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2015挑战中考数学压轴题(第八版精选)



第一部分



函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2013 年上海市中考第 24 题 例 2 2012 年苏州市中考第 29 题 例 3 2012 年黄冈市中考第 25 题 例 4 2010 年义乌市中考第 24 题 例 5 2009 年临沂市中考第 26 题 例 6

2008 年苏州市中考第 29 题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例 1 2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题 例 2 2012 年扬州市中考第 27 题 例 3 2012 年临沂市中考第 26 题 例 4 2011 年湖州市中考第 24 题 例 5 2011 年盐城市中考第 28 题 例 6 2010 年南通市中考第 27 题 例 7 2009 年江西省中考第 25 题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例 1 2013 年山西省中考第 26 题 例 2 2012 年广州市中考第 24 题 例 3 2012 年杭州市中考第 22 题 例 4 2011 年浙江省中考第 23 题 例 5 2010 年北京市中考第 24 题 例 6 2009 年嘉兴市中考第 24 题 例 7 2008 年河南省中考第 23 题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例 1 2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题 例 2 2012 年福州市中考第 21 题 例 3 2012 年烟台市中考第 26 题 例 4 2011 年上海市中考第 24 题 例 5 2011 年江西省中考第 24 题 例 6 2010 年山西省中考第 26 题 例 7 2009 年江西省中考第 24 题 1.5 因动点产生的梯形问题 例 1 2012 年上海市松江中考模拟第 24 题 例 2 2012 年衢州市中考第 24 题 例 4 2011 年义乌市中考第 24 题

例 5 2010 年杭州市中考第 24 题 例 7 2009 年广州市中考第 25 题 1.6 因动点产生的面积问题 例 1 2013 年苏州市中考第 29 题 例 2 2012 年菏泽市中考第 21 题 例 3 2012 年河南省中考第 23 题 例 4 2011 年南通市中考第 28 题 例 5 2010 年广州市中考第 25 题 例 6 2010 年扬州市中考第 28 题 例 7 2009 年兰州市中考第 29 题 1.7 因动点产生的相切问题 例 1 2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题 例 2 2012 年河北省中考第 25 题 例 3 2012 年无锡市中考第 28 题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例 1 2013 年天津市中考第 25 题 例 2 2012 年滨州市中考第 24 题 例 3 2012 年山西省中考第 26 题

第二部分

图形运动中的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2013 年宁波市中考第 26 题 例 2 2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题 例 3 2012 年连云港市中考第 26 题 例 4 2010 年上海市中考第 25 题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例 1 2013 年菏泽市中考第 21 题 例 2 2012 年广东省中考第 22 题 例 3 2012 年河北省中考第 26 题 例 4 2011 年淮安市中考第 28 题 例 5 2011 年山西省中考第 26 题 例 6 2011 年重庆市中考第 26 题

第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2013 年南京市中考第 26 题 例 2 2013 年南昌市中考第 25 题 3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 1 2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题 例 2 2013 年江西省中考第 24 题

声 明
选自东师范大学出版社出版的《挑战中考数学压轴题》 (含光盘)一书。 该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题, 并把它们分为 4 部分、 24 小类。 该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件, 并为每一题 录制了视频讲解, 让你在动态中体验压轴题的变与不变, 获得清晰的解题思路, 完成满分解答,拓展思维训练。 《挑战中考数学压轴题》自出版以来广受读者欢迎,被评为优秀畅销图 书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江苏、浙江等省市 的名牌初中的毕业班学生中,几乎人手一本,成为冲刺名牌高中必备用书。 由于格式问题,该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上, 敬请原谅。

第一部分
1.1

函数图象中点的存在性问题

因动点产生的相似三角形问题
2013 年上海市中考第 24 题

例1

如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,顶点为 M 的抛物线 y=ax2+bx(a>0)经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B,AO=BO=2,∠AOB=120°. (1)求这条抛物线的表达式; (2)连结 OM,求∠AOM 的大小; (3)如果点 C 在 x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,求点 C 的坐标.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“13 上海 24” ,拖动点 C 在 x 轴上运动,可以体验到,点 C 在 点 B 的右侧,有两种情况,△ABC 与△AOM 相似. 请打开超级画板文件名“13 上海 24” ,拖动点 C 在 x 轴上运动,可以体验到,点 C 在 点 B 的右侧,有两种情况,△ABC 与△AOM 相似.点击按钮的左部和中部,可到达相似的 准确位置。

思路点拨
1.第(2)题把求∠AOM 的大小,转化为求∠BOM 的大小. 2.因为∠BOM=∠ABO=30°,因此点 C 在点 B 的右侧时,恰好有∠ABC=∠AOM. 3.根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似.

