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《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)椭圆


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椭__圆

[知识能否忆起] 1.椭圆的定义 平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两 个定点叫做椭圆的焦点,两焦点 F1,F2 间的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0

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图形

标准方程 范围 对称性 顶点 焦点 焦距 离心率 通径

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 |x|≤a;|y|≤b 曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称 长轴顶点(± a,0) 短轴顶点(0,± b) (± c,0)

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 |x|≤b;|y|≤a 曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称 长轴顶点(0,± a) 短轴顶点(± b,0) (0,± c)

|F1F2|=2c(c2=a2-b2) c e= ∈(0,1),其中 c= a2-b2 a 2b 2 过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为 a

[小题能否全取] x2 y2 1.(教材习题改编)设 P 是椭圆 + =1 的点,若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1| 4 9 +|PF2|等于( A.4 C.6 ) B.8 D.18

解析:选 C 依定义知|PF1|+|PF2|=2a=6. x2 y2 2.(教材习题改编)方程 + =1 表示椭圆,则 m 的范围是( 5-m m+3 A.(-3,5) B.(-5,3) )

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C.(-3,1)∪(1,5)

D.(-5,1)∪(1,3)

5-m>0, ? ? 解析:选 C 由方程表示椭圆知?m+3>0, ? ?5-m≠m+3, 解得-3<m<5 且 m≠1. x2 y2 4 3.(2012· 淮南五校联考)椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( 9 4+k 5 A.-21 19 C.- 或 21 25 B.21 19 D. 或 21 25 )

解析:选 C 若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k, 5-k 4 c 4 19 由 = ,即 = ,得 k=- ; a 5 3 5 25 若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5, k-5 4 c 4 由 = ,即 = ,解得 k=21. a 5 4+k 5 1 4.(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率为 ,焦距为 8. 2 则该椭圆的方程是________. 解析:∵2c=8,∴c=4, c 4 1 ∴e= = = ,故 a=8. a a 2 y2 x2 又∵b2=a2-c2=48,∴椭圆的方程为 + =1. 64 48 y2 x2 答案: + =1 64 48 5.已知 F1,F2 是椭圆 C 的左,右焦点,点 P 在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2 =30° ,则椭圆的离心率为________. 解析:在三角形 PF1F2 中,由正弦定理得 π sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1= , 2 设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|= 3, 2c 3 所以离心率 e= = . 2a 3 答案: 3 3

1.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点 F1,F2 的距离之和等

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于|F1F2|时,其动点轨迹就是线段 F1F2;当平面内的动点与定点 F1,F2 的距离之和小于|F1F2| 时,其轨迹不存在. 2.已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断,当焦点位置不明确时, 要分两种情形讨论.

椭圆的定义及标准方程

典题导入 x2 y2 3 [例 1] (2012· 山东高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2=1 a b 2 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方 程为( ) x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5 3 , 2 x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4 [自主解答] ∵椭圆的离心率为 a2-b2 c 3 ∴ = = ,∴a=2b. a a 2 故椭圆方程为 x2+4y2=4b2. ∵双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 x± y=0, ∴渐近线 x± y=0 与椭圆 x2+4y2=4b2 在第一象限的交点为? ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 即 a2=4b2=20. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 20 5 [答案] D 2 5 2 5 ? , ? 5 b, 5 b?

2 5 2 5 b× b=4,∴b2=5, 5 5

本例中条件“双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的

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四边形的面积为 16”变为“此椭圆的长轴长等于圆 x +y -2x-15=0 的半径”问题不变. 解:∵x2+y2-2x-15=0, ∴(x-1)2+y2=16,∴r=4,即 2a=4,a=2. c 3 又 = ,∴c= 3, a 2 x2 ∴b=1,故椭圆方程为 +y2=1. 4

2

2

由题悟法 1.解决与到焦点的距离有关的问题时,首先要考虑用定义来解题. 2.椭圆方程的求法多用待定系数法,其步骤为: (1)定标准;(2)设方程;(3)找关系;(4)得方程. x2 y2 3.当椭圆焦点位置不明确时,可设为 + =1(m>0,n>0,m≠n),也可设为 Ax2+ m n By2=1(A>0,B>0,且 A≠B). 以题试法 x2 1.(2012· 张家界模拟)椭圆 +y2=1 的两个焦点为 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线 4 与椭圆相交,一个交点为 P,则|PF2|=( 7 A. 2 C. 3 B. 3 2 )

