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第十二章选修4-4第1讲坐标系


选修 4-4 坐标系与参数方程

知识点

坐标系与参数方 程

考纲展示 1.了解坐标系的作用, 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的 变化情况. 2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能 进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程. 4.了解参数方程,

了解参数的意义. 5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

第 1 讲 坐标系

1.坐标系 (1)坐标变换
?x′=λ· x?λ>0? ? 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:? 的作用下, ? y?μ>0? ?y′=μ· 点 P(x,y)对应到点(λx,μy),称 φ 为坐标系中的伸缩变换. (2)极坐标系 在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再选一个长 度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极 坐标系.

设 M 是平面内任意一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ,有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标,记为 M(ρ,θ). 2.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单 ? ?x=ρcos θ 位. 设 M 是平面内的任意一点, 它的直角坐标、 极坐标分别为(x, y)和(ρ, θ), 则? , ?y=ρsin θ ? ρ =x +y ? ? ? . y tan θ= ?x≠0? ? x ?
2 2 2

1.常见直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=θ0 和 θ=π+θ0; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π (3)直线过 M(b, )且平行于极轴:ρsin θ=b. 2 2.几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ=2acos θ; π (3)当圆心位于 M(a, ),半径为 a:ρ=2asin θ. 2

1 ? ?x′=2x 1.(选修 4-4 P5 思考改编)曲线 y=sin x 经过变换? 得到曲线 C,则曲线 C 的 ?y′=3y ? ( ) A.T=π,ymax=3 1 C.T=π,ymax= 3 B.T=4π,ymax=3 1 D.T=4π,ymax= 3

1 ? ?x′=2x 解析:选 A.将? 代入 y=sin x 得 ? ?y′=3y 1 y′=sin 2x′, 3 即 y′=3 sin2x′. 即曲线 C 的解析式为 2π y=3sin 2x,故 T= =π,ymax=3.故选 A. 2 2.(选修 4-4 P8 习题 T5 改编)椭圆 C:x2+9y2=9 经过变换 Γ 后变成圆 x2+y2=1.则变 换 Γ 可能为( ) 1 ? ?x′=3x ?x′=3x ? A.? B.? ? ?y′=y ? ?y′=y
?x′=x ? C.? ? ?y′=3y

x′=x ? ? D.? 1 ? ?y′=3y

? ?x′=λx, 解析:选 B.设变换 Γ:? ?y′=μy, ? x′ ?y′?2=9, 将 Γ 代入 x2+9y2=9 得? ?2+9· ? λ ? ? μ ? 1 1 2 2 即 2x′ + 2y′ =1. 9λ μ

?9λ =1, 由题意得? 1 ?μ =1,
2 2

1

1 ? ?λ=± , 3 ∴? 故选 B. ? ?μ=± 1,

π 2π 3. (选修 4-4 P12 习题 T3 改编)在极坐标系中 A(2, - ), B(4, )两点间的距离为( ) 3 3 A.2 B.3 C.6 D.3 3 解析:选 C.法一:(数形结合)在极坐标系中,A、B 两点如图所示,|AB|=|OA|+|OB|= 6.

π 2π π π 法二:A(2,- );B(4, )的直角坐标为 A(2cos(- ),2sin(- )) 3 3 3 3 =A(1,- 3), 2π 2π B(4cos ,4sin )=B(-2,2 3). 3 3 ∴|AB|= ?-2-1?2+?2 3+ 3?2= 36=6.故选 C. π π 4.(选修 4-4 P15 习题 T5 改编)在极坐标系中,求点 A(2,- )到直线 ρsin(θ+ )=2 的 4 4 距离. π π 解:法一:点 A(2,- )的直角坐标为(2cos(- ), 4 4 π 2sin(- )),即( 2,- 2), 4 π 由直线 ρsin(θ+ )=2,得 4 π π ρsin θcos +ρcos θsin =2, 4 4 即 x+y-2 2=0. 点( 2,- 2)到直线 x+y-2 2=0 的距离 | 2- 2-2 2| d= =2. 12+12 π π 法二:(数形结合法)在极坐标系中,直线 ρsin(θ+ )=2 是过点 M(2 2,0),N(2, )的 4 4 直线,如图,显然 A 到直线 l 的距离为|AM|=2.

