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1.1.1


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集合的含义与表示(一)
【学习目标】 1.理解集合的基本概念和集合中元素的特性,了解“属于”关系的意义、常用数集的记法; 2.会用符号∈和 ? 表示对象与集合之间的关系. 【课前导学】 (一)生活中 1.介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级. 2.问题:像“家庭” 、 “学校

” 、 “班级”等,有什么共同特征? 【特征】 同一类对象的汇集 . (二)数学中 1.【形】圆、线段垂直平分线可以看着满足什么条件的点的集合; 2.【数】自然数集、整数集、 · · · . 【课堂活动】 一、建构数学: (一)集合的有关概念: 1 .集合:一定范围内某些 确定的 、 不同的 对象的全体构成一个集合(set) . 2 .元素:集合中的 每一个对象 叫做该集合的元素(element)(简称元). 探讨以下问题: (1) {1,2,2,3}是含 1 个 1,2 个 2, 1 个 3 的四个元素的集合吗? (2)著名科学家能构成一个集合吗? (3) {a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是表示同一个集合? (4)“中国的直辖市”构成一个集合,写出该集合的元素. (5)“young 中的字母”构成一个集合,写出该集合的元素. (6)“book 中的字母”构成一个集合,写出该集合的元素. 由“问题探究”可以归纳: 3.集合中元素的特性 (1)确定性: 按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可. (2)互异性: 集合中的元素没有重复. (3)无序性 集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出). 4.集合的表示: 集合常用大写拉丁字母来表示,如集合 A、集合 B . 5.元素与集合的关系: 如果对象 a 是集合 A 的元素,就记作 a∈A,读作 a 属于 A; 如果对象 a 不是集合 A 的元素,就记作 a ? A,读作 a 不属于 A . 又如:2∈Z,2.5 ? Z 【变式】 1.如果 y ?

a b ab ? ? ,y 可能的取值组成的集合为 a b ab

?3, ?1?

. 等腰三角形 .

2.a、b、c 为三角形 ABC 的三边,S={a,b,c},则三角形一定不是

2 2 2 例 3 设A ? x | x ? 4 x ? 0 , B ? x | x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0. ,若 A=B,求 a 的值.

?

?

?

?

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解:A={0,-4},B={x|x +2(a+1)x+a -1=0}={0,-4} , 2 2 0,-4 为方程 x +2(a+1)x+a -1=0 的两根,∴a=1 . 2 2 例 4 集合 A={x|ax -2x+1=0},B={x| x -2x+a=0}中,已知 A 只有一个元素,求集合 A 与 B . 解:当 a=0 时 , A={

1 }, B={0,2}; 2 当 a≠0 时 ,对于集合 A 有 ? =4-4a=0 ∴a=1 ,

此时 A=B={1} . 【解后反思】注意对方程,特别是一元二次型方程的最高次项系数是否为零的讨论. (二)常用数集及记法 (1)自然数集(非负整数集) :全体非负整数的集合,记作 N; (2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集合,记作 N*或 N+; (3)整数集:全体整数的集合,记作 Z; (4)有理数集:全体有理数的集合,记作 Q; (5)实数集:全体实数的集合,记作 R . (三)有限集与无限集 1、有限集(finite set):含有有限个元素的集合; 2、无限集(infinite set ):含有无限个元素的集合; 3、空集(empty set):不含任何元素的集合,记作Φ . 三、理解数学: 1.用符号“ ? ”或“∈”填空: ? 1 ∈ N , 1 ∈ Z , -3 N , -3 ∈ Q 0 ∈ N , 0 ∈ Z ,

2

?

N ,

2



R

2. “①难解的题目;②方程 x 2 ? 1 ? 0 ;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项 式”中,能组成集合的序号是 ② .

解析:解这类题目要从集合元素的特征“确定性、互异性”出发. ①③④不符合集合元素的确定性特征. 3.下列命题不能构成集合的序号为 ① ② 很小两实数可以构成集合; ①②③④ .

{ y | y ? x 2 ? 1} 与 {( x, y) | y ? x 2 ? 1} 是同一集合
3 6 1 1, , , ? ,0.5 这些数组成的集合有 5 个数; 2 4 2
集合 {( x, y) | xy ? 0, x, y ? R} 是指第二、四象限内的点集.





解析:①中的元素不符合集合元素的确定性,不对; ②先看 “|”左边描述的元素,第一个集合是函数 y ? x ? 1 的值域,第二个集合是
2

点集,所以不是同一集合;
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③根据集合元素的互异原则:

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3 6 1 ? , ? ? 0.5 ,所以集合有 3 个数,③不对; 2 4 2

④先看 “|”左边描述的元素,集合是点集,再看“|”右边规定的元素的公共属性

xy ? 0 ,第二、四象限内的点集的公共属性应为 xy ? 0 , xy ? 0 包括了坐标轴上的点,④
也不对. 4. x ? R, 则 {3, x, x 2 ? 2 x} 中的元素 x 应满足什么条件?

?x ? 3 ? 解析:根据集合中元素具有的互异性可知,该集合中的元素应满足 ? x 2 ? 2 x ? 3 ,解不等式 ?x 2 ? 2x ? x ?

?x ? 3 ? 组即得答案: ? x ? ?1 . ?x ? 0 ?
【课后提升】 1.下列各组对象能确定一个集合吗? (1)所有很大的实数; (2)好心的人; (3)1,2,2,3,4,5. 解: (1) (不确定性) ( 2) (不确定性) (3) (有重复) 2.设 a,b 是非零实数,那么 解:_-2,0,2__ 3.由实数 x,-x,|x|, x 2 ,?3 x 3 所组成的集合,最多含 解:2 4.若 个元素.

a a

?

b b

可能取的值组成集合的元素是

.

1? t ? {t},求 t 的值. 1? t

解:- 1 ? 2 . 5. 若 A={{x|ax+1=0}中元素的个数为 解:0 个或 1 个. 2 6.求集合{2a,a +a}中元素应满足的条件? 解: a ? 0且a ? 1 【思考】 集合 A 中的元素由 x=a+b 2 (a∈Z,b∈Z)组成,判断下列元素与集合 A 的关系? .

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(1)0 (2)

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