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高中数学解题秘籍36计


数学破题 36 计

第 1 计 芝麻开门 点到成功

第1计
●计名释义

芝麻开门

点到成功

七品芝麻官,说的是这个官很小,就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”,讲的是“以 小见大”. 就是那点芝麻,竟把那个庞然大门给“点”开了. 数学中,以点成线、

以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等,这些足以说明“点” 的重要性. 因此,以点破题,点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

●典例示范 [例题] (2006 年鄂卷第 15 题)将杨辉三角中的每一个数 C n 都 换成分数
r

1 ,就得到一个如下图所示的分数三角形,称来莱布尼 r (n ? 1)C n

茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出

1 1 1 ? ? ,其中 x ? r x r (n ? 1)C n (n ? 1)C n nCn ?1


.

an ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 2 3 12 30 60 nCn ?1 (n ? 1)C n
.





n??

l

an ? m i

[分析] 一看此题,图文并举,篇幅很大,还有省略号省去的有无穷之多,真乃是个庞然大物. 从何处 破门呢?我们仍然在“点”上打主意.
1

莱布三角形,它虽然没有底边,但有个顶点,我们就打这个顶点 的主意.

1 1

[解Ⅰ]

将等式

1 1 1 与右边的顶点三角形对应(图右),自然有 ? ? r x r (n ? 1)C n (n ? 1)C n nCn ?1
? 1 2 1
r nCn ?1

1
r (n ? 1)Cn

?

1 2

1
x (n ? 1)Cn

?

1 1

对此,心算可以得到:n =1,r =0,x=1 对一般情况讲,就是 x = r+1 这就是本题第 1 空的答案. [插语] 本题是填空题,只要结果,不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析,而是以点带面,

点到成功. 要点明的是,这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数,都等于对应的“脚 下”两数之和,所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形,都能解出 x = r+1. 第 2 道填空,仍考虑以点带面,先抓无穷数列的首项 .
1 3

[解Ⅱ]
an ?

在三角形中先找到了数列首项

1 ,并将和数列 3

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 中的各项依次“以点连线”(图右实线),实线所串 3 12 30 60
1 3
1 1 . 因为 在向下一分为 2 2

各数之和就是 an . 这个 an,就等于首项 左上角的那个

二进行依次列项时,我们总是“取右舍左”,而舍去的各项(虚线所串)所成数 列的极限是 0. 因此得到 lim an ? 2 这就是本题第 2 空的答案. n??

1

[点评] 解题的关键是“以点破门”,这里的点是一个具体的数 ,采用的方法是以点串线——三角 形中的实线,实线上端折线所对的那个数
1 就是问题的答案. 2

1 3

事实上,三角形中的任何一个数(点)都有这个性质. 例如从 所连各数之和(的极限)就是

1 这个数开始,向左下连线(无穷射线), 20

1 1 1 1 1 1 ?? ? 这个数的左上角的那个数 . 用等式表示就是 ? ? 20 12 20 60 140 12

[链接] 本题型为填空题, 若改编成解答题, 那就不是只有 4 分的小题, 而是一个 10 分以上的大题. 有 关解答附录如下.
2

[法 1] 由

1 1 1 知,可用合项的办法,将 a n 的和式逐步合项. ? ? r r ?1 r (n ? 1)C n (n ? 1)C n nCn ?1

an ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2 2 3 12 30 nCn ?1 (n ? 1)C n
? ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ?? ? ? 2 2 2 2 2 1 ? 1 3C 2 4C 3 5C 4 nCn ?1 ? (n ? 1)C n (n ? 1)C n ? (n ? 1)C n

?

?

? 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ??? ? 2 2 2 ? nC 2 ? nC1 ? ? (n ? 1)C 1 3C 2 4C 3 5C 4 n ?1 ? n ? n ?1
?

? 1 1 ? 1 1 1 1 1 ?? 2 ? 1 ?? ? 3C ? (n ? 1)C 1 ? 2C 1 ? (n ? 1)C 1 ? 2 ? (n ? 1)n n ? 2 3C 2 ? 1 n

1 2

[法 2] 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和,即

an ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加 0 1 2 n ?3 n 3C 2 4C3 5C 4 nCn ?1 (n ? 1)C n ?2

一项

1 1 , 则由每一行中的任一数都等于其 “脚下” 两数的和, 结合给出的数表可逐次向上求和为 , n ?1 2 (n ? 1)C n

?1 ? 1 1 1 1 ?? lim an ? lim ? ? 故 an ? ? ,从而 n?? n n ?1 n ?? ? 2 (n ? 1)Cn ?1 ? 2 2 (n ? 1)C n ? ?

[法 3] (2)将 x ? r ? 1代入条件式,并变形得 取 r ? 1, 令 n ? 2,3,?, n,? 得
1 1 1 1 ? ? ? 2 1 3 (2 ? 1)C 2C1 3C1 2 2

1 1 1 ? ? r ?1 r r (n ? 1)C n nCn ?1 (n ? 1)C n

1 1 1 1 ? ? ? 2 1 12 (3 ? 1)C3 3C1 4C3 2



1 1 1 1 ? ? ? 1 2 1 30 (4 ? 1)C 4 4C 3 5C 4 1 1 1 ? ? 2 1 1 nCn ?1 (n ? 1)C n ?1 nCn ?1
以上诸式两边分别相加,得

?

?

?

1 1 1 ? ? 2 1 1 (n ? 1)C n nCn ?1 (n ? 1)C n
an ?

1 1 1 ? ? 2 2 n(n ? 1)

3

[说明] 以上三法,都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中,则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识 到“芝麻开门,点到成功”在使用对象上的真正意义.

●对应训练
x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 份,过每个分点作 x 25 16

1.如图把椭圆

轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1,P2,?,P7 七个点,F 是椭圆的一 个焦点,则|P1F|+|P2F|+??+|P7F|=_______. 2.如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,P,Q 分别是侧棱 AA1,CC1 上的点,且 A1P=CQ,则四棱 锥 B1—A1PQC1 的体积与多面体 ABC—PB1Q 的体积比值为 .

●参考解答 1.找“点”——椭圆的另一个焦点 F2. 连接 P1F2 、P2F2 、?、P7F2,由椭圆的定义 FP5+P5 F2 = 2a =10 如此类推 FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = ? =FP7 + P7F2 = 7?10 = 70 由椭圆的对称性可知,本题的答案是 70 的一半即 35. 2.找“点”——动点 P、Q 的极限点. 如图所示,令 A1P = CQ = 0. 即动点 P 与 A1 重合,动点 Q 与 C 重合. 则多面体蜕变为四棱锥 C—AA1B1B,四棱锥蜕化为三棱
1 显然 VC — A 1 B 1C 1 ? 3 V 棱柱.

锥 C—A1B1C1 .

∴ VC — A1B 1C 1 ∶ VC — AA 1B 1B = 2 于是奇兵天降——答案为 2 . [点评] “点到成功”的点,都是非一般的特殊点,它能以点带面,揭示整体,制约全局. 这些特殊点, 在没被认识之前,往往是人们的盲点,只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字,既是名词,又是动 词,是“点亮”和“亮点”的合一.
1

1

第2计

西瓜开门

滚到成功

4

●计名释义 比起―芝麻‖来,―西瓜‖则不是一个―点‖,而一个球. 因为它能够―滚‖,所以靠―滚到成功‖. 球能不断地变换 碰撞面,在滚动中能选出有效的―触面‖. 数学命题是二维的. 一是知识内容,二是思想方法. 基本的数学思想并不多,只有五种:①函数方程思 想, ②数形结合思想, ③划分讨论思想, ④等价交换思想, ⑤特殊一般思想. 数学破题, 不妨将这五种思想―滚 动‖一遍,总有一种思想方法能与题目对上号.

●典例示范 [题 1] (2006 年赣卷第 5 题) 对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f ?(x)?0,则必有 A. f(0)+f(2)< 2f(1) C. f(0)+f(2)≥ 2f(1) B. f(0)+f(2)≤2 f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1)

[分析] 用五种数学思想进行―滚动‖,最容易找到感觉应是③:分类讨论思想. 这点在已条件(x-1) f'(x)≥0 中暗示得极为显目. 其一,对 f'(x)有大于、等于和小于 0 三种情况; 其二,对 x-1,也有大于、等于、小于 0 三种情况. 因此,本题破门,首先想到的是划分讨论.

[解一] (i)若 f'(x) ≡ 0 时,则 f(x)为常数:此时选项 B、C 符合条件. (ii)若 f'(x)不恒为 0 时. 则 f'(x)?0 时有 x?1,f(x)在 ?1, ?? 上为增函数;f'(x)?0 时 x ?1. 即 f (x)在 ???,1? 上为减函数. 此时,选项 C、D 符合条件. 综合(i),(ii),本题的正确答案为 C.

[插语] 考场上多见的错误是选 D. 忽略了 f'(x) ≡ 0 的可能. 以为(x-1)f'(x) ?0 中等号成立的 条件只是 x-1=0,其实 x-1=0 与 f'(x)=0 的意义是不同的:前者只涉 x 的一个值,即 x=1,而后是对 x 的所 有可取值,有 f'(x) ≡ 0.

[再析] 本题 f(x)是种抽象函数,或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中,又是一些 具体的函数值 f(0),f(1),f(2). 因此容易使人联想到数学⑤:一般特殊思想.

5

[解二] (i)若 f'(x)=0,可设 f(x)=1. 选项B、C符合条件. (ii)f'(x)≠0. 可设 f(x) =(x-1)2 又 f'(x)=2(x-1).

满足 (x-1) f'(x) =2 (x-1)2≥0,而对 f (x)= (x-1)2. 有 f(0)= f(2)=1,f(1)=0 选项 C,D 符合条件. 综合(i),(ii)答案为 C.

4

[插语]在这类 f (x)的函数中, 我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 , (x-1) 3 , 自然要麻烦些. 由此看到,特殊化就是简单化.

[再析] 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——―函数方程(不等式)思想‖. 贯穿始终,如由 f ?(x)= 0 找最值点 x =0,由 f ?(x)>0(<0)找单调区间,最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联,因此数形结合思想也容易想到.

[解三] (i)若 f (0)= f (1)= f (2),即选 B,C,则常数 f (x) = 1 符合条件. (右图水平直线) (ii)若 f (0)= f (2)< f (1)对应选项 A.(右图上拱曲线),但不满足条 件(x-1) f ?(x)≥0 若 f (0)= f (2)> f (1)对应选项 C,(右图下拱曲线) 则满足条件(x-1) D . f ?(x)≥0.

[探索] 本题涉及的抽象函数 f (x),没有给出解析式,只给出了它 的一个性质:(x-1) f ?(x)≥0,并由此可以判定 f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然,有这种性质的具体函 数是很多的,我们希望再找到一些这样的函数.

[变题] 以下函数 f (x),具有性质(x-1) f ?(x)≥0 从而有 f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
1 5
2006

A. f(x)= (x-1)3 B. f(x)= (x-1) 2

C. f(x)= (x-1) 3

D. f(x)= (x-1) 2005

[解析] 对 A,f (0)= -1, f (2) =1,f (1)=0,不符合要求;对 B,f (0)无意义; 对 C,f (0)= -1, f (2) =1,f (1)=0,不符合要求; 答案只能是 D. 对 D, f (0)= 1, f (1) =0,f (2)=1. 且 f ?(x)=
1 2006 (x-1) 2005 2005

使得 (x-1) f'(x) =(x-1)
6

1 2006 (x-1) 2005 ≥0. 2005

[说明] 以 x=1 为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如 f?(x)=(x-1) 是正整数,且 n≥m.

2n 2m ?1

,其中 m,n 都

[点评] 解决抽象函数的办法,切忌―一般解决‖,只须按给定的具体性质―就事论事‖,抽象函数具体化, 这是―一般特殊思想‖在解题中具体应用.

[题 2] 已知实数 x,y 满足等式 4 x ? 9 y ? 36 ,试求分式
2 2

y 的最值。 x?5

[分析] “最值”涉及函数,“等式”连接方程,函数方程思想最易想到. [解一] (函数方程思想运用) 令
y ?k x?5

? y = k (x-5) 与方程 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 联立
2 2 2 2

消 y,得: (4 ? 9k ) x ? 90 k x ? 9 ? 25k ? 36 ? 0 根据 x 的范围 x ? ?? 3,3? 应用根的分布得不等式组:

? ? ? (90 k ) 2 ? 4(9k 2 ? 4)(9 ? 25 k 2 ? 36 ) ? 0 ? 2 2 2 ? f (3) ? 9(9k ? 4) ? 90 ? 9k ? 9 ? 25 k ? 36 ? 0 ? ? f (3) ? 9(9k 2 ? 4) ? 90 ? 9k 2 ? 9 ? 25 k 2 ? 36 ? 0 ? ? 90 k 2 ? ?3? ?3 ? ? 2(9k 2 ? 4) ?
解得 ?
1 1 ?k? 2 2

1 y 1 即 ? 2 ? x?5 ? 2

1 1 即所求的最小值为 ? 2 ,最大值为 2 .

1 y 1 [插语] 解出 ? 2 ? x ? 5 ? 2 ,谈何易!十人九错,早就应该“滚开”,用别的思想方法试试.

[解二] (数形结合思想运用)

x2 y2 ? ? 1, 由 4 x ? 9 y ? 36 得椭圆方程 9 4
2 2

k?

y 看成是过椭圆上的点(x,y),(5,0)的直 x?5

0

线斜率(图右).

?4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 联立 ? ? y ? k ( x ? 5)



(4 ? 9k 2 ) x 2 ? 90 k 2 x ? 9 ? 25k 2 ? 36 ? 0

7

令? ? 0得k ? ?

1 ,故 2

1 1 y 的最小值为 ? 2 ,最大值为 . x?5 2

[插语] 这就是“滚动”的好处,解二比解一容易多了. 因此,滚动开门,不仅要善于“滚到”,还要 善于“滚开”.

[点评] “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势. 解题时,要打破思维固化,在思想方法上要“滚动”,在知识链接上要“滚动”,在基本技能技巧上也 要“滚动”. 总之,面对考题,在看法、想法和办法上要注意“滚动”. ●对应训练 1. 若 动 点 P 的 坐 标 为 (x,y) , 且 lgy , lg|x| , lg ( )

y?x 成等差数列,则动点 P 的轨迹应为图中的 2

2.函数 y=1- 1 ? x

2

(-1≤x<0)的反函数是 ( )
2

? A.y= 2 x ? x (0<x≤1) ? C. y= 2 x ? x 2

? B.y= 2 x ? x

2

(0<x≤1)
2

(-1≤x<0)

? D. y= 2 x ? x

(-1≤x<0) ( ) D.b2>ac 且 a<0

3.设 a,b,c∈R,且 4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是
2 ? A.b ≤ac

B.b2>ac

2 ? C.b >ac 且 a>0

●参考答案 1.【思考】 利用题设的隐含条件.由条件知 x≠0,y>0 且 y>x.选项 B 中无 x<0 的图像,选项 D 中无 x>0 的图像,均应否定;当 x=y∈R+时,lg

y?x 无意义,否定 A,选 C. 2

【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用,滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是: 当 x≠0 且 y>x 时,由 lgy+lg

y?x =2lg|x|,化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x 或 y=2x(x≠0,y>0). 2

2.【思考】 分析各选项,仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别,所以拟从这两方面滚动着 手排除错误的选项. 原函数定义域为-1≤x<0,∴其反函数值域为-1≤y<0,排除 B、D.
8

∵原函数中 f(-1)=1,∴反函数中 f-1(1)=-1,即 x=1 时 f-1(x)有定义,排除 C,∴选 A. 3.解析一 分析四个选择支之间的逻辑关系知,若 C 真,则 B 也真;若 D 真,则 B 也真,故 C、D 皆假.

取符合条件 4a-4b+c>0,a+2b+c<0 的实数 a=0,b=-1,c=0 检验知选 B. 解析二 由选择支,联想到二次函数的判别式. 令 f(x)=ax2+2bx+c,则 f(-2)=4a-4b+c>0, f(1)=a+2b+c<0,故 Δ=4b2-4ac>0,即 b2>ac,故选 B. 【点评】 4b<4a+c, 2b<-a-c, 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发: ① ②

①×②不等号的方向无法确定,思维受阻. 用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用,简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路 难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.

第3计

诸葛开门

扇到成功

●计名释义 诸葛亮既不会舞刀,也不会射箭,他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子,借东风也是用扇 子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了,以为东风就是东边来的风,其实,这里真正所指是“东吴”的风. 在 赤壁大战中,刘备哪是曹操的对手,后来能把曹兵打败,借的就是东吴的力量. 数学解题的高手们,都会“借力打力”,这就是数学“化归转换思想”的典型应用. ●典例示范 [题 1]

1 已知 f (x)= x 2 ? 2

试求 f (-5 )+ f (-4 )+?+ f (0 )+?+ f (6 )的值.

[分析] 若分别求 f (x)在 x= -5,-4,?,0,?,6 时的 12 个值然后相加. 这不是不行,只是工作量 太大,有没有简单的办法?我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是,我们关心 f (x)+f (1-x) 的结果.

[解析] 因为 f (x)+ f (1-x) =

1 2x ? 2

?

1 21?x ? 2

9

1
= x 2 ? 2

?

2x 2? 2 ?2
? 2 2
x

?

1 2 ? 2
x

?

1 2 (2 ? 2 )
x

=

2 ? 2x 2 (2 ? 2 )
x

所以 f (-5 )+ f (-4 )+?+ f (0 )+?+ f (6 ) = =
1 [(f (-5 )+ f (6 ))+(f (-4)+ f (5 ))+?+(f (6 )+ f (-5 ))] 2

1 1 2 ?12 ? 3 2 [f (1-x )+ f (x )]?6 = ? 2 2 2

[点评] 这里,“借来”的不是等差数列本身的性质,而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相 加法.

●对应训练 1.已知 sin2α +sin2β +sin2γ =1(α 、 、 均为锐角), β γ 那么 cosα cosβ cosγ 的最大值等于 2.求已知离心率 e= .

2 5

,过点(1,0)且与直线 l:2x-y+3=0 相切于点 P(- , ),长轴平行于 y 轴的椭圆方程.

2 5 3 3

3.若椭圆

x2 ? y 2 ? a 2 (a>0)与连结 A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求 a 的取值范围. 2

●参考答案 1.

2 6 9

命 sin2α =sin2β =sin2γ =

1 2 ,则 cos2α =cos2β =cos2γ = .α 、β 、γ 为锐角时,cosα =cos 3 3

β =cosγ =

2 . 3 8 2 ? 6. 27 9

∴? cosα cosβ cosγ =

(注:根据解题常识,最大值应在 cosα =cosβ =cosγ 时取得). 2.解析 按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点 P 的切线方程,联立消参可求得椭圆方程. 若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程. 已知 e=

2 5

,则 a2=5b2.设长轴平行于 y 轴且离心率 e=

2 5

的椭圆系为

10

(x+ ) 2 ?

2 3

1 5 2 5 ( y ? ) 2 ? k ,把点 P(- , ) 看做当 k→0 时的极限情形(点椭圆),则与直线 l:2x-y+3=0 相切 3 3 5 3
1 5 ( y ? ) 2 ? ?(2 x ? y ? 3) ? 0 5 3
2 . 3

于该点的椭圆系即为过直线 l 与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程: (x+ ) 2 ?

2 3

又所求的椭圆过(1,0)点,代入求得λ =-

y2 因此所求椭圆方程为 x + =1. 5
2

点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程. 3.解析 若按常规,需分两种情况考虑:

①A,B 两点都在椭圆外; ②A,B 两点都在椭圆内. 若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁. 设 a 的允许值的集合为全集 I={a|a∈R,a>0},先求椭圆和线段 AB 有公共点时的取值范围. 易得线段 AB 的方程为 y=x+1,x∈[1,3],

?x 2 2 3 ? ?y ?a 得a 2 ? x 2 ? 2 x ? 1 ,x∈[1,3], 由方程组 ? 2 2 ?y ? x ?1 ?
a2 的值在[1,3]内递增,且 x=1 和 x=3 时分别得 a2=

9 41 9 41 或 a2= ,故 ?a2? . 2 2 2 2

∵a>0,∴

3 2 82 ?a? . 2 2 3 2 82 或 a> . 2 2

故当椭圆与线段 AB 无公共点时,a 的取值范围为 0<a<

第4计

关羽开门

刀举成功

●计名释义 关羽不同于诸葛. 诸葛是智星,靠着扇子;关羽是武士,用的大刀. “过关斩将”用这大刀,“水淹七 军”用这大刀.

11

数学上的“分析”、“分解”、“分割”等,讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思?切者, 七刀也,分者,八刀也!再难的数学题,经过这七刀、八刀,最后不就粉碎了吗!

●典例示范 [例 1] (2006 年四川卷第 19 题) 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、P 分别是 BC、 A1D1 的中点, N 分别是 AE、 1 的中点, M、 CD AD=AA1=a, AB=2a. (Ⅰ)求证:MN∥面 ADD1A1; (Ⅱ)求二面角 P—AE—D 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 P—DEN 的体积.

[分析] 这是个长方体,而“长”正好是“宽”和“高”的 2 倍,这正是“关羽开门”的对象:用刀 从中一劈,则分成 2 个相等的正方体. 对于正方体,我们该多么熟悉啊!有关线段的长度,各线段间的位置 关系,我们都了如指掌.

[解Ⅰ] 取 D1C1 的中点 Q ,过 Q 和 MN 作平面 QRST. 显然,M、N 都在这平面里. 易知 QN 和 SM 都平行于平面 BCC1B1 ? MN∥BCC1B1 ? MN∥面 ADD1A1(证毕).

[插语] 其所以这么简单,是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来,感谢关羽的大刀之功. 以后的 (Ⅱ)和(Ⅲ),都可转化到正方体里进行(从略).

【例 2】 (04· 重庆卷题 21)设 p>0 是一常数,过点 Q(2p,0)的直线与抛物线 y2=2px 交于相异两点 A、 B,以线段 AB 为直径作圆 H(H 为圆心). (Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆 H 的圆周上; (Ⅱ)并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程. 【分析】 (Ⅰ)AB 是圆 H 的直径,欲证抛物线的顶点在圆上,有如下各种对策: (1)证|OH|= (2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2 (3)证∠AOB=90° OA⊥OB,等. ,即 显然,利用向量知识证 OA ? OB =0,当为明智之举. 【解答】 (Ⅰ) AB⊥x 轴时, 当 直线 AB 的方程为 x=2p,代入 y2=2px;y2=4p2,y=± 2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.
12

1 |AB|. 2

显然,满足|OQ|=

1 |AB|,此时 Q、H 重合,∴点 Q 在⊙H 上. 2

如直线 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB:y=tanα(x-2p), x=

y2 y2 ,代入:y=tanα· -2ptanα.即 tanα·y2-2py-4p2tanα=0. 2p 2p

此方程有不同二实根 y1y2, ∴y1+y2=

2p ,y1y2=-4p2. tan ?
2 2 y1 y 2 16 p 4 ? +y1y2= -4p2=0. 2 2p 2p 4p

∵ OA ? OB =x1x2+y1y2=

∴ OA ? OB ,故点 O 仍在以 AB 为直径的圆上. 【分析】 (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值,为此不可避免的要给出直径 AB 之长的函数表 达式,直观上我们已可推测到当 AB⊥x 轴时,弦 AB 之长最短(这就是论证方向),为此又有多种途径: (1)用直线的点斜式与抛物线方程联立,得关于 x(或 y)的一元二次方程,利用韦达定理写出|AB|2 的函 数式,再用二次函数或均值不等式的知识求其最值. (2)用直线的参数方程与抛物线方程联立, 得关于参数 t 的一元二次方程, 利用韦达定理写出|AB|2= 1-t2) (t
2

的函数表达式,再依正、余弦函数的有界性求其最值. 这两种方法各有优长,但都须牵涉到两个变量 x,y,以下我们推荐,利用投影公式得出的|AB|函数式,只

牵涉一个变量.
2 【解答】(Ⅱ)直线 AB 的倾角为 α,当 α=90°时,⊙H 的半径为 2p,S⊙H? =4πp .

当 α≠90°时,不妨设 α∈[0,

? ),则 2

| AB |?

2 2 | x1 ? x 2 | | y1 ? y 2 | | ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) | ? ? cos ? 2 p cos ? 2 p cos ? 1 2p ? ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 p cos ? tan ?

1 4 p2 2p ? 16 p 2 ? 2 sin ? tan ? sin ? ? 2p?2 ? 4p ?

1 tan 2 ?

?4

综上,? |AB| in=4p,当且仅当 α=90°时,?(S⊙H)min=4πp2,相应的直线 AB 的方程为:x=2p. m 别解:由(1)知恒有∠AOB=90? °? . ∴| AB |2=| OA | ? | OB |
2
2 2 2

2

= x1 ? y1 ? x 2 ? y 2

2

13

≥2x1x2+2p(x1+x2) ≥2x1x2+4p x1 x 2 .
2 2 y1 y 2 ? ? 4 p2 ∵y1y2=-4p ,∴x1x2= 2p 2p
2

于是| AB |2≥16p2,| AB |min=4p.当且仅当 x1=x2=2p 时,S⊙H=4πp2. 【点评】 斧子开门,只要你说要进去,直接在墙上打洞最直接了.

●对应训练 1.已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且 a1,a2,…,an 构成一个数列{an},满足 f(1)=n2. (1)求数列{an}的通项公式,并求 lim

an 之值. n ?? a n ?1

(2)证明 0<f ? ? <1.

?1? ? 3?

2.矩形 ABCD 中,AB=6,BC=2 3 ,沿对角线 BD 将△ABD 向上折起,使点 A 移到点 P,并使点 P 在平面 BCD 上的射影 O 在 DC 上(如图所示). (1)求证:PD⊥PC; (2)求二面角 P—DB—C 的大小.

●参考答案

1.分析: (1){an}的各项是 f(x)展开式中各项的系数,故其各项和 Sn=f(1). (2)可以预见:f ? ? 展开式的各项是系数成等差,字母成等比的综合数列,这 种数列的求和方法是―错项相减‖. (3)f ? ? 的解析式必含变量 n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性. 解答: (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2, 即 Sn=n2, ∴an=Sn-Sn-1=2n-1,

?1? ? 3?

?1? ? 3?

14

? lim

an n ?? a n ?1

1 2n ? 1 n ? 1; = lim ? lim n ?? 2n ? 1 n ?? 1 2? n 2?

(2)由(1)知 an=2n-1.

1 1 2 ?1? ?1? ?1? ∴f ? ? =1× ? 3 ? ( ) ? 5 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 3 ?3? ?3? ? 3? 1 3
2 3 n

3

n


n ?1

?1? ?1? ?1? ?1? ?1? f ? ? ? 1 ? ? ? ? 3? ? ? ? ? (2n ? 3) ? ? ? ? (2n ? 1)? ? ?3? ?3? ?3? ? 3? ? 3?
2 3 n



2 ?1? 1 ?1? ?1? ?1? ?1? ①-②: f ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 3 ? 3? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ?1? ?1? 1 ?1? ?1? f ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?3? ? 3? 2 ? 3? ? 3?
2 n ?1

n ?1

2n ? 1 ? 1 ? ? ?? ? 2 ? 3?

n

? ? 1 ? n?1 ? ?1 ? ? ? ? n 1 1 ? ? 3 ? ? 2n ? 1 ? 1 ? = ? ? ?? ? 1 ? 2 3? 2 ? 3? ? 1? ? 3 ? ? ? ?
n ?1 n 1 1 ? ? 1 ? ? 2n ? 1 ? 1 ? = ? ?1 ? ? ? ? ? ?? ? 2 2 ? ? 3? ? 2 ? 3? ? ?

