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高考不等式公式汇总


不等式公式汇总
一 不等式的证明 证明不等式选择方法的程序: ①做差:证明不等式首选不等式,做差的本质是因式分解,能否使用做差法取决于做差 后能否因式分解; ②作比:通过构造同底或同指数合并作比结果,再利用指对数图像判断大于小于 1; ③用公式:构造公式形式;等价变形:左右两边 n 次方; 平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数):

a 2 ?b 2 a ? b 2 (当 a = b 时取等) ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b
3

abc ?

a?b?c 3



a 1 ?a 2 ?a 3 ? a 1 ? a 2 ? a 3



a ? b ? a ? b ? a ? b (ab ? 0时,取等)
④等价变形:不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明, 后面的方法都是特殊的等价变形方法; ⑤逆代:把数换成字母; ⑥换元:均值换元或三角换元; ⑦放缩:放大或缩小成一个恰好可以化简的形式; ⑧反证:条件比较复杂,结论比较简洁时,把结论的相反情况当成条件反证; ⑨函数求值域:共有四种方法:见函数值域部分; ⑩几何意义:斜率,截距,距离;数学归纳法:适合数列不等式。 二 不等式的解法 (一)有理不等式 1.一次不等式: ax ? b 解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。 2.二次不等式: ax ? bx ? c ? 0
2

两根之内或两根之外,主要考查根与系数的关系。 3.高次不等式:序轴标根法 (二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式 先变形成有理不等式,再求解。 绝对值不等式: 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a .
无理不等式:

(1)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? . ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

(3)

(三)指数不等式 对数不等式 不等号两边同时取指数或同时取对数,变成相同的形式后,再换元成有理不等式求解。 (1)当 a ? 1 时,

a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
(2)当 0 ? a ? 1时,

a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
三 线性规划 线性规划,出题现象如下:

? x ? y ? ?1, ? 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 3, ?
A.4 B.11 C.12 D.14 解题步骤: (1)把不等式组中的一次式看成直线,在平面直角坐标系中画直线, 标明直线序号 (2)依据以下结论确定平面区域: y ? f ( x) 是点在直线上方(包括直线) ; y ? f ( x) 是点在直线下方(包括直线)

)

y ? f ( x) 是点在直线上方(不包括直线) y ? f ( x) 是点在直线下方(不包括直线)
(3)确定目标函数函数值的几何意义 1 (4)○若目标函数值 z 表示截距,在已知区域内平移目标函数直线,找出使截距取最大值和最小值 2 的端点,求出端点坐标代入目标函数,得出 z 的最值。○若目标函数 z 表示距离或者距离的平方,精

确作图, 在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离, 用距 离公式直接求最值。○若目标函数 z 表示斜率,精确画图,利用求斜率取值范围结论,求最值。 3


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