平面直角坐标系中的伸缩变换

?x′=2x 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? 1 ?y′=3y

1

后,曲线 C1:x2+y2=36

变为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; (2)P、Q 分别为 C1 与 C2 上的点,求|PQ|的最小值与最大值. [解] (1)设圆 x2+y2=36 上任一点为 P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为 P′(x′, y′), ?x=2x′ ? x′2 y′2 则? ,∴4x′2+9y′2=36,即 + =1. 9 4 ? ?y=3y′ x2 y2 ∴曲线 C1 在伸缩变换后得椭圆 C2: + =1. 9 4 (2)C1 是以 O 为圆心,半径 r=6 的圆,C2 是以 O 为中心,长半轴长 a=3,短半轴长 b =2 的椭圆,(如图).

∴|PQ|min=r-a=6-3=3. |PQ|max=r+a=6+3=9.
? ?x′=λx?λ>0?, 平面上的曲线 y = f(x) 在变换 φ : ? 的作用下的变换方程的求法是将 ?y′=μy?μ>0? ?

, ?x=x′ λ ? y′ ?y= μ 的方程.

y′ x′ 代入 y=f(x),得 =f? ?,整理之后得到 y′=h(x′),即为所求变换之后 μ ? λ ?

1.在同一平面直角坐标系中,将直线 x-2y=2 变成直线 2x′-y′=4,则满足图象变 换的伸缩变换为( ) x′=2x ? ?x′=x ? ? A.? B.? 1 ?y′=2y ? ? ?y′=2y 1 ? ?x′=2x C.? ? ?y′=2y
?x′=x ? D.? ?y′=4y ?

?x′=λx?λ>0?, ? 解析:选 D.设变换为? 代入第二个方程,得 2λx-μy=4,与 x-2y=2 ? ?y′=μy?μ>0?, ? ? ?x′=x, ?x′=x, 比较系数得 λ=1,μ=4,即? 因此,经过变换? 后,直线 x-2y=2 变成 ?y′=4y. ?y′=4y ? ? 直线 2x′-y′=4.故选 D.

2 . 双曲线 C : x2 - ________.

? ?x′=3x, y2 = 1 经过 φ : ? 变换后所得曲线 C′的焦点坐标为 64 ?2y′=y ?

1 ? ?x=3x′, y2 解析:设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′), 由上述可知, 将? 代入 x2- 64 ? ?y=2y′, x′2 4y′2 x′2 y′2 x2 y2 =1,得 - =1,化简得 - =1,即 - =1 为曲线 C′的方程,可见仍是 9 64 9 16 9 16 双曲线,则焦点 F1(-5,0),F2(5,0)为所求. 答案:(-5,0),(5,0)

极坐标与直角坐标的互化 π? (1)[点的互化]①把点 M 的极坐标? ?-5,6?化成直角坐标; ②把点 M 的直角坐标(- 3,-1)化成极坐标. π? (2)[ 方程互化 ] 在极坐标系下,已知圆 O : ρ = cos θ + sin θ 和直线 l : ρsin ? ?θ-4? = 2 .(ρ≥0,0≤θ<2π) 2 ①求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; ②当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标. π 5 [解] (1)①∵x=-5cos =- 3, 6 2 5 5? π 5 y=-5sin =- ,∴点 M 的直角坐标是? ?-2 3,-2?. 6 2 ②ρ= ?- 3?2+?-1?2= 3+1=2, -1 3 tan θ= = . 3 - 3 7π ∵点 M 在第三象限,ρ>0,∴最小正角 θ= . 6 7π ? 因此,点 M 的极坐标是? ? 2, 6 ? . (2)①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 故圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2-x-y=0, π? 2 直线 l:ρsin? ?θ-4?= 2 ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 则直线 l 的直角坐标方程为:x-y+1=0. ②由①知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程, 2 2 ? ? ?x +y -x-y=0 ?x=0 将两方程联立得? ,解得? ,即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的 ?x-y+1=0 ?y=1 ? ? 公共点为(0,1), π? 将(0,1)转化为极坐标为? ?1,2?,即为所求. 极坐标与直角坐标互化的注意点: ①在由点的直角坐标化为极坐标时, 一定要注意点所在的象限和极角的范围, 否则点的 极坐标将不唯一. ②在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.

