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高中数学选修1-1第1章《常用逻辑用语》单元测试题


选修 1-1 第一章《常用逻辑用语》单元测试题
一、选择题: 1.函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( ) 2 2 A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a +b =0 2. “至多有三个”的否定为( ) A.至少有三个 B.至少有四个 C.有三个 D.有四个 3.有金盒、银盒、铅盒各一个,只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题 p:肖像在这个

盒子里;银盒上 写有命题 q:肖像不在这个盒子里;铅盒上写有命题 r:肖像不在金盒里.p、q、r 中有且只有一个是真命 题,则肖像在( ) A.金盒里 B.银盒里 C.铅盒里 D.在哪个盒子里不能确定 4.不等式 ( a ? 2 ) x ? 2 ( a ? 2 ) x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成立,那么 a 的取值范围是(
2



A. ( ? 2 , 2 )

B. ( ? 2 , 2 ]

C. ( ?? , 2 ]

D. ( ?? , ? 2 )

5. 和 b 都不是偶数”的否定形式是( “a ) A.a 和 b 至少有一个是偶数 B.a 和 b 至多有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数 D.a 和 b 都是偶数 6.某食品的广告词为: “幸福的人们都拥有” ,初听起来,这似乎只是普通的赞美说词,然 而他的实际效果大哩,原来这句话的等价命题是( ) A.不拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福 C.拥有的人们不一定幸福 D.不拥有的人们不幸福 7.若命题“p 或 q”为真, “非 p”为真,则( ) A.p 真 q 真 B.p 假 q 真 C.p 真 q 假 D.p 假 q 假 8.条件 p: x ? 1 , y ? 1 ,条件 q: x ? y ? 2 , xy ? 1 ,则条件 p 是条件 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 9.2x2-5x-3<0 的一个必要不充分条件是( )
1 1 1



A.- 2 <x<3

B.- 2 <x<0

C.-3<x< 2

D.-1<x<6 )

10.设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1。则原命题与其逆命题的真假情况是( A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 二、填空题: 11.下列命题中_________为真命题. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B” ; ②“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题。 12.若 p: “平行四边形一定是菱形” ,则“非 p”为___ _____. 13. 知 p,q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,则 s 是 q 的 q的 条件,p 是 s 的 条件. 14.设 p、q 是两个命题,若 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的

条件,r 是 条件.

15.所给命题: ①菱形的两条对角线互相平分的逆命题; ② ?x | x ? 1 ? 0 , x ? R ? =
2

或 ?0 ? ?

;

③对于命题:“p 且 q” ,若 p 假 q 真,则“p 且 q”为假; ④有两条边相等且有一个内角为 60°是一个三角形为等边三角形的充要条件. 其中为真命题的序号为 . 三、解答题: 16.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假. (1)矩形的对角线相等且互相平分; (2)正偶数不是质数. 17.写出由下述各命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的复合命题,并指出所构成的这些复合命 , , 题的真假. (1)p:连续的三个整数的乘积能被 2 整除,q:连续的三个整数的乘积能被 3 整除. (2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形. 18.给定两个命题,
P : 对任意实数 x 都有 ax
2

2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立;Q : 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根; 如果 P 与 Q

中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围. 19.已知 p,q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,那么 (1)s 是 q 的什么条件?(2)r 是 q 的什么条件?(3)p 是 q 的什么条件?

1

20.设 0<a, b, c<1,求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 不同时大于 4 . 21.求证:关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根,且两根均小于 2 的充分但不必要条件是 a≥2 且|b| ≤4.