1 ?1? =1- ? ? ? 2 ?3?
设 g(x)=

n ?1

n ?1 ? 2n ? 1 ? ?1 ? 3 ? ? 1 ? 3 n ? ?

x ?1 3
x

,∵g′(x)=3-x+(x+1)· -xln3· 3 (-1)=

1 ? ln 3( x ? 1) 3x

? 0.

∴g(x)是 R+上的减函数,从而 g(n)是 N+上的减函数,[g(n)]max=g(1)= 又当 n→∞时,g(n)→0,∴

2 , 3

n ?1 3
n

∈ ? 0, ? ,从而 f ? ? ∈ ? ,1? . 3 3 3

? ?

2? ?

?1? ? ?

?1 ? ? ?

2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转),只是位置改变,而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等 关系,在位置改变前后都没有改变,紧扣这一点,就能悟出解题门道. (1)为证 PD⊥PC,须先证 PD⊥平面 PBC,已有 PD⊥PB(翻折前为 AD⊥AB),还须 PD⊥BC. (2)求二面角的要点是找出二面角的平面角, 已有 PO⊥平面 BCD 于 O,且? O ∈CD? , 须作 OM⊥BD? 只 即可.? 解答: (1)由条件知 PO⊥平面 BCD 于 O,且? O ∈CD,? BC ⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但 PD⊥PB,∴

15

PD⊥面 PBC,从而 PD⊥PC. (2)作 OM⊥BD 于 M,连接 PM,则 BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO 是二面角 P—BD—C 的平面角, ∵PB=6, PD=2 3 ,∴BD=4 3 ,PM=
2

PD ? PB =3, BD
2

已证 PD⊥PC,∴PC= CD ? PD ?

36 ? 12 ? 2 6 ,

PO=

PD ? PC 2 3 ? 2 6 ? ?2 2. CD 6 2 2 2 2 ,∠PMO=arcsin , 3 3 2 2 . 3

? sin ∠PMO=

即所求二面角 P—DB—C 的大小为? arcsin

第5计

才子开门

风情万种

●计名释义 所谓才子,就是才思繁捷的弟子. 数学才子,也像画学才子一样,胡洒乱泼,墨皆成画. 这里,人们看 到的―胡乱‖只是外表. 在里手看来,科学的规律,艺术的工夫,全藏肘后. 别人肩上的重负,移到他的掌上, 都成了玩意儿.

●典例示范 [引例] 试比较以下三数的大小:
ln 2 ln 3 ln 5 , , 3 5 2

[解一] 建构函数法 设 f (x) =
ln x e 1 ? f'(x)= 2 ln ?0 ? f (x)为减函数 ? x x x ln 2 ln 3 ln 5 > > 3 5 2

[旁白] 才子一看,发现是个错解,于是有以下的评语.

[评语] 学了导数可糟糕,杀鸡到处用牛刀,单调区间不清楚,乱用函数比大小.
16

[解二] 作差比较法
ln 2 ln 3 3 ln 2 ? 2 ln 3 ln 8 ? ln 9 1 8 ? ? ln <0 = 3 2?3 6 6 9 2 ln 2 ln 5 5 ln 2 ? 2 ln 5 ln 32 ? ln 25 1 32 ? ? ln = >0 5 2?5 10 10 25 2

?

ln 3 ln 2 ln 5 ? ? 3 2 5

[旁白] 才子一看,答案虽是对的,但解题人有点过于得意,因此得到以下评语.

[评语]解题成本你不管,别人求近你走远,作差通分太费力,面对结果向回转.

[旁白] 大家听才子这么说,纷纷要求才子本人拿出自己的解法来,于是有了以下的奇解. [奇解]
ln 2 3 ln 8 × = <1 ln 3 ln 9 2 ln 2 5 ln 32 × = >1 ln 5 ln 25 2

?

ln 3 ln 2 ln 5 > > 3 5 2

[旁白] 大家一看,十分惊喜,但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.

[自评] 标新本来在立意,别人作商我作积,结果可由心算出,不用花费纸和笔. [旁白] 这时,上面那位提供解法一的人有点不服气:难道“求导法”就不能解出此题吗? 才子回答:当然能!不过需要“统一单调区间”,请看下解 [正解] f (x) =
?
ln x e 1 ? f'(x)= 2 ln <0 (x?3) x x x ln 3 ln 4 ln 5 > > 3 4 5

?

ln 3 ln 2 ln 5 > > 3 5 2

[旁白] 大家一看,齐声说妙,要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.

[评语] 因为数 3 比 e 大,单调区间从 3 划,数 4 也在本区间,故把数 2 搬个家.

【例 1】 已知向量 a=( 3 ,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a?b= 3 ,则 b= ( )

? A.(

3 1 , ) 2 2

B.(

1 3 , ) 2 2

C.( ,

1 3 3 ) 4 4

D.(1,0)

【特解】

由|b|=1,排除 C;又 b 与 x 轴不平行,排除 D;易知 b 与 a 不平行,排除 A.答案只能为
17

B. 【评说】 本解看似简单,但想时不易,要看出向量 b 与 A(

3 1 , )是平行向量,一般考生不能做到. 2 2

【别解】

因为 b 是不平行于 x 轴的单位向量,可排除 C、D 两项. 又 a?b= 3 ,将 A 代入不满足题

意,所以答案只能为 B. 【评说】 沙始是金啊! 【另解】 设 b=(cosα ,sinα ),则 a?b=( 3 ,1)?(cosα ,sinα )= 本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到 A、B 选项时还需动手计算,真是淘尽黄

3 cosα +sinα = 3 sin(60°+

α )=

3 在区间(0,π )上解α 得:α =60°. 2
故 b=( , 【评说】

1 2

3 ). 2
本题涉及解三角方程,并确定解答区间,这不是一个小题的份量.

【错解】 选 A 者,误在(

3 1 1 , ) ? a, 2 2 2

选 C 者,误在|(

1 3 3 , )?a|=1. 4 4

选 D 者,没有考虑到(1,0)与 x 轴平行. 【评说】 本题三个假支的设计,其质量很高,各有各的错因,相信各有各的“选择人”.

●对应训练 1.若奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,又 f(-3)=0,则{x|x?f(x)<0}等于 ? A.{x|x>3 或-3<x<0} ? C.{x|x>3 或 x<-3} B.{x|0<x<3 或 x<-3} ? D.{x|0<x<3 或-3<x<0} ( )

2.某工程队有 6 项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工 程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这 6 项工程的不同排法种数 是 .(用数字作答)

●参考答案 1.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手,结合其草图即可写出所求答案.
18

解析一

由 f(x)为奇函数且 f(-3)=0,得 f(3)=0.又 f(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的

y=f(x)草图(如图(1)),在图中找出 f(x)与 x 异号的部分,可以看出 x?f(x)<0 的解集为{x|0<x<3 或-3<x<0},选 D.

(1) 解析二

(2) 由 f(-3)=0 得 f(3)=0,又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出 y=f(x)(x>0)的草图(如图 (2) ),∵x、 f(x)

均为 R 上的奇函数,∴x? f(x)为偶函数,∴不等式 x? f(x)<0 的解集关于原点对称,故先解 ? 0<x<3,由对称性得 x?f(x)<0 的解集为{x|0<x<3 或-3<x<0},故选 D. 解析三

?x ? 0 借助图象得 ? f ( x) ? 0

借助图(1)或图(2),取特殊值 x=2,知适合不等式 x?f(x)<0,排除 A、C;又奇?奇=偶,∴x?f(x)

为偶函数,解集关于原点对称,又可排除 B,故选 D. 【点评】 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与 关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法 是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二. 奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)?奇(偶)=偶. 数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图 即可. 2.【分析】 排列组合解应用题.6 个元素作有限制的排列,其中 4 个元素有先后顺序.并且 C,D 捆绑之 后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑. 【通解】 考查有条件限制的排列问题,其中要求部分元素间的相对顺序确定:据题意由于丁必须在丙 完成后立即进行, 故可把两个视为一个大元素, 先不管其它的限制条件, 使其与其他四人进行排列共有 A 5 种 排法,在所有的这些排法中,甲、乙、丙相对顺序共有 A 3 种,故满足条件的排法种数共有 【正解】 5 个元素设作 A,B,(C,D),x,y.将排列种数分两类: 第一类,x,y 相连,在 A,B,(C,D)之间或两头插位,有 2C 4 =8 种方法. 第二类,x,y 不连,在 A,B,(C,D)之间或两头插位,有 2C 4 =12 种方法.
19
2 1

5

3

5 A5 3 A3

=20.

【评说】 先分类:“相连”与“不连”为完全划分;后分步:第 1 步组合,第 2 步排列,也是完全划 分. 【另解】 5 个元素设作 A,B,(C,D),x,y.五个时位设作 a,b,(c,d),e,f. 第 1 步考虑元素 x 到位,有 5 种可能; 第 2 步考虑元素 y 到位,有 4 种可能; 第 3 步,A,B,(C,D)按顺序到位,只 1 种可能. 由乘法原理,方法总数为 5?4=20 种. 【评说】 “另解”比“正解”简便,但思维要求高.在元素 x 和 y 已到位之后,在留下的 3 个位置上, A,B,(C,D)按序到位情况只 1 种.——这点,一般学生不易想通. 【别解】 设所求的排法总数为 x 种,在每 1 个排好的队列中,取消 A,B,(C,D)3 元素的限序, 则有 xP3=P5 ? x=

P5 =5?4=20. P3

【评说】 别解也是“想得好,算得省”,用的是乘法原理 P5=5P4=20P3.

第6计
●计名释义

勇士开门

手脚咚咚

一个妇女立在衙门前的大鼓旁边,在哭. 一勇士过来问其故.妇女说:“我敲鼓半天了,衙门还不开.” 勇士说:“你太斯文,这么秀气的鼓捶,能敲出多大声音?你看我的!”说完,勇士扑向大鼓,拳打脚 踢. 一会儿,果然衙门大开,衙役们高呼:“有人击鼓,请老爷升堂!” 考场解题,何尝不是如此:面对考题,特别是难题,斯文不得,秀气不得,三教九流,不拘一格. 唯分 是图,雅的,俗的,一并上阵.

●典例示范 【例 1】 已知 x,y∈ ?? 值为 A.0 B.1 C.2 D.3

? ? ?? , ? ? , a∈R,且 x 3 ? sin x ? 2a ? 0, ? ? y 3 ? sin y cos y ? a ? 0 则 cos (x+2y)的 ,4 4? ? 4
( )

【思考】 代数方程中渗入了三角函数,不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形似 之处,能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢?

20

? x 3 ? sin x ? 2a ? 0 ? 解:由条件得: ? ?(?2 y ) 3 ? sin(?2 y ) ? 2a ? 0 ?
∴x,-2y 是方程 t3+sint-2a=0 之二根 ? t ? ?? ?

? ?

? ? ? ?? ,? ?? . 2 ?? ? 2 ?

【插语】 这是勇士之举,采用手脚并用,谁会想到用方程根来解决它呢? 设 f (t)=t3+sint-2a. 当 t ∈ ??

? ? ?? , ? 时 , y1 ? t 3 , y 2 ? s int 均 为 增 函 数 , 而 -2a 为 常 数 . ∴ 2 2? ? ?

? ? ?? f (t )是 ?? , ? ? 上的单调增函数. ? 2 2?
∵f (x)= f (-2y)=0. ∴只能 x=-2y,即 x+2y=0.于是 cos (x+2y)=1. 选 B.

【点评】 想到方程根使所给 2 个式子合二为一,是本题一个难点之一;判断函数是单调函数又是一个难点. 【例 2】 已知向量 a= (cosθ ,sinθ ),向量 b=( 3 ,-1) , 则 |2a - b| 的最大值、最小值分别是( A.4 2 ,0 B.4,2 2 C.16,0 D.4,0 )

2 2 【解答】 如图,点 A(cosθ ,sinθ )在圆 x ? y ? 1 上运动时,延 OA 到 C,使 | OC | = 2 | OA | =2a, 求

| OC ? OB | 的最值,
显然 | OC |?| OB |? 2 .当 OC 1 与 OB 反向时有最大值 4, OC 2 与 OB 同向时有 最小值 0. ∴选 D.

【点评】 本例选自 04?湖南卷 6(文), 解题思想很简单,谁不知道“三角形两边 之和大于第三边,两边之差小于第三边”呢, 为求极值,我们的勇士勇敢地到极地——当 △BOC 不复存在时,才有可能取得. 例 2 题解图

【例 3】 设 f (x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, x<0 时, 当 f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0, g(-3)=0, 且 则不等式 f (x)g(x)<0 的解集是 A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) ( B.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(0,3)
21

)

【解答】 设 F(x)= f (x)g(x), 当 x<0 时,∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在 R 上为增函数. ∵F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)?g (x).=-F(x). 故 F(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数. ∴F(x)在 R ? 上亦为增函数. 已知 g(-3)=0,必有 F(-3)=F(3)=0. 构造如图的 F(x)的图象,可知 F(x)<0 的解集为 x∈(-∞,-3)∪(0,3). 【点评】 本例选自 04?湖南卷 12 题, 是小题中的压轴题,显然,不懂得 导数基本知识对待本例是无能为力的,高中 代数在导数中得到升华,导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形,使问题更有说服力. 例 3 题解图

●对应训练 1.下列命题正确的是 A.若{an}和{bn}的极限都不存在,则{an+bn}的极值一定不存在 B.若{an}和{bn}的极限都存在,则{an+bn}的极限一定存在 C.若{an+bn}的极限不存在,则{an}和{bn}的极限都一定不存在 D.若{an+bn}的极限存在,则{an}和{bn}的极限要么都存在,要么都不存在 2.过定点 M (-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x2+4x+y2-5=0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是 ( ) B.- 5 <k<0 C.0<k< 13 D.0<k<5 ( )

A.0<k< 5

3.若(1-2x )9 展开式的第 3 项为 288,则 lim ?
n ??

1 ? ?1 1 ? 2 ? ? ? n ? 的值是 x ? ?x x
D.

(

)

A.2

B.1

C.

1 2

2 5

●参考答案 1.D (正反推证)若{an+bn}:1,1,1,1,?的极限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1?,{bn}:1,0,1,0,1,0?,极限都不存在, 但若{an}:1,1,1,1?,{bn}:0,0,0,0?,极限又都存在,故 D 正确,同理可排除? A、B、C.? 2.A (数形并用)如图,以 C (-2,0)为圆心,
22

r=3 为半径的⊙C 交 x、y 正半轴于 A(1,0), B (0, 5 ), 而 M (-1, 0)在⊙C 内部, 当 N∈ AB 时,显然,kMN>kMA=0; kMN<kMB= 5 .故知, k∈(0, 5 ), 选 A. 第 2 题解图 3.A T3=C 9 (-2x)2=36 (2x)2=288,
2

?

1 2 = ∈(0,1). x 3 2 1 2 ∴数列{ n }是首项与公比均为 的无穷递缩等比数列.原式= 3 =2. 2 3 x 1? 3
∴2 2x ?=8, x=

3 , 2

选 A.

第 7 计 模特开门 见一知众
●计名释义 一时装模特,在表演时,自己笑了,台下一片喝彩声. 她自感成功,下去向老板索奖. 谁知老板不仅没 奖,反而把她炒了. 冤枉不?不冤枉!模特二字,特是幌子,模是目的. 模特表演是不能笑的. 试想,模特一笑,只能显示模特本人的特色,谁还去看她身上的服装呢?所以,模特 一笑,特在模掉! 数学的特殊性(特值)解题,既要注意模特的特殊性,更要注意模特的模式性(代表性),这样,才能 做到“一点动众”. 特值一旦确定,要研究的是特值的共性. 选择题中的“特值否定”,填空题中的“特值肯定”,解答题中的“特值检验”,都是“一点动众”的 例子.

●典例示范 【例 1】 如果 0<a<1,那么下列不等式中正确的是 B.? log(1-a)?(1+a)>0 ? C.?(1-a)3>(1+a)2 【思考】 令 a= D ?.(1-a)1+a ?>1 ( ) ?.(1-a) >(1-a) A
1 3 1 2

本题关键点在 a,我们一个特殊数值,作为本题的模特. ( )

1 ,各选项依次化为: 2

23

? 1 ?3 ? 1 ?2 A. ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?
?1? ?3? C. ? ? ? ? ? ?2? ?2?
3 2

1

1

B.

log 1
2

3 ?0 2
3

? 1 ?2 D. ? ? ? 1 ?2?

显然,有且仅有? A ?是正确的,选? A ?. 【点评】 本题是一个选择题,因此可以选一个模特数代表一类数,一点动众. 你还需要讲“道理”吗? y ? log 1 x 为减函数,log 1
2 2

3 1 ? log 1 1 ? 0,? B ?不对; y ? ( ) x 也是减函数, 2 2 2

? 1 ?2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1,? D ?不对;直接计算,C 也不对;只有 A 是对的. ?2? ?2?

3

0

【例 2】 已知定义在实数集 R 上的函数 y=f (x)恒不为零,同时满足:f (x+y)=f (x)?f (y),且当 x>0 时,f (x)>1, 那么当 x<0 时,一定有 A.f (x)<-1 【思考 1】 B.-1<f (x)<0 ( C.f (x)>1 ) D.0<f (x)<1

本题是一个抽象函数,破题之处在于取特殊函数,一点动众.

设 f (x)=2x, 显然满足 f (x+y)=f (x)?f (y) (即 2x+y =2x?2y), 且满足 x>0 时,f (x)>1,根据指数函数的性质, 当 x<0 时,0<2x<1.即 0< f (x)<1. 选 D ?.

【点评】 题干中的函数抽象,先选定特殊的指数函数使之具体,而指数函数无穷无尽地多,索性再特殊到 底,选定最简单且又符合题意的函数 y=2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案.在考 场上分分秒秒值千金,你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗? 【思考 2】 取特值. 令 x=0, y=0, 有 f (0) = [f (0)2 ( f (x)≠0), 则 f (0)=1,

f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x)?, 即 f ( x) ?

1 , 当 x<0 时,-x>0. f (? x)

由条件:f (-x)>1, 故 x<0 时, 0< f (x)<1.

【例 3】

若 A, B, C 是△ABC 的三个内角,且 A<B<C (C≠ B.cosA<cosC C.tanA<tanC

? ), 2

则下列结论中正确的是( D.cotA<cotC



? A.sinA<sinC 【思考】

本题的模特是取特殊角. 令 A=30°, B= 45°,C=105°, 则 cosC<0,? tanC<0,? cotC<0.

? B、C、D ?都不能成立.故?选? A ?.? 【点评】 此题用常法论证也不难,但是谁能断言:本解比之常法不具有更大的优越性呢?

24

●对应训练 1.设 f (x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5, 则 f (x)的反函数的解析式是 A. f C. f
?1





( x) ? 1 ? 5 x ( x) ? ?1 ? 5 x ? 2

B. D.

f f

?1

( x) ? 1 ? 5 x ? 2 ( x) ? 1 ? 5 x ? 2
( )

?1

?1

2.下列命题中,命题 M 是命题 N 的充要条件的一组是 A. M : a ? b.? N B. M : a ? b, ? c

: ac 2 ? bc 2 . ? d .? N : a ? d ? b ? c.

C. M : a ? b ? 0, ? ? d ? 0.? : ac ? bd. c N D. M :| a ? b |?| a | ? | b | .? N

: ab ? 0.


3.已知两函数 y= f (x)与 y=g(x)的图像如图(1)所示,则 y= f (x)?g(x)的大致图像为(

第 3 题图(1)

第 3 题图(2)

●参考答案 1.? B 取特殊的对称点. ∵f (0)=1, ∴(0,1)在 f (x)的图像上,(1,0)在 f ∴选? B ?.
?1

(x)的图像上,将(1,0)

代入各选项,仅? B ?适合, 点评

题干和选项都那么复杂,解法却如此简明.你能发现(0,1).就能找出(1,0),解题就需要这种悟

性,说到底,还是能力. 2.? D 3.? B 取特殊值. 令 c=0, 否定 A;B、C 都不能倒推,条件不必要. 取特殊的区间. 由图像知 f (x)为偶函数(图(1)中图像关于 y 轴对称),g(x)为奇函数(图(2)

中图像关于原点对称). ∴y= f (x)?g(x)为奇函数,其图像应关于原点对称,排除 A、C,取 x∈(-2,-1), 由 图(1)知 f (x)>0,由图(2)知 g(x)<0,故当 x∈(-2, -1)时,应有 y= f (x)?g(x)<0. 选? B ?.

25

点评

无须弄清图(1)、图(2)到底表示什么函数,不必要也不可能仅凭已有的图像信息去“精确描绘”

y=f (x)?g(x)的图像.只须鉴别四类图像哪一个符合题意,选定特殊区间(-2,-1)一次检验即解决问题.

第 8 计 小姐开门 何等轻松
●计名释义 有一大汉,想进某屋. 门上并未加锁,但他久推不开,弄得满头大汗. 后面传来一位小姐轻轻的声音:“先生别推,请向后拉!” 大汉真的向后一拉,果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问:“这门上并没有写拉字,你怎么知道是拉门 的呢?” 小姐答:“因为我看到你推了半天,门还不动,那就只有拉了!” 数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难,那就回头是岸,向反方向走去.

●典例示范 【例 1】 【分析】 求证:抛物线没有渐近线. 二次曲线中仅有双曲线有渐近线,什么是渐近线?人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有

公共点的直线. 抛物线是否有这样的直线?我们无法直接给予证明.怎么办?“正难反收”,假定抛物线有渐近线,是否会导 出不合理的结果? 【证明】 不妨设抛物线方程为 y2=2px. 假定此抛物线有渐近线 y=kx+b, ∵x= ①

y2 , 代入直线方程,化 2p

简得:ky2-2py+2pb=0.

可以认为:曲线与其渐近线相切于无穷远处,即如方程①有实根 y0, 那么,y0→∞,或 方程①化为:2pby′2-2py′+k=0. 方程②应有唯一的零根, y′=0 代入②得:k=0. ②

1 1 ? 0, ?令 ? y ? , y0 y

于是抛物线的渐近线应为 y=b. 这是不可能的, 因为任意一条与 x 轴平行的直线 y=b, 都和抛物线有唯一公共

b2 , ? ), 因而 y=b 不是抛物线的渐近线,这就证明了:抛物线不可能有渐近线. b 点( 2p

【例 2】

设 A、B、C 是平面上的任意三个整点(即坐标都是整数的点),求证:△ABC 不是正三角形.
26

【分析】

平面上的整数点无穷无尽的多,可以组成无穷无尽个各不相同的三角形,要想逐一证明这些三

角形都不是正三角形是不可能的,怎么办?正难反做! 【解答】 kAB= 假定△ABC 为正三角形,且 A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均为整点,不妨设 x2≠x1, ∵ ∴直线 AB 的方程为: y ? y1 ?

y 2 ? y1 , x 2 ? x1

y 2 ? y1 ( x ? x1 ). x 2 ? x1

即 x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0. 点 C (x3, y3)到 AB 的距离.

d?

x3 ( y 2 ? y1 ) ? y 3 ( x 2 ? x1 ) ? x 2 y1 ? x1 y 2 ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

.

2 2 但是|AB|= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )

∴S△ABC =

1 | AB | ?d = (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1). 2

即 S△ABC 为有理数.另一方面, S△ABC =

3 3 | AB | 2 ? [( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ]. 4 4
∴S△ABC 为无理数.

① ②

∵|AB|≠0,

①与②矛盾,故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.

【例 3】 【分析】

设 f (x)=x2+a1x+a2 为实系数二次函数,证明:| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于 . 三数中至少有一个不小于

1 2

1 1 的情况有七种,而三数中“都小于 ”的情况只有一种,可见“正 2 2

面”繁杂,“反面”简明,也应走“正难反收”的道路. 【解答】 假定同时有:| f (1)|<

1 1 1 、| f (2)|< 、?| f (3)|< , 那么: 2 2 2
① ② ③
④ ⑤

1 1 ? 1 ? 3 ? ? 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a1 ? a 2 ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? 1 7 ? 1 ? 9 ?? ? 4 ? 2a 1 ? a 2 ? ? ?? ? 2a 1 ? a 2 ? ? ? 2 2 ? 2 ? 2 1 17 ? 1 ? 19 ?? 2 ? 9 ? 3a 1 ? a 2 ? 2 ?? 2 ? 3a 1 ? a 2 ? ? 2 ? ? ?
①+③: ②?2: -11<4a1+2a2<-9 -9<4a1+2a2<-7

④与⑤矛盾,从而结论成立.

27

【小结】

“正难反收”中的“难”有两种含义,一是头绪繁多,所以难于处理.因为“繁”,所以“难”,

处理不当即陷入“剪不断,理还乱”的困境;二是试题的正面设置,使人感到无法可求,无章可循,从而找 不到破解的头绪,从而无从下手. 遇到以上这两种情况,考生即应懂得“迷途知返”,走“正难反收”的道路. 一般地说,与排列组合、概率有关的试题,往往应走“正繁则反”的道路,而一切否定式的命题,则应首选 反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价,只要推倒了命题结论的反面,正面自然顺理成章地成立.

●对应训练 1.k 为何值时,直线 y-1=k (x-1)不能垂直平分抛物线 y2=x 的某弦.

? ), 且 sin(α +β )=2sinα .求证:α <β . 2 1 1 1 3.设 a>b>c>0, 且 a、b、c 成等差数列,试证明: , ? , ? 不能组成等差数列. a b c 1 2 4.求证:抛物线 y= x ? 1上不存在关于直线 y=x 对称的两点. 2
2.已知α 、β ∈(0, ●参考答案 1.正难反收,先解决 k 为何值时,直线可以垂直平分该抛物线的某弦,再求它的补 集,设弦两端点为 A(x1, y1), B(x2, y2), 那么:

? y12 ? x1 y ? y2 1 ? 2 ? y12 ? y 2 ? x1 ? x 2 ? k AB ? 1 ? . ? 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? y 2 ? x2 ?
设直线 l:y-1=k(x-1)垂直且平分 AB, 则 kAB= ?

1 k , 设 AB 之中点为 M(x0, y0), ∴y1+y2=2y0, y0= ? , 又由 k 2

y0-1= k(x0-1),得 x0=

y0 ? 1 1 1 ? 1 ? ? , 而 M 在抛物线内部. k 2 k

∴y 0 <x0, 即

2

k2 1 1 (k ? 2)( k 2 ? 2k ? 2) ? ? , 得 ? 0, 4 2 k k

∵k2-2k+2>0, ∴-2<x<0, 即 k∈(-2, 0)时,直线 l 垂直平分抛物线 y2=x 的某弦,从而 k∈(-∞,-2]∪[0, ?+∞)时,?直线 l 不能垂直平分抛物线 y2=x 的某弦. 2.假定α ≤β ,必 (1)α =β , 此时有 sin2α =2sinα .

? ? )时,sinα ≠0, 必有 cosα =1, 这与α ∈(0, )矛盾; 2 2 ? (2)α >β ,在(0, )内 y=sinx 为增函数,必 sinα >sinβ >0, 由条件: 2
α 、β ∈(0,
28

? sinα (cosβ -2) +cosα sinβ =0. ∴

cos? sin ? ? ? 1. 2 ? cos ? sin ?

∴? cosα +cosβ >2,这是不可能的.

故α ?β 不能成立,必有α <β .

1 1 1 1 1 2 a?c 2 , ? , ? 成等差数列, 必 ? ? , 即 ? . a b c a c b ac b a?c 已知 a,b,c 成等差数列,∴b= . 2 a?c 4 故有: ∴a=c, 从而 a=b=c, 这与已知 a>b>c>0 矛盾. ? , (a ? c) 2 ? 0. ac a?c 1 1 1 ∴ , ? , ? 不能组成等差数列. a b c 1 2 4.假定抛物线 y= x ? 1上存在关于直线 y=x 对称的两点 A(a , b)与 B (b, a). 2
3.假定

∵kAB= -1, 知 a≠b.

