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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章 1.1.1角的概念的推广课件


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1.1.1

1.1.1
【学习要求】

角的概念的推广

1.理解正角、负角、零角与象限角的概念.
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2.掌握终边相同角的表示方法. 【学法指导】 1.解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要 素”:顶点、始边、终边和旋转方向. 2.确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量. 3.学习象限角时,注意角在直角坐标系中的放法,在这个统一 前提下,才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.1

1.角的概念 (1)角的概念:角可以看成平面内 一条射线 绕着它的 端点
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从一个位置 旋转 到另一个位置所成的图形. 几何画板演示 (2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类: 类型 定义 图示

正角 按 逆时针方向旋转 形成的角 负角 按 顺时针方向旋转 形成的角 零角 一条射线 没有作任何旋转 , 称它形成了一个零角

填一填·知识要点、记下疑难点
2.象限角

1.1.1

角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重 合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是
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第几象限角 .如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角
不属于任何一个象限. 3.终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角, 连同角 α 在内, 可构成一个集合

360° S={β|β= α+k· ,k∈Z }, 即任一与角 α 终边相同的角,
都可以表示成角 α 与 整数个周角 的和.

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1.1.1

探究点一
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角的概念的推广

我们在初中已经学习过角的概念,角可以看作从同一点出发 的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围,也不 能表示具有相反意义的旋转量.因此,从“旋转”的角度,对 角作重新定义如下:一条射线 OA 绕着端点 O 旋转到 OB 的位 置所形成的平面图形叫作角,射线 OA 叫角的始边,OB 叫角的 终边,O 叫角的顶点. 问题 1 正角、负角、零角是怎样规定的? 答 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转
形成的角叫做负角,如果一条射线没有作任何旋转,我们称它 形成了一个零角.

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问题 2 根据角的定义,图中角 α=120° ; β= -240°;-α=-120° ;-β= 240°; γ= 480° .
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1.1.1

问题 3 经过 10 小时,分别写出时针和分针 各自旋转所形成的角. 答 经过 10 小时,时针旋转形成的角是-300° ,分针旋转形
成的角是-3 600° . 问题 4 如果你的手表快了 1.25 小时,只需将分针旋转多少度

就可以将它校准?
答 将分针旋转 450° 或-3 870° 即可校准.

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探究点二 终边相同的角

1.1.1

今后我们常在直角坐标系内讨论角.为了讨论问题的方便, 我们使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重
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合. 角的终边落在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角. 如 果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限. 按 照上述方法,在平面直角坐标系中,角的终边绕原点旋转 360° 后回到原来的位置.终边相同的角相差 360° 的整数倍.因此, 所有与角 α 终边相同的角(连同角 α 在内)的集合 S={β|β=α+ k· ,k∈Z}. 360°

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1.1.1

根据终边相同的角的概念,回答下列问题: 问题 1
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已知集合 S={θ|θ=k· +60° 360° ,k∈Z},则-240°? 集合 S={α|α=k· -30° k∈Z}表示与角-30° 360° , 终边 已知集合 S={α|α=45° 180° +k· ,k∈Z},则角 α 的终

S,300°? S,-1 020° S.(用符号:∈或?填空). ∈ 问题 2 问题 3 相同的角,其中最小的正角是 330° . 边落在 第一或第三象限的角平分线 上.

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探究点三 问题 1
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1.1.1

象限角与终边落在坐标轴上的角

终边落在坐标轴上的角经常用到,下表是终边落在 x 终边所在的位置 x 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴正半轴 y 轴负半轴 角的集合

轴、y 轴各半轴上的角,请完成下表.

{α|α=k· ,k∈Z} 360°
{α|α=k· +180° 360° ,k∈Z}

{α|α=k· +90° 360° ,k∈Z} {α|α=k· +270° 360° ,k∈Z}

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1.1.1

问题 2 下表是终边落在各个象限的角的集合,请补充完整. α 终边所在 的象限
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角 α 的集合

第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

{α|k· <α<k· +90° 360° 360° ,k∈Z}
{α|k· +90° 360° <α<k· +180° 360° ,k∈Z}

{α|k· +180° 360° <α<k· +270° 360° ,k∈Z} {α|k· -90° 360° <α<k· ,k∈Z} 360°

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1.1.1

问题 3 写出终边落在 x 轴上的角的集合 S.

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S={α|α=k· ,k∈Z}∪{α|α=k· +180° 360° 360° ,k∈Z}

={α|α=2k· ,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)· ,k∈Z} 180° 180° ={α|α=n· ,n∈Z}. 180°
问题 4


写出终边落在 y 轴上的角的集合 T.
T = {β|β = 90°+ 2k· 180°, k∈Z}∪{β|β = 90°+ 180°+

2k· ,k∈Z}={β|β=90° 180° +2k· ,k∈Z}∪{β|β=90° 180° +(2k +1)· ,k∈Z}={β|β=90° 180° 180° +n· ,n∈Z}.

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[典型例题]

1.1.1

例 1 在 0° ~360° 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判 定它们是第几象限角.
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(1)-150° ;(2)650° ;(3)-950° 15′.
解 (1)因为-150° =-360° +210° ,所以在 0° ~360° 范围内,与 -150° 角终边相同的角是 210° 角,它是第三象限角.
(2)因为 650° =360° +290° ,所以在 0° ~360° 范围内,与 650° 角 终边相同的角是 290° 角,它是第四象限角.
(3)因为-950° 15′=-3×360° +129° 45′,所以在 0° ~360° 范 围内, 与-950° 15′角终边相同的角是 129° 45′角, 它是第二象 限角.

