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三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像1


函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像
一、预习指导 1、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 与函数 y ? sin x 图像之间的关系: (1)函数 y ? sin( x ? 1) x ? R 的图像是将 y ? sin x 的图像向 得到; (2)函数 y ? sin( x ? 1) x ? R 的图像是将 y ? sin x 的图像向 得到

; 一般地,函数 y ? sin( x ? ? ) (? ? 0, x ? R) 的图像,可看作把正弦曲线上所有点 向______ (? ? 0时) 或向_____ (? ? 0时) 平行移动_____个单位长度而得到, 这种变换称 为相位变换(平移交换). 2、 函数 y ? A sin x 与函数 y ? sin x 图像之间的关系: (1)函数 y ? 3sin x, x ? R 的图像是将 y ? sin x 的图像上所有点的 的____倍(____坐标不变)而得到; (2)函数 y ? 来的 ____倍(____坐标不变)而得到; 一般地,函数 y ? A sin x , x ? R( A ? 0, A ? 1) 的图像,可看作把正弦曲线上所有 的 纵坐标原来的______倍(横坐标不变)而得到,这种变换关系称为______. 因此 __坐标变为原来 平移 个单位长度而 平移 个单位长度而

1 sin x , x ? R 的图像是将 y ? sin x 的图像上的所有点______坐标变为原 3

y ? A sin x , x ? R 的值域是____________.
3、函数 y ? sin ?x 与 y ? sin x 图像之间的关系: (1)函数 y ? sin 2 x, x ? R , 的图像时将 y ? sin x 的图像上所有点_______坐标变为原来 的 _____倍(____坐标不变)而得到; (2) y ? sin 的
1

1 x , x ? R 的图像是将 y ? sin x 的图像上的所有点的______坐标变为原来 2

_____倍(____坐标不变)而得到; 一般地,函数 y ? sin ?x, x ? R(w ? 0, ? ? 1) 的图象可以看作把正弦曲线上所有点的 横坐标变为原来的______倍(纵坐标不变)而得到的,这种变换称为____________. 4、函数 y ? sin(?x ? ? ) 与 y ? sin ?x 图象之间的关系 (1)函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象是将函数 y ? sin 2 x 的图象向__平移___个单位长度而 得到; (2)函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象是将函数 y ? sin 2 x 的图象向___平移___个单位长度而 到. 一般地,函数 y ? sin(?x ? ? ) 的图象可以看作是把 y ? sin ?x 的图象上所有的点向 左 ( ? _________)或向右( ? ________)平移_________个单位长度而得到的. 考点一:函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及变换 π (2010· 四川高考)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所 10 得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 ( C ) π π ? ? A.y=sin ? B.y=sin ? ?2x-10? ?2x-5? 1 π ?1x- π ? x- ? C.y=sin ? D . y = sin 2 10 ? ? ?2 20? π? 2. (2012· 湖州模拟)要得到函数 y=cos ? 只需将函数 y=cos 2x 的图象 ( B ) ?2x+6?的图象, π π A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 6 12 π π C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 6 12 π? 3.要得到函数 y=sin? ?2x- 4?的图象,可以把函数 y=sin 2x 的图象( A ) π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 8 8 π π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 4 4 π 4.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cos ωx 的 4 图象,只要将 y=f(x)的图象 ( A ) π π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 8 8 π π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 4 4 5.给出下列六种图象变换方法: 1、
2

1 (1)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ; (2)图象上所有点的纵坐标不变,横 2 π π 坐标伸长到原来的 2 倍; (3)图象向右平移 个单位; (4)图象向左平移 个单位; 3 3 2π 2π (5)图象向右平移 个单位; (6)图象向左平移 个单位. 3 3 x π? 请用上述变换中的两种变换,将函数 y=sin x 的图象变换到函数 y=sin ? ?2+3?的图象,那么 这两种变换正确的标号是 __42/26______(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即 可). 方法总结: 变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利

? φ? 用 ωx+φ=ω?x+ ?来确定平移单位. ? ω?
π? 6、已知函数 y=2sin? ?2x+3?. (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? (3)说明 y=2sin? ?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. π? 2π π 解 (1)y=2sin? ?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= 2 =π,初相 φ=3. π? π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? ?2x+3?=2sin X. 3 列表: π π π 7π 5π X - 6 12 3 12 6 π 3π X 0 π 2π 2 2 y=sin X 0 1 0 -1 0 π ? 0 2 0 -2 0 y=2sin? ?2x+ 3? 描点连线,得图象如图所示:

1 (3)将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍(纵坐标不变),得到 2 π π y=sin 2x 的图象;再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到 y=sin 2?x+ 6 ?= ? ? 6 π π sin?2x+ 3 ?的图象;再将 y=sin?2x+ 3 ?的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸 ? ? ? ?
3

π 长为原来的 2 倍,得到 y=2sin?2x+ 3 ?的图象.

?

?

考点二:三角函数图像的对称性 π? 1.(2011· 太原高三调研)函数 y=sin? ?2x-3?的一条对称轴方程是 π 6 π C.x= 12 A.x= B.x= D.x= 5π 12 ) π 3 ( D )

y ? sin(2 x ? ) 3 图像的对称轴方程可能是( D 2.(安徽卷 8)函数 6 12 A. B. C. 3.(北京卷)函数 y=1+cosx 的图象 ( B ) x??

?

?

x??

?

x?

?

6

x?
D.