1 ? b ? a 2 ? 1? ? ? 2 有: ? ?a ? 1 b 2 ? 1? ? 2 ?
∵a≠b, ∴a+b=-2 即

?① ?②


1 (a+b) (a-b). 2 1 2 ③代入①:-2-a= a ? 1 . 2
①-②:b-a =

a2+2a+3=0.

此方程无实根,故所设符合题设条件的点 A(a, b),B (b, a)不存在. 也就是抛物线 y=

1 2 x -1 上不存在关于直线 y=x 对称的两点. 2

第9计

瞎子开门

伸手摸缝

● 计名释义 命题人本来为解题人设计了“题门”,即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲,他不是在看,而 是用手去摸.在摸的过程中,他没有能力关心整个大门,而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝,他 便将手伸到门的后面,轻轻地把门闩拉掉,题门也就随之开了.

●典例示范 [例题](2005 年鄂卷第 22 题) 已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n] ,其中 n 为大于 2 的整数, [log 2 n] 表示不超过 log 2 n 的最大 2 3 n 2
29

整数 设数列{ a n }的各项为正,且满足 a1 ? b(b ? 0) , a n ?
王新敞
奎屯 新疆

nan ?1 ,n ? 2 , 3, 4 ,? n ? a n ?1

王新敞
奎屯

新疆

(Ⅰ)证明: a n ?

2b , n ? 3 , 4 , 5 , ?; 2 ? b[log 2 n]

(Ⅱ)猜测数列{ a n }是否有极限?如果有,写出极限的值; (Ⅲ)试确定一个正整数 N,使得当 n>N 时,对任意 b>0,都有 a n ?

1 5

王新敞
奎屯

新疆

[分析] 此题有 3 扇门,即题问(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ).用手去摸,发现(Ⅱ)是个门缝,因为(Ⅱ) 最轻便:一是“猜”,二是“写出”(不要求说道理). 于是,可以把手伸到(Ⅰ)的后面,把(Ⅱ)当作门闩抽掉. [解Ⅱ] 因为 0 < an <

2b 而后者的极限是 0,所以 an 的极限是 0. 2 ? b?log 2 n?

[插语] 解(Ⅱ)之时,承认并利用了(Ⅰ)的结果. [评说] 这么难的压轴题,竟这么容易地拿下了它的三分之一.即使最后不能攻下(Ⅰ),而(Ⅱ)的 分数却已经拿到手了. 拿下(Ⅱ)之后,可以直抓后面的(Ⅲ).既然 an→0,那么要它 an< 仍然可以把(Ⅰ)的结果当作已知. [解Ⅲ]

1 ,那就解不等式求 N 罢了.这时, 5

2b 2 ? (放大为了化简) 2 ? b[log 2 n] [log 2 n]



2 1 ? ? log 2 n ? [log 2 n] ? 10 ? n ? 210 ? 1024 , [log 2 n] 5

故取 N=1024,可使当 n>N 时,都有 a n ?

1 5

王新敞
奎屯

新疆

[插语] (Ⅱ),(Ⅲ)已破,题门大开,回师攻(Ⅰ)形势更好. [解Ⅰ] 问题简化为 已知:①

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n] 2 3 n 2
2b 2 ? b[log 2 n]

② an ?

nan ?1 n ? a n ?1

求证:③ a n ?

[插语] 先抓住求证式③,其右边的分母中有变量 [log 2 n] ,顺藤摸瓜,找到已知式①中的 [log 2 n] , 不过它却在“分子”上.至此,快摸到问题(Ⅰ)的“门闩”.
30

[续解] 式③变为

1 2 ? b?log 2 n? 1 1 ? ? ? ?log 2 n? an 2b a1 2

得式④

1 1 1 ? ? ?l o g n?. 2 a n a1 2

[插语] 式④即为题(Ⅰ)的门闩. 以下用式④与式②连接,从式②中变出

1 . an

[续解] 由式②得

1 n ? a n ?1 1 1 ? ? ? an nan ?1 a n ?1 n

得式⑤

1 1 1 ? ? a n a n ?1 n

依次令 n=2,3,4,??得

1 1 1 ? ? a 2 a1 2
两边相加得

1 1 1 ? ? a3 a 2 3

?

1 1 1 ? ? a n a n ?1 n


1 1 1 1 1 ? ? ? ??? a n a1 2 3 n

代式①

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?l o g n? 于⑤ 2 2 3 n 2



1 1 1 ? ? [log 2 n] .这就是要证的式④. a n a1 2 2b ,即问题(Ⅰ)得证. 2 ? b[log 2 n]

从而证得式③: a n ?

[插语] 变③为④,用的是分析法.变①、②为⑤,用的是综合法. 条件(①,②)不等式(③)的证明,经常利用“分析—综合法”进行两边夹攻. [评论] 本题是一道难度很高的压轴大题,“伸手摸缝”的策略,改变了命题人原来设定的解题顺序, 即从(Ⅰ)到(Ⅱ)、再到(Ⅲ)的一般顺序.从而使得易解的(Ⅱ)成为该大题的“题缝”. 对于最难的题(Ⅰ),仍然采用了中间突破的办法,成功的关键也是从中找到了题(Ⅰ)的题缝:

1 1 1 ? ? ?log 2 n?,实际上,不等式的证明中,分析法与综合法的接头处,正是问题的题缝. a n a1 2
●对应训练 对以上例题第(Ⅰ)问改为如下的问题:

31

已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n] ,其中 n 为大于 2 的整数, [log 2 n] 表示不超过 log 2 n 的最大 2 3 n 2
nan ?1 ,n ? 2 , 3, 4 ,? n ? a n ?1
王新敞
奎屯 新疆

整数 设数列{ a n }的各项为正,且满足 a1 ? b(b ? 0) , a n ?
王新敞
奎屯 新疆

(Ⅰ)设 f(n)=

b 1 1 1 ; ? ? ? ? ,用数学归纳法证明: a n ? 1 ? f (n)b 2 3 n
2b , n ? 3 , 4 , 5 , ?; 2 ? b[log 2 n]

(Ⅱ)求证: a n ?

●参考答案 [分析] 本题的(Ⅰ)、(Ⅱ)问,显然第(Ⅱ)问比第(Ⅰ)问容易.因此我们可以先解第(Ⅱ)问, 这时必需把第(Ⅰ)问的结果当作已知——题门从后面拨开.

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n] 2 3 n 2 b b 2b 得 an ? ? ? , n ? 3 , 4 , 5 ,? 1 1 ? f (n)b 2 ? b[log 2 n] 1 ? [log 2 n]b 2 1 1 1 解(Ⅰ): 设 f (n) ? ? ? ? ? ,利用数学归纳法证不等式 2 3 n
解(Ⅱ): 由已知不等式

an ?

b , n ? 3 , 4 , 5 ,? 1 ? f (n)b

王新敞
奎屯

新疆

(ⅰ)当 n=3 时,由 a3 ?

3a 2 3 3 b ? ? ? , 3 2 ? a1 3 ? a2 1 ? f (3)b ?1 3? ?1 a2 2a1

知不等式成立

王新敞
奎屯

新疆

(ⅱ)假设当 n=k(k?3)时,不等式成立,即 a k ?

b ,则 1 ? f (k )b

a k ?1 ?

(k ? 1)a k k ?1 k ?1 ? ? k ?1 1 ? f (k )b (k ? 1) ? a k ? 1 (k ? 1) ? ?1 ak b (k ? 1)b ? (k ? 1) ? (k ? 1) f (k )b ? b b 1 ? ( f (k ) ? 1 )b k ?1 ? b , 1 ? f (k ? 1)b

?

即当 n=k+1 时,不等式也成立

王新敞
奎屯

新疆

32

由(ⅰ)(ⅱ)知, a n ?

b , n ? 3 , 4 , 5 ,? 1 ? f (n)b

王新敞
奎屯

新疆

[插语] 数学归纳法证题,在 k 到 k+1 之间,存在着一个“题缝”.从 k 正推,属综合法;由 k+1 反推, 属分析法.“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲,若在“接头处”遇上困难,可用“因 为——所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢”,以便逃脱阅卷人的苛求. [说明] 这里的解答,把(Ⅱ)放在(Ⅰ)的前面,只是“草纸”上的思考顺序.真正在试卷上答题时, 仍应把第(Ⅰ)问的解答放在前面,除非对(Ⅰ)没有解出.

第 10 计
●计名释义

聋子开门

慧眼识钟

一群人到庙里上香,其中有一个聋子,还有一个小孩. 上香完毕,发现小孩不见了.半天找不到影子后,大家来“问”这聋子.聋子把手一指,发现小孩藏在大 钟底下,而且还在用手拍钟.大家奇怪,连我们都没有听见小孩拍钟的声音,聋子怎么听着了呢? 其实,大伙把事情想错了,聋子哪里听到了钟声,只是凭着他的亮眼,发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子,据说,他所以能创立他的黎曼几何,主要受益于他的超人 的直觉看图. 为了增强直觉思维,建议大家在解数学题时,不妨装装聋子,此时,难题的入口处,可能闪出耀眼的灯 光.

●典例示范 【例 1】 若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+?+a 2008 x2008(x∈R), 则 (用数字作答)

(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+?+(a0+a2008)=

【思考】 显然 a0=1, 且当 x=1 时, 0+a1+?+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+?+a2008 ?=2007+(a0+a1+? a a2008)=2007+1=2008. 【点评】 本例的易错点是:必须将 2008a0 拆成 2007a0+a0,否则若得出 2008+1=2009 就错了.

【例 2】

对于定义在 R 上的函数 f (x),有下述命题:①若 f (x)是奇函数,则 f (x-1)的图象关于点 A(1,0)

对称;②若对 x∈R, 有 f (x+1)= f (x-1), 则 f (x)的图象关于直线 x=1 对称;③若函数 f (x-1)的图象关于直线 x=1 对称,则 f (x)是偶函数;④函数 f (1+x)与 f (1-x)的图象关于直线 x=1 对称.其中正确命题的序号
33

为 【思考】

. 奇函数的图象关于原点对称,原点右移一单位得(1,0),故 f (x-1)的图象关于点 A(1,0)

对称,①正确;f (x)= f[(x+1)-1]= f (x+2),只能说明 f (x)为周期函数,②不对;f (x-1)右移一单位得 f (x) 直线 x=1 左移一单位得 y 轴,故 f (x)的图象关于 y 轴对称,即为偶函数,③正确;④显然不对,应改为关于 y 轴对称.例如设 f (x)=x, 则 f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于 y 轴对称. 【点评】 本例的陷沟是:容易将 f (1+x)与 f (1-x)误认为 f (1+x)=f (1-x),这是容易鱼目混珠的地方, 而后

者才是 R 上的函数 f (x)的图象关于直线 x=1 对称的充要条件.

【例 3】

关于函数 f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论:①f (x)的值域为 R; ②f (x)是 R 上的增函数;③对 (注:把你认为正确命题的序号都填

任意 x∈R, 都有 f (x)+f (-x)=0 成立,其中正确命题的序号是 上). 【解答】 由 y? 2 ?
x

1 ? (2x)2-y?2x-1=0. x 2
∴y∈R ①真.

关于 2x 的方程中,恒有Δ =y2+4>0. ∵y1=2x, y2= ? ∵f (-x)=2
?x

1 ?x 都是 R 上的增函数,∴y=y1+y2=2x-2 也是 R 上的增函数,②真. 2x
?x

-2x = -(2x-2

)=-f (x), ③真.

∴当 x∈R 时,恒有 f (x)+f (-x)=0(即 f (x)为 R 上的奇函数) 【点评】

高考试题中的小题,已出现了多项选择的苗头,其基本形式如本例所示,多选题中的正确答案

可能都是,也可能不都是,还有可能都不是(这种形式多反映在选择题中,其正确答案为零个).由于许多考 生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况,往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型 的陷阱所在. 正确的对策:不受选项多少的干扰,只要你能证明某项必真则选,否则即不选. 本例是“全选”(即“都是”)的题型.

●对应训练 1.设 F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi (i=1,2,3,?),使|FP1|,|FP2|,?|FP3| 7 6
.

?,?,组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围是 ●参考答案 1.椭圆中:a= 7 , b= 6 , c=1.

34

∴e =

1 7

,设 Pi 的横坐标为 xi, 则|FPi|=

1 7

(7-xi), 其中右准线 x=7.

∵|FPn|=|FP1|+(n-1)d.

∴d=

| FPn | ? | FP1 | x ? xn ? 1 . n ?1 7 (n ? 1)

2 1 . 已知 n?21, ∴|d|? , 但 d≠0. n ?1 10 1 1 ∴d∈[- ,0)∪(0, ]. 10 10
∵|x1-xn|?2 7 , ∴|d|? 点评:本题有两处陷沟,一是 d≠0, 二是可以 d<0, 解题时考生切勿疏忽.

第 11 计
●计名释义

耗子开门

就地打洞

《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北,困在木阳城,绝粮.军师献计,沿着鼠洞挖去,可能找到粮食. 结果, 真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功, 并题诗曰: 鼠郎个小本能高, 日夜磨牙得宝刀, 唯恐孤王难遇见,宫门凿出九条槽. 庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道,前 1 万个质数就是这些耗子们一个个啃出来 的,七位数字对数表也是这样啃出来的. 数学解题,当你无计可施,或者一口难吞时,那就决定“啃”吧. ●典例示范 【例 1】 【分析】 已知 f (x)= 3 1 ? 2 x ,判定其单调区间. 用求导法研究单调性当然可行,但未必简便,直接从单调定义出发,循序渐进,也可将“单调

区间”啃出来. 【解答】 【插语】 【续解】 设 x1<x2,f (x1)-f (x2)=
3

1 ? 2x -

3

1 ? 2x .

x1,x2 都在根号底下,想法把它们啃出来.有办法,将“分子有理化”.
3

1 ? 2 x1 ? 3 1 ? 2 x2 [KF(S]3[]1-2x ? 1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x ? 2[KF)]

=

(3 1 ? 2 x1 ? 3 1 ? 2 x2 )(3 (1 ? 2 x1 ) 2 ? 3 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) ? 3 (1 ? 2 x2 ) 2 )
3

(1 ? 2 x1 ) 2 ? 3 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) ? 3 (1 ? 2 x2 ) 2

2 2 易知 3 (1 ? 2 x1 ) ? 3 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) ? 3 (1 ? 2 x2 ) =△>0.

故有原式=

2( x1 ? x 2 ) <0. ?
35

故 f (x)= 【点评】

3

1 ? 2 x 的增区间为(-∞,+∞).
耗子开门是一个“以小克大,以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础,可

靠,只要有“啃”的精神,则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷. 【例 2】 女生的人数. (Ⅰ)求ξ 的分布列; (Ⅱ)求ξ 的数学期望; (04?天津卷)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛.设随机变量ξ 表示所选 3 人中

(Ⅲ)求“所选 3 人中女生人数ξ ?1”的概率. 【思考】 本题设问简单,方向明确,无须反推倒算,只要像耗子开门,牙啃立功就是了.

C3 1 C 2 C1 3 4 【解答】 (Ⅰ) 人中任选 3 人, 6 其中女生可以是 0 个, 个或 2 个, 1 P =0) 3 ? ;P(ξ =1)= 4 3 2 ? ; (ξ = 5 C6 5 C6
P (ξ =2)=

C1 ? C 2 1 4 2 ? , 故ξ 的分布列是: 3 5 C6
ξ P 0 1 2

1 5

3 5

1 5

(Ⅱ)ξ 的数学期望是: Eξ =0?

1 3 1 +1? +2? =1. 5 5 5 4 . 5

(Ⅲ)由(Ⅰ),所选 3 人中女生人数ξ ?1 的概率是:P(ξ ?1)=P (ξ =0)+P(=1)= 【例 3】 直线 y= (04?上海,20 文)如图,

1 1 x 与抛物线 y= x2 - 4 交于 A、B 两点, 2 8

线段 AB 的垂直平分线与直线 y= -5 交于点 Q. (1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于 AB 下方 (含点 A、B)的动点时, 求△OPQ 的面积的最大值. 【思考】 同例 1 一样,本题设问明确, 例 3 题图

思路并不复杂,只须按所设条件逐一完成就是,只是要严防计算失误.

【解答】

1 2 ? ? y ? 8 x ? 4, ? ? x 2 ? 4 x ? 32 ? 0. (1)由 ? 1 ?y ? x ? 2 ?
36

设 AB 中点为 M(x0,y0),则 x0 =

x1 ? x 2 1 ? 2 ,y0= x0=1. 2 2

故有 M(2,1),又 AB⊥MQ,∴MQ 的方程是:y-1=-2(x-2),令 y=-5,得 x=5,点 Q 的坐标为(5,?-5 ?). (2)由(1)知|OQ|=5 2 为定值. 设 P(x,

? 1 2 x -2)为抛物线上 AB 上一点,由(1)知 x2-4x-32?0,得 x∈[-4,8],又直线 OQ 的方程为: 8

x+y=0,点 P 到直线 OQ 的距离:

1 | x ? x2 ? 2 | | ( x ? 4) 2 ? 48 | 8 d= ,显然 d≠0,(否则△POQ 不存在),即 x≠4 3 -4,为使△POQ 面积 ? 2 8 2
最大只须 d 最大,当 x=8 时,dmax =6 2 . ∴(S△POQ)max =

1 1 ?|OQ|?dmax= ?5 2 ?6 2 =30. 2 2

【例 4】 【解答】

O 为锐角△ABC 的外心,若 S△BOC ?,S△COA ?,S△AOB 成等差数列,求 tanA?tanC 的值. 如图,有:S△BOC+S△AOB=2S△COA.

不妨设△ABC 外接圆半径为 1,令∠BOC=α =2A, ∠AOC=β =2B,∠AOB=r=2C, 则有:

1 1 sinα + sinγ =sinβ , 2 2
例 4 题解图

即 sin2A+sin2C=2sin2B. 2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. ∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C). ∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0. 3cosAcosC=sinAsinC,故 tanAtanC=3. 【点评】 本例中的“门”不少,其中“同圆半径相等”是“门”,由此将面积关系转换成有关角的关系;

以下通过圆心角与圆周角的转换,和差化积与倍角公式,诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转 换,这便是一连串的“门”,逐一啃来,从而最终达到解题目的. ●对应训练 1.在棱长为 4 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, O 是正方形 A1B1C1D1 的中心,点 P 在 棱 CC1 上,且 CC1= 4CP.?

37

(Ⅰ)求直线 AP 与平面 BCC1B1 所 成的角的大小(结果用反三角函数值表示); (Ⅱ)设 O 点在平面 D1AP 上的 射影是 H,求证:D1H⊥AP; (Ⅲ)求点 P 到平面 ABD1 的距离. 2.证明不等式: 1 ? 第 1 题图

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 n (n∈N+).

3.设 x∈ ? ?? ,

?? ?4

1? 2 3? 3 ?? ?? 2 2? ?? ,f (x)= ? sin x ? cos x ? ? ? ? 2 sin ? x ? 4 ? ,求 f (x)的最大值与最小值. 4? 2 ? 3? ? ?

4.若 x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,求函数 u= ?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? 的最小值. ? ? ? x ?? y ?? z ?

●参考答案 1.建立如图的空间直角坐标系,有: A(4,0,0),P(0,4,1),B(4,4,0),B1(4,4,4),D1(0,0,4).(Ⅰ)连 BP,∵AB⊥平面 BCC1B1. ∴AB⊥BP,∠APB 是直线 AP 与平面 BB1C1C 的夹角,∵ | BP | = 4 ? 1 ? 17 .
2

∴tan∠APB=

| AB | | BP |

?

4 17 . 17

∴AP 与平面 BB1C1C 所成角为 arctan (Ⅱ)连 D1B1,则 O∈DB1. ∵ D1 B1 =(4,4,0), AP =(-4,4,1), ∴ D1 B1 ? AP =-16+16+0=0. 即 AP ⊥ D1 B1 ,也就是 A1 D ⊥ D1O .

4 17 . 17

第 1 题解图

已知 OH⊥面 AD1P,∴AP⊥D1O(三垂线定理) (Ⅲ) DD1 上取| DQ |=1, Q(0,0,1), QR⊥AD1 于 R, 在 有 作 ∵RQ∥AB, ∴PQ∥面 ABD1, ∵AB⊥面 AA1D1D, ∴AB⊥QR,则 QR⊥面 ABD1,QR 之长是 Q 到平面 ABD1 的距离,

1 1 | AC1 |?| QR |= ]| AD |?| D1Q |. 2 2 3 即:4 2 ?| QR |= 4?3,∴| QR |= 2. 2
∵S△AD 1 Q =
38

已证 PQ∥ABD1,∴点 P 到平面 ABP1 的距离为

3 2. 2

点评:虽是“综合法”证题,但也并非“巷子里赶猪,直来直去”,特别(Ⅱ),(Ⅲ)两问,本解都用到了若 干转换手法. 2.只须证

1 1 1 1 ? ? ?? ? n, 2 2 2 2 3 2 n

右式=

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ?? 1?1 2? 2 n ? n 2 1? 2 2? 3 n ?1 ? n

1 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( n ? n ? 1) 2 1 = n? ? n. 2
= ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? n , 成立,从而 1+ ? ??? ? 2 n. 2 2 2 2 3 2 n 2 3 n
3 ?? 1 ? sin ? 2x ? ? + .? 6? 8 2 ?

3.先将 f (x)化为同一个角的单一三角函数,得 f (x)= -

当 x∈ ? ?? ,

?? ?4

?? ? ?? ?? ? ?? ?? , , ? 时,2x- 6 ? ? 3 ?? 2 ? ,故 f (x)为 ? 4 ?? 3 ? ,上的减函数,当 x= 3 时, 3? ? ? ? ? 3?4 3 ? ,?当 x= 时,?[f (x)]max =. 8 8 4

[f(x)]min =

4.注意到

2 xy 2 xy 1 1 1 ? x y ? z 2 yz 1 ?1 ? ? ? ,同理: ? 1 ? , ?1 ? , y z x x x x z z

∴u?

8 xyz =8. xyz

第 12 计
●计名释义

小刀开门

切口启封

西餐宴上,摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好, 但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的 “玻 璃盒”里,不知从哪儿打开,大家只好故作谦让,互相叫“请”. 一小孩不顾礼节,拿着餐刀往“盒”上直戳,七戳,八戳,戳到了“玻璃盒”的花纹处,此时盒子竟像 莲花一样自动地启开了. 大家惊喜,夸这孩子有见识. 其实,这孩子的成功在他的“敢于一试”,在试试中 碰到了盒子的入口.

39

数学解题何尝没遇上这种情境?我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口,其实,自己此时正站在入题的大 门口前,只是不敢动手一试.

●典例示范 【例 1】 【分析】 已知 5sinβ =sin(2α +β ),求证:

tan(? ? ? ) 3 ? . tan? 2

题型是条件等式的证明,内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式,正宗解法(大刀开

门),首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢?比如说“抛开函数看常数”,我们找到 了

3 3 这个数,试一试,就打 的主意! 2 2
化条件为

【解答】

sin(? ? ? ) 5 3 5 5 ?1 3 ? , 考察结论的右式 与 的数量关系知 ? ,那么由合分比定理 sin ? 1 2 1 5 ?1 2 sin(2? ? ? ) ? sin ? 5 ? 1 3 ? ? . sin(2? ? ? ) ? sin ? 5 ? 1 2

能使问题获得解决,即

而左端分子、分母分别进行和差化积即为 【点评】

tan(? ? ? ) , 于是等式成立. tan?

这才是真正的“小刀开门”,首先考虑了常数,而常数在函数面前自然是“小玩意”;首先考

虑比例变换,比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”!数学解题时,在“入口对号”的情况下,小刀比 大刀更管用.

【例 2】 【分析】

设 m 为正整数, 方程 mx2+2(2m-1)x+4m-7=0(x 为未知量)至少有一个整数根, 求 m 的值. 若根据求根公式得到 x=

(1 ? 2m) ? 3m ? 1 , 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量 m(m m

是一个待求的常量)与变量 x 相互转化,则解决此问题就简单了. 【解答】 即 m= 原方程可化为(x2+4x+4)m=2x+7,

2x ? 7 , ( x ? 2) 2
m 是本题的破题小刀,因为所给方程中 m 的最高次数是 1,使得问题简化了. 由于 x 为整数且 m 为正整数, 则 x≠-2 且

【插语】 【续解】

2x ? 7 ?1,得-3?x?1,于是 x=-3, -1, 0, 1, 代入原 ( x ? 2) 2

方程求出符合条件的 m 值为 1 或 5,即 m=1 或 m=5 时,原方程至少有一个整数根. 【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便

可以将问题轻松解决.
40

【例 3】 【分析】 生. 【解答】

设函数 f (x)=x2+x+a(a∈R*)满足 f (n)<0, 试判断 f (n+1)的符号. 这道题看似代数题,但如果打开几何的大门,就可以找到条件与结论的联系,思路才会应运而

因为 f (n)<0,所以函数

f (x)=x2+x+a 的图像与与 x 轴有 2 个 相异交点,如图所示,设横坐标为 x1、x2 且 x1<x2,方程 x2+x+a=0 有 2 个不等的实根 x1、x2,

? x1 ? n ? x 2 , ? 则 ? x1 ? x 2 ? ?1, ? x x ? a ? 0. ? 1 2
所以-1<x1<n<x2<0, 从而 n+1>0, 于是 f (n+1)=(n+1)2 +(n+1)+a>0(a>0). 【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点,灵活运用常使解题化难为易,化繁为简. 例 3 题图

【例 4】 【解答】

过抛物线 y2=2px 的顶点 O 作 2 条互相垂直的弦 OA、OB,求证:直线 AB 过定点. 因为 OA⊥OB,所以 OA 与 OB 的斜率成负倒数关系.

设 OA 的斜率为 k,将 OA 的方程:y=kx 代入抛物线 y2=2px 中,求得 A 点坐标为 ? 入抛物线方程求 B 点坐标时,只有斜率发生变化.因此,以 ? -2pk). 因而 lAB ?:y=

? 2p 2p ? , ? ? ,将 OB 方程代 2 k ? ?k

1 置换 A 点坐标中的 k, 即得 B 点坐标为(2pk2, k

k k ( x ? 2 pk 2 ) ? 2 pk ? ( x ? 2 p), 2 1? k 1? k 2

故直线 AB 过定点(2p, 0).容易验证,斜率 k=±1 时,结论也成立. 【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系,常能找到简洁的解题思路.

1 3 1 1 1 【解答】 运用均值代换法.令 x= ? ? , ? ? ? ? , ? ? ? ? , 则α +β +γ =0, 所以 y z 3 3 3 1 2 1 2 2 2 x2+y2+z2= ? (? ? ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3
【例 5】 已知 x、y、z∈R, x+y+z=1,求证:x2+y2+z2? .
41

(当且仅当α =β =γ =0,即 x=y=z= 【点评】

1 时“=”成立). 3

运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路,是中学数学的重要技能.

●对应训练

x2 y2 1.已知 M 是椭圆 ? ? 1 上的动点,椭圆内有一定点 A(-2, 3 ), F 是椭圆的右焦点,试求|MA|+2|MF| 16 12
的最小值,并求这时点 M 的坐标. 2.已知函数 f (x)=

x 2 ? 1 -ax, 其中 a>0. 求 a 的取值范围,使函数 f (x)在区间[0,+∞)上是单调函数.