满分解答
(1)如图 2,过点 A 作 AH⊥y 轴,垂足为 H. 在 Rt△AOH 中,AO=2,∠AOH=30°, 所以 AH=1,OH= 3 .所以 A (?1, 3) . 因为抛物线与 x 轴交于 O、B(2,0)两点, 设 y = ax(x - 2) , 代 入 点 A (?1, 3) , 可 得

a?

3 . 3
所以抛物线的表达式为 y ?

图2

3 3 2 2 3 x( x ? 2) ? x ? x. 3 3 3 3 2 2 3 3 3 (2)由 y ? , x ? x? ( x ? 1)2 ? 3 3 3 3 3 3 得抛物线的顶点 M 的坐标为 (1, ? . ) .所以 tan ?BOM ? 3 3
所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°. (3)由 A (?1, 3) 、B(2,0)、M (1, ?

3 ), 3

得 tan ?ABO ?

2 3 3 , AB ? 2 3 , OM ? . 3 3 OA 所以∠ABO=30°, ? 3. OM
因此当点 C 在点 B 右侧时,∠ABC=∠AOM=150°. △ABC 与△AOM 相似,存在两种情况:

BA OA BA 2 3 ? ? 3 时, BC ? ? ? 2 .此时 C(4,0). BC OM 3 3 BC OA ②如图 4,当 ? ? 3 时, BC ? 3BA ? 3 ? 2 3 ? 6 .此时 C(8,0). BA OM
①如图 3,当

图3

图4

考点伸展
在本题情境下,如果△ABC 与△BOM 相似,求点 C 的坐标. 如图 5,因为△BOM 是 30°底角的等腰三角形,∠ABO=30°,因此△ABC 也是底角 为 30°的等腰三角形,AB=AC,根据对称性,点 C 的坐标为(-4,0).

图5

例2
如图 1,已知抛物线 y ?

2012 年苏州市中考第 29 题

1 2 1 b x ? (b ? 1) x ? (b 是实数且 b>2)与 x 轴的正半轴分别交 4 4 4 于点 A、B(点 A 位于点 B 是左侧) ,与 y 轴的正半轴交于点 C. (1)点 B 的坐标为______,点 C 的坐标为__________(用含 b 的代数式表示) ; (2) 请你探索在第一象限内是否存在点 P, 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b, 且△PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点 P 的坐标;如果不存在,请说 明理由; (3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q,使得△QCO、△QOA 和△QAB 中的 任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点 Q 的坐标;如 果不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 苏州 29” ,拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动,可以体验到, 点 P 到两坐标轴的距离相等,存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻.双击按钮“第(3) 题” ,拖动点 B,可以体验到,存在∠OQA=∠B 的时刻,也存在∠OQ′A=∠B 的时刻.

思路点拨
1.第(2)题中,等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等. 2.联结 OP,把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含 b 的式子 表示. 3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上.

满分解答
b ). 4 (2)如图 2,过点 P 作 PD⊥x 轴,PE⊥y 轴,垂足分别为 D、E,那么△PDB≌△PEC. 因此 PD=PE.设点 P 的坐标为(x, x). 如图 3,联结 OP. 1 b 1 5 所以 S 四边形 PCOB=S△PCO+S△PBO= ? ? x ? ? b ? x ? bx =2b. 2 4 2 8 16 16 16 解得 x ? .所以点 P 的坐标为( , ). 5 5 5
(1)B 的坐标为(b, 0),点 C 的坐标为(0,

图2

图3

1 2 1 b 1 x ? (b ? 1) x ? ? ( x ? 1)( x ? b) ,得 A(1, 0),OA=1. 4 4 4 4 ①如图 4,以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC,那么△OQC≌△QOA. BA QA 当 ,即 QA2 ? BA ? OA 时,△BQA∽△QOA. ? QA OA b 所以 ( ) 2 ? b ? 1 .解得 b ? 8 ? 4 3 .所以符合题意的点 Q 为(1, 2 ? 3 ). 4 ②如图 5,以 OC 为直径的圆与直线 x=1 交于点 Q,那么∠OQC=90°。 因此△OCQ∽△QOA. BA QA 当 时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°. ? QA OA BO QA 所以 C、Q、B 三点共线.因此 ,即 b ? QA .解得 QA ? 4 .此时 Q(1,4). ? CO OA b 1 4
(3)由 y ?

图4

图5

考点伸展
第(3)题的思路是,A、C、O 三点是确定的,B 是 x 轴正半轴上待定的点,而∠QOA 与∠QOC 是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况. 这样,先根据△QOA 与△QOC 相似把点 Q 的位置确定下来,再根据两直角边对应成比 例确定点 B 的位置. 如图中,圆与直线 x=1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢? 如果符合题意的话,那么点 B 的位置距离点 A 很近,这与 OB=4OC 矛盾.

