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两个原理1


分类计数原理与 分步计数原理

问题一: 从盐城到北京,可以坐火车,也可以乘飞机.一天中, 火车有3班,飞机有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具 从盐城到北京共有多少种不同的走法?

两种方式 火车 盐城

火车1

火车2
火车2

北京 3种 3+2=5种 北京 2



1
飞机 盐城

2

引例2

现有高中一年级的学生3名,高中二年级 的学生5名,高中三年级的学生4名.从中 任选1人参加接待外宾的活动,有多少种 不同的选法?
N=3+5+4=12

一、分类计数原理 完成一件事,有n类办法. 在第1类办法中有 m1种不同的方法,在第2类方法中有m2种不同的 方法,……,在第n类方法中有mn种不同的方法, 则完成这件事共有
说明

N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1)各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在分 类标准下进行分类,然后对每类方法计数.

引例3

先乘汽车 1

再乘火车 1 徐州 2 北京

盐城

2 3
汽车1

火车1
火车2 火车1 火车2 火车1 火车2 3×2=6种

汽车2
汽车3

引例4

现有高中一年级的学生3名,高中二年级 的学生5名,高中三年级的学生4名,从3 个年级的学生中各选1人参加接待外宾的 活动,有多少种不同的选法?
N=3×5×4=60

二、分步计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法, ……, 做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事共有
说明

N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
1)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理 2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准, 然后对每步方法计数.

分类计数与分步计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理

联系
区别一

分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步”

区别二

每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情,缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情,只有每 个步骤完成了,才能完成这 件事情。

区别三

各类办法是互斥的、 并列的、独立的

各步之间是相关联的

例1 图书馆的书架上第1层放有4本不同的《读 者》,第 2层放有3本不同的《小小说月刊》,第3 层放有2本不同的体育杂志 (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?

(1)、N=4+3+2=9
(2)、N=4 ×3×2=24

例3 在红色信箱中有30封观众来信,在蓝 色信箱中有20封 观众来信,若先确定一名 幸运之星,然后再从两信箱中各确定一名 幸运伙伴,会产生多少种不同的结果?
30封 20封

30×29× 20 =17400 × × 20 19 30 = 11400

共28800种

思考练习题
1、3名同学报名参加4个不同学科的比赛, 每名学生只能参赛一项,有多少种不同的 报名方案?

N=4×4×4=64
2、把5封信投入6个邮箱,不同的投法共有( A )

A、 6 5 种

B、 56 种

C、 720 种

D、30 种

3、如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们之间有网线相连,连线标注的数字表示该网 线单位时间内可通过的最大信息量,现从A点向B点 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则 单位时间内传递的最大信息量为( D )

A、 26 B、 24 C、 20 分析:从A到B有四条路线

D、 19
D

。5 沿A-C-D-B, 传递的最大信息量为 3 3 C 。 6 。 沿A-C-M-B, 传递的最大 4 B 12 。 M 7。 。 信息量为 4 A 6 N 沿A-E-F-B, 传递的最大信息量为6 6 12 。 E 沿A-E-N-B, 传递的最大信息量为6 F。8
由分类计数原理可得最大信息量为N=3+4+6+6=19

作业:
完成课时作业1、2页


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