3.如图所示,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|, 点 E 分有向线段 AC 所成的比为λ ,双曲线过 C,D,E 三点,且以 A,B 为 焦点.当

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率 e 的取值范围. 3 4
? ? 1 ?? 1 ? 25 ?? b ? ? ? . a ?? b? 4

第 3 题图

4.已知 a、b>0,并且 a+b=1,求证: ? a ?

5.如图所示,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 的面积为 S,侧棱 CC1 到此面的距离为 a,求这个三 棱柱的体积.

第 5 题图 ●参考答案 1.解析 挖掘隐含条件的数量关系即可

为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率

1 , 2

与结论中线段|MF|的系数之间的数量关系, 作 MB 垂直于右准线 l,垂足为 B,
42

如图所示.则

| MF | 1 ?e? , | MB | 2
第 1 题解图

即|MB|=2|MF|, 所以|MA|+2|MF|=|MA|+|MB|.

易知点 M 在线段 AB 上时,|MA|+2|MF|取最小值 8,这时点 M 的坐标?为(2 3 , ? 3 ). 2.解析 探究 a 的值,应倒过来思考.

设 x1<x2, 且 x1、x2∈[0,+∞),f (x1) - f (x2)= (x1-x2)? ?
2 2 2 因为 x1 ? 1 ? x1 , ? x 2 ? 1 ? x 2 . ?所以 x1 ? 1 ?

?

? ? a ?. ? x2 ?1 ? x2 ?1 ? 2 ? 1 ? x1 ? x 2

2 x 2 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 0.



x1 ? x 2
2 x12 ? 1 ? x 2 ? 1

? 1 . 注意到 x1-x2<0, 所以只要 a?1,就有 f (x1)-f (x2)>0. 即 a?1 时,函数 f (x)在区

间[0,+∞)上是单调减函数.显然 0<a<1 时,f (x)在区间[0,+∞)上不是单调函 点评 运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时,那就反过来,由果索因,这是建立解题思路的一

个重要策略. 3.解析 很多学生对本题无从下手,然而注意题中图案给予的启示,解题思路的就赫然可见了.

事实上,由图形的对称性,可设直线 AB 为 x 轴,AB 得中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系 xOy. 注意到|AB|=2|CD|,设 OC=

| AB | c h ? c, 依题意记 A(-c,0),C ( , ? ) , E(x0, y0). 2 2

( ? ? 2) c ? ? x0 ? 2(1 ? ? ) , ? 由定比分点坐标公式得 ? ? y ? ?h . ? 0 1? ? ?
设双曲线方程为

x2 y2 c2 h2 ? 2 ? 1, 将点 C,E 坐标代入方程,得 2 ? 2 ? 1, a2 b 4a b




( ? ? 2) 2 c 2 ?2 h 2 ? ? 1, 4(1 ? ? ) 2 a 2 (1 ? ? ) 2 b 2
将①代入②且用 e 代入 又由题设 点评 4.解析

c 1 ? 2? 3 ,得 e2= ? ?2 ? . a 1? ? 1? ?

2 3 ? ? ? , 可知 e2∈[7, 10], 所以离心率 e 的范围是 7 ? e ? 10 . 3 4
1 时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法. 2

挖掘题图信息,从题中图案的启示切入,往往易得解题灵感. 容易估计 a=b=

43

构造 a ?

1 1 1 1 1 1 ?a? ? ? ? ? 5? 5 4 3 ? 0, a 4a 4a 4a 4a 4 a 1 1 1 1 1 1 ?b? ? ? ? ? 5? 5 4 3 ? 0, b 4b 4b 4b 4b 4 b
? ? 1 ?? 1? 1 , ?? b ? ? ? 25 ? 5 8 a ?? b? 4 (ab) 3
2

同理 b ?

两式相乘 ? a ?

注意到 ab? ?

1 1 1 1 25 1 ?a?b? ?4, 故(a+ )(b+ )? (当且仅当 a=b= 时取“=”号).从等号成立 ? ? , 所以 4 ab a b 4 2 ? 2 ?

的条件切入是独具匠心的思考方法. 点评 5.解析 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手,常可找到巧妙的解题思路. 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体, 可知这个平行六面体的体积等于 aS.很明显三棱柱 ABC

—A1B1C1 与三棱柱 ACD—A1C1D1 体积相等.所以三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积等于 用这种方法求解一些几何问题,效果十分明显. 点评

aS . 2

看清分分合合,通过分割或整合,将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式,也是建立解题思路

的重要途径.

第 13 计
●计名释义

钥匙开门

各归各用

开门的钥匙应有“个性”,如果你的钥匙有“通性”,则将把所有的邻居吓跑. 所有的知识具有个性,一切犯有“相混症”的人,都因没有把握知识的个性. 数学知识的根基是数学定义,它的个性在于,只有它揭示了概念的本质,介定了概念的范畴,在看似模糊的 边缘,它能判定是与非. 定义本身蕴含着方法,由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理,由椭圆的定义可直接导出椭 圆方程.这里,判定定理也好,方程也好,只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”,当你的 问题本身离定义很近时,何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢?由此,引出了“回归定义”的解题之说. ●典例示范 【例 1】 F1、F2 是椭圆的两个焦点,|F1F2|=2c, 椭圆上的点 P(x, y)到 F1(-c, 0), F2 (c, 0)的距离之

和为 2a. 求证:|PF1|= a ?

c c |PF x, ? 2|= a ? x. a a

【分析】

x2 y2 一定要搬动椭圆方程吗?这里的已知条件只有 c 无 b,而椭圆方程 2 ? 2 ? 1 却有 b 无 c, a b
44

搬动椭圆方程肯定是舍近求远. 【解答】 对|PF1| 和 |PF2|用距离公式,结合椭圆的定义得关于|PF1|= r1, |PF2|= r2 的方程组

?r1 ? r2 ? 2a ? ? 2 2 2 ?r1 ? ( x ? c) ? y?? ? 2 2 2 ?r2 ? ( x ? c) ? y ?

?①
② ③
②-③消 y2, x2 和 c2 得 r 1 ? r2 ? 4cx r
2 2



c ? ?r1 ? a ? a x ? ①,④联立,解得 ? ?r ? a ? c x ?2 a ?
【点评】

故|PF1|= a ?

c c x, |PF2|= a ? x. a a

快捷,清晰,是因为此题的已知条件靠定义近,而离方程远.

【例 2】 【思考】 【解答】

设数列{an}的前 n 项和 Sn=1+anlgb, 求使 lim S n ? 1 成立的 b 的取值范围.
n ??

应首先分清{an}是什么数列,再根据数列的性质与极限的定义解题. a1=1+a1lgb, 若 lgb=0, 即 b =1 时, a1=S1=1 与 lim S n ? 1 矛盾.
n ??

∴b≠1,于是 a1=

1 , 1 ? lg b
an an ?1
=

而 an=(1+anlgb)-(1+an-1lgb).

∴an(1-lgb)=-an-1lgb,

lg b lg b 1 为常数, n}是首项为 {a 的无穷递缩等比数列(已 , 公比 q= lg b ? 1 lg b ? 1 1 ? lg b

知 lim S n ? 1 存在),∴q=
n ??

lg b ∈(-1,0)∪(0,1). lg b ? 1



lg b >-1, lg b ? 1



2 lg b 1 >0, 得 lgb< 或 lgb>1, lg b ? 1 2
∴b∈(1, 10 ) ①



lg b 1 <0 ? 0<lgb<1,于是 0<lgb< , lg b ? 1 2
?lg b ? 0或 lg b ? 1 lg b <1 ? ? ? lg b ? 0, lg b ? 1 ?lg b ? 1

由 0<

∴b∈(0, 1)]



综合①、②,取并集,所求 b 的取值范围为 b∈(0,1)∪(1, 10 ).

【例 3】

某商场为了促销,当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖,箱中有 4 只

红球和 3 只白球,当抽到红球时奖励 20 元的商品,当抽到白球时奖励 10 元的商品(当顾客通过抽奖的方法 确定了获奖商品后,即将小球全部放回箱中).
45

(1)当顾客购买金额超过 500 元而少于 1000 元时,可抽取 3 个小球,求其中至少有一个红球的概率; (2)当顾客购买金额超过 1000 元时,可抽取 4 个小球,设他所获奖商品的金额为ξ (ξ =50,60 ,70,80)元,求ξ 的概率分布和期望. 【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义,否则即使知道有

关计算公式也无法准确解题,例如: (1)随机事件 A 发生的概率 0?P(A)?1, 其计算方法为 P (A)= 事件 A 发生的次数和基本事件总数; (2)不可能同时发生的事件称为互斥事件,由于 A 与 A 必有一个发生,故 A 与 A 既是互斥事件,又是对立事 件,对立事件满足 P(A)+P( A )=1; (3)离散型随机变量的期望,Eξ =x1 p1+x2 p2+?+xn pn+?, 这个概念的实质是加权平均数,期望反映了离散 型随机变量的平均水平; (4)离散型随机变量的方差 Dξ =(x1-Eξ )2p1+(x2-Eξ )2p2+?+(xn - Eξ )2pn+?,方差反映了离散型随机变量发 生的稳定性. 【解答】 全是白球}. ∵A 与 A 为对立事件,而 Card A =1(任取 3 球全是白球仅一种可能). ∴P( A )= (1)基本事件总数 n=C 7 =35, 设事件 A={任取 3 球,至少有一个红球},则事件? A ={任取 3 球,
3

m , 其中 m ,n 分别表示 n

34 1 ,于是 P (A)=1-P ( A )= . 35 35
34 . 35

即该顾客任取 3 球,至少有一个红球的概率为

C 3 ? C1 4 ; (2)ξ =50 表示所取 4 球为 3 白 1 红(∵3?10+1?20=50),∴P (ξ =50)= 3 4 4 ? 35 C7
2 C 3 ? C 2 18 4 ? ;? ξ =60 表示所取 4 球为 2 白 2 红(∵2?10+2?20=60), ∴P (ξ =60)= 4 35 C7

ξ =70 表示所取 4 球为 3 红 1 白(∵3?20+1?10=70), ∴P (ξ =70)=

C 3 C1 12 4 3 ? ; 4 35 C7

ξ =80 表示所取 4 球全为红球, ∴P (ξ =80)= 于是ξ 的分布列为: ξ 50 60

C4 1 4 ? . 4 C 7 35

70

80

46

18 12 35 35 4 18 12 1 440 ∴Dξ =50? +60? +70? +80? = (元). 35 35 35 35 7 440 即该顾客获奖的期望是 ≈63(元). 7
P ●对应训练

4 35

1 35

x2 y2 1 ? M 为双曲线 2 ? 2 ? 1 上任意一点, F1 为左焦点, 求证:以 MF1 为直径的圆与圆 x2+y2= a2 相切. a b
2 ?求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆,这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相 切. 3 ?在离散型随机变量中,证明其期望与方差分别具有性质: (1)E(aξ +b)=aEξ +b; (2)Dξ =Eξ
2

- E 2ξ .

4 ? M 为抛物线 y2=2px 上任意一点,F 为焦点,证明以 MF 为直径的圆必与 y 轴相切.

●参考答案 1 ?如图所示,MF1 的中点为 P, 设|PF1|= r, 连接 PO、MF2,?∵|PO|= ∴|PF1| - |PO|=

1 |MF2|(中位线性质) 2

1 1 (|MF1| - |MF2|)= ?2a= a, 2 2

即|PO|= r-a, 故以 MF1 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 内切. 2 ?如图所示,设 M 为椭圆上任一点,MF1 为焦半径,MF1 的中点为 P, 设|PF1|= r, 连 OP、MF2. 则|OP|=

1 1 |MF2|= (2a-|MF1|)= a-r ? 2 2

∴以 MF1 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.

第 1 题解图 3.(1)∵Eξ =x1 p1+x2 p2+?+xn pn,

第 2 题解图

∴E (aξ +b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+?+(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2+?+xn pn)+b(p1+p2+?+pn)
47

= aEξ +b

(∵p1+p2+?+pn=1).

(2)Dξ =(x1 - Eξ )2?p1+(x2 - Eξ )2p2+?+(xn - Eξ )2pn+? =(x 1 p1+x 2 p2+?+x n pn+?)-2Eξ (x1 p1+x2 p2+?+xn pn+?)+E2ξ (p1+p2+?+pn+?) =Eξ 2-2Eξ ?Eξ +E2ξ ?1=Eξ 4 ?如图所示,抛物线焦点 F ? 准线 l:x= ?
2
2 2
2

- E2ξ .

?p ? ,??, 0 ?2 ?

p ,作 MH⊥l 于 H,FM 中点 2

为 P,设圆 P 的半径|PF|= r,作 PQ⊥y 轴于 Q,则 PQ 为梯形 MNOF 的中位线. ∴|PQ|=

1 1 1 (| OF | ? | MN |) ? | MH |? | MF |? r , 2 2 2
第 4 题解图

∴以 MF 为直径的圆与 y 轴相切.

第 14 计 鲜花开门 情有独钟
●计名释义 冬天的梅花,非常耀眼.其实,梅花开的并不艳丽,只是因为你喜欢她,所以才心明眼亮.如果到了百花 盛开的春天,你能身在花丛眼不花,还能看到淡淡素素的梅花吗? 数学解题也经常遇到这种情景,有时已知条件非常之多,提供的信息诱惑也非常之泛.此时,你能“情有 独钟”地筛选出你需要的她吗? ●典例示范 【例 1】 P 点在平面内作匀速直线运动,

速度向量 v=(4,-3).(P 点沿 v 方向运动,每秒 移动的距离是|v|).开始时 P(-10,10), 求 5 秒后 P 点的位置. 【分析】 本质是对 P 点运动的速度向量

v=(4,3)的理解:因为 P 点按匀速直线 运动,每秒位移是 5.从速度分解观点看, 每秒 P 向右移 4,向下移 3. 【解答】 5 秒 P 向右移 20,下移 15,设 P 点 5 秒后到 P′(x, y). 例 1 题图

x=-10+20=10, y=10-15=-5. 所以 P′(10,-5).
48

【点评】

这样解题很轻松,善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的,而不

是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的. 【插语】 如果不按上述方式,而是从寻找 PP? =5v=(20,-15), 再求 OP ? = OP ? + PP ?,

当然也能求出结果,但是并不省时间.众所周知,高考中的时间就是分数. 【例 2】 (04?全国Ⅰ卷)函数 y= x ? 1 +1(x?1)的反函数是 B.y=x2-2x+2(x?1) D.y=x2-2x(x?1) ( )

A.y=x2-2x+2 (x<1) C.y=x2-2x(x<1) 【解答】

本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数 x?1 时,y?1.∴反函数的定义域为 x?1,排除? A、
?

C ?.∵点(5,3)在 f (x)的图象上,∴点(3,5)必在 f -1 (x)的图象上,而点(3,5)适合? B ?,不适 合? D ?,∴选? B ?. 【点评】 与反函数有关的选择题,要注意利用其“定义域与值域互易,对应法则互逆,图象关于直线 y=x

对称”等特点,前呼后拥. 【例 3】 A. 下列各式中,最小值为 2 的是 B. ( C. )

x2 ? 5 x ?4
2

a?b?2 a? b

b a ? a b

D. sin x ?

1 sin

【思考】

利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件:(1)

参与运算的量必须是正数;(2)只有当有关量可以“取等”时才有最值. ∵

x2 ? 5 x2 ? 4

? x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4

, ? x 2 ? 4 ? 2, ?而

1 x2 ? 4

?

1 ,? 2



x2 ? 4 ?

b a 1 , 故否定 A; a,b 异号时, ? 0, ? ? 0, 否定 C; sinx<0 时, 当 当 亦有 <0,否定 D; a b sin x ?4
2

1

∴选? B ?. 【点评】 可用直接法证明 ? ?

?a?b?2? ? ? 2 , ∵ a , ? b 存 在 且 在 分 母 中 出 现 , ∴ ab>0. 又 ? ? a ? b ? min

a+b+2=(a+1)+(b+1)?2 ( a ? b ) ,∴ 【例 4】 已知四边形 ABCD

a?b?2 a? b

?2. 当且仅当 a=b=1 时 ? ?

?a?b?2? ? ?2 ? ? a ? b ? min

为矩形且 AB≠BC, PA⊥平面 ABCD, 连接 AC,BD,PB,PC,PD, 则以下各组向量中,数量 积不为零的是 ( )
49

A. PC与BD C. PD与 AB 【思考】

B. DA与PB D. PA与CD 例 4 题图

利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.

图中PA ? 平面ABCD ? ? ? DA ? PB, ?排除B; ? D ? A ? AB?
同理, PD ? AB, ?排除 C. 【点评】 ∵PA⊥平面 ABCD, ∴ PA ? CD ,排除 D,选? A.

可用反证法证明 PC与BD 不垂直, 假定 PC ? BD .∵PA⊥平面 ABCD, ∴ BD ? AC ,

四边形 ABCD 是正方形, 这与题设 AB≠BC 矛盾. ●对应训练 1.若 f (x)sinx 是周期为π 的偶函数,则 f (x)可以是①sinx, A.①② B.①④ C.③④ ②cosx, ③cotx, D.?① ④tan

x 中的( 2

)

2.下列五个命题:①|a|=a2; ② b=0.其中正确命题的序号是 ? A.①②③

a?b b ? ; ③(a?b)2=a2?b2; ④(a- b)2=a2-2ab+b2; ⑤若 a?b=0,则 a=0 或 2 a a
( ) D.②⑤? ( )

B.①④

C.①③④

3.已知等比数列{an}的公比为 q,下列命题正确的是 ? A.?若 q>1, 则{an}为递增数列 ? C.?若 q<1, 则{an}为无穷递减等比数列 ●参考答案 1.? D ?【思考】 利用选项的结构特点.

B.?若 0<q<1, 则{an}为递减数列 D.?以上都不对

选项中有三项含①,故先检验①.

设 F(x)= f (x)sinx, 如果 f (x)=sinx,则 F(x)=sin2x=

1 (1-cos2x). 2

∵? cos2x(从而 F(x))是周期为π 的偶函数,?∴f (x)?可以是①,否定 C(无须检验③),如果 f (x)= cosx, 则 F(x)=sinxcosx=

1 x 1 ? cos x sin2x 是周期为π 的奇函数,与要求不符,否定? A ?;如果 f (x)=tan = , 2 2 sin x
选? D ?.

则 F(x)?=1-cosx 是周期为 2π 的偶函数,也与要求不符, 否定 B.于是 f (x)仅可以是①, 【点评】 排除法解选择题也要讲求效率,设法使工作量减到最少.

2.? B ?利用向量运算的性质. ∵a 与 b 共线,其夹角为 0.∴a2=a?a=|a||a|cos0=|a|2.?①正确排除 D;设 a, b 夹角为θ . 则

a ? b | a || b | cos? | b | b ? ? cos? 而向量运算中不含除法运算, ,②不能成立,排除 A; 2 2 |a| a a |a|

若 a⊥b,且 a≠ b,则(a?b)2=0 而 a2?b2≠0, ∴③不能成立,排除? C.
50

3.? D ?选用特殊值取. q=2>1 时,a1=-1<0, 则{an}为递减数列,排除 A;当 0<q= 则{an}为递增数列,排除 B;取 q=-2<1, a1=1,则{an}为摆动等比数列,排除? C.

1 <1 时,若 a1=-1<0, 2

第 15 计
●计名释义

驿站开门

望蜀得陇

一商人要去蜀国做生意,因栈道难行,结果到了陇西. 正当他发愁之时,来了一位远客,把他的货全部 买走了. 商人大喜,对伙计们说,这客人说的蜀国话,赶快回关中运货去,我们还是按原计划去南蜀. 等第二批货运到陇西时,又遇上这位客人. 一交谈,他没有把货运往南蜀,而是运往西域去了. 伙计们 问商人:我们还是按原计划去南蜀吗?商人笑着说,“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做 得火红. 数学解题有时也遇上这种情景,原来计划的解题方案,在进行中遇到了一匹黑马,中途变阵之后,成果 意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的:不“望蜀”,怎能“得陇”?

●典例示范 【例1】 图中,BC1 和 DB1 分别

是棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的一条面对角线和体对角线. 试求它们的距离. 【解答】 连 A1C1、C1B 和 BA1. 例题图

得边长为 2 的正三角形 A1C1B. 易知,体对角线 DB1 过△A1C1B 的中心 G. 易得 GB=GC1. 再作 BC1 的中点 H. 猜想 GH 是 DB1 和 BC1 的公垂线, 为此只须证明 HG⊥DB1. 易知 GB1=

3 2 ,HB1= 3 2
例题解图

GH=

3 6 1 ? ? 2? 2 6 3

51

因为

? 6? ? 3? ? 2? ? ? ?? ? ?? ? ?所以 GH⊥GB1 ? 6 ? ? 3 ? ? 2 ? , ? ? ? ? ? ?

2

2

2

即 GH⊥DB1.

【说明】

此处证 GH⊥DB1 就是我们的“望蜀”,其实 DB1⊥面 A1BC1,而 GH 是面 A1BC1 中的线段,当

然 GH⊥DB1,由此我们“得陇”. 【续解】 【点评】 故 HG 是 BG 与 DB1 的公垂线.且长度

6 为它们的距离. 6

这两条对角线异面.在不知(或不易作出)它们的公垂线时,属于难题.解题的方法是按“定义”,

用垂直相交法作辅助线(面).

●对应训练 1.已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0,其中 a,b,c 是非零平面向量,且 a 与 b 不共线,则该方( ) A ??可能有无数多个实数解 ? C ??至少有一个实数解 2.空间 ? B ??至多有两个实数解 D ??至多有一个实数解

(填:“存在”或“不存在”)这样的四个点 A、B、C、D,使得 AB=CD=8cm,

AC=BD=10cm,AD=BC=13cm ?. ●参考答案 1.? D ? 由于 a 与 b 不共线,所以可设 c=ma+nb (其中 m,n∈R),代入方程 ax2+bx+c=0 得

ax2+bx+(ma+nb)=0,即(x2+m) a+(x+n) b=0,又 a 与 b 不共线,故有 ?

? x 2 ? m ? 0, ? x ? n ? 0, ? x 2 ? m ? 0, ?x ? n ? 0
有一个实数解.故应选

即?

? x 2 ? ? m, ? x ? ? n,

显然,当 m>0 时,原方程无实数解;当 n2=-m?0 时, ?

? D ?. 【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题,用判别式来判定,导致出现思维定势的错

误.对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现,并且有关向量的题目也在不断地创新,不再是 书本知识的简单重复.基于此而创作了此题. 2.要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动,判断结果.细看题目有四个 点,显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理,来得出需要的结论. 在空间中,分别以 8、10、13 为边长, 作如图所示平面四边形,它由△ABC 和△BCD 组成,公共边为 BC=13cm,AC=BD=10cm, AB=CD=8cm,固定△ABC 所在的平面,
52

令△BCD 绕着边 BC 旋转.显然当 D 位于

第 2 题解图

△ABC 所在的平面时,AD 最大.由 BC=13cm,AC=10cm,AB=8cm,可得 cos∠BAC=-

1 ,即可知∠BAC 32

是钝角,故对于平行四边形(即 D 在平面 ABC 内时)ABDC,对角线 AD 的长小于对角线 BC 的长,即 AD<BC=13cm ?. 显然,当点 D 不在面 ABC 内时都有 AD<BC=13cm ?.因此按题目要求分布的四个点是不可能的,故知题目 要求的四个点不存在. 【点评】 这是一个探索型开放题,其存在与否取决于分析的过程,该题题型无论从结论上还是从方法的

探究上都具有一定的开放性,因此我们开始做它时,选定一个方向直奔过去,到那儿时才发现此路不通.

第 16 计 摆渡开门 萍水相逢
●计名释义 有道数学题,求证π >

5 . 很多学生不知所措时,却有一学生说此题非常简单,不过需找个第三者. 现 2

在他已经指定了一个第三者,就是整数 3. 因为π >3,又 3>

5 5 ,所以π > . 2 2

这里的第三者,如同一个渡船,它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”, 它是一个“三者牵线,截迂为直”的策略,在不等式中具体表现为传递法.过渡法所用的渡船形式多样,可以 是参数,可以是图形,当然也可以是函数、方程、不等式等. ●典例示范 【例 1】 【分析】 已知曲线 C :

( x ? 1) 2 ( y ? 3) 2 ? ? 1 ,求曲线 C 关于直线 x-y+1=0 的对称曲线 C1 的方程. 6 2

一般解法为 “轨迹转移法” (1) P : 设 (x, y)是 C1 上的动点; (2) 求出 P (x, y)关于直线 x-y+1=0

的对称点 Q(x′, y′), (3)将 Q 点坐标代入 C 的方程;(4)用 x,y 表示 x′,y′,即得 C1 的方程. 此法甚繁,考虑到这里的对称轴直线的斜率为 1,因此可以直接从中得到替换式. 【解答】 由 x-y+1=0 得 ?

?x? ? y ? 1 ? y? ? x ? 1

代入 C 的方程得

( x ? ? 1) 2 ( y ? ? 3) 2 ? ? 1. 6 2

即得 C1 的方程得 【点评】 【例 2】

( y ? 2) 2 ( x ? 4) 2 ? ? 1. 6 2

对称轴 x-y+1=0 本为一条参照定位直线,现在拿来充当替代式,成了名符其实第三者“摆渡”. 长为 2 的线段 AB 在抛物线 y=x2 上滑动,求 AB 中点的轨迹方程.
53

【解答】

设 A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线 y=x2 上两点,那么:

? y1 ? x12 ? y1 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ?? ? 2 2 ? y 2 ? x2 ? y1 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ?
设 AB 中点为 M(x,y),那么: ?

? x1 ? x 2 ? 2 x , ? y1 ? y 2 ? 2 y

2 2 ? ? y1 ? y 2 ? 2 x( x1 ? x 2 ) ?( y1 ? y 2 ) ? 4 x ( x1 ? x 2 ) ?? 有: ? 2 ? x1 x 2 ? 2 x 2 ? y ?2 y ? 4 x ? 2 x1 x 2 ?

?∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(1+4x2)(x1-x2)2 =(1+4x2)[(x1+x2)2-4x1x2] =(1+4x2)[4x2-4(2x2-y)] 已知|AB|=2. ∴(1+4x2)(y-x2)=1 所求点 M 的轨迹方程为:y=x2+ 【点评】

1 . 1 ? 4x 2

本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实

施“设而不求”.

【例 3】

椭圆

x2 y2 ? ? 2 ? 1 (a>b>0)的右准线是 x=1,倾斜角为α = 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,已知 2 4 a b

AB 的中点为 M ? ?

? 1 1? ,? ?. ? 2 4?

(1)求椭圆的方程; (2)若 P、Q 是椭圆上满足|OP|2+|OQ|2= 【分析】

3 的两点,求证:|kOP?kOQ|为定值. 4

按常规,应设直线的斜截式方程,并代入椭圆方程,用韦达定理依中点的条件先求直线的截距

而后确定椭圆方程.这样也算设而不求,可这种方法计算量仍然太大. 请欣赏如下解法: 【解】 (1)椭圆的右准线为 x=1,即

a2 ? 1, ∴a2=c,b2= a2-c2 = c-c2. c
也就是 (1-c)x2+y2= c(1-c) ①

所求椭圆应为:

x2 y2 ? ? 1. c c(1 ? c)

设弦 AB 的两端分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则:
2 2 ? ?(1 ? c) x1 ? y1 ? c(1 ? c) ? (1 ? c)( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 ? 2 2 ?(1 ? c) x 2 ? y 2 ? c(1 ? c) ? ? y1 ? y 2 (1 ? c)( x1 ? x 2 ) ? ?? ? ? ? ② x1 ? x 2 y1 ? y 2

54

∵kAB=

y1 ? y 2 ? 1 ? 1 1? ? tan ? 1 ,又 AB 中点为 M ? ? , ? ? ,∴x1+x2=-1,y1+y2= . x1 ? x 2 4 2 ? 2 4?