D.4

解析:选 A 因为 a2=4,b2=1,所以 a=2,b=1,c= 3. ?- 3?2 不妨设 F1 为左焦点,P 在 x 轴上方,则 F1(- 3,0),设 P(- 3,m)(m>0),则 4 1 1 +m2=1,解得 m= ,所以|PF1|= 根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|= 2 2 1 7 22- = . 2 2

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椭圆的几何性质

典题导入

???? ???? x2 [例 2] (1)F1、F2 是椭圆 +y2=1 的左右焦点,点 P 在椭圆上运动.则 PF1 · PF2 的最 4
大值是( A.-2 C.2 ) B.1 D.4

x2 y2 (2)(2012· 江西高考)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别 a b 是 F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( 1 A. 4 1 C. 2 B. 5 5 )

D. 5-2

[自主解答] (1)设 P(x,y),依题意得 F1(- 3,0),F2( 3,0), PF1 · PF2 =(- 3-

???? ????

???? ???? 3 3 x)( 3-x)+y2=x2+y2-3= x2-2.∵0≤x2≤4,∴-2≤ x2-2≤1.∴ PF1 · PF2 的最大值是 4 4
1. (2) 由题意知 |AF1| = a - c , |F1F2| = 2c , |F1B| = a + c ,且三者成等比数列,则 |F1F2|2 = 1 5 |AF1|· |F1B|,即 4c2=a2-c2,a2=5c2,所以 e2= ,故 e= . 5 5 [答案] (1)B (2)B 由题悟法 c 1.求椭圆的离心率实质上是建立 a,b,c 中任意两者或三者之间的关系,利用 e= 或 a e= b?2 1-? ?a? 去整体求解. 2.解决与椭圆几何性质有关的问题时:一是要注意定义的应用;二是要注意数形结合; 三是要注意-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1 等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键 作用.

以题试法 x2 y2 2.(1)(2012· 西工大附中适应性训练)已知动点 P(x,y)在椭圆 + =1 上,若 A 点的坐 25 16

???? ? ???? ???? ? ???? 标为(3,0),| AM ,|=1,且 PM ,·AM ,=0,则| PM ,|的最小值为________.

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x2 y2 a2 (2)设 F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,若在直线 x= 上存在点 P, a b c 使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是________. 解析:(1)由| AM ,|=1,A(3,0)知点 M 在以 A(3,0)为圆心,1 为 半径的圆上运动,∵ PM ,·AM ,=0 且 P 在椭圆上运动,∴PM⊥ AM , ∴ PM 为 ⊙ A 的 切 线 , 连 接 PA( 如 图 ) , 则 | PM ,| = | PA |2-| AM |2=

???? ?

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| PA |2-1,∴当| PA ,|min=a-c=5-3=2 时,| PM ,|min=

??? ?

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3.

2 a2 ? cy ? b , y? , ,y , (2)设 P? 线段 F P 的中点 Q 的坐标为 1 ?c ? ?2c 2? 则直线 F1P 的斜率 kF1P=a2+c2,

cy 当直线 QF2 的斜率存在时,设直线 QF2 的斜率为 kQF2= 2 (b2-2c2≠0)由 kF1P· kQF2= b -2c2 ?a2+c2??2c2-b2? -1 得 y2= ≥0,但注意到 b2-2c2≠0,故 2c2-b2>0,即 3c2-a2>0,即 c2 1 3 a2 e2> ,故 <e<1.当直线 QF2 的斜率不存在时,y=0,F2 为线段 PF1 的中点.由 -c= 3 3 c 2c 得 e= 3 3 ,综上得 ≤e<1. 3 3 3 ? ? 3 ,1?

答案:(1) 3 (2)?

