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宁夏银川一中2016届高三上学期第二次月考 数学理


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银川一中 2016 届高三年级第二次月考

数 学 试 卷(理)
命题人:

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.函数 y= A.{x|x≠ 2.函数 y ? A、 ? 0, 2?
1 3x ? 2

的定义域为 B.(
2 ,+∞) 3

2 } 3

C.(-∞,

2 ) 3

D.[

2 ,+∞) 3

? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为
B、 ? 0, 4? C、 ? ??, 4?


D、 ? 0, ?? ?


3. 设函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)满足 f(9)=2,y=f 1(x)是 y=f(x)的反函数,则 f 1(loga2)等于 A.2 4. 函数 y=cos2(2x+ A. ?
?
3

B. 2 )-sin2(2x+
?
3

C. )的最小正周期是( D.
?
2

2 2

D.log2 2 )

B.2 ?

C.4 ?

5.已知等差数列 {a n } 满足 a1 ? a 2 ? a 3 ? ........ ? a101 ? 0, ,则有 A. a1 ? a101 ? 0 B. a 2 ? a100 ? 0 C. a 3 ? a 99 ? 0
2 ,则 sin2x 等于 2

D. a 51 ? 51

6.x 为三角形的一个内角,且 sinx+cosx= A.
1 2

B.-

1 2

C .3

D.-3

7.函数 f(x)= ln x ? A. (1, 2)

2 的零点所在的大致区间是 x

B. (e,3) C. (2,e) D. (e,+∞)

8.已知定义域为 { x | x ? 0} 的函数 f ( x ) 为偶函数,且 f ( x )在区间( ?? ,0) 上是增函数, 若 f ( ?3) ? 0, 则
f ( x) ? 0 的解集为 x

A. ( ?3,0) ? (0,3)

B. ( ?? ,?3) ? (0,3)

C. ( ?? ,?3) ? ( 3,?? )

D. ( ?3,0) ? ( 3,?? )

9.下面能得出△ABC 为锐角三角形的条件是 A. sin A ? cos A ?
1 5

B. AB ? BC ? 0

[]

C. b ? 3, c ? 3 3 , B ? 30?
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D. tan A ? tan B ? tan C ? 0
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10.在三角形 ABC 中,AB=2,AC=4.P 是三角形 ABC 的外心,数量积 AP ? BC 等于 A.6 B.-6 C .3 D.-3

11.已知函数 f ( x ) ? 3 x 3 ? ax 2 ? x ? 5 在区间[1,2]上单调递增,则实数 a 的取值范围是 A. ( ?? ,5] B. ( ?? ,5) C. ( ?? ,
37 ] 4

D. ( ?? ,3]

12. 已知可导函数 y ? f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处切线为 l : y ? g( x ) (如图) ,设
F ( x ) ? f ( x ) ? g( x ) ,则

A. F ?( x 0 ) ? 0, x ? x 0 是F ( x ) 的极大值点 B. F ?( x 0 ) ? 0, x ? x 0 是F ( x ) 的极小值点 C. F ?( x 0 ) ? 0, x ? x 0 不是F ( x ) 的极值点 D. F ?( x 0 ) ? 0, x ? x 0 是F ( x ) 的极值点

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 13. 已知 a ? 2 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 45 ? ,要使 ? b ? a 与 a 垂直,则 ? = 14.已知函数 y ? sin ?x(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示,要得到函数 y ? sin( x ? 的图象,则需将函数 y ? sin ?x 的图象向_______平移 y 1 -? O ________个单位。
1 2

.
?
12 )

2?

3? x

?

15. 向量 a =(-2,3), b =(1,m),若 a 、 b 夹角为钝角,则实数 m 的范围是_________. 16. 关于 x 的方程 ( ) x ?

3 2

2 ? 3a 有负数根,则实数 a 的取值范围为___________ 5?a

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 A、B 是△ABC 的两个内角, a ? 2 cos
A? B A? B i ? sin j ,其中 i 、 j 为互相垂直 2 2

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的单位向量,若 | a |?

6 . 求 tan A ? tan B 的值. 2

18. (本小题满分 12 分)
2 数列 {a n } 各项均为正数,其前 n 项和为 S n ,且满足 2an S n ? an ?1 .

2 (1)求证:数列 { S n } 为等差数列

(2)求数列 {a n } 的通项公式 (3)设 bn ?

2
4 4Sn

?1

, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ,并求使 Tn ?

1 ( m 2 ? 3m ) 对所有 6

的 n ? N ? 都成立的最大正整数 m 的值. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c , 过曲线y ? f ( x )上的点P (1, f (1))的切线方程为 y ? 3 x ? 1 (1)若 y ? f ( x )在x ? ?2时有极值 , 求f ( x ) 的表达式; (2)若函数 y ? f ( x )在区间[?2,1] 上单调递增,求 b 的取值范围 20. (本小题满分 14 分) 已知数列{ a n }中, a1 ?

