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湖北省武汉市汉阳一中2016届高三数学2月调考模拟考试试题 文


汉阳一中 2016 届二月调考模拟考试 数学试卷(文科)
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.已知集合 A={x|-5≤2x-1≤3,x∈R},B={x|x(x-8)≤0,x∈Z},则 A∩B=( A.(0,2) B.[0,2] C.{0,2} D.

{0,1,2} )

2.已知复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? 2 ? 3i ,则 A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内对应的点在( z2
C.第三象限

) D.第四象限

? ?a ? ,则 ( x , y ) 满足线性回 y ? bx 3.已知数组 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,??, ( x20 , y20 ) 满足线性回归方程 ? 0 0 ? ?a ? 是“ x ? y ? bx 归方程 ? 0
A.充分不必要条件 C.充要条件

x1 ? x2 ? ? ? x20 y ? y2 ? ? ? y20 , y0 ? 1 ”的( 20 20
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

: 学 *4 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0, 2) , B(?1, ? 2) , C (3, 1) , 且 BC ( )

??? ?

???? ? 2 AD ,则顶点 D 的坐标为

A. ? 2, ?
n

? ?

7? 2?

B. ? 2, ?

? ?

1? ? 2?

C. (3, 2) ) D.1008

D. (1, 3)

5 数列{(-1) ·n}的前 2016 项的和 S2016 为( A.-2016 B.-1008 C.2016

6. 已知命题 p:函数 y=loga(ax+2a)(a>0 且 a≠1)的图象必过定点(-1,1); 命题 q:函数 y=|sin x|的最小正周期为 2π ,则( (A)“p∧q”为真 (B)“p∨q”为假 ) (D)p 假 q 真 )

(C)p 真 q 假

7.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如下图所示,则该几何体的左视图为(

8.执行如图所示的程序框图.若输出

,则输入角 θ =(



1

A.

B.

C.

D. 9.若直线 2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆 x +y -2x-4y-6=0,则 A. 2 ? 2 B. 2 ? 1 C. 3 ? 2 2
2 2

2 1 ? 的最小值是( a b

)

D. 3 ? 2 2

10 .设 F1 、 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线的右支上存在一点 P,使 a2 b2

PF1 ? PF2 ? 0, 且 ?F1 PF2 的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为(
A.
2

)

B.

3

C. 2

D. )

5

11.函数 f(x)=﹣(cosx)|lg|x||的部分图象是(

A.

B.

C.

D.

12 . 已 知 函 数 y=f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 当 x>0 时 , 不 等 式 2 f ? x ? ? 2 x ? f ?? x ? ? 0成立, 若

1 1 a ? 3 0.2 f 3 0.2 , b ? (log ? 2) f ?log ? 2 ?, c ? (log 2 ) f (log 2 ), 则 a , b, c 之间的大小关系为( 4 4
A. a>c>b B. c>a>b C. b>a>c D. c>b>a 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设向量 Sn 的最小值为 14.已知 m>0,实数 x,y 满足 15.顶点在原点,经过圆 C:x +y ﹣2x+2 为 .
2 2

? ?

)

, .

(n∈N ) ,若

*

,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则

,若 z=x+2y 的最大值为 2.则实数 m= y=0 的圆心且准线与 x 轴垂直的抛物线方程



2

16.函数 f(x)= 围是 .

,若方程 f(x)=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根,则实数 m 的取值范

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a ? 1.b ? 2.cos C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长(Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值

1 . 4

18. (12 分)为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况,随机抽取了 100 名 观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表: 场数 9 10 11 12 13 14 人数 10 18 22 25 20 5 将收看该节目场次不低于 13 场的观众称为“歌迷”,已知“歌迷”中有 10 名女性. (Ⅰ) 根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并据此资料我们能否有 95%的把握认为“歌迷”与性别有关? 非歌迷 歌迷 合计 男 女 合计 (Ⅱ)将收看该节目所有场次(14 场)的观众称为“超级歌迷”,已知“超级歌迷”中有 2 名女性,若从 “超级歌迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. P(K ≥k) k 附:K =
2 2

0.05 3.841

0.01 6.635 .