1.点 P 的直角坐标( 6,- 2)化成极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)为( ) π 2π A.(2 2, ) B.(2 2, ) 6 3 5π 11π C.(2 2, ) D.(2 2, ) 6 6 - 2 3 解析:选 D.ρ= ? 6?2+?- 2?2=2 2,tan θ= =- ,又因为点在第四象限, 3 6 11π 得 θ= . 6 11π? 因此,点 P 的极坐标为? ?2 2, 6 ?.故选 D. π? 2.在极坐标系中,点? ?2,3?到圆 ρ=2cos θ 的圆心的距离为________. π 2, ?化为直角坐标为(1, 3),方程 ρ=2cos θ 化为普通方程为 x2+y2-2x= 解析:点? ? 3? 0,故圆心为(1,0), 则点(1, 3)到圆心(1,0)的距离为 3. 答案: 3 π? 3.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2-2 2ρ· cos? ?θ-4?=2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解:(1)由 ρ=2 知 ρ2=4,所以 x2+y2=4; π? 2 因为 ρ2-2 2ρcos? ?θ-4?=2,所以 ρ - π π? 2 2 2 2ρ? ?cos θcos4+sin θsin4?=2,所以 x +y -2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1. 化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1, π? 2 即 ρsin? ?θ+4?= 2 .

曲线的极坐标方程的应用 (2015· 高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面 4 积. [解] (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2,C2 的极坐标 方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. π (2)将 θ= 代入 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 4 2 ρ -3 2ρ+4=0,解得 ρ1=2 2,ρ2= 2. 故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. 1 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 . 2

在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解 决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决. π? ? π? 1.在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为? ?3,3?、?4,6?,则△AOB(其中 O 为极点)的面积为( A.3 3 C.6 3 ) B.3 D.6

π? ? π? 1 解析:选 B.由题意知 A,B 的极坐标分别为? ?3,3?、?4,6?,则△AOB 的面积 S△AOB=2 1 π OA· OB· sin∠AOB= ×3×4×sin =3. 2 6 2.在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 和直线 ρsin θ=a 相交于 A,B 两点.若 △AOB 是等边三角形,则 a 的值为________. 解析:由 ρ=4sin θ 可得 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4. 由 ρsin θ=a 可得 y=a.

设圆的圆心为 C,y=a 与 x2+(y-2)2=4 的两交点 A,B 与 O 构成等边三角形,如图所 示. 由对称性知∠COB=30° ,OD=a. 3 3 a,∴B 点的坐标为? a,a?. 3 ?3 ? 4 3 又∵B 在 x2+y2-4y=0 上,∴? a?2+a2-4a=0,即 a2-4a=0,解得 a=0(舍去)或 3 ?3 ? a=3. 答案:3 3.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已 π? ? π? 知点 A 的极坐标为? ? 2,4?,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ-4?=a,且点 A 在直线 l 上.圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 cos θ. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. π π 2, ?在直线 ρcos?θ- ?=a 上, 解:(1)由点 A? 4? ? ? 4? 可得 a= 2,所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r= 1. 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= = <1,所以直线 l 与圆 C 相交. 2 2 在 Rt△DOB 中,易求 DB=

一、选择题

(

1.(选修 4-4 P12 探究改编)在极坐标系中,曲线 ρ=acos θ 围成的几何图形的周长为 ) A.2πa B.πa C.2π|a| D.π|a| 解析:选 D.由 ρ=acos θ 得 ρ2=aρcos θ,即 x2+y2-ax=0, a a 即(x- )2+y2=( )2, 2 2 |a| 曲线表示半径 r= 的圆, 2 |a| 其周长为 2πr=2π· =π|a|,故选 D. 2 2.(选修 4-4 P15 习题 T3(4)改编)双曲线 ρ2cos 2θ=c(c≠0)的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 2或 2 2 解析:选 A.由 ρ2cos 2θ=c 得 ρ2(cos2θ-sin2θ)=c,即 x2-y2=c(c≠0), x2 y2 ①当 c>0 时,双曲线为 - =1, c c c+c 离心率 e= = 2. c y2 x2 当 c<0 时,双曲线为 - =1, -c -c 离心率为 e= 二、填空题 -c-c = 2.故选 A. -c