以上全代入②:1= ?

1 1 1 1 (1 ? c)( ?1) , ∴1-c= ,c= ,代入①: x2+y2= . 1 2 2 2 4 2

所求椭圆方程为:2x2+4y2=1. (2)由(1)知椭圆方程:2x2+4y2=1. 设 P、Q 的坐标依次为(x1,y1),(x2,y2).

? 2 1 1 2 ?2 x12 ? 4 y12 ? 1 ? y1 ? 4 ? 2 x1 ? ? 有: ? ?? ? 2 2 ?2 x 2 ? 4 y 2 ? 1 ? 2 1 1 2 ? ? y 2 ? 4 ? 2 x2 ?

?



3 3 2 2 2 2 , ∴(x 1 +y 1 )+(x 2 +y 2 )= 4 4 1 1 3 2 2 2 2 ③代入④:x 1 +x 2 + - (x 1 +x 2 )= , 2 2 4 1 2 2 ∴x 1 +x 2 = . 2 2 y12 y 2 1 1 2 ( k OP ? k OQ ) ? 2 2 ? 2 2 ? (1 ? 2 x 2 ) x1 x 2 x1 x 2 4
?∴|OP|2+|OQ|2= ∵?



? ?

1 2 2 [1 ? 2( x12 ? x 2 ) ? 4 x12 x 2 ] 2 2 16 x1 x 2 1 1 2 ? 4 x12 x 2 ? . 2 2 4 16 x1 x 2

?
故|kOP?kOQ|= 【点评】

1 为定值. 2

本解的优点是:

1.为确定椭圆方程,须求两个参数 a 与 b,这里先由准线的条件归为只须求一个参数 c; 2.无论求椭圆方程或证斜率之积的绝对值为定值,都需要利用弦 AB 或 PQ 的端点,这里只是抽象的设定而 并不真的去求它,在解题过程中都自然地逐一消失,使“设而不求”的技术达到最佳效果.

【例 4】

(05 湖北卷 21 题)设 A、B 是椭圆 3x2+y2=λ 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线

段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (Ⅰ)确定λ 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的λ ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由. 【分析】 (1)已知弦的中点求弦所在直线的方程,故(1)可以实施“设而不求”;(2)判断“四点共

圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.

55

【解答】

(1)∵点 N(1,3)在椭圆 3x2+y2=λ 内,

∴3?12+32<λ ,即λ >12,∴λ ∈(12,+∞). 设 AB 两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则有:

?3 x12 ? y12 ? ?? ? ? 2 2 ?3 x 2 ? y 2 ? ?? ?

(1) ( 2)

(1)-(2):3(x1-x2)(x1+x2) +(y1-y2)(y1+y2)=0 (3) 例 4 题解图

∵N(1,3)是线段 AB 的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=6. 代入(3): 6(x1-x2)+6(y1-y2)=0,于是 kAB=

y1 ? y 2 ? ?1 ,故直线 AB 的方程为:y-3= -(x-1),即 x+y-4=0. x1 ? x 2

(2)解法 1:CD 为 AB 的垂直平分线,且 kAB=-1,∴kCD=1,直线 CD:y-3=1?(x-1),即 x-y+2=0.直线

? ?x ? 1 ? ? AB 的参数方程方程是 ? ?y ? 3 ? ? ?

2 t 2 (t为参数) : 2 t 2
2 2

? 2 ? ? 2? 2 ∴代入椭圆方程得: 3?1 ? t ? ? ?3 ? ? ? ? ,即 2t +12-λ =0.(由(1)知λ >12),设此方程之二 2 ? ? 2 ? ? 12 ? ? 根为 tA,tB,则 tA?tB = ? (4) 2
? ?x ? 1 ? ? 直线 CD 的参数方程方程是: ? ?y ? 3 ? ? ?
2

2 t 2 (t为参数) 2 t 2
2

? 2 ? ? 2? 2 代入椭圆方程得: 3?1 ? t ? ? ?3 ? ? ? ? ?,即 2t -6 2 t+12-λ =0. 2 ? ? 2 ? ? 12 ? ? 设此方程之二根为 tC ,tD ,则 tC?tD= ? (5) 2
由(4),(5)知|tA?tB|=|tC?tD|,也就是│AN│?│BN│=│CN│?│DN│,这就是说,存在λ >12, 使得 A、B、C、D 四点总在同一个圆上. 【小结】 按理说,解数学题避免不了“求”,其最终目的(不论是计算题还是证明题),都是要“求”出最后

的结果的.这里说的“不求”,专指可以简化的解题中间过程,用“设”去代替“求”. 从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段.“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大 限度的减少.因此需要做到:(1)凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的,都尽可能实施“设而不求”;(2)

56

“设而不求”不可避免的要设参,消参.而设参的原则是宜少不宜多.(3)“设而不求”的思想还可以应用到三 角、立几、代数等数学的其他领域中去,限于篇幅,这里不再多讲.有心的读者,不妨在解题中留心运用.

●对应训练 1.长为 2 的线段 AB 在抛物线 y=x2 上滑动,求 AB 中点的轨迹方程. 2.求过圆 x2+y2-2x=0 和直线 x+2y-3=0 的交点,且和直线 x+3y-4=0 相切的圆的方程. 3.已知直线 y=-x+1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 l:x-2y=0 上.(1) a2 b2

求此椭圆的离心率;(2)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x2+y2=4 上,求此椭圆的方程. 4.已知 f (log a x) ?

a( x 2 ? 1) ,(a>0,a≠1,x>0),判断 f (x)的单调性,并证明你的结论. x(a 2 ? 1)

5.如图,已知直线 l:x-ny=0(n∈N), 圆 M:(x+1)2+(y+1)2 =1, 抛物线φ :y=(x-1)2, l 交 M 于 A、B, 交φ 于 C、D, 求 lim ?
n??

| AB | 2 . | CD | 2

第 5 题图

●参考答案 1.无须设直线的点斜式解方程组.设 A(x1,y1),B (x2,y2)为抛物线 y=x2 上两点,那么:

? y1 ? x12 ? y1 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ?? ? 2 2 ? y 2 ? x2 ? y1 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ?
设 AB 中点为 M(x,y),那么: ?

? x1 ? x 2 ? 2 x , ? y1 ? y 2 ? 2 y

有: ?

? y1 ? y 2 ? 2 x( x1 ? x 2 )
2 ?2 y ? 4 x ? 2 x1 x 2

2 2 2 ? ?( y1 ? y 2 ) ? 4 x ( x1 ? x 2 ) ?? ? x1 x 2 ? 2 x 2 ? y ?

∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(1+4x2 )(x1-x2)2 =(1+4x2)[(x1+x2)2-4x1x2] =(1+4x2)[4x2-4(2x2-y)] 已知|AB|=2. ∴(1+4x2)(y-x2)=1 所求点 M 的轨迹方程为:y= x ?
2

1 . 1 ? 4x 2

57

2.无须求直线与圆的交点.设所求圆的方程为:x2+y2-2x+λ (x+2y-3)=0. 即 x2+y2+(λ -2)x+2λ y-3λ =0 此圆的圆心为 D ? ? ①

? ? ? ? 1, ? ? ? ?. ? 2 ?

半径 R=

1 1 (? ? 2) 2 ? 4?2 ? 12? ? 5?2 ? 8? ? 4 2 2

∵直线 x+3y-4=0 与圆相切.

| (1 ? ) ? 3(?? ) ? 4 | 1 2 ∴ ? 5?2 ? 8? ? 4 2 10
化简得:λ 2-4λ +4=0,∴λ =2. 代入①:x2+y2+4y-6=0 ②即为所求圆的方程. 3.无须先求直线与椭圆交点的坐标. 由? ②

?

?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ? y ? ?x ? 1

? ( a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2 a 2 x ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0. ? x A ? x B ?
? ?, ? ?
即 a2=2(a2-c2),∴a2=2c2, e=

2a 2 . a2 ? b2

? a2 b2 ? 2 ,? 2 得 AB 中点为 M ? 2 2 ?a ?b a ?b

∵点 M 在直线 x-2y=0 上,∴a2=2b2.

c 2 ? . a 2

容易求得 F(c,0)关于直线 l:x-2y=0 的对称点为? F′ ? c, ? c ? .? 代入 x2+y2=4,得 则所求椭圆方程为 c2 = 4,从而 a2=2c2=8,b2=c2=4.

?3 ?5

4 ? 5 ?

x2 y2 ? ? 1. 8 4

4.无须先求函数的解析式. 设? logax=t,则 x= at,(t∈R).原函数式变形为:f (t)= ∵ f ?( x) ?

a a (a t ? a ?t ). 或 f ( x) ? 2 (a x ? a ? x ) (x∈R). a ?1 a ?1
2

a a ln a x [a x ln a ? a ? x ln a(?1)] ? 2 (a ? a ? x ). a ?1 a ?1
2

这里 a≠0,无论 a>1 或 0<a<1 都有 f ′(x)>0,故 f (x),从而原函数在其定义域内是增函数.5.无须分别求直 线与曲线 的交点再求弦长,
58

如图,圆心 M(-1,-1)到直线 x-ny=0 的距离为: d ? ∴|AB| 2=(2 1 ? d

| ?1 ? n | n2 ?1

.
第 5 题解图

2 2

=

8n . n ?1
2

? y ? ( x ? 1) 2 ? 由? ? nx 2 ? (2n ? 1) x ? n ? 0. 1 ?y ? x n ?
设此方程之二根为 xC ,xD,则

1 ? 1 2 4n ? 1 ? xC ? x D ? 2 ? 2 . n ? ( xC ? x D ) ? ( 2 ? ) ? 4 ? ? n n4 ? xC ? x D ? 1 ?

1 (n 2 ? 1)( 4n ? 1) 2 |CD| =(xC - xD) +(yC - yD) = ( 2 ? 1)( xC ? x D ) ? . n n4
2 2 2

于是: lim

| AB | 2 8n n4 ? lim 2 ? 2 ? lim n ?? | CD | 2 n ?? n ? 1 ( n ? 1)( 4n ? 1) n ??

8 1 1 (1 ? 2 ) 2 (4 ? ) n n

? 2.

第 17 计
●计名释义

化归开门 江山一统

整数乘法有口诀: 2?3=6, 5?7=35.这就是整数乘法的法则.分数乘法无口诀, 那么分数在怎样作乘法呢?

2 3 2?3 6 ,原来是在进行“转化”,变成了分子分母上的整数乘法. ? ? ? 5 7 5 ? 7 35
化归思想,连小学生都在用,有一老师问学生:前 100 个偶数的和为多少?一学生回答:10100. 老师问怎么来的?学生回答:由前 100 个自然数的和来的: 2+4+?+200=2?(1+2+?+100)=2?5050=10100. 这就是数学解题中的“化归法”,复杂向简单化归,陌生向熟悉化归,未知向已知化归. ●典例示范 【例 1】 【分析】 已知数列{an}中,a1=1,an+1 ?=2an+1.求数列的通项公式及前 n 项和 Sn. 这个数列既不是等差数列也不是等比数列,但又看到其中既含等差数列又含等比数列:比如把

递推式中的常数 1 去掉,则变成等比数列,把系数 2 换成 1 则变成等差数列.为此,破题工作在化归上寻找入 口:向等比(等差)数列转换. 【解答】 在递推式 an+1=2an+1 两边加 1,化为(an+1+1)=2(an+1),数列{an+1}为等比数列,公比 q=2. 所
59

以 an+1=2n-1 ?(a1+1),即 an=2n-1,且 Sn=2n-n-1. 【插语】 本数列的一般形式为:an+1=kan+b(k≠0、1,b≠0),有人称其为“等差比数列”.等差、等比数

列都是它的特例,分别是 k=1,或 b=0 时的特殊情况.用换元法化归为等比数列的“常数匹配”可用待定系数 法求得: 设 an+1+c=k(an+c)=kan+kc ? an+1=kan+kc-c ? kc-c=b,c= 对于上题,b=1,k=2,因此解得 c=1. 【点评】 化归开门体现在本题中:把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归

b . k ?1

采用的办法是换元,实际上是 an+1+c=bn+1=kbn. 说来也很滑稽,对中学生来讲,不向“等比(等差)”化归,还有什么别的出路呢? 【例 2】 已知三条抛物线 y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a 中至少有一条抛物线与 x 轴有

交点,求实数 a 的取值范围. 【解答】 解答本题如果从正面入手,将要分有一条抛物线、两条抛物线、三条抛物线与 x 轴有交点的三

类七种情况加以讨论,过程十分繁琐.但是如果转化为从反面思考,即考虑三条抛物线都不与 x 轴相交,则只 要解下列不等式组:

?? 1 ? 16 a ? 4(4a ? 3) ? 0, ? 2 2 ?? 2 ? (a ? 1) ? 4a ? 0 ? ? 2 ?? 3 ? 4a ? 8a ? 0
2

1 ? 3 ?? 2 ? a ? 2 , ? 1 ? 解得?a ? 或a ? ?1? 3 ? ?? 2 ? a ? 0 ? ?

从而可得 ?

3 ? a ? ?1. 所以使得原命题 2

成立的实数 a 的取值范围是 a? ? 【点评】

3 或a ? ?1. 2

很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题

的反面,则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想. 【例2】 【解答】

?1 1 1? 已知 a,b,c 均为正整数,且 a +b +c +48<4a+6b+12c,求 ? ? ? ? ?a b c?
2 2 2

abc

的值.

因为原不等式两边均为正整数,所以不等式 a2+b2+c2+48<4a+6b+12c 与不等式 a2+b2+c2+48+1 等 价 , 这 个 等 价 不 等 式 又 可 化 为 (a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2 ? 0, 故
abc

? 4a+6b+12c

? a ? 2. ? ?b ? 3 ? ?c ? 6 ?
【点评】

?1 1 1? 于是可得? ? ? ? ?a b c?

? 1.

将等式与不等式对应转化,是转化数学问题常用的、有效的手段.

●对应训练
60

1.空间两条异面直线 a,b 所成的角为 成相等的角θ ,则θ 的取值范围为 ? A.θ ∈Φ ? C.θ ∈[

? ,过不在 a,b 上的任意一点 P 作一条直线 c,使直线 c 与直线 a,b 3
( ? B.θ ∈{ )

? ? , ] 3 2

? } 2 ? ? D.θ ∈[ , ] 6 2
1 1 ? p q

2.过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 两点, Q 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p, 则 q, 等于 ? A.2a B. ( ) D.

1 2a

C.4a

4 a

3.函数 f (x)满足:对任意实数 x,y 都有 f (x)+f (y)= f ( 求证: f ( ) ? f ( ●参考答案 1.解析 若在三维空间考虑该问题,

x? y ) ,且当 x<0 时,都有 f (x)>0. 1 ? xy

1 5

1 1 1 ) ??? f ( 2 ) ? f ( ). 11 2 n ? 3n ? 1

就显得千头万绪.如右图所示, 过直线 b 上任意一点 A 作直线 a′∥a,a′与 b 确定平面 a, 把点 P 移动到 A 点,问题便转化 为过 A 点作一条直线 c′与直线 a′,b 所成的角均为θ ,求θ 的取值范围. 易知当直线 c′在平面 a 内时, 直线 c′与 a′,b 所成的角最小为 2.解析 第 1 题解图

? ? ,当 c′⊥a 时,直线 c′与 a′,b 所成的角最大为 ,故选? D ?. 6 2 1 一般解法是先求出焦点 F 坐标为(0, ),然后由直线 PQ 的方程与抛物线的方程联立,求出 p, 4a
1 ,很快就能选出正确 4a

q 的值,运算过程繁杂,容易出错. 若把一般性的 PQ 的直线方程转化为特殊性的方程,即取 PQ 与 x 轴平行的方程 y=

答案 C.应当看到相当多的一类选择题与填空题,或者可赋予变量的特殊值,或者可从符合一般条件的特殊点中 求得正确的答案,这种从一般到特殊的转化常常能收到事半功倍的效果. 3.证明 易证 f (x)为奇函数,且当 x>0 时都有 f (x)<0.先从 f ?

1 ? ? ? ?入手,向题设条件转化: 2 ? n ? 3n ? 1 ?

61

1 1 ? 1 1 由于 2 ? ? n ?1 n ? 2 , 1 1 n ? 3n ? 1 (n ? 1)( n ? 2) ? 1 1? ? n ?1 n ? 2
故有 f ?

1 ? ? ?= 2 ? n ? 3n ? 1 ?

? 1 ? f? ?? ? n ? 1?

? 1 ? f? ?. ?n? 2?

再整体处理不等式左端数列的和有

?1? ?1? f ? ? ? f ? ? ??? ?5? ? 11 ? ?1? ?1? ? ? f? ?? f? ?? ?2? ?3?

1 ? ? f? 2 ? ? n ? 3n ? 1 ? ?1? ?1? ? 1 ? ? 1 ? f ? ? ? f ? ? ??? f ? ?? f? ? ?3? ?4? ? n ?1? ?n? 2?

? ? f? ?? f?
依题意

?1? ?2?

? 1 ? ?. ?n? 2?

1 ? 0 ,恒有 n?2

? 1 ? f? ? ? 0 ,则 ?n? 2?

?1? f? ?? ?2?

? 1 ? f? ?? ?n? 2?

?1? f ? ?. ?2?

故原不等式成立. 点评 本题融函数、数列、不等式为一体,正确解答本题的关键是注意整体和式与局部数列的通项的转化.

第 18 计
●计名释义

转换开门 亦必亦充

转换是化归的实施.化归重在理念,转换重在操作. 转换是寻找“替身”,由彼及此,“彼”得对“此”全盘负责.因此,转换前面经常冠以“等价”二字, 即“等价转换”. 从“条件”的角度看问题,转换是在寻找解决问题的充要条件,而化归有时在寻找解决问题的充分条件, 甚至是探究中的必要条件. ●典例示范 【例 1】 设 0<a<1, 1=1+a, n+1= a a

1 用数学归纳法证明: 对一切 a∈N+, 都有 an>1. 分析】 【 ?a, n a

n=1

时,结果显然.在由 k 到 k+1 时,关键在如何利用递推式. 【解答】 (i)n=1 时,a1=1+a>1,命题真;

(ii)假设 n=k 时,命题真,即 ak>1. 对 n=k+1,欲使 ak+1>1,只须 ak+1=

1 ? a ? 1. ? ak

【插语】

因为 ak>1,所以

1 1 <1,由递推式 ak+1= +a 推不出 ak+1>1 来,因此,问题向何处转化,得 ak ak
62

另寻对象. 递推式中,ak 出现在分母上,要得到 ak+1 成立必须找 ak 的取值范围. 【续解】 欲使 ak+1=

1 1 +a>1,必须且只须对一切 n∈N+, 都有 ak< . ak 1? a

【插语】 【续解】

以下问题转化为用数学归纳法证明 1<ak< (i)n=1,显然有 1<a1<

1 . 1? a 1 . 1? a

1 . 1? a

(ii)假设 n=k 时,不等式成立,即 1<ak< 又 ak>1 ?

对于 n=k+1,ak+1=

1 +a>(1-a)+a=1. ak

1 1 <1 ? +a<0+a. ak ak

因为 1-a2<1 ? (1+a)(1-a)<1 ? 1+a<

1 . 1? a

所以

1 1 1 +a<1+a< ,即 ak+1< . ak 1? a 1? a

由(i)(ii)可知,对一切 n∈N+,都有 1<an< 【点评】

1 . 1? a

证完了吗?证完了.不用证原来的不等式了,因为已经证明原不等式的“等价替身”.

【例 2】 ? A.第一 【解答】 故复数

在复平面内,复数

i ? (1 ? 3 i) 2 对应的点位于 1? i
C.第三象限

( D.第四象限



B.第二象限

i i(1 ? i) 3 1 3 1 ? (1 ? 3 i) 2 = ? (?2 ? 2 3 i) ? ? ? ( ? 2 3 ) i .这里 ? 与 ? 2 3 都是负数, 1? i 2 2 2 2 2

i ? (1 ? 3 i) 2 对应的点位于第三象限,选? C ?. 1? i
本解实施由复数向实数的转换. 设 f (x)=log3(x+6)的反函数为 f -1(x), [f -1(m)+6] -1(n)+6] 若 [f =27, 则 f(m+n)= 由 f (x)=log3(x+6) ? f
-1

【点评】 【例 3】 【解答】

.

(x)=3x-6.∴[f

-1

(m)+6][f

-1

(n)+6]=27 ? 3m?3n=33 ? m+n=3.∴

f(m+n)=log3(3+6)=2. 【点评】 【例 4】 本解实施函数与其反函数之间的互相转换. 定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于点( ? ) ? C.3 ? D.4

3 3 ,0)对称,且满足 f (x)= -f (x+ ),f (1)=1,f (0)=-2, 2 4

则 f (1)+f (2)+f (3)+?+f (2006)的值为( ? A.1 【解答】 B.2 由 f (x)= -f (x+

3 3 3 3 ) ? f (x+3)= f[(x+ )+ ]=-f (x+ )=f (x)知 f (x)是最小正周期 T=3 的周期 2 2 2 2 3 3 函数;由 f (x)的图象关于点( ? ,0)对称,知(x,y)的对称点是(- -x,-y).也就是若 y=f (x),则必-y=f 2 4

63

(-

3 3 3 3 3 3 -x),或 y=-f (- -x). 而已知 f (x)=-f (x+ ),故 f (- -x)= f (x+ ),今以 x 代 x+ ,得 f (-x)= f (x),故知 2 2 2 2 2 2
而 2006=3?668+2,于是 f (2006)=0?668+f (1)+f

f (x)又是 R 上的偶函数.于是有:f (1)=f (-1)=1;f (2)= f (2-3)=f (-1)=1;f (3)= f (0+3)= f (0)=-2; ∴f (1)+f (2)+f (3)=0,以下,这个数列每 3 项之和为 0. (2)=2,故选? A ?. 【点评】 【例 5】 本解实施的是由繁向简的转换. 对于函数 f (x)定义域中任意的 x1, 2(x1≠x2), x 有如下结论: (x1+x2)= f (x1)? (x2); (x1? x2) ①f f ②f

=f (x1)+f (x2);③ 论的序号是 【解答】

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) >0;④ x1 ? x 2
.

? x ? x2 f? 1 ?x ?x 2 ? 1

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?< ,当 f (x)=lgx 时,以上结论中正确结 ? 2 ?

取 x1=10,x2=100,

那么 lg(10+100)=lg110,而 lg10?lg100=2,知①不成立;lg(10?

100)=lg1000=3 , 而 lg10+lg100=1+2=3 , 知 ② 成 立 ; lg

10 ? 100 lg 10 ? lg 100 =lg55=lg 3025 , ? lg 1000 ,则④不成立. 2 2

lg 10 ? lg 100 >0 显 然 成 立 , ③ 正 确 ; 10 ? 100

综上,只有②③成立. 【点评】 本解实施的是虚实转换.使用特殊值使这种转换更为简洁直观.

●对应训练 1.函数 y=

3 ? sin 2 x (x≠kπ ;k∈Z)的值域是 2 sin x
B.(1,2 3 ] C.(0,4] D.

(

)

? A.[2 3 ,+∞)

[4,+∞)

2.若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2003+a2004>0,a2003?a2004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是 ? A.4005 3.设复数 z 满足 ? A.0 B.4006 C.4007 ( ) D.4008 ? ( C. 2 D.2 ? )

1? z =i,则|1+z|= 1? z
B.1

4.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的 凸多面体的体积是 ? A. ( B. ) D.

6 7

5 6

C.

4 5

2 ? 3
( )

5.若双曲线 2x2-y2=k(k>0)的焦点到它相对应的准线的距离是 2,则 k= ? A.1 ●参考答案
64

B.4

C.6

D.8 ?

1.? D ?

令 u=sin2x,则 0<u?1,又∵y=

3 1 +u 在(0,1]上是减函数,∴u=1 时,ymin ?= +1=4.故值域 u 3

为[4,+∞). 2.? B ? ∵a1>0,a2003+a2004>0,a2003?a2004<0,且{an}为等差数列.

∴{an}表示首项为正数,公差为负数的单调递减等差数列,且 a2003 是绝对值最小的正数,a2004 ?是绝对值最 大的负数(第一个负数),且|a2003|>|a2004|, ∵在等差数列{an}中,a2003+a2004=a1+a4006>0,S4006= ∴使 Sn>0 成立的最大自然数 n 是 4006. 3.? C ? 4.? B ? 利用合分比性质,由

4006 (a1 ? a 4006 ) >0. 2

1? z ? i ,解得 z=-i, 1? z

∴|1+z|=|1-i|= 2 .

设每个三棱锥的体积为 V′,则剩下的凸多面体的体积是

V=1-8 V ? ,V′=

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 3 48
x2
k 2

∴V=1-8V′=1-

1 5 ?8= . 48 6

5.? C ?

双曲线为

?

y2 a2 b2 k 3 ? 1 , 2= , 2=k, 2=a2+b2= k , a b ∴c 由条件: c=2, 即 =2. ∴b2=2c, k c c 2 2

得:k=2?

3 k . ∴k2=6k,k>0,∴k=6. 2

第 19 计
●计名释义

模式开门

请君入瓮

数码时代就是非数学问题数学化,非数字问题数字化,非函数问题函数化,非方程问题方程化,如此等 等. 如何“化”法呢?这就是数学建模.数学建模是一种能力,把实际问题加工为数学问题的能力. 数学建模是一种思维形式,对中学生来讲,有以下三种形式. 第一,现成的模式直接拿来应用;第二,实际问题理想化,从复杂的问题中抓住主要矛盾,使之符合某 种现有的模式;第三,对原始问题进行重新建构,“重新”的意思包含:①对原有模型重新组合;②对新问 题创建新模式.

● 典例示范

【例 1】 ( )

实 数 x , y 满 足 x2+(y-1)2=1 , 则 使 不 等 式 x+y+c ? 0 恒 成 立 的 实 数 c 的 取 值 范 围 是

65

? A ?.[-1 ? 2 , 2 -1] ? C ?.( ? 2 +1, 2 -1) 【分析】

B ?.[ 2 -1,+∞) D ?.(-∞, ? 2 -1)

容易看出:x2+(y-1)2=1 表示以(0,1)为圆心,1 为半径的圆,而 x+y+c?0 表示直线 y=-x-c

即其上半平面, 因而构造解析几何模型, 原题转化为: 当点 , 既在直线 y=-x-c 上方, (x y) 又在圆 x2+(y-1)2=1 上运动时,实数 c 应满足什么条件? 【解答】 如图,斜率为-1 的直线

y=-x-c 切圆 x2+(y-1)2=1 于 A,B, 交 y 轴于 M,N.连 AB, 则 AB 过圆心 C(1,0). 等腰直角三角形 MCB 中,∣CB∣=1, ∴∣CM∣= 2 ,设 M(0,-c), 必-c=1- 2 ,得 M(0,1- 2 ). 当且仅当-c?1- 2 时,圆 x2+(y-1)2=1 上的点在直线 y=-x-c 上或其上方.于是 c? 2 -1,选? B ?. 例 1 题解图

【例 2】

1 2 ? 2 2 ? x ? xy ? 3 y ? 5 ? ?1 2 2 2 正数 x,y,z 满足方程组 ? y ? z ? 3 ,则 xy+2yz+3xz 的值是 3 ? ? z 2 ? zx ? x 2 ? 4 2 ? ?

.

【分析】

从题目的条件看,方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式,而右边正好是一个直角三角

形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.