选修 1-1 第一章《常用逻辑用语》单元测试题答案:

命题人:杨丽霞 审题人:王珂 1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.A; 6.D; 7.B; 8.A; 9.D; 10.A; 11. ②④; 12. 平行四边形不一定是菱形;或 至少存在一个平行四边形不是菱形; 13. 必要,充分,必要;14. 必要不充分 15. ②③④. 16.四种命题间的关系. 解: (1)逆命题:若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形(假命题) . 否命题:若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或不互相平分(假命题) . 逆否命题:若一个四边形的对角线不相等或不互相平分,则它不是矩形(真命题) . (2)逆命题:如果一个正数不是质数,那么这个正数是正偶数(假命题) . 否命题:如果一个正数不是偶数,那么这个数是质数(假命题) . 逆否命题:如果一个正数是质数,那么这个数不是偶数(假命题) . 17 解: (1)根据真值表,复合命题可以写成简单形式: p 或 q:连续的三个整数的乘积能被 2 或能被 3 整除. p 且 q:连续的三个整数的乘积能被 2 且能被 3 整除. 非 p:存在连续的三个整数的乘积不能被 2 整除. ∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数,而有一个是 3 的倍数, ∴p 真,q 真,∴p 或 q 与 p 且 q 均为真,而非 p 为假. (2)根据真值表,只能用逻辑联结词联结两个命题,不能写成简单形式: p 或 q:对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p 且 q:对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非 p:存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. ∵p 假 q 假,∴p 或 q 与 p 且 q 均为假,而非 p 为真.
? ax ? 1 ? 0
?a ? 0 ? a ? 0或 ? ?? ? 0 恒成立

18.对任意实数 x 都有 ax

2

? 0 ? a ? 4 ;关于 x 的方程 x 2
0 ? a ? 4, 且 a ? 1 4 ? 1 4 ? a ? 4

? x? a ? 0

有实数根

? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 4

;如果 P 正确,且 Q 不正确,有
1 4 ? a ? 0

a ? 0或 a ? 4, 且 a ?

;如果 Q 正确,且 P 不正确,有

。所以实

数 a 的取值范围为 。 19.考查充要条件、充分条件、必要条件.对于这类问题,将语言叙述符号化,画出它 们的综合结构图,再给予判定. 解:p、q、r、s 的关系如图所示,由图可知 答案: (1)s 是 q 的充要条件 (2)r 是 q 的充要条件 (3)p 是 q 的必要条件
1 1 ? ? (1 ? a ) b ? (1 ? a ) b ? ? ? 4 2 ? ? 1 1 ? ? ? ? (1 ? b ) c ? ? (1 ? b ) c ? 4 2 ? ? 1 1 ? ? ? (1 ? c ) a ? ? (1 ? c ) a ? 4 2 ? 20.用反证法,假设 ?

??

?1 ? ? ,0 ? ? ? ,4 ? ? 4 ?

,①+②+③得:
? 1? c ? a 2 ? 3 2 2

3 2

?

(1 ? a ) b ?

(1 ? b ) c ?

(1 ? c ) a ?

1? a ? b 2

?

1? b ? c

,左右矛盾,故假设不成立,∴(1-

1

a)b,(1-b)c, (1-c)a 不同时大于 4 .

21.解析:先证充分性,而必要性只需要通过举反例来否定. 先证明条件的充分性:
?a ? 2 2 ? ? ? a ? 4 ? b, ?b ? 4 ? ? ? 4(a
2

? b ) ? 0,

∴方程有实数根 ①

?a ? 2 ?? 2a ? ?4 ? ? ? ? , ?b ? ? 4 ?b ? ? 4 ? ( x1 ? 2 ) ? ( x 2 ? 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? ? 2 a ? 4 ? ? 4 ? 4 ? ? 8 ? 0 , 而 ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? x 1 x 2 ? 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? b ? 4 a ? 4 ? ? 4 ? 8 ? 4 ? 8 ? 0 , ? ( x1 ? 2 ) ? ( x 2 ? 2 ) ? 0 ? x1 ? 2 ? 0 ? x1 ? 2 ?? ? ? ? ? , ? ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? 0 ?x2 ? 2 ? 0 ?x2 ? 2

①、②知“a≥2 且|b|≤4” ? “方程有实数根,且两根均小于 2”. 再验证条件不必要:
1

∵方程 x2-x=0 的两根为 x1=0, x2=1,则方程的两根均小于 2,而 a=- 2 <2, ∴“方程的两根小于 2” ? “a≥2 且|b|≤4”. 综上,a≥2 且|b|≤4 是方程有实数根且两根均小于 2 的充分但不必要条件.


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