π 3.(选修 4-4 P15 习题 T2 改编)在极坐标系中,由三条直线 θ=0,θ= ,ρcos θ+ρsin θ 3 =1 围成图形的面积是________. π 解析:θ=0,θ= ,ρcos θ+ρsin θ=1 三直线对应的直角坐标方程分别为:y=0,y= 3 3 3- 3 x,x+y=1,作出图形得围成图形为如图△OAB,S= . 4

3- 3 答案: 4 6 , 2cos2θ+3sin2θ A、B 是 C 上两点,O 为极点,若 OA⊥OB,则△OAB 面积的最大值为________. π 解析:可设 A(ρA,θ),B(ρB,θ± ). 2 6 6 2 ∴ρA = ,ρ2 = , 2cos2θ+3sin2θ B 2sin2θ+3cos2θ 4. (选修 4-4 P15 习题 T6 改编)在极坐标系中, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ2=

36 2 2 ∴ρA ρB= ?2cos2θ+3sin2 θ??2sin2θ+3cos2θ? 36 2 = ,∴当 sin22θ=0 时,(ρ2 AρB)max=6, 1 2 sin 2θ+6 4 即(ρAρB)max= 6. 1 6 ∴S= ρAρB 的最大值为 . 2 2 6 答案: 2 三、解答题 5.(选修 4-4 P15 习题 T4(4)改编)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极 π? 轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcos? ?θ-3?=1,M,N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的 交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π? 解:(1)由 ρcos? ?θ-3?=1 得 1 3 ρ? cos θ+ sin θ?=1. 2 2 ? ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2. 当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π? 当 θ= 时,ρ= ,所以 N? . 2 3 ? 3 ,2? (2)M 点的直角坐标为(2,0). 2 3? N 点的直角坐标为?0, . 3 ? ? 3 所以 P 点的直角坐标为?1, ?, 3? ? π 2 3 π? 则 P 点的极坐标为? ,所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R). 6 ? 3 ,6?

π 1.已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2+2 2ρsinθ- -4=0,求圆 C 的半径. 4 [导学号 03351042] 解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x 轴 的正半轴,建立直角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为 ρ2+ 2 2 2 2ρ? sin θ- cos θ?-4=0, 2 ?2 ? 化简,得 ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆 C 的 半径为 6. π 9π 6, ?,B?6 2, ?三点的圆的极坐标方程. 2.求经过极点 O(0,0),A? 4? ? 2? ? [导学号 03351043] 解:将点的极坐标化为直角坐标,

点 O,A,B 的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6), 故△OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形, 圆心为(3,3),半径为 3 2, 圆的直角坐标方程为(x-3)2+(y-3)2=18,即 x2+y2-6x-6y=0, 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入上述方程, 得 ρ2-6ρ(cos θ+sin θ)=0, π θ- ?. 即 ρ=6 2cos? ? 4? 3.圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程. [导学号 03351044] 解:(1)x=ρcos θ,y=ρsin θ, 由 ρ=4cos θ,得 ρ2=4ρcos θ,所以 x2+y2=4x,即 x2+y2-4x=0 为⊙O1 的直角坐标方 程. 同理,x2+y2+4y=0 为⊙O2 的直角坐标方程. 2 2 ? ?x +y -4x=0, ? (2)由 2 2 ?x +y +4y=0, ?
?x1=0, ?x2=2, ? ? 解得? 或? ? ? ?y1=0 ?y2=-2. 即⊙O1,⊙O2 交于点(0,0)和(2,-2),过交点的直线的直角坐标方程为 y=-x. 4.已知圆 C:x2+y2=4,直线 l:x+y=2.以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同 的单位长度建立极坐标系. (1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程; (2)P 是 l 上的点,射线 OP 交圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|· |OP|=|OR|2,当 点 P 在 l 上移动时,求点 Q 轨迹的极坐标方程. [导学号 03351045] 解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程 得其极坐标方程为 C:ρ=2,l:ρ(cos θ+sin θ)=2. (2)设 P,Q,R 的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),则由|OQ|· |OP|=|OR|2,得 ρρ1 2 =ρ2. 2 2ρ 又 ρ2=2,ρ1= ,所以 =4, cos θ+sin θ cos θ+sin θ 故点 Q 轨迹的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0). π 5.在极坐标系中,曲线 C:ρ=4acos θ(a>0),l:ρcos(θ- )=4,C 与 l 有且只有一个 3 公共点. (1)求 a; π (2)O 为极点,A,B 为曲线 C 上的两点,且∠AOB= ,求|OA|+|OB|的最大值. 3 [导学号 03351046] 解:(1)由题意,得曲线 C 是以(2a,0)为圆心,以 2a 为半径的圆. l 的直角坐标方程 x+ 3y-8=0, |2a-8| 4 由直线 l 与圆 C 相切可得 =2a,解得 a= . 2 3 π (2)不妨设 A 的极角为 θ,Β 的极角为 θ+ , 3 16 16 π 则|OA|+|OB|= cos θ+ cos(θ+ ) 3 3 3 8 3 16 3 π =8cos θ- sin θ= cos(θ+ ), 3 3 6