【解答】

? 2 ? 1 ?2 1 y ? ? 2x ? y ? cos150 ? ? 5 2 ?x ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? 2 ?? 1 ? 将原方程组改写如下: ?? , y ? ? z 2 ? 32 ? ? ? 3 ? ? ? x 2 ? z 2 ? 2 xz ? cos120 ? ? 4 2 ? ? ?

构造如图的直角三角形 ABC,使 AB=5, AC=4,BC=3.又在△ABC 内取一点 P, 使∠APB=150°,∠APC=120°,
66

∠BPC=90°.显然符合题设条件. ∵S△APB+S△BPC+S△CPA=S△ABC, 而 S△APB=

1 1 1 x? y?sin150= xy, 2 3 4 3
例 2 题解图

S△APC=

3 1 xz?sin120°= xz, 4 2

S△BPC =

3 1 1 1 1 1 z? y= yz,S△ABC=6.∴ xy+ xz+ yz=6, 4 2 3 2 3 4 3 2 3

∴xy+2yz+3xz=24 3. .

【例 3】

某城市为了改善交通状况,需进行路网改造,已知原有道路 a 个标段,(注:1 个标段是指一定

长度的机动车道),拟增建 x 个标段的新路和 n 个道路交叉口,n 与 x 满足关系 n=ax+b,其中 b 为常数, 设新建一个标段道路的平均造价为 k 万元;新建一个道路交叉口的平均造价是新建 1 个标段道路的平均造价 的β 倍(β ?1),n 越大,路网越通畅,记路网的堵塞率为μ ,它与β 的关系为μ = (Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价 y(万元)与 x 的函数关系式; (Ⅱ)若要求路网的堵塞率介于 5%~10%之间,而新增道路标段为原有道路的标段的 25%,求新建的 x 个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比 p 的取值范围. (Ⅲ)当 b=4 时,在(Ⅱ)的假设下,要使路网最通畅,且造价比 p 最高时,问原有道路标段为多少个? 【解答】 (Ⅰ)新建 x 个标段,则应建 n=ax+b 个道口,建 x 个标段需 kx 万元,建(ax+b)个道口需

1 . 2(1 ? ? )

y=kβ (ax+b)(万元). (Ⅱ)∵μ ∈[5%,10%], ∴0.05?

1 ?0.1,5?1+β ?10,即β ∈[4,9], 2(1 ? ? )

kx x 又 p= = ? y ? (ax ? b)

1 a 4a . ? 2 1 ? (a ? 4b) ? ( a ? a ? b) 4

∵p>0,β >0,∴

1 a 1 1 >0,当β ∈[4,9]时, ∈[ , ],所求 p 的范围是: ? 9 4 a ? 4b
2

a a ? p? . 2 9(a ? 4b) 4(a ? 4b)
2

67

(Ⅲ)路网最畅通,则μ 最小,即β 最大, 故β =9,又 b=4. ∴p=

a 1 1 1 16 1 , 当且仅当 a= . a>0, a=4 时, 即 造价比 p= 为最高. ? ? ? 16 ? 9 ? 2 16 72 72 a 9(a ? 16) ? 9? a ? ? a? ?
2

∴满足(Ⅲ)的条件的原有道路标段是 4 个. 【点评】 本例属城市规划型应用题,牵涉到的数学知识虽然不变,可是题目牵涉到的新概念如“标段”、

“堵塞率”、还有新定义的字母 n、β 、μ 等都会成为解题的拦路虎,所以解这类应用题的基本办法是反复 阅读,务求读懂题,读懂一部,做一步,在做中加深理解,从而创造再做的条件,如此反复,必可导致问题 的完全解决. 【例 4】 你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案,生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上

切割出一块矩形钢板,问你该如何安排切割方案才能使损耗最小? 【思考】 此题条件太抽象,完全靠自主建立模型,在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、

钝角三种情况,恰当的引入参数角θ 将所求量用其表示出来. 【解答】 设扇形 OAB 的半径为 R,中心角为 2α .

(1)当中心角小于直角时,如图(1)所示,设∠BOD=θ , 则 S□CDEF =DE?EF=Rsinθ ?

R sin(2? ? ? ) R2 ? ?[cos2(α -θ )-cos2α ]? sin 2? 2 sin 2?

R2 当 2(α -θ )=0,即θ =α 时,S□CDEF 有最大值 tanα . 2
(2)当中心角等于直角时,如图(2)所示,因 EF=OE=Rcosθ , 则 S□CDEO=DE? EF=Rsinθ ?Rcosθ =

R2 R2 ? ? sin2θ ,当 2θ = 即θ = =α ,S□CDEO 有最大值 . 2 2 2 4

(3)当中心角大于直角时,如图(3)所示,CDEF 为扇形的内接矩形,取 AB 的中点 M,连结 OM,则∠BOM= α , ∠ D E O = π - α , 令 ∠ D O M = θ , 则 矩 形 面 积 S = C D ? D E = 2 R ? s i n θ

?

R sin(? ? ? ) 2 R 2 sin ? sin(? ? ? ) R2 ? ? [cos (2θ -α )-cosα ],当 cos(2θ -α )=1. sin ? sin ? sin ?
即θ =

R 2 (1 ? cos? ) ? ? ? R 2 tan ?. 时,Smax= sin ? 2 2

此时,只需将扇形弧四等分,以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形 CDEF,再沿其周界切开即可.

68

例 4 题解图 ●对应训练 1.已知 a<b<c,求证:a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.
2 2 2.已知 a,b,c,d 为实数,求证: a ? b ?

c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .

3.设 n 是大于 1 的自然数,求证: ?1 ?

? ?

1 ?? 1 ? ? 1 ? ??1 ? ? ??1 ? ?? 3 ?? 5 ? ? 2n ? 1 ?
2 2

2n ? 1 . 2

1? ? 1? ? 4.若 a,b≠0,且 a +b =1,求证: ? a ? ? ? ? b ? ? ? 9. a? ? b? ?
2 2

5.α ,β ,γ 均为锐角,且 cos2α +cos2β +cos2γ =2,求证:tanα tanβ tanγ ?

2 . 4

6.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 5000 元,但每生产 1 台时又需可变成本(即另增加投 入)25 元,市场对此商品的年需求量为 500 台,销售的收入函数为 R(x)=5xx 是产品售出的数量(百台). (1)把利润 l 表示为产量 x 的函数 L (x); (2)年产量为多少时,企业所得利润得大? (3)年产量为多少时,企业才不会亏本? 7.在边长为 5cm,6cm,7cm 的三角形铁皮中,能否剪下一个面积不小于 8cm2 的圆形铁片?请做出准确回答 并证明你的结论? ●参考答案 1.原题即证:a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2<0 或 a2(b-c)+a(c2-b2)+bc(b-c)<0. 设 f (a)=a2(b-c)+a (c2-b2)+bc (b-c) (a<b<c), 这里 b-c<0,且Δ =(b+c)2(b-c)2-4bc(b-c)2=(b-c)4>0.? ∴f (a)的图像是开口向下的抛物线,其对称轴为 x=

1 2 x (万元)(0?x?5),其中 2

b?c? b?c b?c ? ,而 >b>a,函数在 ? ? ?, ? ? 上递增,∴ 2 ? 2 2 ?

f (a)<f (b),但 f (b)=0,∴f (a)<0,故 a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.
69

2 ?如图所示,在直角坐标系中, 设有 A(a,b),B(c,d)两点, 连接 AO,OB,显然 |OA|+|OB|?|AB|(当 A、O、B 共线时等式成立).
2 2 2 2 ∴ a ?b ? c ?d ?

(a ? c) 2 ? (b ? d ) 2

第 2 题解图

若将点 B 的坐标改为 (-c,-d),则有:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .
3 ?设 A ? ?1 ? ??1 ? 即A?

? ?

1 ?? 1 ??

1 ?? 1 ? 1 ? ? ??1 ? ? ? ? ? ?1 ? ?, 3 ?? 5 ? ? 2n ? 1 ?
则A?

2 4 6 2n , ? ? ? 1 3 5 2n ? 1
? ?

3 5 7 2n ? 1 . ? ? ??? 2 4 6 2n
1 ?? 1 ? 1 ? ? ??1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 2n ? 1 2. 3 ?? 5 ? ? 2n ? 1 ?
2n ? 1 . 2

?两式相乘:A2>2n+1,∴A= ?1 ? ??1 ?

1 ?? 1 ??

即 ?1 ? ??1 ?

? ?

1 ?? 1 ??

1 ?? 1 ? 1 ? ? ??1 ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 3 ?? 5 ? ? 2n ? 1 ?

4.在坐标平面内设有两点 A(a,b),? B ? ?
2 2

1? ? 1 ,? ? ? , b? ? a

1? ? 1? ? 则|AB|= ? a ? ? ? ? b ? ? a? ? b? ?
设过 A 的直线 l:ax+by-1=0. ∵a?a+b?b-1=a2+b2-1=0,

∴点 A(a,b)符合条件 a2+b2=1. 作 BC⊥l 于 C,则|AB|?|BC| (当直线 l⊥AB 时等式成立).

? 1? ? 1? | a ? ? ? ? b? ? ? ? 1 | ? a? ? b? ? 3, ∵|BC|= a2 ? b2
1? ? 1? ? ∴ ? a ? ? ? ? b ? ? ?3. a? ? b? ?
5 ?如图所示,设长方体的长、宽、高
70
2 2

第 4 题解图

1? ? 1? ? 即 ? a ? ? ? ? b ? ? ?9. a? ? b? ?

2

2

分别为 a,b,c,连接 BD1,设∠BD1B1=α , ∠BD1A=β ,∠BD1C=γ . ∵BD1= a ? b ? c ,B1D1= a ? b ,
2 2 2 2 2

AD1= b ? c ,
2 2

CD1= c ? a ,∴满足
2 2

cos2α +cos2β +cos2γ =2,且α ,β ,γ 均为锐角. 于是 tanα ?tanβ ?tanγ =

第 5 题解图

c a ?b
2 2

?

a b ?c
2 2

?

b a ?c 2
2

??

abc 2ab ? 2bc ? 2ac
2 . 4

?

1 2 2

故? tanα ?tanβ ?tanγ ?

6.(1)年产量在 500 台以内(即 0?x?5),可全部售出;年产量超过 500 台(即 x>5).只能售出 500 台, x(百台)的生产成本为 C(x)=0.25x+0.5(万元). 故利润函数 L(x)=R(x)-C(x).

1 2 1 x )-(0.25x+0.5)= - x2+4.75x-0.5. 2 2 1 当 x>5 时,由于只能售出 500 台,∴L(x)=(5?5- ?52)-(0.5+0.25x)=12-0.25x. 2
当 0?x?5 时,L(x)=(5x-

? 1 2 ?1 x ? 4 ? 75 x ? 0 ? 5(0 ? x ? 5) 于是 L( x) ? ? 2 . ?12 ? 0 ? 25 x? ( x ? 5) ?
(2)为使利润最大,须求 L(x)的最大值,显然 x>5 时不可取(会造成积压). 当 0?x?5 时,∵L′(x)=-x+4.75,命 L′(x)=0,得 x=4.75,L(x)的图像为开口向下的抛物线,∴当 x=4.75

1 ? 19 ? 1 345 时,[L(x)]max= ? ? ? ? ? =10.78125(万元),即年产量为 475 台时,企业利润最大. 2 ? 4? 2 32
(3)为使企业不亏本,必须 L(x)?0.显然,0?x?5 时,应使即 2x2-19x+2?0,解得 0.11?x?14,综合得:0.11?x?5. x>5 时,应使 12-0.25x?0,得 5<x?48. 于是,为使企业不亏本,产量应在 11 台至 4800 台之间. 7.可以办到.如图所示,证明如下:
71

2

1 2 x +4.75x-0.5?0. 2

设△ABC 内切圆半径为 r,则

1 (5+6+7)r=9r ① 2 25 ? 36 ? 49 1 ∵cosB= ? 2?5?6 5
S△ABC= ∴sinB= 1 ? ∴S△ABC=

第 7 题解图

1 2 ? 6 25 5

2

1 2 ?5?6? 6 =6 6 (cm2) 2 5

?2 6? 2 8 8 ? ? ? ? ? 3 =8(cm)2. 比较①,②:9r=6 6 得 r= 6 (cm),于是? S⊙O= ? ? ? 3 ? 3 3 3 ? ?

第 20 计
●计名释义

讨论开门

防漏防重

为什么要讨论?因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了,那就只有“分”.分就是化整为 零,以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢?因为在“部分”中有了“个性”,这相当于增加了解题的条 件. 分类要注意“标准统一”,这将可避免“重”和“漏”,用集合的话说,就是,把全集合分成若干个子 集之后,要使: ①两两子集之交为“空”;②所有子集之并为“全”. 分是手段,合为目的,分类讨论完毕之后,要整合出对整个问题的答案. ●典例示范 【例 1】 已知 a∈R,函数 f (x)=x2|x-a|.

(1)当 a=2 时,求使 f (x)=x 成立的 x 的集合;(2)求函数 y=f (x)在区间[1,2]上的最小值. 【分析】 【解答】 (1)只需分两种情况讨论; (2)含参数的讨论问题,一定要把所有情况考虑出来,否则容易丢解.

? 2 x ? x ( x ? 2) ? (1)当 a=2 时,f (x)=x |x-2|= ? 2 ? x (2 ? x) ? x ?
2

?2 ?2

当 f (x)=x 时,即 x2(x-2)=x

(x?2)或 x2(2-x)=x

(x<2)x3-2x2-x=0,x(x2-2x-1)=0,

x1=0(舍去),x2=1- 2 (舍去),x3=1+ 2 . 当 x2(2-x)=x 时,∴x3-2x2+x=0,x(x2-2x+1)=0,x=0 或 x=1. 综上所述:a=2 时,f (x)=x 成立的 x 的集合为{0,1,1+ 2 }.

72

? x 2 ( x ? a)? x ? (2)f (x)= ? 2 ? x (a ? x) ? x ?

?a ?a

若 a?1 时,即 a<1?x?2,f (x)=x3-ax2.

∴f ′(x)=3x2-2ax=0,∴x1=0,x2= ∴x=0 或 x=

2 a 3

∵1?x?2,∴

2 a<x,0<x. 3

2 a 都不在[1,2]内,而 x∈[1,2], 3
∴f (1)=1-a,f (2)=8-4a. ∴f (x)min=1-a.

f ′(x)>0,即 f (x)在[1,2]内为增函数.
2 ? 3 ?? x ? ax ? 若 a∈(1,2),即 f (x)= ? 3 ? x ? ax 2 ? a ?

1? x ? a ?x?2

当 1?x?a 时,f (x)=-3x2+2ax=0,x1=0,x2= 若 a<

2 a. 3

2 时,1?x<a,f ′(x)<0. 3

∴f ′(x)=-x3+ax2 在[1,a]为减函数,

∴f (x)min=-a3+a3=0. 当 a?x?2 时,f ′(x)=3x2-2ax=0,x1=0,x2= ∴f (x)在[a,2]上为增函数. 当 a>2 时,x∈[1,2]. ∴f ′(x)=2ax-3x2=0. 若

2 a. 3

当 x∈[a,2],f ′(x)>0.

∴f (x)min=0. f (x)=x2(a-x)= ax2-x3. ∴x1=0,x2=

2 a 3
f (1)=a-1,f (

4 2 2 < a?2,f (x)在[1, a]上为增函数. 3 3 3 2 f (x)在[ a,2]为减函数,f (2)=4a-8. 3
∴f (x)min 为 a-1,4a-8 中的较小数.

2 4 8 3 4 3 a)= a3a= a. 3 9 27 27

即 2<a<

7 时,f (x)min= 4a-8 3

7 ?a?3,f (x)min=a-1 3

a>3 时,x∈[1,2]时,f ′(x)>0∴f (x)min=f (1)=a-1.

综上所述,a?1 时,f (x)min=1-a, a∈(1,2)时,f(x)min=0, a∈[ a∈(2,

7 )时,f (x)min= 4a-8; 3
a∈(3,+∞)时,f (x)min=a-1.

7 ,3]时,f (x)min ?=a-1; 3

【点评】

本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第 (1) 问中要对 x 的取值进行讨论,

第(2)问中对 a 的取值进行讨论,而且分了四种情况,可见分类讨论的考查无处不在. 【例 2】 设 f (x)=g(x)-h(x),其中 g(x)=2x3+ x +5,h(x)=(3a+3)x2-12a(1-a)x+ x .

(1)若 x>0,试运用导数的定义求 g′(x); (2)若 a>0,试求定义在区间[0,6]上的函数 f (x)的单调递增区间与单调递减区间.

73

【 解 答 】

( 1 ) g ′ (x)= lim

? ( x ? ?x ) 3 ? x 3 g ( x ? ?x ) ? g ( x ) ? lim ?2 ? ? ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x ?

x ? ?x ? x ? ? ?x ?

? 3 x 2 ? x ? 3 x ( ? x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? ?x lim ?2 ? ? = ? ?x ? 0 ?x ? x ( x ? ?x ? x ) ? ?
= lim {2[3x ? 3x(?x) ? (?x) ] ?
2 2 ?x ?0

1 x ? ?x ? x

} ? 6x 2 ?

1 2 x

.

(2)由 f (x)=g(x)-h (x)=2x3-(3a+3)x2+12a(1-a)x+5 得 f′(x)=6x2-(6a+6)x+12a(1-a)=6(x-2a)(x-1+a),令 f′(x)=0 得 x=2a 或 x=1-a. ①当 0<a<

1 时,0<2a<1-a<6,于是函数 f (x)在[0,2a]上单调递增,在[2a,1-a]上单调递减,在[1-a, 3

6]上单调递增; ②当

1 ?a<1 时,0<1-a?2a<6,于是函数 f (x)在[0,1-a]上单调递增,在[1-a,2a]上单调递减,在[2a, 3

6]上单调递增; ③当 1?a<3 时,1-a?0<2a<6,于是函数 f (x)在[0,2a]上单调递减,在[2a,6]上单调递增; ④当 a?3 时,1-a<0<6?2a,于是函数 f (x)在[0,6]上单调递减. 【点评】 成问题了. ●对应训练 1.若集合 A1,A2 满足 A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合 A 的一种分拆,并规定:当且仅当 A1=A2 时,(A1,A2) 与(A2,A1)为集合 A 的同一种分拆,则集合 A={a1,a2,a3}的不同分拆种数是 ? A ? 27 B ? 26 C?9 D?8? 本题中对 a 的划分是关键,最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类,再进行讨论就不

2. 若 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an= ( ?A )

3? n ? 2 ? n ? (?1) n (3? n ? 2 ? n ) , n ∈ N+ , 则 lim(a1 ? a 2 ? ? a n ) 等 于 n ?? 2

11 ? 24

B?

17 24

C?

19 24

D

25 ? 24

3. 如图,已知一条线段 AB, 它的两个端点分别在直 二面角α -l-β 的两个面内转动, 若 AB 和平面α 、β 所成的角分别 为θ 1、θ 2,试讨论θ 1+θ 2 的范围. 第 3 题图
74

●参考答案 1.? A ? 由于 A={a1,a2,a3}=A1∪A2,以 A1 为标准分类.
0 3

A1 是,则 A2={a1,a2,a3},这种分拆仅一种,即? C 3 ?C 3 =1; 如 A1 为单元素集,有 C 3 种可能,对其中每一种,例如 A1={a1},由于必有 a1,a3∈A2,且 a1∈A2 或 a1? A2
1

都符合条件. 这种分拆有? C 3 · 2 =6 种. C 如 A1 为双元素集,有 C 3 种可能,对其中每一种,不妨设 A1={a1,a2},则必 a3∈A2,此外对 a1,a2 可以不选, 选 1 个或全选,有 22=4 种选法,这种分拆共有? C 3 ?4=12 种. 若 A1 为三元素集,则 A2 可以是{a1,a2,a3}的任何一个子集,故这种分拆有 23 种. 于是共有 1+6+12+8=27 种不同的分拆. 2.分析:直接赋值,无法求解,观察题设及欲求式,需对 n 分奇数、偶数两种情况进行讨论. 解析:根据题意,得 an= ? ∴{a2n-1}是首项为
n ??

1

1

2

2

? ?n n ?2 , ? ? ?n n ?3 , ?

为奇数, 为偶数

1 1 1 1 ,公比为 的等比数列,{a2n}是首项为 ,公比为 的等比数列. 2 4 9 9
n ?? n ??

∴ lim (a1 ? a 2 ? ? a n ) ? lim (a1 ? a3 ? ?) ? lim (a 2 ? a 4 ? ?)

1 1 19 = 21 ? 91 ? . 1 ? 4 1 ? 9 24
点悟:解分类讨论问题的一般步骤为:

故选? C ?.

(1)确定分类讨论的对象:即对哪个参数进行讨论; (2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏,标准要统一、分层不越级); (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决; (4)归纳总结:将各类情况总结归纳. 3.分析:由于 AB 于 l 的位置关系不定,故需分类讨论. 解:(1)当 AB⊥l 时,显然θ 1+θ 2=90°?. (2)当 AB 与 l 不垂直时,在平面α 内作 AC⊥l,垂足为 C,连结 BC. ∵平面α ⊥平面β ,∴AC⊥平面β . ∴∠ABC 是 AB 与平面β 成的角,即∠ABC=θ 2. 同理可得∠BAD=θ 1.

在平面β 内作 BD⊥l,垂足为 D,连结 AD. 在 Rt△BDA 和 Rt△ACB 中,∵BD<BC,∴

BD BC ,即 sinθ 1<sin∠BAC. ? AB AB
75

∵θ 1 与∠BAC 均为锐角,∴θ 1<∠BAC. 而∠BAC+θ 2=90°,∴0°<θ 1+θ 2<90°. (3)若线段 AB 在直线 l 上,则θ 1+θ 2=0°. 综上,可得 0°?θ 1+θ 2?90°. 点悟:由于几何问题中各元素的位置关系不定,对于所有可能的情况,必须分开一一进行研究.

第 21 计
●计名释义

图表开门

信息传送

图表也是一种数学语言.这种语言以图形和表格的形式传送信息,它有立意新颖,设计灵活,构思精巧, 内涵丰富,解法多样等特点,因而备受当今命题人的青睐,许多创新题型每每在图表上打主意. 解图表型题目应在读图表,识图表和用图表上找窍点,通过观察找到其中的关键点,有效地实现图表语 言到文字语言的转化,从而在思考上引起质的飞跃,从而达到破题的目的. ●典例示范 【例 1】 如图,甲、乙两人分别

位于方格中 A、B 两处,从某一时刻开始 ,两人同时以每分钟一格的速度向东或 西或南或北方向行走,已知甲向东、 西行走的概率均为 概率分别为

1 ,向南、北行走的 4

1 和 p; 3
例 1 题图

乙向东、西、南、北行走的概率均为 q. (1)求 p 和 q 的值;

(2)试判断最少几分钟,甲、乙两人可以相遇,并求出最短时间内可以相遇的概率. 【分析】 【解答】 ∴ 同时进行两个相互独立事件,因为概率的总和为 1,因此有以下解答. (1)甲向四个方向行走是一个必然事件, ∴p=

1 1 1 + + +p=1, 4 4 3

1 . 6

同理 4q=1,∴q=

1 . 4

【分析】

甲、乙二人到底在哪儿相遇没有定数,但我们可以看到,甲、乙二人在一个正方形的两个对角

顶点上.他们要在最短时间内相遇,他们必须沿着这个正方形的边行走. 【解答】 (2)如解图,

设甲、乙两人在 C、D、E 处 相遇的概率分别为 pC、pD、pE.
76

【插语】

从图形中来,

回到图形中去,在图上标明 这三点,让我们的思路一目了然, 才会有下面的解答. 【继解】 【插语】 甲、乙两人最少需要 2 分钟可以相遇. 每人朝对方走 2 步, 例 1 题解图 pD=2 ?

因为他们的速度相同(每分钟都是一格). 【继解】 则 pC = ?

1 ?1 1? ?1 1? , ? ??? ? ? ? ? 6 6 ? ? 4 4 ? 576

?1 1? ?1 1? 1 , ? ? ? 2? ? ? ? ? 6 4 ? ? 4 4 ? 96

pE= ?

?1 1? ?1 1? 1 ? ??? ? ?= . ? 4 4 ? ? 4 4 ? 256

∴pC+pD+pE= 【评说】

1 1 1 37 ? ? ? . 576 96 256 2304

即所求的概率为

37 . 2304

这是一个几何图形信息题,具有多样性、直观性的特征,充分挖掘图形内涵,全方位地审视图

形,全面掌握图形所提供的信息,以形助数是解决信息题的关键. 【例2】 函数 f (x)=ax3+bx2+cx+d 的部分数值如下:

x y

-3 -80

-2 -24

-1 0

0 4

1 0

2 0

3 16

4 60

5 144

6 280

则函数 y=lg f (x)的定义域为 【分析】 的值. 【解答】 【插语】

.

所求函数为复合函数,只需 f (x)>0 即可,但 f (x)中含有四个系数 a,b,c,d,所以先确定它们

设 f (x)=a(x+1)(x-1)(x-2),而 f (0)=4,∴a=2. 为什么这样设?这来源于表格中 y 有三个 0 值点,关键点的选取,使我们的系数一下减少了 3 个.

此设是本题的一个突破口. 【续解】 ∴f (x)=2(x+1)(x-1)(x-2).

要使 y=lg f (x)有意义,则有 f (x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0, 由数轴标根法解得-1<x<1 或 x>2. ∴函数 y=lg f (x)的定义域为(-1,1)∪(2,+∞). 【评说】 本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起,而且给出了多余的条件信息,属

77

开放问题, 这些正是题目命制的创新之处.解答这类信息过剩的问题时, 要注意从众多的信息中, 观察、 分析、 筛选,放弃无用的信息,挑选出与解题有关的信息,找到解题的突破口,这种能力正是在当今“信息大爆炸” 的社会所需要的能力. ●对应训练 1.甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛,射击相同的次数,已知两运动员射击的环数稳定在 7,8,9,10 环.他们的这次成绩画成频率分布直方图如图所示. (1)根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图,推断乙击中 8 环的概率 P(ξ 环以上(包括 9 环)的概率; (2)根据这次训练比赛的成绩估计甲,乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).


=8),并求甲,乙同时击中 9

第 1 题图 2.如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半, 如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中向量 OA 围绕着点 O 旋转 了θ 角,其中 O 为小正六边形的中心,则? sin

?

? cos = 6 6

?

.

第 2 题图

●参考答案 1.(1)由图乙可知 P(ξ ∴P(ξ
乙 乙

=7)=0.2,P(ξ



=9)=0.2,P(ξ



=10)=0.35,

=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.
78

由图甲可知 P(ξ ∴P(ξ ∵P(ξ




=7)=0.2,P(ξ



=8)=0.15,P(ξ



=9)=0.3,

=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35. ?9)=0.3+0.35=0.65, P(ξ
甲 乙



?9)=0.2+0.35=0.55.∴甲、 乙同时击中 9 环以上 (包括 9 环) 的概率为:

P=P(ξ (2)∵Eξ Eξ


?9)?P(ξ



?9)=0.65?0.55=0.3575.



=7?0.2+8?0.15+9?0.3+10?0.35=8.8, ∴Eξ


=7?0.2+8?0.25+9?0.2+10?0.35=8.7,

>Eξ



,所以估计甲的水平更高.

【评说】

条形统计图能直观反映各种数据,具有可比性、规律性.理解图形内容,找出变化趋势和规律,是解

答条形图信息的关键. 2.从第一图的开始位置变化到第二图时,向量 OA 绕点 O 旋转了 ? 从第二图位置变化到第三图时,向量 OA 绕点 O 旋转了 ?

