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高中数学选修2-1(人教A版)第二章圆锥曲线与方程2.2知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆

一、学习任务 1. 2.
掌握椭圆的定义和几何图形;掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程. 掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.

二、知识清单
椭圆的基本量与方程

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三、知识讲解
1.椭圆的基本量与方程 描述: 椭圆及椭圆的标准方程 平面内与两个定点 F1 ,F2 的距离的和等于常数(大于|F1 F2 | )的点的轨迹叫做椭 圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

以经过椭圆两焦点 F1 ,F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标 系xOy .设 M (x, y) 是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为 2c(c > 0 ),那么焦点 F1 ,F2 的坐 标分别为 (?c, 0) ,(c, 0).又设 M 与 F1 ,F2 的距离的和等于 2a . 因为

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |M F1 | = √(x + c)2 + y 2 , |M F2 | = √(x ? c)2 + y 2 .
由椭圆的定义得

|M F1 | + |M F2 | = 2a,
所以

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? √(x + c)2 + y 2 + √(x ? c)2 + y 2 = 2a,
整理得

y2 x2 + =1 a2 a2 ? c 2



由椭圆的定义可知,2a > 2c,即 a > c,所以,a2 ? c 2 > 0 . ? ? ? ? ? ? 当点 M 的横坐标为 0 时,即点在 y 轴上,此时 |OM | = √a2 ? c 2 ,令

y2 x2 ? ? ? ? ? ? b = |OP | = √a2 ? c 2 ,那么 ① 式就是 + = 1 (a > b > 0) a2 b2



从上述过程可以看到,椭圆上任意一点的坐标都满足方程 ②,以方程 ② 的解 (x, y) 为坐标的 点到椭圆的两焦点 F1 (?c, 0) ,F2 (c, 0) 的距离之和为 2a ,即以方程 ② 的解为坐标的点都在 椭圆上 . 由曲线与方程的关系可知,方程 ② 是椭圆的方程,我们把它叫做椭圆的标准方程.它的焦点分 别是 F1 (?c, 0) ,F2 (c, 0),这里 c 2 = a2 ? b 2 .

若椭圆的焦点在 y 轴上,此时椭圆的方程是 标准方程.

y2 x2 + = 1 (a > b > 0),这个方程也是椭圆的 a2 b2

椭圆的几何性质 我们利用椭圆的标准方程

y2 x2 + = 1(a > b > 0) 来研究椭圆的几何性质. a2 b2

1. 范围:椭圆上的点横坐标的范围是 ?a ≤ x ≤ a ,纵坐标的取值范围是 ?b ≤ y ≤ b .

    2. 对称性:椭圆关于 x 轴、y 轴都对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中 心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 3. 顶点:椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.线段 A 1 A 2 ,B 1 B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长.

4. 离心率:椭圆的焦距和长轴长的比 率的取值范围为 0 < e < 1.

c c 称为椭圆的离心率,用 e 表示,即 e = ,离心 a a

例题: 若动点 M 到两个定点 F1 、F2 的距离的和为定值 m ,则 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.以上都不对 解:D 由于 m 与 |F1 F2 | 的大小关系不能确定,因此 M 的轨迹有可能是椭圆,也有可能是线段,还 有可能不存在. 如图所示,已知过椭圆

B 两点,F1 是椭圆的左焦点. (1)求 △AF1 B 的周长; (2)如果 AB 不垂直于 x 轴,那么 △AF1 B 的周长有变化吗?为什么?

y2 x2 + = 1 的右焦点 F2 的直线 AB 垂直于 x 轴,交椭圆于 A 、 25 16

解:(1)由椭圆定义可知

|AF1 | + |AF2 | = 2a = 10, |BF1 | + |BF2 | = 2a = 10,
故 △AF1 B 的周长为

|AF1 | + |BF1 | + |AB| = |AF1 | + |BF1 | + |AF2 | + |BF2 | = (|AF1 | + |AF2 |) + (|BF1 | + |BF2 |) = 4a = 20.
(2)如果 AB 不垂直于 x 轴, △AF1 B 的周长仍为 20. 因为

|AF1 | + |BF1 | + |AB| = |AF1 | + |BF1 | + |AF2 | + |BF2 | = (|AF1 | + |AF2 |) + (|BF1 | + |BF2 |) = 4a = 20.
所以 △AF1 B 的周长与 AB 是否垂直于 x 轴无关. 若椭圆 是(

y2 x2 + = 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6 ,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离 16 25


A.2    

8

 B.4

C.6

D.