π 16 3 所以当 θ=- 时,|OA|+|OB|取得最大值 . 6 3 6.在直角坐标系 xOy 中,半圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).以 O 为 极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C 的极坐标方程; π (2)直线 l 的极坐标方程是 ρ(sin θ+ 3cos θ)=5 3,射线 OM:θ= 与半圆 C 的交点为 3 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. [导学号 03351047] 解:(1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圆 C 的极坐标方程是 ρ= π? 2cos θ,θ∈? ?0,2?. ρ =2cos θ1, ρ =1, ? ? ? 1 ? 1 (2)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,则有? 解得? 设(ρ2,θ2)为点 Q π π ?θ1=3, ? ? ?θ1=3, 的极坐标,

? ?ρ2?sin θ2+ 3cos θ2?=5 3, 则有? π ? ?θ2=3,
ρ =5, ? ? 2 解得? π ? ?θ2=3, 由于 θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,所以线段 PQ 的长为 4. 3 3 7.已知曲线 C:ρ= ,直线 l:ρ(cos θ- 3sin θ)=12. 8sin2θ+1 (1)求直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 在曲线 C 上,求到直线 l 的距离最小的点 P 的坐标. 3 3 [导学号 03351048] 解:(1)由 ρ= , 8sin2θ+1 得 8ρ2sin2 θ+ρ2=27, x2 y2 8y2+x2+y2=27,即 + =1. 27 3 由 ρ(cos θ- 3sin θ)=12,得 ρcos θ- 3ρsin θ-12=0,即 x- 3y-12=0. |3 3cos θ-3sin θ-12| (2)设点 P(3 3cos θ, 3sin θ),点 P 到直线 l 的距离 d= 2 π |6sin? -θ?-12| 3 π = =3|sin( -θ)-2|, 2 3 π 若点 P 到直线 l 的距离最小,则 θ=- , 6 9 3 此时点 P( ,- ). 2 2 8.已知点 P 的直角坐标是(x,y).以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点,x 轴的正 半轴为极轴,建立极坐标系.设点 P 的极坐标是(ρ,θ),点 Q 的极坐标是(ρ,θ+θ0),其中 θ0 是常数.设点 Q 的直角坐标是(m,n). (1)用 x,y,θ0 表示 m,n; π (2)若 m,n 满足 mn=1,且 θ0= ,求点 P 的直角坐标(x,y)满足的方程. 4 ? ?x=ρcos θ, [导学号 03351049] 解:(1)由题意知? ?y=ρsin θ, ?

? ?m=ρcos?θ+θ0?, 且? ?n=ρsin?θ+θ0?, ? ? ?m=ρcos θcos θ0-ρsin θsin θ0, 所以? ? ?n=ρsin θcos θ0+ρcos θsin θ0, ?m=xcos θ0-ysin θ0, ? 所以? ?n=xsin θ0+ycos θ0. ?

?m= 22x- 22y, (2)由(1)可知? 2 2 ?n= 2 x+ 2 y,
所以? x2 y2 整理得 - =1. 2 2 x2 y2 所以 - =1 即为所求方程. 2 2 2 2 ?? 2 2 ? =1. ? 2 x- 2 y?? 2 x+ 2 y?

又 mn=1,


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