直线与椭圆的位置关系

典题导入 [例 3] x2 y2 (2012· 安徽高考)如图,F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2= a b

1(a>b>0)的左,右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60° . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值. 1 [自主解答] (1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,所以 e= . 2 (2)法一:a2=4c2,b2=3c2, 直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c). 8 3 3 ? 将其代入椭圆方程 3x2+4y2=12c2,得 B? c,- c , 5 ? ?5

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?8c-0?=16c. 所以|AB|= 1+3· ?5 ? 5
1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|· |AB|sin ∠F1AB= a· c· = a =40 3,解得 a=10,b=5 3. 2 2 5 2 5 法二:设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t, 再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60° 可得, 8 1 8 3 2 3 2 t= a.由 S△AF1B= a· a· = a =40 3知, 5 2 5 2 5 a=10,b=5 3. 由题悟法 1.直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立, 通过讨论此方程组的实数解的组数来确定, 即用消元 后的关于 x(或 y)的一元二次方程的判断式 Δ 的符号来确定:当 Δ>0 时,直线和椭圆相交; 当 Δ=0 时,直线和椭圆相切;当 Δ<0 时,直线和椭圆相离. 2.直线和椭圆相交的弦长公式 |AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 或|AB|=

?1+ 12?[?y1+y2?2-4y1y2]. ? k?

3.直线与椭圆相交时的常见处理方法 当直线与椭圆相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,设而不求计算弦长; 涉及到求平行弦中点的轨迹、 求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程 问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起 来,相互转化. 以题试法 y2 x2 3.(2012· 潍坊模拟)已知直线 l:y=x+ 6,圆 O:x2+y2=5,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b a b >0)的离心率 e= 3 ,直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等. 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证:两切线的斜 率之积为定值. 解: (1)设椭圆的半焦距为 c, 圆心 O 到直线 l 的距离 d= 6 = 3, ∴b= 5-3= 2. 1+1

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c 3 = , ? a 3 ? 由题意知? a =b +c , ? ?b= 2,
2 2 2

∴a2=3,b2=2.

y2 x2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 3 2 (2)证明:设点 P(x0,y0),过点 P 的椭圆 E 的切线 l0 的方程为 y-y0=k(x-x0), 联立直线 l0 与椭圆 E 的方程得 y=k?x-x ?+y0, ? ?2 2 0 ?y x 消去 y 得 + =1, ? 3 2 ? (3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0, ∴Δ=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0,
2 2 整理得(2-x2 0)k +2kx0y0-(y0-3)=0.

设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1,k2,
2 y0 -3 则 k1· k2=- , 2-x2 0

5-x2 0-3 2 ∵点 P 在圆 O 上,∴x0 +y2 = 5 ,∴ k · k =- =-1. 0 1 2 2-x2 0 故两条切线的斜率之积为常数-1.

x2 y2 1.(2012· 海淀模拟)2<m<6 是方程 + =1 表示椭圆的( m-2 6-m A.充分不必要条件 C.充要条件
2 2

)

B.必要不充分条件 D.既不充分与不必要条件

x y 解析:选 B 若 + =1 表示椭圆, m-2 6-m m-2>0, ? ? 则有?6-m>0, ? ?m-2≠6-m,

∴2<m<6 且 m≠4,

x2 y2 故 2<m<6 是 + =1 表示椭圆的必要不充分条件. m-2 6-m

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3 2.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是( 4 x2 y2 A. + =1 16 7 x2 y2 C. + =1 16 25 x2 y2 x2 y2 B. + =1 或 + =1 16 7 7 16 x2 y2 x2 y2 D. + =1 或 + =1 16 25 25 16

)

3 解析:选 B ∵a=4,e= ,∴c=3. 4 ∴b2=a2-c2=16-9=7. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程是 + =1 或 + =1. 16 7 7 16 x2 y2 3.(2012· 新课标全国卷)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直 a b 3a 线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 4 D. 5 )

3 3 a-c?=2c,∴3a=4c,∴e= . 解析:选 C 由题意可得|PF2|=|F1F2|,∴2? 2 ? ? 4 x2 4 . (2013· 沈阳二中月考 ) 已知椭圆 + y2 = 1 的两焦点为 F1 , F2 ,点 M 在椭圆上, 4

???? ? ????? MF1 ,·MF2 ,=0,则 M 到 y 轴的距离为(
2 3 A. 3 C. 3 3 2 6 B. 3 D. 3

)

解析:选 B 由条件知,点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,该圆的方程是 x2+y2=3, x2 8 2 6 即 y2=3-x2,代入椭圆方程得 +3-x2=1,解得 x2= ,则|x|= ,即点 M 到 y 轴的距 4 3 3 2 6 离为 . 3 x2 y2 5.(2012· 安徽师大附中模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b), a b 且左焦点为 F,△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( A. 3-1 2 B. D. 5-1 2 3+1 4 )