?
3

(注意 OA 绕点 O 是顺时针方向旋转),

2? ,则从第一图的位置变化到第三图位置时,正 3

好小正六边形滚过大正六边形的一条边,向量 OA 绕点 O 旋转了-π .则小正六边形沿着大正六边形的边滚动 一 周 后 返 回 出 发 时 的 位 置 , 向 量 OA 绕 点 O 共 旋 转 了 -6 π , 即 θ = -6 π , 因 而 ? sin

?
6

? cos

?
6

? cos(?? ) ? sin(?? ) ? ?1.

【评说】

本题要仔细阅读题意,分析图形,把握图形与题意的联系,可从简单情形,特殊位置入手,找

到变化规律来解决问题.

第 22 计
●计名释义

数形开门

体美神丰

“有数无形少直观,有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义. “凭直观,图上看;想深入,解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征. “遇式不用愁,请你先画图;看图莫着急,静心来分析”.——这是在讲数形互动. “图形有形象,记数不易忘;解析有内功,看图静变动”.——这是在讲数形互补. “观图见形美,初品数学味;想数内涵丰,数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏. 函数有图形——图象,轨迹有图象——图形,三角、几何就更不必说,集合有韦恩图,逻辑有方框图, 组合、二项式有杨辉三角,如此等等. 然而,数形结合中的形,仅相对数而言.如几何中最简单的直线,平面等,现实生活中并不存在. 这里的形是数的象征,是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”,这是对数形的大误, 你怎么不把“想象”写成“想像”呢? ●典例示范
79

【例 1】 是 【解答】

若 直线 y=2a 与 函数 y=|ax-1| ( a>0 , a ≠ 1) 的 图象 有 两个 公 共 点, 则 a 的取 值范 围 .

?a x ? 1? x ? 函数 y=|a -1|= ? ?1 ? a x ? x ?
x

?0 ?0

,其图象由 y=|ax|(a>0,a≠1)的图象下移一个单位得到.

如图,当 a>1 时,直线 y=2a 与 y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象仅一个交点; 当 0<a<1 时,当且仅当 0<2a<1 时,直线 y=2a 与 y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象有两个公共点,解得 a∈(0,

1 ). 2

例 1 题解图 【评注】 【例2】 本题也是有数无形,解法是“图形开门,体美神丰”. 当曲线 y=1+ 4 ? x 与 y=k(x-2)+4 有两个相异交点时,
2

实数 k 的取值范围是 ? A. ?

( B. ?



?5 ? , ? ? ?? ? 12 ?

3? ?5 ,? ? ? 12 4 ?
2

C. ? 0, ?

? ?

5? ? 12 ?

D. ? , ? ? 3 4

?1 ?

3? ?

【解答】 方程即 y=1+ 4 ? x 即 x2+(y-1)2= 4

(y?1),它表示以(0,1)为圆心,2 为半径的上半圆;

方程 y=k(x-2)+4 表示过(2,4)且斜率为 k 的直线.原题的含义是:当直线与半圆有两个相异交点时,该直 线的斜率应在什么范围? 如图,直线 MB、MC 与半圆切于 B、C, 半圆的两端依次为 A(-2,1)(2,1). 显然,线段 AB 内任意一点与 M 的连线 与半圆都只一个公共点, ∴kmax=kMA=

4 ?1 3 ? ,设直线 2?2 4

MC 交直线 y=1 于 N,令 ∠DMC=∠DMB=α ,∠DNM=β ,

例 2 题解图

80

显然 tanα =

4 1 ? tan 2? 1 ? 9 5 | DB | 2 ? ? , ? ,∴tanβ =tan(90°-2α )= cot2α = 2 2 tan? 2 ? 3 12 | BM | 3

于是斜率 k∈ ? 【反思】 【例 3】

3? ?5 , ? ? ,选? B ?. ? 12 4 ?

只有准确理解“数”的意义,才能恰当的“图形开门,体美神丰”. 设实数(x,y)满足方程 x2+y2-2x-2y+1=0,则

x ?1 的最小值是 y

.

【解答】

3 4

圆(x-1)2+(y-1)2=1

的圆心 C (1,1),半径 r=1. 如图所示, 此圆在第一象限且与两轴相切, 为求

x ?1 x ?1 的最小值. 先求 的最大值. y y
例 3 题解图

x ?1 表示圆上的点(x,y)与定点 P(-1,0)连线的斜率. y
∴kPA?

x ?1 ?kPB(其中 PA、PB 为过 P 所引圆的切线). y
2? 1 2 1? ( )
1 2 2

设∠APC=∠CPB=θ ,则 tanθ =

1 , 2

∴tan∠BPA=tan ? 2θ =

?

4 . 3

∴?

? x ? 1? ? x ? 1? 4 3 ? ? 3 . 从而 ? y ? ? 4 . ? ? y ? min ? ? min

【例 4】 已知 f(x)是定义在 (-3, 上的奇函数, x∈(0, 3) 当 3)时,(x)的图像如图所示, f 那么不等式 f (x)? cosx<0 的解集是 【思考】 . 将 f (x)在?(-3,3)?内的图像补充完整如图所示.

可知:当 x∈(-1,0)∪(1,3)时,f(x)>0,为使 f (x)?cosx<0,只须 cosx<0,得 x∈ ?

?? ? , ?? ; 3 ?2 ?

当 x∈(-3,-1)∪(0,1)时 f (x)<0,为使 f (x)?cosx<0,只须 cosx>0,得 x∈ ? ?

? ? ? , ? ? 1? ∪(0,1) ? 2 ?

∴f (x)?cosx<0 的解集为 ? ?

? ? ? ?? ? , ? ? 1? ∪(0,1)∪ ? , ? ? . 3 ? 2 ? ?2 ?

81

例 4 题图

例 4 题解图

【点评】

仅凭图像,无法断定 f (x)的解析式,就本题而言,也不必纠缠于此而花费不必要的精力.能断定

f (x)的正、负区间即足够解题需要,这即是图形的功能. ●对应训练 1.若不等式 x2-log ax<0 在(0,0.5)内恒成立,则 a 的取值范围是 ? A ?. ( D ?.a>1 ) )

1 ?a<1 16

B ?.0<a<

1 16

C ?.0<a<1

2.P 是抛物线 y=x2 上任意一点, 则当 P 和直线 x+y+2=0 上的点距离最小时, 与该抛物线的准线距离是 P ( ? A.

1 9
2

B.

3.方程 4 ? 4 x ? x ? ? A.1 个 4.若方程

2? x 的实根共有 x ?1
B.2 个 C.3 个

1 2

C.1 (

D.2 ? ) D.4 个? ( )

lg(2 ? x 2 ) =2 有实数解,则 a 的取值范围是 lg( x ? a )
B.[-2,0)∪(0, 2 ] D.[-2, 2 ]?

? A.(-2,0)∪(0, 2 ) C.(-2, 2 )

5.若关于 x 的方程 2log2(x+a)=1+log2x 有且仅有一个实数解,试求实数 a 的取值范围. ●参考答案 1.? A ? 在同一坐标平面内作 y1=x2,y2=log ax 的图像,如图,

由题意可知必有 0<a<1;进而设 x=0.5 时,y1=x2 图像上的点为 A,两曲线的交点为 P,要使 y2>y1 在(0, 0.5)内恒成立,必须且只需 P 点在 A 的右边,而 P 点与 A 点重合时,a= 变化的规律得

1 ,根据对数曲线随底数的改变而 16

1 ?a<1. 16

82

第 1 题解图

第 2 题解图

2.? B ?

作出 y=x2 及 x+y+2=0 的图像如图所示,设与 x+y+2=0 平行的抛物线切线为 L,由图可知,切点

P0 到 x+y+2=0 的距离最小, P(x0,0) 设 0 y ,?则 L 方程为 y=-x+b 与抛物线 y=x2 联立得:0= ? x 所以 P0 ? ? ?

1 1 2 , y0=x 0 = . 则 4 2

1 1 1 1? , ? ? 到抛物线准线 y=- 的距离为 . 4 2 ? 2 4?
设 y1= 4 ? 4 x ? x ,
2

3.? A ?

变形得(x-2)2+y 1 =8,?∴y1 的图像是以(2,0)为圆心,2 2 为半径的上半圆, 设 y2=

2

2? x ,变形得: x ?1

(x-1)?(y2+1)=1,y2 的图像是以直线 x=1,y=-1 为渐近线的双曲线,如图所示,两曲线仅一个交点,即原方 程只有 1 个实根.

第 3 题解图 4.? A ?
2 2

第 4 题解图

原方程可变形为 lg 2 ? x =lg(x-a), y= 2 ? x , 设 它表示以原点为圆心, 2 为半径的半圆,

如图,设 y=x-a(y>0),它表示斜率为 1 的射线(不含端点),其中 a 的几何意义是射线在 x 轴上的端点,如 图所示,当?-2?a< 2 时,两曲线有交点,又因为 x-a≠1,令 x=1+a 代入方程 2-x2-(x-a)2=0,解得 a=0 或 a=-2,所以 a≠0 且 a≠-2,故 a∈(-2,0)∪(0, 2 ).

5.解析

?x ? 0 ? x ? 0, ? ∵原方程 ? ? x ? a ? 0 ?? ?x ? a ? 2x ? ?x ? a ? 2x

∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程 x+a= 2 x 在 x>0 时有且仅有一个实数解. 问题转化为直线 y=x+a 与曲线 y= 2 x (x>0)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点,由图像易得 a= ?0.

1 或a 2

83

点评

本题若用代数方法求解比较繁琐,由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了.

第 23 计
●计名释义

探索开门

智勇双锋

所谓创新题,就是这之前没有做过,没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目,它的答案(是否 存在),它的解法(暂时不知),需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”. “石头”,指我们已有的知识和方法,这当然是很重要的.若要“过河”,仅有这些还不够. 过河人还需要两大素质:大智大勇! 面对着数学上的探索问题,智、勇体现在哪里?勇——大胆地猜;智——小心地证. ●典例示范 【例 1】 如图所示,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1,C1D1,D1,D 的中

点,N 是 BC 中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 只要满足 条件 【思考】 时, 就有 MN∥平面 B1BDD1 (请填上你认为正确的一个条件即可, 不必考虑全部可能情况) . 显然 HN∥BD,即得 HN∥平面 B1BDD1,为使点 M 在平面 EFGH 内运动时总有 B1BDD1∥M,

只需过 HN 作平面,使之平行于平面 B1BDD1,将线面平行的问题转化为面面平行的问题. 【解答】 连 FH,当点 M 在 HF 上运动时,恒有 MN∥平面 B1BDD1

例 1 题图

例 1 题解图

证明如下:连 NH,HF,BD,B1D1,且平面 NHF 交 B1C1 于 P. 则 NH∥BD,HF∥BB1,故平面 PNHF∥ 平面 B1BDD1. MN 平面 PNHF,∴MN∥平面 B1BDD1. 【例 2】 知 f (x)是二次项系数为负数的二次函数,且对于任何 x∈R,f (2-x)= f (2+x)总成立,问 f (1-2x2)

与 f (1+2x-x2)满足什么条件时,才能使-2<x<0 成立. 【思考】 根据已知条件很容易得到 f (x)是开口向下且对称轴为 x=2 的二次函数,然后可通过函数单调区

间进行分类讨论. 【解答】 由题设知:函数 f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线 x=2 的抛物线.

故函数 f (x)在(-∞,2]上是增函数;在[2,+∞)上是减函数. ∵1-2x2?1<2,1+2x-x2=-(x-1)2+2?2 ∴1-2x2∈(-∞,2],1+2x-x2∈(-∞,2]

84

当 f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时,

1-2x2<1+2x-x2

即 x2+2x>0,解得 x<-2 或 x>0,不能使-2<x<0 成立 当 f (1-2x2)>f (1+2x-x2)时,1-2x2>1+2x-x2, 即 x2+2x<0,解得-2<x<0,符合题意, 当 f (1-2x2)=f (1+2x-x2)时, 可得 x= -2 或 0,不能使-2<x<0 成立.

∴当 f (1-2x2)>f (1+2x-x2)时,才能使-2<x<0 成立. 【例 3】 能否构造一个等比数列{an},使其同时满足三个条件:①a1+a6=11;②a3a4=

32 ;③至少存在一个 9

自然数 m,使 【解答】

2 4 2 am-1 ?,a m ,am+1+ 依次成等差数列.若能,请写出这个数列的通项公式. 3 9

先考虑前两个条件.设等比数列{an}的公比为 q.

∵a3a4=a1a6,

32 ? 1 ?a1 ? a 6 ? 11 ?a1(1 ? q 5 ) ? 11 ? ?a1 ? 3 a1 ? ? ? ? ? ∴由 ? 3 ?或? ? 32 ? ? 2 32 ? ? 5 ?a1 a 6 ? 9 ?a1 ? q ? ?q ? 2 ?q ? 1 . ? ? 9 ? ? 2 ?

即满足条件①,②的等比数列,其通项公式为 an=

1 32 ? 1 ? n-1 ?2n-1 或 an= ? ? ? ?. 3 2 ?2?
2

1 2 1 1 4 ? 1 m ?1 ? (1)如 an= ?2n-1,设存在题设要求的 m∈N,则 2? ? ? 2 ? ?= ? ? 2 m?2 ? ? 2 m ? . 3 3 3 3 9 ?3 ?
化简得:22m ?-7?2m-8=0 ? 2m=8,∴m=3.
m?2 m ? 32 ? 1 ? m?1 ? 32 ? 1 ? n-1 2 32 ? 1 ? 32 ? 1 ? 4 (2)如 an= ? ? ? ,设存在 m∈N,使? 2? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 2 ?2? 3 3 ?2? 2 ?2? 9 ? 3 ?2? ? ? ? 2

化简得:4(26-m)2-11?26-m-8=0,这里Δ =112+16?8=249 不是完全平方数. ∴符合条件的 m 不存在. 综上所述,能构造出满足条件①,②,③的等比数列,该自然数 m=3,数列的通项公式为: an=

?

1 ?2n-1 ?. 3
将二次函数 f (x)=ax2+bx+c 对应于一次函数 g (x)=2ax+b. (2)观察后请写出这个对应法则.

【例 4】

(1)求 f (x)=x2+2x+1 对应的一次函数 g (x).

(3)可以用 g(x)的某些性质来研究 f (x)的性质:当 g(x)>0 时,对应的 f (x)的性质有哪些?(4)你还能研究 另外的某些性质吗? (5)设 g(x)=x,写出与 g(x)对应的 f (x)的三个不同的解析式. 【思考】 本例是结论开放型试题,解题时要求根据已知条件将结论(必要条件)补充完整. f (x)与 g(x)

是什么关系?我们容易由 f′(x)=2ax+b,知 f′(x)=g(x),可见,只有当 g(x)= f′(x)时,才有可能用 g(x)的性质来研究 f (x)的某些性质.

85

【解答】

(1)∵a=1,b=2,∴g (x)=2x+2.

(2)①g(x)的一次项系数是 f (x)的二次项系数与其次数的积; ②g(x)的常数项等于 f (x)的一次项系数. (3)g(x)>0,即 2ax+b>0,当 a>0 时,x> ? 时,x< ?

b b ,而 x= ? 是 f (x)的对称轴,故这时 f (x)是单调增函数;a<0 2a 2a

b ? b ? b ? ? ,f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为 ?? , ? ? ? ? .后者单调区间为 ? ? ?, ? ? ? ). 2a ? 2a ? 2a ? ?

(4)当 g(x)<0 时,f (x)是单调减函数(请仿照(3)证明之).

1 1 ,b=0. 只须在 f (x)=ax2+bx+c 中,命 a= ,b=0,c 取任意值即可,如 f 2 2 1 1 3 1 (x)= x2+1,f (x)= x2+ ,f (x)= x2+5. 2 2 2 2
(5)g(x)=x 时,2ax+b=x,知 a= 【小结】 必要条件. ●对应训练 1.已知圆 O′过定点 A(0,P)(P>0),圆心 O′在抛物线 x2=2py 上运动,MN 为圆 O′在 x 轴上截得的弦, 令|AM|?=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ . (1)当 O′运动时,|MN|是否有变化,并证明你的结论; (2)求 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件,即若 A ? B,则称 A 为 B 的充分条件,B 为 A 的

d1 d 2 ? 的最大值,并求取得最大值的θ 的值. d 2 d1

2.如图所示,已知在矩形 ABCD 中, AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面 AC, 且 PA=1. (1)问 BC 边上是否存在 Q, 便得 PQ⊥QD,并说明理由; (2)若 BC 边上有且只有一点 Q, 使得 PQ⊥QD,求这时二面角 Q—PD—A 的大小. 第 2 题图

3.已知椭圆

x2 y2 6 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率 e= ,过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点距离为 . 2 2 3 a b

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)已知定点 E(-1,0),若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,试判断:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过点 E?若存在,求出这个值.若不存在,说明理由.
86

4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件: ①原点 O 与直线 x=1 是它的焦点和准线; ②被直线 x+y=0 垂直平分的弦的长等于 2 2 ,若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由. ●参考答案 1.(1)如图所示,设抛物线上一点 O′(x0,
2 x0 ), 2p

连结 O′A,O′M. 作 O′C⊥MN 于 C, 则|MN|=2|MC|,
2 x0 ? p) 2 ? ∵|O′M|=|O′A|= x ? ( 2p 2 0 4 x0 ? p2 2 4p

2 2 ∴|MC|= | O ?M | ? | O ?C | ?

4 x0 x2 ? p2 ? ( 0 )2 ? p 2p 4 p2

第 1 题解图

∴|MN|=2p 为定值. 即当 O′运动时,|MN|不会有变化,总有|MN|=2p. (2)如图所示,有 M(x0-p,0),N(x0+p,0)
2 2 ∴d1= OA ? OM ?

P 2 ? ( x0 ? p) 2

d2=

p 2 ? ( x0 ? p) 2
4 4 p 4 ? x0

2 2 2 2 2 2 2 ∴d 1 +d 2 =4p2+2x 0 ,d1d2= ( 2 p ? x 0 ) ? ( 2 px0 ) ?

2 2 d d d 2 ? d2 4 p 2 ? 2 x0 (2 p 2 ? x0 ) ∴ 2 ? 1 = 1 ? ?2 4 4 d1 d 2 d1 d 2 4 p 4 ? x0 4 p 4 ? x0

2

=2 1?

2 2 4 p 2 x0 4 p 2 x0 ? 2 1? ? 2 2. 4 ? 4 2 4 p 4 ? x0 2 ? 2 p 2 ? x0

当且仅当 x 0 =2p2,即 x0=± 2 p,y0=p 时等式成立,此时?|O′M′|=|O′N′|= 2 p. ∴∠MO′N=90°, 2.【思考】 ∴△MO′N 为等腰直角三角形. ∴θ = 45°.

2

这是一道探索性问题,解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使 PQ

⊥QD,∵PA⊥面 ABCD,只需满足 AQ⊥QD 即可,再转化到在平面 ABCD 上寻求 AQ⊥QD 的条件,从而 使问题得到解决. 【解答】 (1)连结 AQ,∵PA⊥面 ABCD.

∴要使 PQ⊥QD,只要 AQ⊥QD,即以 AD 为直径的圆与 BC 有公共点. 这就是说,当 AD?2AB,即 a?2,在 BC 边上存在点 Q,使 PQ⊥QD.

87

(2)∵当 a>2 时,以 AD 为直径的圆与 BC 有两个交点. 当 a=2 时,只有 BC 的中点满足条件. ∴AD=2,Q 为 BC 的中点,取 AD 的中点 M,连结 QM. ∵面 PAD⊥面 ABCD,QM⊥AD,∴QM⊥面 PAD.过 M 作 MN⊥PD 于 N,连结 NQ. 根据三垂线定理有,QN⊥PD. ∴∠MNQ 就是二面角 Q—PD—A 的平面角.

在 Rt△QMN 中,QM=1,MN=MD?sin∠MDN=1?

5 5 ? . ∴tan∠MNQ= 5 . 5 5

∴二面角 Q—PD—A 为 arctan 5 . 3.【思考】 第一问从离心率的定义入手,很容易求得 a、b 的值,从而得到椭圆方程.第二问判断 k 值是否

存在,可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题,若求出符合条件的 k 值则存在,反之,则不存 在. 【解答】 (Ⅰ)e=

c ? a

a2 ? b2 6 a2 ? b2 2 ? ? ,∴a2=3b2,即 a= 3 b. ,∴ a 3 3 a2

过 A(0,-b),B (a,0)的直线为

x y ? ? 1. . a b

把 a= 3 b 代入,即 x- 3 y- 3 b=0, 又由已知

| ? 3b | 1 ? ( 3)
2

?

3 ,解得 b=1,∴a= 3 . 2

(Ⅱ)设 C(x1,y1),D(x2,y2).

? x2 2 ? ? y ?1 由? 3 消去 y, ?y ? kx? 2 ?
必须

得(1+3k2)x2+12kx+9=0.

1+3k2≠0 且Δ =(12k)2-36(1+3k2)>0

∴k<-1 或 k>1 即 x1x2+x1+x2+1+y1y2=0.

① ②

要存在 k 满足①且使

y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 1 x 2 ? 1

∵y1=kx1+2,y2=kx2+2 ∴②式即为(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0 ③

? 12 k 9 ,代入③得 9k2+9-24k2-12k+5+15k2=0. , x1 ? x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 7 7 ∴k= 满足①式.∴存在 k 的值使以 CD 为直径的圆过 E 点,这个值是 . 6 6
∵x1+x2=

88

4.设存在这样的双曲线,其离心率为,则根据双曲线定义得: 化简为:(e2-1)x2-y2-2e2x+e2=0 将弦所在直线 y=x+b 代入得:(e2-2)x2-2(b+e2)x+e2-b2=0

x2 ? y2 ? e. | x ?1|

设弦 AB 的两端点 A(x1,y1)B (x2,y2),AB 中点 M(x0,y0)则 x1+x2=

x ? x2 b ? e 2 e2 ? b2 2(b ? e 2 ) ,x1x2= 2 ,x0= 1 ? ? 2 2 e ?2 e2 ? 2 e ?2 b ? e2 +b,代入 x+y=0,得 b=-2. e2 ? 2
2 e2 ? 4 2 ? 2 2. ? 弦长|AB|= 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 ? x 2 ? 2 2 2 2 e ?2 e ?2

即 y0=x0+b=

从而 x1+x2=2,x1?x2= 解得 e=2 符合题意,

所以存在双曲线方程:3x2-y2-8x+4=0,经检验它是满足题意的双曲线.

第 24 计
●计名释义

杠杆开门

以轻拨重

派大力士扛千斤鼎,靠的是力;用四两砣拨千斤鼎用的是智.杠杆原理,以轻拨重,要考虑两个因素:一是支 力;二是支点.支力,从解题人的学科知识中寻找;支点,从解题人的思想方法中寻找. 其实,智的体现,集中于支点的寻找,找得越巧越省力. 支点中的点在哪里,本书开场就是“点到成功”,可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢!重合点,对称 点,极限点,中心点,定比分点,??,要有尽有.关键是,你面临的那个具体问题,你看中了哪个亮点! ●典例示范 【例 1】 【分析】 正四面体的高线长为 4,求其外接球的体积. 说曹操,曹操就到.刚刚拿出来杠杆,要“扛”的东西就来了.线段 AB 的重心在其中点 M 点.如

果 A,B 处各放 1 个质点,则其点 M 会聚了 2 个质点.正三角形 ABC 的重心在它的中线 CM 上,C 点放 1 个 质点,中点 M 处有 2 个质点,故重心 G 会聚了 3 个质点,按杠杆原理,CG=2GM. 至于正四面体中心在哪里?这还用得算吗? 【解答】 设正四面体的顶点为 V,底面中心为 G,四面体中心为 O. 由杠杆原理,O 在 GV 的第 1 个四等

分点上,即 VO=3OG.
89

因此,正四面体的外半径 R= 故正四面体体积为 【点评】

3 h=3. 4

4 π R3=36π . 3

如果派大力士去解此题,他将是:①先解 2 个直角三角形求得“斜高”;②用列方程求外半径.

精力过剩者,这当然是一种乐趣. 直线 l 左移 3 个单位,再上移 1 个单位时,恰回到原来的位置,这直线的斜率是( ? A. ? )

1 3

B.-3

C.

1 3

D.3 ?

【思考】

本题的破题之口在哪儿呢?取特殊点.将支点选在原点 O(0,0)左移 3 个单位,上移 1 个单位

得 M(-3,1). 于是 k+l=kOM= ? 【点评】

1 .选? A ?. 3

两点确定一条直线,而斜率相等的一切不同直线都平行,这就是本题解法的依据,或“道理”.

试问:什么样的直线平行移动后,可以不经过原点呢?既如此,取特殊点原点,以达到杠杆开门,以轻拨重 之目的,即是最实惠的选择. 【例 3】 则 f (x)= ? A ?.10-x-1 【解答】 B ?.10x-1 (04?上海卷)若函数 f (x)的图象可由函数 y=lg(x+1)的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 ( C ?.1-10-x ? ) D ?.1-10x ?

? 得到, 2

本题的杠杆在哪儿?取特殊点.在 y=lg(x+1)的图象上取一点 A(9,1),将 OA 绕原点逆时针旋

转 90°得 B(-1,9),代入各选项,仅? A ?适合,∴选? A ?. 【点评】 函数的图象都是点的集合,以点的旋转取代图形的旋转,已经够特殊的了,而在无穷无尽的点

中,敏锐的找到 A(9,1),(经过旋转则得 B(-1,9))这样绝妙的特征点,从而轻而易举地找出正确的 答案,这难道不痛快淋漓的吗? 【例 4】 如图(1)所示,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= ( )

3 , 2

EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积是

例 4 题图
90

? A.

9 2

B.5

C.6

D.

15 2

【思考】

用特殊图形.如图(2)所示,使 ED⊥平面 ABCD,且使 ED=2.连 AF、DF.则 EF⊥面 ADE.

3 1 1 3 1 ∵VF—ADE= ?EF?S△ADE= ? ? ?3?2= . 2 3 2 2 3 3 15 1 1 VF—ABCD= ?DE?S□ABCD= ?2?32=6.∴V 多面体= +6= .选 D. 2 2 3 3

【点评】

本题正是 1999 年难倒大批考生的全国高考题.多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补,

因而计算繁杂.其实,在不影响题设这个大前提的条件下,让图形特殊、再特殊,使之能用最简单的方式求其 体积,你还要讲道理吗?君不见:等底等高的一切锥体等积,历经了几千年考验的祖暅原理,难道还不算经 典道理吗? ?

●对应训练 1.动点 A 在双曲线
x2 m2 ? y2 n2

=1 上,B、C 为双曲线的左、右焦点,△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边 a,b,c 满
B C cot 的值是 2 2
1 2

足 a=10,c-b=6,则? tan ? A.
1 4

( ? C.


3 4

B ?.

D.1 ?

2.已知 0<x<y<a<1,则有 ? A.log a(xy)<0



) C.1<log a(xy)<2 D.log a(xy)>2

B.0<log a(xy)<1

3.设{an}是公比为 a,首项为 b 的等比数列,Sn 是前 n 项和,对任意的 n∈N+,点(Sn, Sn+1) ( ) B.在直线 y=bx+a 上 D.在直线 y=ax+b 上 ( )

? A.在直线 y=ax-b 上 C.在直线 y=bx-a 上

4.函数 y=x+sin |x|,x∈[-π ,π ]的大致图像是

第 4 题图

91

●参考答案 1.A ? 取特殊图形.BC=10 ? 双曲线

焦点为 B(-5,0),C(5,0) c-b=6 ? 2m=6, ∴m=3,n=4,双曲线方程为:
5 离心率 e= . 3
x2 y2 =1, ? 9 16

取特殊位置 AC⊥BC,则有? A ? 5, ?
?

