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高中数学习题 解析几何


1.若直线 l 与直线 y=1、x=7 分别交于点 P、Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1), 则直线 l 的斜率为( 1 A. 3 ) 1 B.- 3 3 C.- 2 2 D. 3 a+7 1+b? ? 2 , 2 ?,B

解析:设 P 点坐标为(a,1),Q 点坐标为(7,b),则 PQ 中点坐标为?

2.若直线 x+(a-2

)y-a=0 与直线 ax+y-1=0 互相垂直,则 a 的值为( C ) A.2 C.1 B.1 或 2 D.0 或 1

π 3.已知圆(x-1)2+(y-3 3)2=r2(r>0)的一条切线 y=kx+ 3与直线 x=5 的夹角为 , 6 则半径 r 的值为( A. 3 2 ) 3 3 B. 2 C. 3 3 3 或 2 2 D. 3 或 3 2

π 3 3 3 解析:∵直线 y=kx+3 与 x=5 的夹角为 ,r= 或 .答案:C 6 2 2 4.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,若该圆中过点 M(3,5)的最长弦、最短弦分别为 AC、BD,则以点 A、B、C、D 为顶点的四边形 ABCD 的面积为( A.10 6 B.20 6 C.30 6 )

D.40 6

解析:已知圆的圆心为(3,4),半径为 5,则最短的弦长为 2 52-12=4 6,最长的弦为 1 圆的直径为 10,则四边形的面积为 ×4 6×10=20 6,故应选 B. 2 5.若圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方 程为( ) B.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

A.(x+1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y+1)2=2

解析:如图,据题意知圆的直径为两平行直线 x-y=0,x-y-4=0 之间的距离 2 ,故圆的 半径为 ,又 A(2,-2),故圆心 C(1,-1),即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案:C 6.已知圆 x2+y2+Dx+Ey=0 的圆心在直线 x+y=1 上,则 D 与 E 的关系是( A.D+E=2 B.D+E=1 C.D+E=-1
[来

)

D.D+E=-2 X k b 1 .

D E D E c o 圆心?- 2 ,- 2?在直线 x+y=1 上,因此有- - =1,即 D+E=-2. ? ? 2 2 7.以线段 AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( A.(x+1)2+(y+1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8 解析 B )

B.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=8

直径的两端点为(0,2),(2,0),∴圆心为(1,1),半径为 2,圆的方程为(x

-1)2+(y-1)2=2.

8.已知直线 l1:ax-y+2a+1=0 和 l2:2x-(a-1)y+2=0(a∈R),则 l1⊥l2 的充要条 件是 a=________. 2 1 解析 l1⊥l2?a· =-1,解得 a= . 3 a-1

9. 直线 l: y=k(x+3)与圆 O: 2+y2=4 交于 A, 两点, x B |AB|=2 2, 则实数 k=________. 解析 ∵|AB|=2 2,圆 O 半径为 2,∴O 到 l 的距离 d= 22-2= 2.即 解得 k=± 14 . 7 |3k| = 2, k2+1

10.过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的长为________. 解析 如图,圆的方程可化为

(x-3)2+(y-4)2=5,∴|OM|=5,|OQ|= 25-5=2 5. 2 5× 5 1 1 在△OQM 中, |QA|· |OM|= |OQ|· |QM|,∴|AQ|= =2,∴ 2 2 5 |PQ|=4. 11.若两直线 2x+y+2=0 与 ax+4y-2=0 互相垂直,则其交点的坐标为__________. 解析:由已知两直线互相垂直可得 a=-2,
?2x+y+2=0, ? 则由? 得两直线的交点坐标为(-1,0). ? ?-x+2y-1=0

12.若过原点 O 且方向向量为(m,1)的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 相交于 P、Q 两点, → → 则OP· =__________. OQ → → 解析: 可由条件设出直线方程, 联立方程运用韦达定理可求解, 其中OP· =x1x 2+y1y2 OQ 是引发思路的关键.答案:-3 13、在平面直角坐标系中,已知圆心在直线 y=x+4 上,半径为 2 2的圆 C 经过原点 O. (1)求圆 C 的方程; (2)求经过点(0,2)且被圆 C 所截得弦长为 4 的直线方程. 解析 (1)设圆心为(a,b),

?a=-2, ?b=a+4, ? 则? 2 解得? 2 ? ?b=2, ? a +b =2 2,

故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8. (2)当斜率不存在时,x=0,与圆的两个交点为(0,4),(0,0),则弦长为 4,符合题意; 当斜率存在时,设直线为 y-2=kx, 则由题意得,8=4+?

? -2k ?2 ? ,无解. ? 1+k2?

综上,直线方程为 x=0.

1.若直线 l 与直线 y=1、x=7 分别交于点 P、Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1), 则直线 l 的斜率为( 1 A. 3 ) 1 B.- 3 3 C.- 2 2 D. 3 )

2.若直线 x+(a-2)y-a=0 与直线 ax+y-1=0 互相垂直,则 a 的值为( A.2 B.1 或 2 C.1 D.0 或 1

π 3.已知圆(x-1)2+(y-3 3)2=r2(r>0)的一条切线 y=kx+ 3与直线 x=5 的夹角为 , 6 则半径 r 的值为( A. 3 2 ) 3 3 B. 2 C. 3 3 3 或 2 2 D. 3 或 3 2

4.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,若该圆中过点 M(3,5)的最长弦、最短弦分别为 AC、BD,则以点 A、B、C、D 为顶点的四边形 ABCD 的面积为( A.10 6 B.20 6 C.30 6 )

D.40 6

5.若圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方 程为( ) B.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 )

A.(x+1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y+1)2=2

6.已知圆 x2+y2+Dx+Ey=0 的圆心在直线 x+y=1 上,则 D 与 E 的关系是( A.D+E=2 B.D+E=1 C.D+E=-1 D.D+E=-2 )
[

7.以线段 AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( A.(x+1)2+(y+1)2=2 C.(x+1)2+(y+1)2=8

B.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=8

8.已知直线 l1:ax-y+2a+1=0 和 l2:2x-(a-1)y+2=0(a∈R),则 l1⊥l2 的充要条 件是 a=________. 9. 直线 l: y=k(x+3)与圆 O: 2+y2=4 交于 A, 两点, x B |AB|=2 2, 则实数 k=________. 10.过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的长为________. 11.若两直线 2x+y+2=0 与 ax+4y-2=0 互相垂直,则其交点的坐标为__________. 12.若过原点 O 且方向向量为(m,1)的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 相交于 P、Q 两点, → → 则OP· =__________. OQ 13、在平面直角坐标系中,已知圆心在直线 y=x+4 上,半径为 2 2的圆 C 经过原点 O. (1)求圆 C 的方程; (2)求经过点(0,2)且被圆 C 所截得弦长为 4 的直线方程.


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