1+ 5 C. 4

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解析:选 B 由题意得 a +b +a =(a+c) ,即 c +ac-a =0,即 e +e-1=0,解得 -1± 5 5-1 e= .又 e>0,故所求的椭圆的离心率为 . 2 2 6. 一个椭圆中心在原点, 焦点 F1, F2 在 x 轴上, P(2, |PF2|成等差数列,则椭圆方程为( x2 y2 A. + =1 8 6 x2 y2 C. + =1 8 4 ) x2 y2 B. + =1 16 6 x2 y2 D. + =1 16 4 4 3 3)在椭圆上知 2+ 2= a b 3)是椭圆上一点, 且|PF1|, |F1F2|,

2

2

2

2

2

2

2

x2 y2 解析: 选 A 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). 由点(2, a b

c 1 1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2· 2c, = ,又 c2=a2 a 2 -b2,联立得 a2=8,b2=6. 7.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 3 ,且椭圆上一点到椭圆 2

的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________________. x2 y2 c 3 解析:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),根据椭圆定义知 2a=12,即 a=6,由 = , a b a 2 x2 y2 得 c=3 3,b2=a2-c2=36-27=9,故所求椭圆方程为 + =1. 36 9 x2 y2 答案: + =1 36 9 x2 y2 8.椭圆 + =1 的两焦点 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 16 4 为 P,则|PF2|=________. b2 4 解析:易得|PF1|= = =1.又点 P 在椭圆上,于是有|PF1|+|PF2|=8,|PF2|=8-|PF1| a 4 =7. 答案:7 x2 y2 9.(2012· 哈尔滨模拟)设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左,右焦点,P 为椭圆上任一 25 16 点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________. 解析:∵P 在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴|PM|+|PF1|=|PM|+10-|PF2|=10+|PM|-|PF2|≤10+|MF2|=10+5=15, 当 P,M,F2 三点共线时取等号. 答案:15

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x y 6 10.已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直 a b 3 线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. c 6 解:(1)由已知得 c=2 2, = .解得 a=2 3, a 3 又 b2=a2-c2=4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. y=x+m, ? ? 2 2 由? x y 得 4x2+6mx+3m2-12=0.① + = 1 ? ?12 4 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= . 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB. m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1.解得 m=2. 3m -3+ 4 此时方程①为 4x2+12x=0.解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. |-3-2+2| 3 2 所以|AB|=3 2.此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· d= . 2 2 x2 y2 11. (2013· 济南模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 a b

2

2

???? ? ???? 6 ,F 为椭圆的右焦点,M,N 两点在椭圆 C 上,且 MF ,=λ FN ,(λ 3
>0),定点 A(-4,0). (1)求证:当 λ=1 时, MN ,⊥ AF ,; (2)若当 λ=1 时,有 AM ,·AN ,=

???? ?

????

???? ? ????

106 ,求椭圆 C 的方程. 3

解:(1)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),F(c,0), 则 MF ,=(c-x1,-y1), FN ,=(x2-c,y2).

???? ?

????

???? ? ???? 当 λ=1 时, MF ,= FN ,,∴-y1=y2,x1+x2=2c.
∵M,N 两点在椭圆 C 上, y2 y2 1 2 2 2? 1- 2?,x2 1- 2?, ∴x1 =a2? = a 2 ? b? ? b?
2 ∴x1 =x2 2.

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若 x1=-x2,则 x1+x2=0≠2c(舍去), ∴x1=x2, ∴ MN ,=(0,2y2), AF ,=(c+4,0),∴ MN ,·AF ,=0, ∴ MN ,⊥ AF ,. (2)当 λ=1 时,由(1)知 x1=x2=c, b2 b2 c, ?,N?c,- ?, ∴M? a? ? a? ?

???? ? ???? ?

????

???? ? ????

????