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1.1.1

小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系:β=α+k· , 360°
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k∈Z,把所给的角化归到 0° ~360° 范围内,然后利用 0° ~360° 范围内的角分析该角是第几象限角.

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1.1.1

跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内: (1)1 400° ;
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(2)-2 010° .

解 (1)1 400° =3×360° +320° ,∵320° 是第四象限角, ∴1 400° 也是第四象限角.
(2)-2 010° =-6×360° +150° ,∴-2 010° 150° 与 终边相 同.∴-2 010° 是第二象限角.

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1.1.1

例 2 写出终边落在直线 y=x 上的角的集合 S,并把 S 中适合 不等式-360° ≤β<720° 的元素 β 写出来. 解 直线 y=x 与 x 轴的夹角是 45° ,在 0° ~360° 范围内,终边
在直线 y=x 上的角有两个:45° ,225° .因此,终边在直线 y=x
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上的角的集合: S={β|β=45° 360° +k· ,k∈Z}∪{β|β=225° 360° +k· ,k∈Z} ={β|β=45° +2k· , 180° k∈Z}∪{β|β=45° +(2k+1)· , 180° k∈Z} ={β|β=45° 180° +k· ,k∈Z}. ∴S 中适合-360° ≤β<720° 的元素是:

45° -2×180° =-315° ;45° -1×180° =-135° ; 45° +0×180° =45° ;45° +1×180° =225° ;

45° +2×180° =405° ;45° +3×180° =585° . 小结 当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时,能合并
的尽量合并,注意,把最后角的集合化成简约的形式.

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1.1.1

跟踪训练 2 求终边在直线 y=-x 上的角的集合 S.
解 由于直线 y=-x 是第二、 四象限的角平分线, 0° 在 ~360°
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间所对应的两个角分别是 135° 315° 和 ,
从而 S={α|α=k· +135° k∈Z}∪{α|α=k· +315° k∈Z} 360° , 360° , ={α|α=2k· +135° 180° ,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)· +135° 180° , k∈Z}={α|α=k· +135° 180° ,k∈Z}.

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1.1.1

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α 例 3 已知 α 是第二象限角,试确定 2α, 的终边所在的位置. 2 解 因为 α 是第二象限角, 所以 k· +90° 360° <α<k· +180° 360° ,k∈Z. 所以 2k· +180° 360° <2α<2k· +360° 360° ,k∈Z, 所以 2α 的终边在第三或第四象限或终边在 y 轴的非正半轴上. 因为 k· +90° 360° <α<k· +180° 360° ,k∈Z, α 所以 k· +45° 2<k· +90° 180° < 180° ,k∈Z, α 所以当 k=2n,n∈Z 时,n· +45° <n· +90° 360° < 360° , 2 α 即 的终边在第一象限; 2
α α 当 k=2n+1,n∈Z 时,n· +225° <n· +270° 360° < 360° ,即 的 2 2 终边在第三象限. α 所以 的终边在第一或第三象限. 2

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1.1.1

小结
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α α 若已知角 α 是第几象限角,判断 , 等是第几象限角,主 2 3

要方法是解不等式并对 k 进行分类讨论,考查角的终边的位置.

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α 跟踪训练 3 已知 α 为第三象限角,则 所在的象限是 2 A.第一或第二象限
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1.1.1

( D )

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

C.第一或第三象限

解析 由于 k· +180° 360° <α<k· +270° 360° ,k∈Z, k α k 得2· +90° 2<2· +135° 360° < 360° ,k∈Z. α 当 k 为偶数时,2为第二象限角; α 当 k 为奇数时, 为第四象限角. 2

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.1

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1. -361° 的终边落在 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

( D )

2. 下列各角中与 330° 角终边相同的角是 A.510° C.-150° B.150° D.-390°

( D )

3.经过 10 分钟,分针转了________度. -60

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4.写出终边落在坐标轴上的角的集合 S.

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1.1.1

终边落在 x 轴上的角的集合:

S1={β|β=k· ,k∈Z}; 180°
终边落在 y 轴上的角的集合: S2={β|β=k· +90° 180° ,k∈Z};

∴终边落在坐标轴上的角的集合: S=S1∪S2={β|β=k· ,k∈Z}∪{β|β=k· +90° 180° 180° ,k∈Z} ={β|β=2k· ,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)· ,k∈Z}={β|β= 90° 90° n· ,n∈Z}. 90°

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1.1.1

1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应 用“运动”的观点下定义,理解这一概念时, 要注意“旋转
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方向”决定角的“正负”, “旋转幅度”决定角的“绝对值 大小”. 2.关于终边相同角的认识
一般地,所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成 一个集合 S={β|β=α+k· , 360° k∈Z}, 即任一与角 α 终边相 同的角,都可以表示成角 α 与整数个周角的和. 注意:(1)α 为任意角. (2)k· 与 α 之间是“+”号,k· -α 可理解为 k· 360° 360° 360° +(-α).

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1.1.1

(3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相 同的角有无数多个,它们相差 360° 的整数倍.
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(4)k∈Z 这一条件不能少.


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