?
12

(A)关于 x 轴对称(B)关于 y 轴对称 π? 4.已知函数 f(x)=sin ? ?ωx+3?(ω>0)的最小正周期为 π,则该函数的图象( B ) π ? π A.关于直线 x= 对称 B.关于点? ?3,0?对称 3 π ? π ,0 对称 C.关于直线 x=- 对称 D.关于点? 6 ? ? 6 π? 5.已知函数 f(x)=sin? ?ωx+4? (x∈R,ω>0)的最小正周期为 π.将 y=f(x)的图象向左平移|φ|个 单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个值是 ( D ) π 3π π π A. B. C. D. 2 8 4 8 6.为把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把 π 图象向左平移 个单位,这时对应于这个图象的解析式( A ) 4 A.y=cos 2x B.y=-sin 2x π π C.y=sin(2x- ) D.y=sin(2x+ ) 4 4 π ? 7.(2010· 福建)已知函数 f(x)=3sin? ?ωx-6? (ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完 π 0, ?,则 f(x)的取值范围是[-2/3,3]____________. 全相同.若 x∈? ? 2?

? (C)关于原点对称(D)关于直线 x= 2 对称

反思总结: π (1)y=Asin(ωx+φ)的图象有无穷多条对称轴,可由方程 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)解 2 出; 它还有无穷多个对称中心, 它们是图象 与 x 轴的交点, 可由 ωx+φ=kπ(k kπ-φ kπ-φ ∈Z),解得 x= (k∈ Z),即其对称中心为( ,0)(k∈Z). ω ω
4

(2)相邻两对称轴间的距离为 ,相邻两对称中心间的距离也为 . 2 2 考点三:求三角函数 y=Asin(ωx+φ)解析式 π 例 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如图所示.求函 2 数 f(x)的解析式. 由图象可知 A=2,T=8. 2π 2π π ∴ω= T = = . 8 4 方法一 由图象过点(1,2), π ? 得 2sin? ?4×1+φ?=2, π π π ? ∴sin? ?4+φ?=1.∵|φ|<2,∴φ=4, π π? ∴f(x)=2sin? ?4x+4?. 1.(2011· 银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分,则此函数是 ( D ) π ?2x-π? x+ ? A.y=sin? B . y = sin 6? ? 6? ? π π? ? C.y=cos? D.y=cos? ?4x-3? ?2x-6? 2. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (x∈R, ? >0,0≤ ? <2 ?) 的 部分图象如图,则 B

T

T

? 5? ,? = 4 4 ? ? C. ? = , ? = 2 4
A. ? =

? ? ,? = 4 4 ? ? D. ? = , ? = 3 6
B. ? =

y 1

3.(2011· 烟台月考)若函数 y=Asin(ωx+φ)+m(A>0, 4,最小值为 0,最小正 oω>0)的最大值为 3 1 x π π 周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则它的解析式是 ( D ) 2 3 π? π? A.y=4sin? B.y=2sin? ?4x+6 ? ?2x+3?+2 π ?4x+π?+2 4x+ ?+2 C.y=2sin? D . y = 2sin 3? 6? ? ? π 2 4.(2009· 辽宁)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象如图所示,f( )=- ,则 f(0)等 2 3 于 ( C ) 2 1 2 1 A.- B.- C. D. 3 2 3 2 5.已知函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=__9pi/10______.

5

方法总结:

根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: 最高点-最低点 (1)A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ; 2 最高点+最低点 (2)k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 k= ; 2 (3)ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T= 2π (ω>0)来确定 ω; ω

φ (4)φ 的确定:由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 最开始与 x 轴的交点的横坐标为- (即 ω φ 令 ωx+φ=0,x=- )确定 φ. ω
考点四:函数的 y=Asin(ωx+φ)图像和性质的综合应用 π .(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如下图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3 9.解 (1)由图象知 A=2, 2π π ∵T= ω =8,∴ω= .…………………………………………………………………… 4 (2 分) π 又图象经过点(-1,0),∴2sin(- +φ)=0. 4 π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 4 π ∴ f(x) = 2sin( x + 4
6

π ).………………………………………………………………………(5 分) 4 (2)y=f(x)+f(x+2) π π π π π =2sin( x+ )+2sin( x+ + ) 4 4 4 2 4 π π π =2 2sin( x+ )=2 2cos x.…………………………………………………………… 4 2 4 (8 分) 2 3π π π ∵x∈[-6,- ],∴- ≤ x≤- . 3 2 4 6 π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2.……………………… 4 (12 分) 三、课堂练习: 1、将函数 y ? cos x 的图象向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位后可得到函数 _____________________ 2、已知 f ( x) ? sin(x ? A. 与 g ( x) 图像相同 C. 向左平移

?
2

) , g ( x) ? cos(x ?

?
2

) ,则 f ( x) 的图象 (

)

B. 与 g ( x) 图象关于 y 轴对称 D. 向右平移

? 个单位得到 g ( x) 的图象 2

? 个单位得到 g ( x) 的图象 2

3、将函数 y ? f ( x) 图象上每一点的纵坐标变为原来的 整 个图象沿 x 轴向左平移

1 1 ,横坐标变为原来的 ,再将 2 2

? 个单位,得到函数 y ? sin x 的图象,则函数 3

f ( x) ? ____________.
4、 经过怎样的变换可由函数 y ? s i n 2 x 的图象得到 y ? c o sx(?

?
4

) 的图象 ?

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