???? ? ???? b2 b2 c+4, ?, AN ,=?c+4,- ?, ∴ AM ,=? a? a? ? ? ???? ? ???? b4 106 ∴ AM ,·AN ,=(c+4)2- 2= .(*) a 3
c 6 ∵ = , a 3 3 c2 5 106 ∴a2= c2,b2= ,代入(*)式得 c2+8c+16= , 2 2 6 3 58 ∴c=2 或 c=- (舍去).∴a2=6,b2=2, 5 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 6 2 x2 12.(2012· 陕西高考)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有 4 相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点, 点 A, B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB =2 OA , 求直线 AB 的方程. y2 x2 解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 其离心率为 a2-4 3 3 ,故 = ,解得 a=4, 2 a 2

??? ?

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y2 x2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 (2)法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB =2 OA 及(1)知,O,A, B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.

??? ?

??? ?

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x 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 所以 x2 . A= 1+4k2 y2 x2 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k2)x2=16, 16 4 所以 x2 B= 16 . 4+k2

2

2 又由 OB =2 OA ,得 x2 B=4xA,即

??? ?

??? ?

16 16 = , 4+k2 1+4k2

解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由 OB =2 OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以 4

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 4 16 16k2 2 2 x2 . 2.由 OB =2 OA ,得 xB= 2,yB= A= 1+4k 1+4k 1+4k2
4+k2 y2 x2 2 将 x2 =1,即 4+k2=1+4k2, B,yB代入 + =1 中,得 16 4 1+4k2 解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.

1.(2012· 长春模拟)以 O 为中心,F1,F2 为两个焦点的椭圆上存在一点 M,满足| MF1 ,| =2| MO ,|=2| MF2 ,|,则该椭圆的离心率为( A. C. 3 3 6 3 2 B. 3 2 5 D. 5

???? ?

???? ?

?????

)

解析:选 C 不妨设 F1 为椭圆的左焦点,F2 为椭圆的右焦点.过点 M 作 x 轴的垂线,

???? ? ???? ? ????? c ,0?,并设| MF1 ,|=2| MO ,|=2| MF2 ,|=2t,根据勾股定 交 x 轴于 N 点,则 N 点坐标为? ?2 ?
理可知,| MF1 ,|2-| NF1 ,|2=| MF2 ,|2-| NF2 ,|2,得到 c=

???? ?

???? ?

?????

???? ?

6 3t c 6 t,而 a= ,则 e= = . 2 2 a 3

x2 y2 x2 y2 2.(2012· 太原模拟)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a1>b1>0)和椭圆 C2: 2+ 2=1(a2>b2> a1 b1 a2 b 2 0)的焦点相同且 a1>a2.给出如下四个结论:

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a1 b1 2 2 2 ①椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点;②a2 1-a2=b1-b2;③ > ;④a1-a2<b1-b2. a2 b2 其中,所有正确结论的序号是( A.②③④ C.①②④ ) B.①③④ D.①②③

2 2 2 2 2 2 2 解析:选 C 由已知条件可得 a2 1-b1=a2-b2,可得 a1-a2=b1-b2,而 a1>a2,可知两 2 2 2 2 2 2 2 2 2 椭圆无公共点,即①正确;又 a2 1-a2=b1-b2,知②正确;由 a1-b1=a2-b2,可得 a1+b2=

a1 b1 2 b2 1+a2,则 a1b2,a2b1 的大小关系不确定, > 不正确,即③不正确;∵a1>b1>0,a2> a2 b2 b2>0,∴a1+a2>b1+b2>0,而又由(a1+a2)(a1-a2)=(b1+b2)(b1-b2),可得 a1-a2<b1- b2,即④正确.综上可得,正确的结论序号为①②④. x2 y2 1 3. (2012· 西城模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0), 且离心率为 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0),求 y0 的取值范围. 解:(1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意,得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为 , 2 所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). y=k?x-1?, ? ?2 2 由?x y 消去 y 并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. + = 1 , ?4 3 ? 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), 8k2 则 x1+x2= . 3+4k2 x1+x2 -3k 4k2 所以 x3= = ,y =k(x3-1)= . 2 3+4k2 3 3+4k2 4k2 ? 3k 1? 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ 2 . 2=- x- k ? 3+4k ? 3+4k k 1 在上述方程中,令 x=0,得 y0= = . 3+4k2 3 + 4k k

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3 当 k<0 时, +4k≤-4 3; k 3 当 k>0 时, +4k≥4 3. k 所以- 3 3 ≤y0<0 或 0<y0≤ . 12 12 3 3? . ? 12 , 12 ?