19. ( 12 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为线段 DD1,BD 的中点. (1)求异面直线 EF 与 BC 所成的角的正切值. (2)求三棱锥 C-B1D1F 的体积.

20. (12 分)设椭圆 M:

(a>b>0)的离心率与双曲线 x ﹣y =1 的离心率互为倒数,且椭圆的

2

2

长轴长为 4. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y= x+m 交椭圆 M 于 A,B 两点,P(1,

)为椭圆 M 上一点,求△PAB 面积的最大值.

21. (12 分)设函数,f(x)=lnx+ ,k∈R.
3

(1)若曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,求 f(x)的单调递减区间和极小 值(其中 e 为自然对数的底数) ; (2)若对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2 恒成立,求 k 的取值范围.

四.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] A 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 △ ABC 中, AB ? AC ,D 是 △ ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至 E. (1)求证:AD 的延长线平分 ? CDE; B C D E

(2)若 ?BAC ? 30° , △ ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ,求 △ ABC 外接圆的面积.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x﹣y+4=0,曲线 C 的参数方程为 .

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,点 P 的极坐标为 ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; 2 (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)﹣log2(a ﹣3a)>2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

汉阳一中 2016 届高三文科数学二月模拟试卷参考答案 1—6.DCBADD 7—12. CDCDCC

13 解:向量



(n∈N ) ,若

*



可得 an=

=2(

) . +?+ ]= .

Sn=a1+a2+a3+?+an=2[1

数列{Sn}是递增数列, Sn 的最小值为:S1=1. 14 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由图象可知 z=x+2y 在点(0,m)处取得最大值, 此时 0+2m=2, 解得 m=1, 故答案为:1

15 解:因为圆 C:x +y ﹣2x+2 y=0 的圆心是(1,﹣ ) 抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且经过点(1,﹣ ) , 2 设标准方程为 y =2px, 2 因为点(1,﹣ )在抛物线上,所以(﹣ ) =2p,所以 p=1, 2 所以所求抛物线方程为:y =2x.

2

2

16【解答】解:方程 f(x)=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根可化为

函数 f(x)=

与函数 y=mx﹣ 有四个不同的交点,

作函数 f(x)=

与函数 y=mx﹣ 的图象如下,

5

由题意,C(0,﹣ ) ,B(1,0) ;

故 kBC = , 设切点 A 的坐标为(x1,lnx1) ,

当 x>1 时,f(x)=lnx,f′(x)= ;



=

;解得,x1=

;故 kAC =



结合图象可得, 实数 m 的取值范围是( , ) . 故答案为: ( , ) .

17.解( 12 分) (Ⅰ)? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?

? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.
(Ⅱ)? cos C ?

1 ?4 4

? c ? 2.
????5 分

1 1 15 ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4

15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
? a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

????????8 分

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8

????????10 分

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . ????12 分 8 4 8 8 16

18 解: (Ⅰ)由统计表可知,在抽取的 100 人中,“歌迷”有 25 人,从而完成 2×2 列联表如下: 非歌迷 歌迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55
6

合计 75 25 100 ?(3 分) 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得: K=
2

=

≈3.030

因为 3.030<3.841,所以我们没有 95%的把握认为“歌迷”与性别有关.?(6 分) (Ⅱ)由统计表可知,“超级歌迷”有 5 人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 Ω ={(a1,a2) , (a1,a3) , (a2,a3) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a3,b1) , (a3,b2) , (b1,b2)}其中 ai 表示 男性,i=1,2,3,bi 表示女性,i=1,2. Ω 由 10 个等可能的基本事件组成.?(9 分) 用 A 表示“任选 2 人中,至少有 1 个是女性”这一事件,则 A={(a1,b1) , (a1,b2) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a3,b1) , (a3,b2) , (b1,b2) },事件 A 由 7 个基本事件组成. ∴P(A)= 。 。 。 。 。? ( 12 分)

