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江苏省2015年高考文科数学复习 压轴大题突破练 三角函数


中档大题规范练——三角函数 ?sin x-cos x?sin 2x 1.已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x

(sin x-cos x) =sin 2x-2cos2x =sin 2x-(1+cos 2x) π? = 2sin? ?2x-4?-1, 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 (2)函数 y=sin x 的单调递增区间为 ?2kπ-π,2kπ+π?(k∈Z). 2 2? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 所以 f(x)的单调递增区间为 ?kπ-π,kπ?和?kπ,kπ+3π?(k∈Z). 8 8? ? ? ? 2.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,角 B 所对的边 b= 3,且函数 f(x)=2 3sin2x +2sin xcos x- 3在 x=A 处取得最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)因为 A,B,C 成等差数列, 所以 2B=A+C,又 A+B+C=π, π 2π 所以 B= ,即 A+C= . 3 3 因为 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3 = 3(2sin2x-1)+sin 2x=sin 2x- 3cos 2x π? =2sin? ?2x-3?, 2π 所以 T= =π. 2 π 2x- ?∈[-1,1], 又因为 sin? 3? ? 所以 f(x)的值域为[-2,2]. (2)因为 f(x)在 x=A 处取得最大值, π? 所以 sin? ?2A-3?=1. 2 π π 因为 0<A< π,所以- <2A- <π, 3 3 3 π π 故当 2A- = 时,f(x)取到最大值, 3 2 5 π 所以 A= π,所以 C= . 12 4 3 c 由正弦定理,知 = ?c= 2. π π sin sin 3 4 π π? 2+ 6 又因为 sin A=sin? ?4+6?= 4 , 3+ 3 1 所以 S△ABC= bcsin A= . 2 4 3.已知函数 f(x)= 3sin 2x+2cos2x+a. (1)求函数 f(x)的最小正周期以及单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,函数 f(x)有最大值 4,求实数 a 的值. 4 解 f(x)= 3sin 2x+2cos2x+a =cos 2x+ 3sin 2x+1+a π =2sin(2x+ )+a+1. 6 (1)函数 f(x)的最小正周期为 2π =π, 2 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6 π π 故函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6 π π π 2π (2)∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ], 4 6 6 3 π 1 从而 sin(2x+ )∈[ ,1]. 6 2 π ∴f(x)=2sin(2x+ )+a+1∈[a+2,a+3], 6 ∵f(x)有最大值 4,∴a+3=4,故 a=1. π 4.设向量 a=( 3sin x,sin

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