综上,y0 的取值范围是?-

x2 y2 1.(2012· 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦 a b 点为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. 解:(1)根据椭圆的左焦点为 F1(-1,0),知 a2-b2=1,又根据点 P(0,1)在椭圆上,知 b x2 =1,所以 a= 2,所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 2 (2)因为直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 都相切,所以其斜率存在且不为 0,设直线 l 的方 1 2? 2 x2 +k x +2kmx+m2-1=0,由 程为 y=kx+m(k≠0),代入椭圆方程得 +(kx+m)2=1,即? 2 ? ? 2 1 2? 2 2 2 题可知此方程有唯一解,此时 Δ=4k2m2-4? ?2+k ?(m -1)=0,即 m =2k +1. ① k 把 y=kx+m(k≠0)代入抛物线方程得 y2-y+m=0,由题可知此方程有唯一解,此时 Δ 4 =1-mk=0,即 mk=1. ②
2 2 ? ?m =2k +1, 1 ? 联立①②得 解得 k2= , 2 ?mk=1, ?

2 2 ? ? ?k= , ?k=- , 2 2 所以? 或? ? ? ?m= 2, ?m=- 2, 所以直线 l 的方程为 y= 2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

1 2.(2012· 湖南高考)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 的椭圆 E 的一 2 个焦点为圆 C:x2+y2-4x+2=0 的圆心. (1)求椭圆 E 的方程; 1 (2)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 的直线 l1,l2,当直线 l1,l2 都与圆 C 2

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相切时,求 P 的坐标. 解:(1)由 x2+y2-4x+2=0 得(x-2)2+y2=2,故圆 C 的圆心为点(2,0). x2 y2 c 1 从而可设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),其焦距为 2c.由题设知 c=2,e= = .所以 a b a 2 x2 y2 a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆 E 的方程为 + =1. 16 12 (2)设点 P 的坐标为(x0,y0),l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则 l1,l2 的方程分别为 l1:y- 1 y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且 k1k2= . 2 |2k1+y0-k1x0| 由 l1 与圆 C:(x-2)2+y2=2 相切得 = 2,即[(2-x0)2-2]k2 1+2(2-x0)y0k1 k2 + 1 1
2 +y0 -2=0. 2 同理可得[(2-x0)2-2]k2 2+2(2-x0)y0k2+y0-2=0.

从而 k1,k2 是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y2 0-2=0 的两个实根,于是
2 ? ??2-x0? -2≠0, ? ① 2 2 ?Δ=8[?2-x0? +y0-2]>0, ?

y2 1 0-2 且 k1k2= = . 2 ?2-x0? -2 2



? ? y -2 1 ??2-x ? -2=2,
2 0 0 2

2 2 x0 y0 + =1, 16 12

得 5x2 0-8x0-36=0.

18 解得 x0=-2 或 x0= . 5 由 x0=-2 得 y0=± 3;由 x0= 18 57 得 y0=± ,它们均满足①式. 5 5 18 57? ?5, 5 ?

故点 P 的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或? 或? 18 57? . ? 5 ,- 5 ?

3 . (2012· 河南模拟 ) 已知中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为

3 的椭圆过点 2

? ?

2,

2? . 2?

(1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依 次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.

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x y 解:(1)由题意可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b -b 3 ? aa = , 2 则? 2 1 ?a +2b =1,
2 2 2 2

2

2

?a=2, ? 故? ? ?b=1.

x2 所以椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2), y=kx+m, ? ?2 由?x 消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 2 + y = 1 , ? ?4 则 Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0, -8km 4?m2-1? 且 x1+x2= ,x x = . 1+4k2 1 2 1+4k2 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
2 2 y1 y2 k x1x2+km?x1+x2?+m 所以 · = =k2, x1 x2 x1x2



-8k2m2 1 1 +m2=0,又 m≠0,所以 k2= ,即 k=± . 4 2 1+4k2

由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且 Δ>0,得 0<m2<2 且 m2≠1. 设点 O 到直线 l 的距离为 d, 1 1 |m| 1 则 S△OPQ= d|PQ|= · ?1+k2??x1-x2?2· = |x1-x2||m|= m2?2-m2?, 2 2 1+k2 2 又 0<m2<2 且 m2≠1,所以 S△OPQ 的取值范围为(0,1).


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