19.解:(1)连接 BD1,由 E,F 分别为线段 DD1,BD 的中点,

可得 EF∥BD1,故∠D1BC 即为异面直线 EF 与 BC 所成的角. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 因为 BC⊥平面 CDD1C1, 在 Rt△BCD1 中, 所以 tan∠D1BC= = CD1? 平面 CDD1C1, BC=2,CD1=2 , . ,

????2 分

所以 BC⊥CD1. ????4 分

所以异面直线 EF 与 BC 所成的角的正切值为

????????6 分 CF? 平面 ABCD,可知 BB1⊥CF,

(2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,由 BB1⊥平面 ABCD, 因为 CB=CD,F 是 BD 中点, 所以 CF⊥平面 BDD1B1, 又 故

所以 CF⊥BD,又 BB1 与 BD 相交, ????????9 分 ×2=2 , × = ,

= B1D1·BB1= ×2 =

·CF= ×2

7

所以三棱锥 C-B1D1F 的体积为 . 20.解: (1)双曲线的离心率为 由题意可得椭圆的离心率 由 2a=4,b =a ﹣c ,得 a=2, 故椭圆 M 的方程为 ;
2 2 2

????????12 分 , , , ,

(2)联立方程

,得









.且



所以



=



又 P 到直线 AB 的距离为



所以

= 当且仅当 所以 . 时取等号,



21【解答】解: (1)由已知得



∵曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )处的切线与直线 x﹣2=0 垂直,∴此切线的斜率为 0. 即 f′(e)=0,有 ,解得 k=e.



,由 f′(x)<0 得 0<x<e,由 f′(x)>0 得 x>e.

∴f(x) 在(0, e)上单调递减, 在(e,+∞) 上单调递增, 当 x=e 时 f (x)取得极小值


8

故 f(x)的单调递减区间为(0,e) ,极小值为 2.--------5 分 (2)条件等价于对任意 x1>x2>0,f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2(*)恒成立. 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ .

∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 由 得 所以 在(0,+∞)上恒成立, 恒成立.----8 分 ( 对 k= ,h′(x)=0 仅在 x= 时成立) , 故 k 的取值范围是[ ,+∞) .12 分

22. 解: (Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点,

? A,B,C,D 四点共圆,??CDF ? ?ABC . ??ABC ? ?ACB , 又 AB ? AC, ??ADB ? ?CDF . 且 ?ADB ? ?ACB, 对顶角 ?EDF ? ?ADB ,故 ?EDF ? ?CDF .即 AD 的 延长线平分 ?CDE . ( 2 ) 设 O 为 外 接 圆 圆 心 , 连 接 AO 交 BC 于 H , 则 AH ⊥ BC . 连 接 OC . 由 题 意 ?OAC ? ?OCA ? 15°,?ACB ? 75°, ??OCH ? 60° . 3 设圆半径为 r ,则 r ? r ? 2 ? 3 ,得 r ? 2 ,外接圆面积为 4 π . 2
23【解答】解: (1)∵曲线 C 的参数方程为 ∴曲线 C 的普通方程是 ∵点 P 的极坐标为 ∴点 P 的普通坐标为(4cos , ,4sin ) ,即(0,4) , , ,

把(0,4)代入直线 l:x﹣y+4=0, 得 0﹣4+4=0,成立, 故点 P 在直线 l 上.------------------5 分 (2)∵Q 在曲线 C: ∴ 上, (0°≤α <360°) 到直线 l:x﹣y+4=0 的距离:

= ∴

, (0°≤α <360°) .------------10 分

9

24.解: (Ⅰ)原不等式等价于







解得: <x≤2 或﹣ ≤x≤ 或﹣1≤x<﹣ , ∴不等式 f(x)≤6 的解集为{x|﹣1≤x≤2}. (Ⅱ)不等式 f(x)﹣ 恒成立? -------------5 分 +2<f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|

>2 恒成立? +2<f(x)min 恒成立,

∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|(2x+1)﹣(2x﹣3)|=4, ∴f(x)的最小值为 4, ∴ +2<4,



, A D H E F C

解得:﹣1<a<0 或 3<a<4. ∴实数 a 的取值范围为(﹣1,0)∪(3,4) .--------10 分 O B

10


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