉开 开?(取 g = 10m / s )
2

A

B

? ? 处于静止状态,PQ 为水平 平放 10.如图所示,整个装置处 的光滑细长杆 杆, 质量均为 m 的两小球 A、 B 穿于其 其上.两球用长 长度均为 L 的轻线结于 O 点, 置的 A、B 球间杆上有 有一劲度系数 数为 K 的被压 压缩的轻弹簧 簧(在弹性限度 度内) ,这时 时弹簧的长度也为 L.E 为质量不计的 为 的光滑定滑轮 轮,质量为 m/2 m 的 C 球用 用轻绳跨过定 定滑轮与置于 于水平地面上质量 为 2m 2 的 D 球相 相连,求弹簧的原长?? ?

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参考 考答案—— —运动学 学
1.C 2.AC 3.B B 4.BC 2 2 5. h(s+△s) /s 6. (v1 ? v 2 + 7. v 2 =
2 2 v1 ? v2 )/ g 2 , v2 /( 2 g )

d1 d + d2 1 1 v1 , t = 1 ( ? ) d2 2 v 2 v1

8 解析:此抛物 解 线的最大高度 度H =

v0 2 sin 2 θ 2g

∴h =

H v0 2 sin 2 θ = 2 4g
2 v0 si in θ 2

小球 球在此高度( (h)处时,y 方向的速度 度 vy =

v0 2 sin 2 θ ? 2 gh h=
tan α =

此处 处轨道的切线 线方向与水平 平方向的夹角 角为 α

vy vx

=

2 tan θ 2

小球 球的法向加速 速度

an =

v2

ρ
2

cos α

∴ cos α =

2 cos θ 1 + cos 2 θ

而 v = vx + v y = v0 cos
2 2 2 2

θ + v0 2 sin n2 θ =

1 2

1 1 + cos 2 θ ) ( 2
3

3 2 1 2 2 2 vo (1 + cos 2 θ ) 2 2 v 1 + cos θ ( ) v o 道此处的曲率 率半径 ρ = =2 = 轨道 g cos α g 2 cos θ 2 2 g cos θ

故小 小飞虫飞到此 此处的加速度 度为 a =

v2

ρ

=

2 2 g cos sθ

(1 + cos2 θ )

3 2

=

g cos θ ? 1 2 ?2 ? 1 ? sin θ ? ? 2 ?
3

Δh 1 1 = Δh 累加而成。即 t = ∑ Δh ,故 累 v v v lv0 1 1 h 1 1 可作 作出 ? h 图象 象。利用图象 象面积可得时 时间 t 。由 v = ,得 得 = (1 + ) ,故 ? h 图 l+h v v l v v0
9. 解:因蜗牛运 解 运动的时间是 是由每一小段 段时间 Δt = 象为 为一条直线,图像与坐标 标轴围成的面积即为所求的 的时间,即

1 ? h 1?1 1 1 1 t = ( + ) ? h = ? + ( + )? ? h v0 l v0 ? 2 ? v0 2 v 0 vt 。 1 s。 代入 入数据得 t = 15

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10.解:设正方形 解 形边长为 L,则无风时 L = vT / 4 。在 在有风天气为 为使飞机仍在 在正方形轨道 道上飞 行,飞机在每条 条边上的航行方向(相对于 于空气的速度 度方向)和飞 飞行时间均须 须作相应调整 整,如 图( (图中风速从 从左向右) . 令 L=( = v+V ) t1=(v-V ) t2= v ′ t3 v ′ 2 +V 2 =v 2 其中 中 则新 新的运动周期 期为

T ′ = t1 + t 2 + 2t 3 =



L L 2L + + v +V v ?V v 2 ?V 2

L? ? 1 ?? 1 ? k + k 2 + 1 + k + k 2 + 2?1 + k 2 ?? ? v? ? 2 ??

(

) (

)

ΔT

= T ′ ? T = 3k 2T / 4

? 3k 2 ? 4 L 3k 2 L = + = T ?1 + ? v v 4 ? ?

(1)水滴在 在坚直方向作 作自由落体运动 动,有 11.

h=

1 2 gt 2

t1 =


2h g

) 滴水在圆盘面 面上的落点都 都位于同一条 条直线上,在 在相邻两滴水 水的下落时间内, (2)要使每一滴 圆盘 盘转过的最小 小角度为 π,所 所以最小角速 速度为

ω=

π
t1



g 2h 2h g 2h g

(3)第二滴水落 ) 落在圆盘上的 的水平位移为 为

s2 = v ? 2t1 = 2v

第二滴水落 落在圆盘上的 的水平位移为

s3 = v ? 3t1 = 3v

当第二滴水 水与第三滴水 水在盘面上的 的落点位于同 同一直径上圆 圆心的两侧时 时两点间的距离最 大,为 s = s2 + s3 = 5v

2h ? g

?

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参考 考答案—— —静力学 学
1.?A? ? 2.BD 4. 5.? 3.BC

G ,G 2

α , mg sin α cos α

6. Mg, M Mg 7 解: 解 对两球进 进行受力分析 析,并进行矢 矢量平移,如图所 示。 首先注意,图中的灰色三角形是等腰三角形,两底 角相 相等,设为 α 。 而且,两球相互作用的斥力方向相反,大小相等, 可用 用同一字母表 表示,设为 F 。 对左边的矢量 量三角形用正 正弦定理,有 有:

m1 g F = sin α s sin 45°



同理,对右边 边的矢量三角 角形,有:

m2 g F = s α sin 30 sin 3 °



解①②两式得 得

m1 1 = m2 2

8.? 解:刚开始发 解 发生滑动时, mg sin θ 0 = μ mg cos θ 0 ?

a?
φ?

b?

tan θ 0 = μ ,即 θ 0 = ar rctan μ ?
刚开始发生 生翻倒时,如 如图所示,有 θ1 = φ ,?

θ? ?

a a , φ = arctan n ?? b b a 即 θ1 ≥ arcta an 时,发生翻倒。? b tan φ =
综上所述 述,可知:?

a a 时, θ 增大 大至 arctan 开始翻倒; b b a a 当 μ < 时, θ 增大 大至 arctan 开始滑动。 b b
当μ > 9.解 解:拉 B 书所 所用的力较小 小。第一页仅 仅受的摩擦力 力 f1 = μ mg ,第二页则受 , 受到 A 书上、 、下 两面 面的摩擦力,共为 f 2 = 2 μ mg + 3μ mg m = 5μ mg 第三 三页则受到 A 书上、下两 两面的摩擦力,共为 f 3 = 4 μ mg + 5μ mg = 9 μ mg g
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第 n 页则受到 A 书上、下两 两面的摩擦力,共为

f n = 2(n ? 1) μ mg m + (2n ? 1) μ mg = (4n ? 3) μ mg
要把 把书拉出,则 则需要的拉力为

F = f1 + f 2 + f3 + ... + f 200 = (1 + 5 + 9 + ... + 797) μ mg = 1197 N
? ? 10、解析:以滑 滑轮为对象,受力如图甲.处于平衡状 状态故有: TOE=2TAC=mg 以 O 点为对 对象,受力分 分析如图乙,TAO=TBO,则有 有

∑F

= 0

2 T AO Cos 30 ° = mg T AO = mg 3

图 甲

以 A 球为研 研究对象,受 受力分析如图丙,满足



F = 0
AO

F = T =

S 30 ° Sin

3 mg m 6

所以x =

F 3mg = K 6K

图 乙

所以弹簧原 原长 L0=L+x
m = L + 3 mg 6K

?
图 丙

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