1 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…. ,点(n, 2an ?1 ? an) 2

(1)令 bn ? an ?1 ? an ? 1, 求证数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?a n ? 的通项;

?bn ? 的 前 n 项 和 , 是 否 存 在 实 数 ? , 使 得 数 列 ( 3 ) 设 S n、Tn 分别为数列 ?a n ? 、
? S n ? ?Tn ? ? ? 为等差数列?若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由。 ? n ?
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 8 ln x , g( x ) ? ? x 2 ? 14 x , . (1)求函数 f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (2)若函数 f ( x ) 与 g( x ) 在区间 (a , a ? 1) 上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f ( x ) ? g( x ) ? m 有唯一解,试求实数 m 的值.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 在 ?ABC 中, AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆
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A P

B

C

D

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交于点 P,交 BC 延长线于点 D。 (1)求证:

PC PD ; ? AC BD

(2)若 AC=3,求 AP ? AD 的值。 23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : x 2 ? y 2 ? 1 ,以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线

l : ? (2cos? ? sin ? ) ? 6 .
(1) 将曲线 C1 上的所有点的横坐标、 纵坐标分别伸长为原来的 3 、 2 倍后得到曲线 C2 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值。
|a|

(2) 若不等式 | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立, 求实数 x 的取值范围.

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银川一中 2016 届高三第二次月考数学(理科)试卷答案
题号 答案 13 1 B
? =2

2 A

3 A

4 D 15. m<

5 C

6 B

7 C 16. ?

8 D

9 D

10 A

11 A

12 B

2 3 ?a? 3 4 3 A? B 2 A? B 2 3 17.解:?| a | 2 ? ,? ( 2 cos ………2 分 ) ? (sin ) ? , 2 2 2 2 A? B A? B 3 1 ? cos( A ? B) 3 即 2 cos 2 ? sin 2 ? , 即 cos( A ? B) ? 1 ? ? ,……6 分 2 2 2 2 2 1 ? cos( A ? B) ? cos( A ? B) ? 0,? cos A cos B ? 3 sin A sin B, …………8 分 2 sin A sin B 1 …………10 分 ? tan A ? tan B ? ? . cos A cos B 3
14 左,
2 3 且 m≠3 2
2 18 解: (1)∵ 2a n S n ? a n ? 1 ,∴当 n≥2 时, 2( S n ? S n ?1 ) S n ? ( S n ? S n ?1 ) 2 ? 1 , 2 2 2 整理得, S n , (2 分)又 S1 ? Sn ? 1, ?1 ? 1 (n≥2) 2 ∴数列 { S n } 为首项和公差都是

? 6

(3 分) (4 分) (5 分)

1 的等差数列.

2 (2)由(1) S n ? n ,又 S n ? 0 ,∴ S n ? n

∴n≥2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? n ? n ? 1 ,又 a1 ? S1 ? 1 适合此式 ∴数列 {a n } 的通项公式为 a n ? n ? n ? 1 (Ⅱ)∵ bn ? (7 分)

2 1 1 ? ? (8 分) ? 1 ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 ∴ Tn ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 2n ? 1? ? ? ??? ? ? =1 ? (10 分) 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 1 ∴ Tn ? ,依题意有 ? ( m 2 ? 3m ) ,解得 ? 1 ? m ? 4 , 3 3 6 故所求最大正整数 m 的值为 3 (12 分)
4 4Sn

2

?

19 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c f ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b y ? f ( x) P(1, f (1)) : y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1) y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)( x ? 1)
?3 ? 2a ? b ? 3 ? ?a ? b ? c ? 2 ? 1 ?2a ? b ? 0..................(1) ? ?a ? b ? c ? 3..............(2)

? y ? f ( x) x ? ?2 , f ?(?2) ? 0 ? ?4a ? b ? ?12.................(3) (1)(2)(3)
3

a ? 2, b ? ?4, c ? 5

f ( x) ? x ? 2 x 2 ? 4 x ? 5

-------------5 分

(2) y ? f ( x)在区间[?2,1] 上单调递增 又 f ?( x) ? 3 x ? 2ax ? b,由(1)知2a ? b ? 0
2

? f ?( x) ? 3 x 2 ? bx ? b 2 依题意 f ?( x)在[?2,1]上恒有f ?( x) ? 0, 即3 x ? bx ? b ? 0在[?2,1] 上恒成立
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b ? 1时, f ?( x) 小 ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0 ? b ? 6 6 b ②在 x ? ? ?2时, f ?( x) 小 ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0 ? b ? 6 b 12b ? b 2 ③在 ? 2 ? ? 1时, f ?( x) 小 ? ? 0 则0 ? b ? 6. 6 12
①在 x ? 综合上述讨论可知,所求参数 b 取值范围是:b≥0………………………………(12 分)

1 a1 ? , 2an ?1 ? an ? n, 2 3 3 1 3 ? a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4 又 bn ? an ?1 ? an ? 1, bn ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? 1, an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? bn ?1 an ?1 ? an ? 1 1 2 2 ? 2 ? ? ? ? . bn an ? 2 ? an ?1 ? 1 an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2 3 1 ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列. 4 2 3 1 n ?1 3 1 (II)由(I)知, bn ? ? ? ( ) ? ? ? n , 4 2 2 2 3 1 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2
20.解: (I)由已知得 将以上各式相加得:

3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 2 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2 S ? ?Tn (III)解法一:存在 ? ? 2 ,使数列 { n } 是等差数列. n 1 1 1 ? S n ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 2 2 ? n(n ? 1) ? 2n ? 3(1 ? 1 ) ? n ? 3n ? ? 3 ? n ? 3n ? 3. ? 3? 2 1 2 2n 2 2n 2 1? 2 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2

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S n ? ?Tn S ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) n n 即 S n ? ?Tn ? An 2 ? Bn,
数列 {

3 n 2 ? 3n 3 3 n 2 ? 3n ? 1 ? ? 3 ? ? ( ? ? ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) n n ?1 2 2 2 2 2 2 2 S n ? ?Tn ? ? 当且仅当 1 ? ? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 { } 为等差数列. 2 n
又 S n ? ?Tn ? ? 解法二: 存在 ? ? 2 ,使数列 {

S n ? ?Tn } 是等差数列. n

由(I) 、 (II)知, an ? 2bn ? n ? 2 ? S n ? 2T ?

S n ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 3 3 ? ? (? ? n ?1 ) n 2 n 2 2 S ? ?Tn ? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 { n } 是等差数列 n 8 21 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? 2 x ? ,所以切线的斜率 k ? f ?(1) ? ?6 …………………2 分 x 又 f (1) ? 1 ,故所求切线方程为 y ? 1 ? ?6( x ? 1) ,即 y ? ?6 x ? 7 …………………4 分 2( x ? 2)( x ? 2) (Ⅱ)因为 f ?( x) ? , 又 x>0, 所以当 x>2 时 , f ?( x) ? 0 ;当 0<x<2 时 , x f ?( x) ? 0 . 即 f ( x) 在 (2, ??) 上递增,在(0,2)上递减………………………………5 分
又 g ( x) ? ?( x ? 7) ? 49 ,所以 g ( x) 在 (??, 7) 上递增,在 (7, ??) 上递减……………6 分
2

n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn n?3 ? ?2 2 ? ? Tn 2 n n 3 1 ? (1 ? n ) 3 1 3 3 4 2 又 T ? b ? b ? ??? ? b ? ? ? (1 ? n ) ? ? ? n ?1 n 1 2 n 1 2 2 2 2 1? 2 S n ? ?Tn ? n

n(n ? 1) ? 2n 2

欲 f ( x) 与 g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,则 ? 解得 2 ? a ? 6 …………8 分

? a?2 , ?a ? 1 ? 7
2

(Ⅲ) 原方程等价于 2 x 2 ? 8ln x ? 14 x ? m , 令 h( x) ? 2 x ? 8ln x ? 14 x , 则原方程即为 h( x ) ? m . 因为当 x ? 0 时原方程有唯一解,所以函数 y ? h( x) 与 y ? m 的图象在 y 轴右侧有唯一 的交点……………10 分

8 2( x ? 4)(2 x ? 1) 且 x>0,所以当 x>4 时, h?( x) ? 0 ; ? 14 ? x x 当 0<x<4 时, h?( x) ? 0 . 即 h( x) 在 (4, ??) 上递增,在(0,4)上递减.
又, h?( x) ? 4 x ? 故 h(x)在 x=4 处取得最小值 从而当 x ? 0 时原方程有唯一解的充要条件是 m ? h(4) ? ?16 ln 2 ? 24 ……………12 分

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22.解: (1)? ?CPD ? ?ABC , ?D ? ?D , 又? AB ? AC ,?

? ?DPC ~ ?DBA ,?

PC PD ? AB BD
(5 分)

PC PD ? AC BD

(2)? ?ACD ? ?APC , ?CAP ? ?CAP, ? ?APC ~ ?ACD ?

AP AC , ? AC AD

(10 分) 23.解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0,………………2 分 ∵曲线 C2 的直角坐标方程为: ( ∴曲线 C2 的参数方程为: ?

? AC 2 ? AP ? AD ? 9

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3

? ? x ? 3 cos ? (? 为参数) .………………5 分 y ? 2sin ? ? ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos ? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:
0 | 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 ?? ) ? -6 | | 4sin(30 - 6 | ,………………7 分 ? 5 5 |4?6| 3 0 ∴当 sin(60 -θ)=-1 时,点 P(- ,1) ,此时 d max ? ? 2 5 .…………10 分 2 5 24.解: (I) ?| 2a ? b | ? | 2a ? b |?| 2a ? b ? 2a ? b |? 4 | a | 对于任意非零实数 a 和 b 恒成立, 当且仅当 (2a ? b)(2a ? b) ? 0 时取等号,

d?

?

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4。 |a|

…………5 分

(II)

?| 2 ? x | ? | 2 ? x |?

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 恒成立, |a|
…………7 分

故 | 2 ? x | ? | 2 ? x | 不大于 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值 |a| 由(I)可知 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4。
|a|

实数 x 的取值范围即为不等式 | 2 ? x | ? | 2 ? x |? 4 的解。 解不等式得 ? 2 ? x ? 2. …………10 分

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