解:B 由椭圆定义可知,|P F1 | + |P F2 | = 2a = 10 ,所以 |P F2 | = 2a ? |P F1 | = 4 .

y2 x2 + = 1: k?3 5?k (1)若方程表示圆,求 k 的取值范围; (2)若方程表示椭圆,求 k 的取值范围; (3)若方程表示焦点在 x 轴的椭圆,求 k 的取值范围; (4)若方程表示焦点在 y 轴的椭圆,求 k 的取值范围.
已知方程 解:(1)若方程表示圆,则

? k ? 3 = 5 ? k, ? k ? 3 > 0, ? 5 ? k > 0,
解得 k = 4. (2)若方程表示椭圆,则

? k ? 3 > 0, ? 5 ? k > 0, ? k ? 3 ≠ 5 ? k.
解得 3 < k < 5且k ≠ 4. (3)若方程表示焦点在 x 轴的椭圆,则

? k ? 3 > 0, ? 5 ? k > 0, ? k ? 3 > 5 ? k.

解得 4 < k < 5. (4)若方程表示焦点在 y 轴的椭圆,则

? k ? 3 > 0, ? 5 ? k > 0, ? 5 ? k > k ? 3.

解得 3 < k < 4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别为 (0, ?2) 、(0, 2),并且椭圆经过点 (?

? 3 5 √? 30 , ),N (2, ); 2 2 3 (3)焦距是 2 ,且过点 P (?√5 , 0);
(2)过点 M (?

3 5 , ); 2 2

√5 . 5 y2 x2 解:(1)由题可知椭圆的焦点在 y 轴上,故设椭圆方程为 + = 1(a > b > 0). a2 b2
(4)与椭圆 4x 2 + 9y 2 = 36 有相同的焦距,且离心率为

由椭圆定义可知,

b

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 5 3 5 ?, 2a = √(? )2 + ( + 2)2 + √(? )2 + ( ? 2)2 = 2√? 10 2 2 2 2 ?.又 c = 2 ,所以 b 2 = a2 ? c 2 = 6 . 所以 a = √? 10
故椭圆标准方程为

y2 x2 + = 1. 10 6 (2)设椭圆的方程为 mx 2 + ny 2 = 1(m > 0, n > 0且m ≠ n).由题意得 ? ? 9 m + 25 n = 1, 4 ?4 ? ? 4m + 30 n = 1, 9 ? ?m = 1 , 6 ? 1 ? ?n = ? . 10
所以椭圆的标准方程为

解得

y2 x2 + = 1. 10 6

(3)若椭圆的焦点在 x 轴上,设其标准方程为 且椭圆过点 P (?√5 , 0) ,所以

y2 x2 + = 1(a > b > 0),由已知得 c = 1 , a2 b2

? 5 = 1, ? a2 ? 2 a ? b 2 = 1,

解得
2 = 5, { a2 b = 4.

所以椭圆的标准方程为

y2 x2 + = 1. 5 4

若椭圆的焦点在 y 轴上,设其标准方程为

? 5 = 1, ? b2 ? 2 a ? b 2 = 1,
解得
2 = 6, { a2 b = 5.

