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2018高考数学一轮复习第7章立体几何初步热点探究训练4立体几何中的高考热点问题文北师大版


热点探究训练(四)
分别为 MA,DC 的中点,求证:

立体几何中的高考热点问题

1.如图 7,四边形 ABCD 是菱形,四边形 MADN 是矩形,平面 MADN⊥平面 ABCD,E,F

图7 (1)EF∥平面 MNCB; (2)平面 MAC⊥平面 BDN. [证明] (1)取 NC 的中点 G,连接 FG,MG. 1 因为 ME∥ND 且 ME= ND, 2 1 又因为 F,G 分别为 DC,NC 的中点,FG∥ND 且 FG= ND, 2 所以 FG 綊 ME,所以四边形 MEFG 是平行四边形,所以 EF∥MG. 又 MG?平面 MNCB,EF 所以 EF∥平面 MNCB. 平面 MNCB, 4分

6分 (2)连接 BD,MC,因为平面 MADN⊥平面 ABCD,四边形 MADN 是矩形, 所以 ND⊥AD,又因为平面 MADN⊥平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 MADN=AD,

ND?平面 MADN,所以 ND⊥平面 ABCD,
所以 ND⊥AC. 8分 10 分

因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD. 因为 BD∩ND=D,所以 AC⊥平面 BDN. 又因为 AC?平面 MAC, 所以平面 MAC⊥平面 BDN. 12 分

2.(2017·合肥质检)如图 8,直角三角形 ABC 中,A=60°,沿斜边 AC 上的高 BD 将△

ABD 折起到△PBD 的位置,点 E 在线段 CD 上.
1

图8 (1)求证:BD⊥PE; (2)过点 D 作 DM⊥BC 交 BC 于点 M,点 N 为 PB 的中点,若 PE∥平面 DMN,求 的值. 【导学号:66482347】 [解] (1)证明:∵BD⊥PD,BD⊥CD 且 PD∩DC=D, ∴BD⊥平面 PCD,而 PE?平面 PCD,∴BD⊥PE. 1 (2)由题意得 BM= BC, 4 取 BC 的中点 F,则 PF∥MN,∴PF∥平面 DMN,7 分 5分

DE DC

由条件 PE∥平面 DMN,PE∩PF=P, ∴平面 PEF∥平面 DMN,∴EF∥DM. ∴ 10 分

DE MF 1 = = . DC MC 3

12 分

π 1 3.(2017·西安调研)如图 9①,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC= 2 2

AD=a,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点.将△ABE 沿 BE 折起到图②中△A1BE 的位置,
得到四棱锥 A1?BCDE.

① 图9 (1)证明:CD⊥平面 A1OC;



2

(2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时,四棱锥 A1?BCDE 的体积为 36 2,求 a 的值. 【导学号:66482348】 1 π [解] (1)证明:在图①中,因为 AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点,∠BAD= ,所以 2 2

BE⊥AC.

2分

则在图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,且 A1O∩OC=O, 从而 BE⊥平面 A1OC. 又 CD∥BE,所以 CD⊥平面 A1OC. (2)由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 且平面 A1BE∩平面 BCDE=BE, 又由(1)可得 A1O⊥BE, 所以 A1O⊥平面 BCDE. 8分 5分

即 A1O 是四棱锥 A1?BCDE 的高. 由图①知,A1O= 2 2 AB= a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BC·AB=a2, 2 2

从而四棱锥 A1?BCDE 的体积为

V= S·A1O= ·a2·


1 3

1 3

2 2 a= a3. 2 6 12 分

2 3 a =36 2,得 a=6. 6

4.(2017·贵阳模拟)已知如图 10,△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直,且 AB=BC=

BD=1,∠ABC=∠DBC=120°.

图 10 (1)在直线 BC 上求作一点 O,使 BC⊥平面 AOD,写出作法并说明理由; (2)求三棱锥 A?BCD 的体积. [解 (1)作 AO⊥BC,交 CB 延长线于点 O,连接 DO,则 BC⊥平面 AOD. 1 分 证明如下:

3

∵AB=DB,OB=OB,∠ABO=∠DBO, ∴△AOB≌△DOB,3 分 则∠AOB=∠DOB=90°,即 OD⊥BC. 又∵AO∩OD=O,∴BC⊥平面 AOD. 5分

(2)∵△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直, ∴AO⊥平面 BCD,即 AO 是三棱锥 A?BCD 底面 BCD 上的高,7 分 在 Rt△AOB 中,AB=1,∠ABO=60°, ∴AO=ABsin60°= 3 . 2 10 分

1 3 又∵S△BCD= BC·BD·sin∠CBD= , 2 4 1 1 3 3 1 ∴V 三棱锥 A?BCD= ·S△BCD·AO= × × = . 3 3 4 2 8 12 分

5. 如图 11,三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.

图 11 (1)求三棱锥 P?ABC 的体积; (2)在线段 PC 上是否存在点 M,使得 AC⊥BM,若存在点 M,求出 的值;若不存在,请 说明理由. [解] (1)由题知 AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 1 3 可得 S△ABC= ·AB·AC·sin60°= . 2 2 2分

PM MC

由 PA⊥平面 ABC,可知 PA 是三棱锥 P?ABC 的高.又 PA=1,

4

1 3 所以三棱锥 P?ABC 的体积 V= ·S△ABC·PA= . 3 6

5分

(2)证明:在平面 ABC 内,过点 B 作 BN⊥AC,垂足为 N.在平面 PAC 内,过点 N 作 MN∥

PA 交 PC 于点 M,连接 BM.

7分

由 PA⊥平面 ABC 知 PA⊥AC,所以 MN⊥AC. 由于 BN∩MN=N,故 AC⊥平面 MBN. 又 BM?平面 MBN,所以 AC⊥BM. 10 分

1 在 Rt△BAN 中,AN=AB·cos∠BAC= , 2 3 PM AN 1 从而 NC=AC-AN= .由 MN∥PA,得 = = . 2 MC NC 3 12 分

6. (2015·湖南高考)如图 12,直三棱柱 ABC?A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,

F 分别是 BC,CC1 的中点.

图 12 (1)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1; (2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°,求三棱锥 F?AEC 的体积. [解] (1)证明:如图,因为三棱柱 ABC?A1B1C1 是直三棱柱,所以 AE⊥BB1.又 E 是正三 角形 ABC 的边 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 3分

因此 AE⊥平面 B1BCC1. 而 AE?平面 AEF,所以平面 AEF⊥平面 B1BCC1. 5分

(2)设 AB 的中点为 D,连接 A1D,CD.因为△ABC 是正三角形,所以 CD⊥AB. 又三棱柱 ABC?A1B1C1 是直三棱柱,所以 CD⊥AA1. 因此 CD⊥平面 A1ABB1,于是∠CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角. 由题设,∠CA1D=45°,所以 A1D=CD= 3 AB= 3. 2 8分

1 2 2 2 在 Rt△AA1D 中,AA1= A1D -AD = 3-1= 2,所以 FC= AA1= . 2 2

5

故三棱锥 F?AEC 的体积

V= S△AEC·FC= ×

1 3

1 3

3 2 6 × = . 2 2 12

12 分

6


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