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高一数学(必修1) 学业 水平复习


一、集合的含义与表示
(一)集合的含义 1、集合:把研究对象称为元素,把一些元素组成
的总体叫做集合

2、元素与集合的关系: ? 或 ? 3、元素的特性:确定性、互异性、无序性

4、常用数集:N 、N、Z、Q、R

?

(二)集合的表示
1、列举法:把集合中的元

素一一列举出来,
并放在{ }内

2、描述法:用文字或公式等描述出元素的
特性,并放在{x| }内

3.图示法

Venn图

二、集合间的基本关系
1、子集:对于两个集合A,B如果集合A中的任何
一个元素都是集合B的元素,我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个,则其子集个数为 真子集个数为

2n

2n-1 非空真子集个数为 2n-2

2、集合相等: A ? B, B ? A ? A ? B 3、空集:规定空集是任何集合的子集,
是任 何非空集合的真子集

三、集合的并集、交集、全集、补集
1 A U B ? {x | x ? A x ? B}
∩B ? {x | x ? A且x ? B} 2、A ?
A B

3、CU A ? {x | x ? U且x ? A}

全集:某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素,用U表示

题型示例
考查集合的含义

例1 已知x ?{1, 2, x }, 则x ? 0或2
2

例2

A ? y y ? x ,B ? x y ? x ,
2 2

?

?

?

?

求A ? B.

A ? [0, ??), B ? R, ? A ∩ B ? [0, ??).


练习
1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x= -1 。

2 ? 2.已知集合 M ? ? 集合 ? ? ? N y y x x ? M? - 1, 1, 2 , , 则M ∩N 是( B )

A

? 1, 2, 4?

B{1 }

C{1,2}



3.满足{1,2} ? A ? {1,2,3,4}的集合A的个数 ? 3 有 个

4.集合S,M,N,P如图所示,则图中阴 D 影部分所表示的集合是( ) (A) M∩(N∪P) (B) M∩CS(N∩P) (C) M∪CS(N∩P) (D) M∩CS(N∪P)
5.设P={y|y=x2,x∈R}, Q={(x,y)|y=x2,x∈R}, 则有( A )
A. P ? Q ? ?

B. P ?? Q

C . P ? Q D. P ? Q

?

6、设集合 A = { x | -1≤ x < 2 },B = { x | x < a },若 A∩B ≠Φ,则
a 的取值范围是 A,a<2 A B,a>-2 C,a>-1 D,-1<a≤2

B

?1 ? ?-

B

? 2

B

?

由图看出 a >-1

思考:1、改A = [-1,2 ) 2、改 A = { x | x 2 -x -2 ≤ 0 }

4、改 A∩B =Φ a ≤- 1 5、改 A∩B =A a ≥2

3、改 A = { x |
A

x ?1 ≤0} x?2

6、改 B = { x | 1 <x <a }
当 a ≤1 时 B = Φ,不满足题意

? -1

? ? a? 1 2

B

当 a >1 时,B = ( 1 , a ),满足题意 故 a>1

学业水平测试题
1.(08山东)若全集U={1.,2,3,4},集合M={1,2}, N={2,3},则集合CU(M∪N)= ( ) A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4} 2、(10山东)设集合M={(1,2)},则下列关系成立的是 A 1∈M B 2∈M C (1,2)∈M D (2,1)∈M } 3.(11山东)集合 , M ? {0}, N ? {x ? Z | ?1 ? x ? 1 则M∩N= () A.{-1,1} B.{-1} C.{1} D.{0} 4.(13年)设集合M={1,2,3},N={1,2}则M ∩ N=( ) A.{1,2} B.{1,3} C .{2,3} D.{1,2,3} 5.(14年山东)设全集U={1,2,3},集合A={2},则CUA=( ) A.{1} B.{2} C .{1,3} D.{1,2,3}

函数概念及性质结构图 函数概念及性质
函数概念与表示

单调性与最值

奇偶性

一、函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的

函数。记作y ? f(x),x ? A

值域与集 在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应, 合B的关 那么就称f:A ? B为从集合A到集合B的一个 系
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的

思考:函数 对应关系f,使对于集合A中的任意一个数 x,

定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函 数值的集合? f ( x) x ? A? 叫做函数的值域。

(一)函数的定义域 1、具体函数的定义域
例7 求下列函数的定义域

4? x ( x ? 4) 1) f ( x) ? ? x ?1 log 2 ( x ? 1)
3 0

x?0 ?x 2) f ( x) ? ? x?0 ?? x

(二)二次函数给定区间值域问题

例9 已知函数 y ? 2x ? 4x ? 3, 求x ???3,4?时的值域
2

x ???3,1?

x ??1, 4?