y2 x2 + = 1(a > b > 0),则有 a2 b2

y2 x2 + = 1. 6 5 y2 y2 x2 x2 综上,椭圆的标准方程为 + =1 或 + = 1. 5 4 6 5
所以椭圆的标准方程为
2 2

6 5 2 2 y c x √5 (4)把方程 4x 2 + 9y 2 = 36 化为 + = 1 ,则其焦距为2√5 .由题意知 = 9 4 a 5 ,而 c = √5 ,所以 a = 5 , b 2 = a2 ? c 2 = 20 . y2 y2 x2 x2 故椭圆方程为 + =1 或 + =1 . 25 20 25 20 y2 1 x2 ,则 m =______.  + = 1 的离心率为 4 m 2 16 解: 3 或 3 ? ? ? 1 √? 4? ? m 当焦点在 x 轴上时, = ,解得 m = 3 ; 2 2 ? ? ? ? 1 16 √? m ? 4 当焦点在 y 轴上时, . = ,解得 m = ? ? 2 3 √m 16 综上, m = 3 或 m = . 3 y2 x2 已知椭圆 + = 1(a > b > 0) ,过椭圆的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A ,B 两点, a2 b2 ?→ ? ?→ ? 若 OA ? OB = 0 ,求椭圆的离心率 e .
椭圆

5

4

解: 如图所示,由题意知椭圆的右焦点 F2 的坐标为 (c, 0),将 x = c 代入椭圆方程得

y=±
所以 A(c,

b2 . a

b2 b2 ) ,B(c, ? ). a a ?→ ? ?→ ?→ ? ? ?→ ? b2 b2 因为 OA ? OB = 0 ,OA = (c, ),OB = (c, ? ) ,所以 a a c2 ? (


b2 2 ) = 0, a

c=
所以 b 2 = ac .又 b 2 = a2 ? c 2 ,所以

b2 , a

a2 ? c 2 = ac,


c c2 + ? 1 = 0, 2 a a


e2 + e ? 1 = 0(0 < e < 1)
解得 e =

?1 + √5 . 2

已知点 P 为椭圆 x 2 + 2y 2 = 98 上一个动点,点 A 的坐标为 (0, 5) ,求 |P A| 的最值. 解:设 P (x, y) ,则

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |P A| = √x2 + (y ? 5)2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? = √x2 + y 2 ? 10y + 25,
因为点 P 为椭圆 x 2 + 2y 2 = 98 上一点,所以

x2 = 98 ? 2y 2 (?7 ≤ y ≤ 7),


? ? = 2√? ?;当 y = 7 时, 因为 ?7 ≤ y ≤ 7 ,所以当 y = ?5 时 ,|P A| max = √? 148 37 |P A| min = 2.

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? |P A| = √98 ? 2y 2 + y 2 ? 10y + 25 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = √?(y + 5)2 + 148,

四、课后作业
1. 设椭圆

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y2 x2 + = 1 (m > 1) 上一点 P 到其左焦点的距离为 3 ,到右焦点的距离为 1 ,则 m2 m2 ? 1 P 到椭圆的中心的距离为 ( )
A.1
答案: B 解析:

B.2

C.3

D.√5

2m = 3 + 1 ? m = 2 ,易知 P 点为右顶点,坐标为 (2, 0) ,于是 P 到原点的距离为 2 . y2 y2 x2 x2 + =1 和 + = k (k > 0) 一定具有 ( a2 a2 b2 b2
B.相同的焦点

2. 椭圆

)
D.相同的长轴长

A.相同的离心率
答案: A

C.相同的顶点

3. 如果方程 x 2 + ky 2 = 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 ( A.(0, +∞)
答案: D 解析: 原方程可变为

)

B.(0, 2)

C.(1, +∞)

D.(0, 1)

y2 x2 + = 1, 2 2 k
因为是焦点在 y 轴上的椭圆,所以

? k > 0, ? ? 2 > 2, k

解得 0 < k < 1. 4. 已知椭圆 A.3
答案: B 解析:

? ? y2 x2 √10 ,则 m 的值为 ( + = 1 的离心率 e = 5 m 5 25 B. 或3 C.√5 3

)
D.

5 ? ? 或 √? ? √15 15 3

m > 0 ,且 m ≠ 5 . (1) 当 m > 5 时, a2 = m, b 2 = m , ∴ c 2 = m ? 5 , ? ? ? ? ? c 25 √? m ? 5 √? 10 . ∴e= = = ?m= ? ? a 5 3 √m (2) 当 0 < m < 5 时, a2 = 5, b 2 = m, c 2 = 5 ? m , ? ? ? ? ? ? ? c √5 ? m √10 ∴e= = = ?m=3 a 5 √5 25 由(1)(2)知 m = 3 或 m = . 3

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