?

16 ? ? ,? 3?

∴AC= cos B=

16 34 ,从而 AB= ,? 3 3 15 8 ,? sin B= ,而 C=90°. 17 17
1?

第 1 题解图

15 1 B C 1? cos B ∴? tan cot = ?cot 45°?= 17 ? . 8 4 sin B 2 2 17

2.? D ?

1 1 1 取特殊值.x= ,y= ,a= ,满足 0<x<y<a<1. 4 2 8 1 ?1? ? ? =5.否定? A、B、C ?. 2 ?2?
1? 2n =2n-1.各选项依次为: 1? 2
5

则? log a(xy)=log

3.? D ? ? A.y=2x-1

取特殊值.取 a=2,b=1,则 Sn= B.y=x+2

C.y=x-2

D.y=2x+1

取点(S2,S3)=(3,7),代入各选项,仅 D 适合. 4.? C ? B、D ?. 取图形上的特殊点.令 x=? ? ? ? ? ? ,则 y=- +1,点 ? ? , ? ? ? 1? 应位于直线 y=x 上方,排除? A、 2 ? 2 2 ? 2

第 25 计 函数开门 以静显动
●计名释义 函数把运动学带进了数学.函数本身讲的是数的互动,而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参 照,没有参照物的运动是没有意义的,同样没有“静数”的函数也无意义.当变量(动数)的个数较多时,我 们先考虑一对互动中的变数,而把其他变数暂视静止(常数或参数),例如,考虑二次函数 y=ax2+bx+c 时, 是把 x,y 看作一对互动的变数,而把 a,b,c 看作“静数”.其实,a,b,c 也在变化,只是要等到需要考虑它们的
92

变化时再把它们视作变数. ●典例示范 【例 1】 【分析】 【解答】 设双曲线

x2 ? y 2 ? 1 与直线 x+y=1 相交于两个不同的点 A 和 B,求双曲线离心率的取值范围. a2

求取值范围就是求离心率 e 的值域.为此,我们要寻求 e 的函数式. 按双曲线离心率的关系式,有 e ?

a2 ?1 ? a

1 ? 1 ? f (a) a2

【插语】

公式 e=

c ? a

a2 ?1 本来是“静式”,现在让其运动起来,成了函数式 f (a).启发我们求函数 a

e=f (a)的定义域,即 a 的取值范围.

【续解】

? x2 2 ? ? y ?1 由双曲线与直线相交于两点,得方程组 ? a 2 ?x ? y ? 1 ?
我们并非要从这个方程中解得 x 和 y 的值,而是要由“方程组有 2 个解”的条件求出 a2 的取值

【插语】 范围. 【续解】

消 y 后整理得

?1 ? a 2 ? 0 ? (1 ? a 2 1) x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 ? 0 ? ? 4 ? 0 ? a 2 ? 2且a ? 1. 2 2 ?4a ? 8a (1 ? a ) ? 0 ?
函数 e=f (a)=

1 6 ? 1 在(0,1)和(1, 2 )上都是减函数,故有 f (a)> 且 f (a)≠ 2 .即所求范围是 2 2 a

(

6 , ? 2 ) ? ( 2 , ? ?) . ? 2
函数解题,动静相依,动静互控,从而实现由简单函数与复合函数的互动,以及函数与方程,

【点评】

函数与不等式的互动. 【附录】 以下我们用函数性质讨论 a2 的取值范围.

x2 1 1 1 1 ?1 1? ? 由方程组解得:a =h(x)= .由于 ≠0,所以 a2≠1.因为 2? ? ? ? ? , 2 2 2 2 2 ? 2x ? x x ? x 2? 1 ?1 1? 2? ? ? ? 2 ? x 2?
2

2

所以 a2?2. 由于相交的两点 A、B 对应着不同的 x 值,因此 a2 到 x 的对应是 1 对 2,因此在 h (x)中 x2,由此得到 a2≠2.

93

故有 a2<2. 【例 2】 【解答】 解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0. 将原方程变形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x).

由方程的特点,我们构造函数 f x)=x2003+x,知 f (x)是 x∈R 上的单调递增函数,又 f (x+6)= f (-x),故 x+6=-x, 即 x=-3. 【点评】 此题从方程的特点入手,利用函数思想,构造了函数 f (x)=x2003+x,把解方程的问题变为讨论函

数的性质的问题,巧妙地求出了方程的解.

【例 3】

在 xOy 平面上给定一曲线 y2-2x=0.

(Ⅰ)设点 A 的坐标为(

2 ,0),曲线上距点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|PA|. 3

(Ⅱ)设点 A 的坐标为(a,0),a∈R,曲线上点到点 A 的距离的最小值. 【解答】 |PA|2= ? x ? (Ⅰ)设 P(x,y)为曲线上任意一点,y2=2x(x?0),

? ?

2? 4 4 1? 1 ? 2 2 ? ? y ? x ? x ? ? 2 x ? ? x ? ? ? ,? 3? 3 9 3? 3 ?

2

2

∴当 x=0 时,|PA|取得最小值

2 . 3
|PA|2=(x-a)2+y2=[x-(a-1)]2+(2a-1)(x?0),

(Ⅱ)设 P(x,y)为曲线上任意一点,同理有

①当 a?1 时,在 x=a-1?0 处,|PA|取得最小值 2a ? 1 .
2 ②当 a<0 时,在 x=0 处,|PA|取得最小值 ( a ? 1) ? 2a ? 1 ?| a | .

【点评】

解题方向是建立目标函数,然后转化为以 a 为自变量的二次函数在闭区间上的最值问题.

【例 4】

某工厂有旧墙一面长 14 米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为 126 平方米的厂

房,工程条件:①建 1 米新墙的费用为 a 元;②修 1 米旧墙的费用是 米新墙的费用为

a 元;③拆去 1 米旧墙,用所得材料建 1 4

a 元.经过讨论有两种方案: 2

(1)利用旧墙的一段 x 米(x<14)为矩形厂房一面的边长; (2) 矩形厂房利用旧墙的一面边长为 x?14.问如何利用旧墙, x 为多少米时,建墙费用最省?(1) (2) 即 、 两种方案哪个更好? 【分析】 通过分析已知条件比较容易想到用函数模型来解此题.以建墙费用为目标函数,再通过讨论函数

的最小值来解决问题.

94

126 . 米. x ax (1)利用旧墙的一段 x 米(x<14)为矩形一面边长,则修旧墙的费用为 元,将剩余的旧墙拆得的材料建 4
【解答】 设利用旧墙的一面边长为 x 米,则矩形的另一面边长为 新墙的费用为 故总费用为: y=

2 ? 126 a(14 ? x) ? ? 元,其余建新墙的费用为: ? 2 x ? ? 14 ?a 元, x 2 ? ?

ax (14 ? x)a 252 ? ? (2 x ? ? 14)a 4 2 x
? x 36 ? ? ? 1?(0 ? x ? 14), ?4 x ?
所以, y ? 7 a ?2

得: y ? 7a?

? ?

x 36 ? ? ? 1? ? 35 a 4 x ?

当且仅当

x 36 ? , 4 x

即 x=12∈(0,14)米时,ymin=35a

(2)若利用旧墙一面矩形边长 x?14,则修旧墙的费用为

2 ? 252 14 ? ? ? 14 ?a 元, a 元,建新墙的费用为 ? 2 x ? x 4 ? ?

故总费用为: y ?

7a ? 252 ? ? ? 2a ? ? 14 ?a 2 ? 2 ?

即y?

7a 126 ? ? ? 2a? x ? ? 7 ?( x ? 14) 2 x ? ?
126 126 126 ? 2 x? ? 2 126 , 但由于 x= 时,x= 126 <14,x[14,+∞),因此均值不等式此处失灵. x x x

∵x?

以下用求导法解决问题: ∵y′=2a(1-

126 ). x2

∴x> 126 时,y′>0,而 14> 126 .

故 x∈[14,+∞)时函数 y 单调增. ∴x=14 时,ymin=

7a 126 ? ? ? 2a?14 ? ? 7 ? ? 35 ? 5a 2 14 ? ?

综上所述,采用方案(1),利用旧墙 12 米为矩形的一面边长时,建墙的总费用最省,费用为 35a 元.

【点评】

函数应用题真正的难点在于处理其中的最值问题.这也就是函数的“玄机”所在.处理最值的手段

很多,有利用均值不等式;利用函数的单调性;利用导函数;利用三角函数的有界性等.其中“导函数法”有 通用、快捷的特点,应是掌握的重点.

●对应训练
95

1.设 a、b、c∈R,且它们的绝对值都不大于 1,求证 ab+bc+ca+1?0. 2.直线 m:y=kx+1 和双曲线 x2-y2=1 在左支交于 A,B 两点,直线 l 过 P(-2,0)和 AB 线段的中点 M,求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围. 3.某工厂 2005 年 1 月、2 月、3 月生产某产品的数量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为了估测以后每 个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟产品的月产量 y 与月份 x 的关系,模拟函数可以选 用二次函数或函数 y=abx+c(其中 a,b,c 为常数),已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪 个函数作为模拟函数较好,并说明理由.

●参考答案 1.分析 构造函数 f (a)=ab+bc+ca+1,f (a)是关于 a 的一次函数,由于 a∈[-1,1],只要证明 f (1)?0 且 f

(-1)?0,即可证明 f (a)?0. 证明 设 f (a)=(b+c)a+bc+1,f (a)是关于 a 的一次函数. ∴f (1)=b+c+bc+1=b(1+c)+(c+1)=(b+1)(c+1)?0

∵a、b、c∈[-1,1],

f (-1)=-(b+c)+bc+1=b(c-1)+(1-c)=(1-b)(1-c)?0. ∴f (a)在[-1,1]上恒为非负,即 f (a)?0. 点评 ∴ab+bc+ca+1?0.

本题解法的关键在于要具有函数意识,能结合式子结构特征构造出一次函数 f (a),从而由一次函数

的图象及性质,使问题得以解决. 2.解析 由?

?y ? kx?1
2 2

( x ? ?1) 消去 y 得(k2-1)x2+2kx+2=0, ?x ? y ? 1

? ?? ? 4k 2 ? 8(1 ? k 2 ) ? 0, ? 2k ? ?0 由题意得 ? x1 ? x 2 ? 解得 1<k< 2 . 1? k 2 ? ?2 ? ? x1 x 2 ? 1 ? k 2 ? 0 ?
x1 ? x 2 k ? ? x0 ? 2 ? 1 ? k 2 ? 设 M(x0,y0),则 ? ? 1 ?y ? kx ?1 ? 0 ? 0 1? k 2 ?
由 P(-2,0),M ?

1 ? 2 ? k ,? ,Q(0,b)三点共线可求得 b= . 2 2 ? 2 1? k ? ? 2k ? k ? 2 ?1? k

设 f (k)=-2k2+k+2,则 f (k)在(1, 2 )上为减函数.

96

∴ f ( 2 ) ? f (k ) ? f (1) ,且 f(k)≠0. ∴ ? (2 ? 2 ) ? f (k ) ? 1, 点评 3.思考 ∴b<-(2+ 2 )或 b>2.

通过建立 b 与 k 的函数关系式,借用函数的单调性,将问题转化为函数的值域以确定. 根据题意,该产品的月产量 y 是月份 x 的函数,可供选用的函数有两种.其中哪一种函数确定的 4

月份该产品的产量愈接近于 1.37 万件, 哪种函数作为模拟函数就较好, 故应先确定出这两个函数的具体解析 式. 设 y1=f (x)=px2+qx+r(p,q,r 为常数,且 p≠0),y2=g(x)=abx+c.

?ab ? c ? 1 ?p ? q ? r ?1 ? ? 据已知,得 ?4 p ? 2q ? r ? 1 ? 2及?ab 2 ? c ? 1 ? 2, ?9 p ? 3q ? r ? 1 ? 3 ? 3 ? ?ab ? c ? 1 ? 3
解得 p=-0.05,q=0.35,r=0.7; a=-0.8,b=0.5,c=1.4 g(x)=-0.8?0.5x+1.4. ∴f (x)=-0.05x2+0.35x+0.7; ∴f (4)=1.3,g(4)=1.35,

显然 g(4)更接近于 1.37,故选用 y=0.8?0.5x+1.4 作为模拟函数较好. 点评 用待定系数法确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键.

第 26 计 数列开门 前后跟踪
●计名释义 数列是特殊的函数, 告诉了自变量是正自然数的函数, 因此只要我们应知道这个特殊函数有两种关系式, 除通项公式外,还有前后跟踪关系的递推式.高考 30 年来,数列的难题几乎都出现在递推式中. ●典例示范 【例 1】 【证明】
2

n(n ? 1) 1 ?1? 若数列{an}满足:a1=1,an= ? ? +n+an-1, n∈N*,n?2,求证:an= ? ,n∈N*. 2 2 ?2?
n

在递推式中,分别令 n=2,3,4,?,直到 n,得到(n-1)个等式:

?1? a2= ? ? +2+a1 ?2? ?1? a4= ? ? +4+a3?? ?2?
将这(n-1)个等式整体相加得
4

?1? a3= ? ? +3+a2 ?2? ?1? an= ? ? ? n ? a n ?1 ? ?2?
n

3

97

an= ? ? + ?

?1? ?2?

2

?1? ?1? ? +?+ ? ? +2+3+?+n+a1 ?2? ?2?

3

n

1? 1 ? ?1 ? n ?1 ? 4 ? 2 ? n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 = ? ? ? n ? . 1 2 2 2 2 1? 2
当 n=1 时,a1=1,也适合上式, ∴an=

n(n ? 1) 1 1 ? n ? ,n∈N* 2 2 2
这里 an 与 an-1 的系数相等(都是 1),并且在等号的两旁,因此由递推式得到的(n-1)个等式 后 , 很 多 项 可 以 消 去 , 进 而 顺 利 求 出 a
n

【点评】 相 加

.

由于数列可以看作是正整数 n 的函数, 因此对于以递推关系式出现的问题, 常常可以从递推关系式中的 n=1, 2,3,??入手,得到一系列的等式,通过对它们进行或加、或减、或乘、或除等运算,使问题获得解决. 递推意识是解数列问题的一种最基本、最重要的意识. 【例 2】 (2006 年全国卷Ⅰ)设数列{an}的前 n 项的和 Sn=

4 1 2 an- ?2n+1+ ,n=1,2,3,??(Ⅰ)求首项 3 3 3

a1 与通项 an; (Ⅱ)设 Tn=
n 2n 3 ,n=1,2,3,??求证:? ? Ti ? . Sn 2 i ?1

4 2 a1- ,解得 a=2. 3 3 4 4 1 n+2 n+1 an+1=Sn+1-Sn= an+1- an- (2 -2 ),∴an+1=4an+2n+1 ?. 3 3 3
【解答】 (Ⅰ)a1=S1= 这里 an 的系数是 4,无法仿照例 1 直接用递推法求解.先将已知递推式的两边同除以 2n+1 ?得到

a n ?1 an ? 2 ? n ? 1. 2 n ?1 2
若令 bn=

an ,则有 bn+1=2bn+1 2n

(*)

(*)式就是我们熟知的线性递推式,它可以运用待定系数法求解. 设 bn+1+k=2(bn+k),即 bn+1=2bn+k. ∴k=1,故

bn ?1 ? 1 =2(n∈N*), bn ? 1

即{bn+1}是以 b1+1 为首项,2 为公比的等比数列. ∴bn+1=(b1+1)?2n-1 ? bn=2n-1 ? an=4n-2n.(n∈N*) (Ⅱ)Sn=

2 4 2 2 4 1 1 an- ?2n+1 + 3 = (4n-2n)?2n+1 + 3 = 3 (2n+1 ?-1)(2n-1). 3 3 3 3
98

Tn=

2n 3 2n 3 ? 1 1 ? ? ? n ?1 ? ?? n ? n ?1 ?, n S n 2 (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?
n



?T
i ?1

i

?

3 ? 1 1 ? 3 ?? 1 ? n ?1 ? ? .? 2 ? 2 ?1 2 ?1? 2
这里的递推式 an+1=4an+2n+1 ?化成 bn+1=2bn+1 后,形如 an+1=Aan+B. 即 an+1-an=B,故通项 an=a1+(n-1)B;

【点评】

对于 an+1=Aan+B:当 A=1 时,an+1=an+B, 当 A≠1 时,an+1+k=Aan+B+k=A ? a n ? 令 k=

? ?

B?k? ?, A ?

B?k B ,则(A-1)k=B,即 k= , A ?1 A B ∴{an+k}是以 a1+k=a1+ 为首项,公比为 A 的等比数列. A ?1
于是 an+k= ? a1 ? 【例 3】

? ?

B ? B ? B ? n-1 n-1 . ? ?A ?,∴an= ? a1 ? ? ?A A ?1? A ?1? A ?1 ?

(2006 年安徽高考题)数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=

1 ,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,??写出 2

Sn 与 Sn-1 ?的递推关系式(n?2),并求 Sn 关于 n 的表达式. 【解答】 当 n?2 时,an=Sn-Sn-1 ?,代入 Sn=n2an-n(n-1)中, 即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1) (*)

得 Sn=n2(Sn-Sn-1 ?)-n (n-1), 这就是 Sn 与 Sn-1 ?的递推关系式. 将(*)式两边同除以 n(n-1)得 构造新数列 ?

n ?1 n SnSn-1=1(n?2). n n ?1

?n ?1 ? S n ? ,它是以 2S1=2a1=1 为首项,1 为公差的等差数列. ? n ?

于是

n2 n ?1 (n?2). S n =1+(n-1)?1=n,即 Sn= n ?1 n

n2 显然,上式当 n=1 时也成立.∴Sn= ,n∈N*. n ?1
【点评】 关系. 高考中许多数列问题,往往是以等比、等差这两类基本数列为背景设计而成的.解决这类问题,常常可以通过 构造新数列来实现问题的转化.强化构造意识,有助于创新能力的提高 这里构造新数列 ?

n ?1 n ?n ?1 ? S n ? ,关键在于能将(*)式变形为 SnSn-1=1,由此发现递推 n n ?1 ? n ?

99

●对应训练 1.假定一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,并此后每一个月生一对小兔, 如果不发生死亡,问一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对? 2.对任意函数 f (x),x∈D,可按图所示构造 一个数列发生器,其工作原理如下: ① 输入数据 x0∈D,经数列发生器 输出 x1=f (x0); ②若 x1 ? D,则数列发生器结束工作; 若 x1∈D,则将 x1 反馈回输入端, 再输出 x2=f(x1),并依此规律继续下去,

4x ? 2 . x ?1 49 (1) 若输入 x0= 则由数列发生器产生数列{xn}, 65
现定义 f (x)= 请写出数列{xn}的所有项;

第 2 题图

(2)若要数列发生器产生一个无穷常数数列,试求输入的初始数据 x0 的值; (3)若输入 x0 时,产生无穷数列{xn}满足:对任意正整数 n,均有 xn<xn+1 ?,求 x0 的取值范围. 3.某公司全年的纯利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分配方案如下:首先将职工按工作 业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 至 n 排序,第 1 位职工得奖金 位 职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1?k?n)为第 k 位职工所得奖金额,试求 a2、a3,并用 k、n 和 b 表示 ak;(不必证明) (2)证明 ak>ak+1 ?(k=1,2,?,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义.?

b 元,然后再将余额除以 n 发给第 2 n

(3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn (b) .
n ??

●参考答案 1.把第 n 个月的兔子总数记为 f (n),则 f (1)=1,f (2)=1,f (3)=2,f (4)=3,f (5)=5,f (6)=8,f (7)=13,??. 考查数列{f (n)}的规律, 不难发现, 从第三项开始, 第一项都是前两项之和: (3)= f (1)+f (2); (4)= f (2)+f (3); f f f (5)=f (3)+f (4);f (6)= f (4)+f (5);f (7)=f (5)+f (6);?, f (13)= f (11)+f(12)=89+144=233,所以,一对兔子一年可繁殖成 233 对. 2.(1)∵ f (x)的定义域 D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)

100

∴ (2)∵

数列{xn}只有三项:x1= f (x)=

4x ? 2 =x 即 x2-3x+2=0, x ?1
4 xn ? 2 =xn xn ? 1

11 1 ,x2= ,x3=-1. 5 19
∴ x=1 或 x=2.

即当 x0=1 或 2 时,xn+1=

故当 x0=1 时,xn=1;当 x0=2 时,xn=2(n∈N) (2) 解不等式 x<

4x ? 2 , x ?1



x 2 ? 3x ? 2 <0,得 x<-1 或 1<x<2, x ?1

要使 x1<x2,则 x1<-1 或 1<x1<2, 对于函数 f (x)=

4x ? 2 6 =4? , x ?1 x ?1

若 x1<-1,则 x2=f (x1)>4,x3= f (x2)<x2,

当 x1∈(1,2)时,x2= f (x1)>x1,且 1<x2<2. 依次类推,可得数列{xn}的所有项均 满足 xn+1>xn(n∈N+). 综上所述,x1∈(1,2)时,由 x1= f (x0),?得 x0∈(1,2).? 点评 本题主要考查函数的基本知识,数列的基本知识,解不等式的基本方法,以及综合运用知识的能力

和判断推理能力.本题利用框图形式把函数、数列、不等式等知识点冶为一炉,形式新颖,结构巧妙,富于思 考.今后仍有可能出现这种富有创新意识的试题. 3.(1)第 1 位职工的奖金 a1=

1? 1? b ;第 2 位职工的奖金 a2= ?1 ? ?b ; n? n? n
2 k ?1

第 3 位职工的奖金 a3=

1? 1? 1? 1? ?1 ? ? b ;??第 k 位职工的奖金 ak= ?1 ? ? n? n? n? n?
k ?1

b .?

1 ? 1? (2)ak - ak+1= 2 ?1 ? ? n ? n?

b >0.

此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则. (3)设 fk(b)表示奖金发给第 k 位职工后所剩余款,则 f1(b)= ?1 ?

? ?

1? ? 1? ? 1? ?b ,f2(b)= ?1 ? ? b ,?,fk(b)= ?1 ? ? b . n? ? n? ? n?
n

2

k



? 1? Pn(b)= fn(b)= ?1 ? ? b , ? n?



min Pn (b) ?
n ??

b . e

点评:本题主要考查数列、不等式、极限的综合运用以及结合职

101

工福利的实际应用,这正是近年高考命题的热点和重点.

第 27 计 方程开门 欲擒故纵
●计名释义 数学,顾名思义,是关于数的科学.于是,数的运算和求值就成了数学的首要内容.数学的主干内容—— 函数、方程和不等式都是关于数的内容. 方程和函数是从两个不同的方向研究数的关系.从映射的角度看问题,函数研究的是“从数到象”,而方 程相反,研究的是“从象到数(原象)”. 方程解题步骤:(1)设 x. 对数(原象 x)先作假设;(2)放 x. 把这个“假”x 放到函数(笼子)中 去.(3)关 x. 按函数解析式的运算,列出一个等式——方程(笼子关闭).(4)擒 x,解这个方程,把 x 抓出来. ●典例示范 【例 1】 【分析】 数. 【解答】 【插语】 【续解】 由二项展开式的通项公式 Tr+1=C n a
r n?r

求二项式 (3 x ?

1 x

) 2 展开式中的常数项.

这是数学运算中的“求值”问题,解决问题的工具是函数和方程式,为了设方程,先得找函

br

在 n 为常数的条件下,这是一个关于 r 的函数式 T(r)=f(r) 由此得
r Tr+1=C 10

( x)

3

10? r

? 1 ? 4 ?? ? r=?=(-1)rC 10 x ? ? x? ?

r

20 ? 5 r 6

?

欲 Tr+1 为常数,只须 【插语】 【续解】 【点评】

20 ? 5r =0. 6

按“函数值”满足的条件,转入方程. 解方程,得 r=4.故所求的常数项为 T5=(-1)4C 10 =210. 欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程;“故纵”体现于将对象“放到”函
4

数中去“入套”. 【例 2】 【解答】 cos50°?, 则 x+y=(sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°) =sin90°+cos40°=1+cos40°?
102

求? sin20°cos70°+sin10°sin50°?的值. 令 x=sin20°cos70°+sin10°sin50°?, 构造与之对应的对偶式 y=cos20°sin70°+cos10°



x-y=(sin20°cos70°-cos20°sin70°)+(sin10°sin50°-cos10°cos50°) =sin(20°-70°)+cos(10°+50°)=-cos40°①+②得 x= 【点评】 【例 3】

1 ]? 2



1 1 ,故 sin20°cos70°+sin10°sin50°= . 4 4
构造方程组,利用对偶方程组解决问题,是充分借助方程思想解题的方法之一. 已知双曲线 C:(1-a2)x2+a2y2=a2(a>1),设该双曲线上支的顶点为 A,且上支与直线 y=-x 相

交于 P 点,一条以 A 为焦点,M(0,m)为顶点,开口向下的抛物线通过点 P. 设 PM 的斜率为 k,且 求实数 a 的取值范围. 【解答】 由双曲线方程知 A(0,1),则抛物线方程为 x2=-4(m-1)(y-m),

1 1 ?k? , 4 3

由双曲线与直线相交解得点 P 的坐标为(-a,a),又因为点 P 在抛物线上, ∴a2=-4(m-1)(a-m) 而 MP 的斜率为 k= ①

m?a ,故 m=ak+a. a


将 m=ak+a 代入①得 a2=-4(ak+a-1) (-ak), 即 4ak2+4(a-1)k-a=0 根据题意,方程②在区间[

1 1 , ]上有实根. 4 3
k=

令 f (k)=4ak2+4(a-1)k-a,则其对称轴方程为

1? a <0 2a

? 1 ?f( )?0 12 ? 4 ? 即 ?a?4. ∴? 7 ? f (1) ? 0 ? 3 ?
【点评】 【例 4】

∴实数 a 的取值范围为[

12 ,4]. 7

根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的方程,转化为根的分布问题求解. (Ⅰ)已知数列{cn},其中 cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数 p 的值;(Ⅱ)设

{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,求证:数列{cn}不是等比数列. 【解答】 (Ⅰ)由题意知 c2-pc1,c3-pc2,c4-pc3 成等比数列, (c22-c1c3)p2+(c1c4-c2c3)p+c23-c2c4=0.

∴(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3),展开整理得

将 c1=5,c2=13,c3=35,c4=97 代入上式得 p2=-5p+6=0,解得 p=2 或 p=3. 而当 p=2 时,

c n ? 2 ? pcn ?1 =3; c n ?1 ? pcn

当 p=3 时,

c n ? 2 ? pcn ?1 =2.均适合. c n ?1 ? pcn

故满足条件的 p 的值为 2 或 3. (Ⅱ)假设数列{cn}是等比数列,则 c22=c1c3,即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3),

103

故(a1q+b1r)2=(a1+b1)(a1q2+b1r2),其中 q,r 分别是{an},{bn}的公比. 化简整理,得 a1b1r2+a1b1q2-2a1b1qr=0,即(q-r)2=0,解得 q=r. 这与题设中两数列公比不相等矛盾,因此数列{c ? n}不是等比数列. 【点评】 这里选取等比数列的前三项,根据等比中项的意义列方程求出 p 的值,再验证一般情况.第(Ⅱ)

问的反证法中,也是通过构建方程获证.

●对应训练 1.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a1+a3+a5= 2.已知椭圆 .

x2 y2 =1(a>b>0),A,B 的椭圆上两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P(x0,0),求证: ? a2 b2

a2 ? b2 a2 ? b2 ?. ? ? x0 ? a a
3.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列 ●参考答案 1.分析 本式为二项式展开式中的偶数项系数和,而不是偶数项二项式系数和,不能直接用二项式系数性

Sn 的

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