二、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法 例10

(1)已知f ( x) ? x ? 4 x ? 3, 求f ( x ? 1)
2

(2)已知f ( x ? 1) ? x ? 2 x, 求f ( x)
2

?x ? 3 x ? 0 ? (3)已知f ( x) ? ? 1 x ? 0 ,求f [ f (?4)] ?x ? 4 x ? 0 ?
2

1

x+2, (x≤-1)

1、已知函数f (x)=

x2, (-1<x<2)
2x, ( x≥2 )

若f(x)=3, 则x的值是( D ) 3 B. 1或 2 A. 1 3 C. 1, ? 3 , 2 D. 3

4.映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种 确定的对应关系f,使对于集合A中的任 意一个元素x,在集合B中都有唯一确定 的元素y于之对应,那么就称对应f:A→B 为集合A到集合B的一个映射
映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一
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三、函数单调性
定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个 自变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2) ,那 么就说函数在区间上是增函数。区间D叫做函数 的增区间。
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个 自变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1) >f(x2) ,那 么就说函数在区间上是减函数。区间D叫做函数 的减区间。

:增函数、减函数、单调函数是 对定 义域上的某个区间而言的。

用定义证明函数单调性的步骤:
(1) 设元,设x1,x2是区间上任意两个实数,且x1<x2 ;

(2) 作差, f(x1)-f(x2) ;
(3)变形,通过因式分解转化为易于判断符号的形式 (4)判号, 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (5)下结论.

如何用x与 f(x)来描述上升的图象? 在给定区间上任取 x1 , x2 ,
y

y ? f (x)
f (x1 )

x1 ? x2
f (x 2 )
x2
x

f(x1 ) ? f(x2 )

O

x1

函数f (x)在给定区间上 为增函数。

如何用x与 f(x)来描述下降的图象? y 在给定区间上任取 x1 , x2 , y ? f (x)

x1 ? x2
f (x1 )
O

f(x1 ) ? f(x2 )

f (x 2 )

x1

x2

x

函数f (x)在给定区间上 为减函数。

例1:判断函数f(x)= 是增函数还是减函数?并证明你的结论。 减函数
证明: 设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则 y
-1 1
O

1 x 在区间(0,+∞)上

1 f ( x2 ) ? x2 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 x2

1 f ( x1 ) ? , x1

f(x)在定义域 上是减函数吗? 1

? x1 , x2 ? (0,??) ? x1 x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? 0

x2 ? x1 ? x1 x2

-1

x

1 ?函数 f ( x) ? 在(0, ? ?)上是减函数 . x

?

例2:证明函数f(x)=x2+1在区间(0,+∞)上 是增函数还是减函数?并给予证明。
2+1在 函数 f ( x )= x 解: (0,+∞)上是增函数.

y

下面给予证明: 设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)
∵ x1 , x2 ? (0,??) ? x1 ? x2

2

2

1
O 1

? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 )

2

2

x

x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ? ?f ( x1 ) ? f ( x2 )

? 0 ? ? f (x ) ? f (x ) ? 0 ? 1 2

∴函数f(x)=x2+1在(0,+∞)上是增函数.

练习
若二次函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 4在区间 ? ??,1 上单调递 增,求a的取值范围。
y y

?

o1

x

o 1

x

a 解:二次函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 的对称轴为 x ? ? , 2 a 由图象可知只要 x ? ? ? 1 ,即 a ? ?2 即可. 2
2

函数奇偶性的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x, 都有: (1)f(-x)= - f(x),则称 y =f(x)为 奇函数 (2)f(-x)= f(x),则称 y =f(x)为 偶函数

1 y? x
?
O

y ? x2 ? 2

O

?

关于原点对称 奇函数

关于y轴对称 偶函数

注意:1、奇、偶函数的定义域一定关于原点对称。
判断下列函数的奇偶性

(1) y ? x 2 ( ?2 ? x ? 3) (2) y ? ( x ? 1) 1? x (3) y ? lg 1? x (4) y ? ln( (5) y ? x
2

1? x 1? x

x 2 ? 1 ? x) ?1 ? 1? x
2

定义域不对称的函数无奇偶性, 既不是奇函数也不是偶函数。

已知 f ( x ) 是奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x 2 -2x, 求当 x < 0 时,f ( x ) 的解析式,并画出此函数 f ( x ) 的图象。 解:∵ f ( x ) 是奇函数 ∴ f (-x ) = -f ( x )
即 f ( x ) = -f (- x ) ∵当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x 2 -2x ∴ 当 x < 0 时, f ( x ) = -f (- x )
y

= -[ (-x ) 2 -2(-x ) ] = -( x 2 + 2x )
? x2 ? 2x 故y ? ? 2 ? x ? 2x ?
x ? 0 x ? 0

o

x

? ( x ? 1) 2 ? 1 ?? 2 ? ( x ? 1 ) ?1 ?

x?0 x?0

山东学业水平检测题
1.(08年)下列函数中,定义域为R的是 ( ) A. y= x B. y=log2X C. y=x3 D. y=1/x 18.(08)已知函数 ? x ? 1( x ? 0) ,则f(f(-2))= f (x )= ? ?0 ( x ? 0)


.

2 f ( x ) ? x ? 1, x ? 0 ,若 f ( x) ? 10 则 x ? 。 16.(11年)已知函数

26.(14年山东)本小题满分8分) 已知函数f(x)=x2+2x+c的图像经过原点. (1)求f(x)的表达式;(2)解不等式f(x)<0.

山东学业水平检测题
5.(11年24题8分)设f(x)=x2+ax是R上的偶函数 (1)求实数a的值 (2)用定义证明:f(x)在(0, +∞)上为增函数 6、(09年25题)本小题8分 2 对于函数 f ( x) ? a ? x (a ? R)
f ( x)在(??,??)上是增函数。

2 ?1 (1)用函数单调性的定义证明
.

(2)是否存在实数

a 使函数 f ( x) 为奇函数?

基本初等函数
基本初等函数
指数函数

对数函数

幂函数

一、对数运算
1、积、商、幂的对数运算法则:

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0有:

log a ( MN ) ? log a M ? log a N (1)
M log a ? log a M ? log a N (2) Nn n? log M n log M ( n ? R ) (3) n a a log n log n? R ) (3) a M( loga M M ?= n log M (3)
a a

2.对数换底公式:
log m N log a N ? (a ? 0且a ? 1,m ? 0且m ? 1,N ? 0) log m a

3.两个常用的推论:

(1)loga b ? logb a ? 1,loga b ? logb c ? logc a ? 1 n n (2) log am b ? log a b(a ? 0且a ? 1,b ? 0) m
4山东学业水平考试题
-

1.(14年24题) 计算:lg50+lg2 - 4 =

1 2

二、指数函数与对数函数

函数

y = ax ( a>0 且 a≠1 )
a>1 0<a<1
y 1 x 0 x

y = log a x ( a>0 且 a≠1 )
a>1
y

0<a<1
y


1

y

1 o 1



x

o

x

0

定义域

R
(0, ??)
(0, 1) 在R上是减函数

定义域 值域 定点

(0, ??)

单调性 相同

性 质

值域 定点

R
(1, 0)

在R上是增函数

在( 0 , + ∞ )上是 在( 0 , + ∞ )上是 增函数 减函数

指数函数与对数函数

如图是指数函数(1) y ? a ,(2) y ? b ,(3) y ? c ,
x x x x

(4) y ? d 的图象, 则a, b, c, d 与1的大小关系是( B ) . A.a ? b ? 1 ? c ? d B.b ? a ? 1 ? d ? c D.a ? b ? 1 ? d ? c. C.1 ? a ? b ? d
(1) (2) y (3) (4)

O

X

指数函数与对数函数

求函数y ? 3

2 x ?1

1 ? 的定义域 9

? 1 ? ? 所求函数的定义域为 ? ,?? ? ? ? 2 ?

求函数y ? a x ? 1的定义域(其中a ? 0, 且a ? 1).

指数函数与对数函数

2x ?1 求函数y ? x (a ? 0且a ? 1)的值域. 2 ?1 x

2 ?1 2 解法一 :由y ? x ? 1? x 2 ?1 2 ?1 x x 又 2 ? 0,? 2 ? 1 ? 1,? 0 ?

2 2 ?0 ? x ? 2, 即 ? 2 ? ? x ? 0 ? y ? (?1,1) 2 ?1 2 ?1 解法二 :
2x ? 1 y ? x ,? 2 x ( y ? 1) ? ?1 ? y 2 ?1

1 ?1 x 2 ?1

??1 ? y ? 1

?所求函数的值域为 (?1,1)

指数函数与对数函数

求函数y ? 0.5
2

1?2 x? x2

的定义域和值域.
2

解 : 函数的定义域为 R.
?1 ? 2x ? x ? ?( x ?1) ? 2 ? 2

而y ? 0.5 在R上是减函数 .
u

y ? 0.5

1? 2 x ? x 2

?1 ? ? 值域为 ? , ?? ? . ?4 ?

1 ? 0.5 ? 4
2

y

y=x3 y=x2

y

y=x-1

y=x-2
1

1

y=x1/2
1

0

X

a>0

y?x

?

0

1

X

a<0

(1)图象都过(0,0)点和 (1,1)点; (2)在第一象限内,函数值 随x 的增大而增大,即 在(0,+∞)上是增函 数。

(1)图象都过(1,1)点; (2)在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,即在 (0,+∞)上是减函数。 (3)在第一象限,图象向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近。

试写出函数 f ( x ) ? x 的定义域,并指出其奇 偶性.
解 : f ( x) ? 1

2 ? 3

?x x ? 0?; ?此函数的定义域为
f ( ? x) ? 1
3

x

2 3

?

1

3

x

2

( ? x) 2

?

1
3

x2

? f ( x)

故此函数为偶函数 .


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