例3

2012 年黄冈市中考模拟第 25 题
1 ( x ? 2)( x ? m) (m>0)与 x 轴交于点 B、C,与 y m

如图 1,已知抛物线的方程 C1: y ? ?

轴交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧. (1)若抛物线 C1 过点 M(2, 2),求实数 m 的值; (2)在(1)的条件下,求△BCE 的面积; (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点 H,使得 BH+EH 最小,求出点 H 的坐标; (4)在第四象限内,抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与△BCE 相似?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 黄冈 25” ,拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动,观察左图,可 以体验到,EC 与 BF 保持平行,但是∠BFC 在无限远处也不等于 45°.观察右图,可以体 验到,∠CBF 保持 45°,存在∠BFC=∠BCE 的时刻.

思路点拨
1.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当 H 落在线段 EC 上时,BH+EH 最小. 2.第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线 BF,作∠CBF=∠EBC=45°,或 者作 BF//EC.再用含 m 的式子表示点 F 的坐标.然后根据夹角相等,两边对应成比例列关 于 m 的方程.

满分解答
1 1 ( x ? 2)( x ? m) ,得 2 ? ? ? 4(2 ? m) .解得 m=4. m m 1 1 1 (2)当 m=4 时, y ? ? ( x ? 2)( x ? 4) ? ? x 2 ? x ? 2 .所以 C(4, 0),E(0, 2). 4 4 2 1 1 所以 S△BCE= BC ? OE ? ? 6 ? 2 ? 6 . 2 2 (3)如图 2,抛物线的对称轴是直线 x=1,当 H 落在线段 EC 上时,BH+EH 最小. HP EO 设对称轴与 x 轴的交点为 P,那么 . ? CP CO HP 2 3 3 因此 ? .解得 HP ? .所以点 H 的坐标为 (1, ) . 3 4 2 2 (4)①如图 3,过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F,过点 F 作 FF′⊥x 轴于 F′. CE BC 由于∠BCE=∠FBC,所以当 ,即 BC 2 ? CE ? BF 时,△BCE∽△FBC. ? CB BF 1 ( x ? 2)( x ? m) 1 FF ' EO 2 m 设点 F 的坐标为 ( x, ? ( x ? 2)( x ? m)) ,由 ,得 ? ? . m BF ' CO x?2 m 解得 x=m+2.所以 F′(m+2, 0).
(1)将 M(2, 2)代入 y ? ?



CO BF ' (m ? 4) m2 ? 4 m m ? 4 .所以 ,得 . ? BF ? ? CE BF m BF m2 ? 4

由 BC 2 ? CE ? BF ,得 (m ? 2)2 ? m2 ? 4 ? 整理,得 0=16.此方程无解.

(m ? 4) m2 ? 4 . m

图2 图3 图4 ②如图 4,作∠CBF=45°交抛物线于 F,过点 F 作 FF′⊥x 轴于 F′, BE BC 由于∠EBC=∠CBF,所以 ,即 BC 2 ? BE ? BF 时,△BCE∽△BFC. ? BC BF 1 在 Rt△BFF′中,由 FF′=BF′,得 ( x ? 2)( x ? m) ? x ? 2 . m 解得 x=2m.所以 F′ (2m, 0) .所以 BF′=2m+2, BF ? 2(2m ? 2) . 由 BC 2 ? BE ? BF ,得 (m ? 2)2 ? 2 2 ? 2(2m ? 2) .解得 m ? 2 ? 2 2 . 综合①、②,符合题意的 m 为 2 ? 2 2 .

考点伸展
第(4)题也可以这样求 BF 的长:在求得点 F′、F 的坐标后,根据两点间的距离公式 求 BF 的长.

例4

2010 年义乌市中考第 24 题

如图 1,已知梯形 OABC,抛物线分别过点 O(0,0) 、A(2,0) 、B(6,3) . (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标; (2) 将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、 CB 以相同的速度同时向上平移, 分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1.设梯形 O1A1B1C1 的面积 为 S,A1、 B1 的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含 S 的代数式表示 x2-x1,并求出当 S=36 时点 A1 的坐标; (3)在图 1 中,设点 D 的坐标为(1,3),动点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度的 速度沿着线段 BC 运动,动点 Q 从点 D 出发,以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动.P、 Q 两点同时出发,当点 Q 到达点 M 时,P、Q 两点同时停止运动.设 P、Q 两点的运动时间 为 t,是否存在某一时刻 t,使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、 抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“10 义乌 24” ,拖动点 I 上下运动,观察图形和图象,可以体验 到,x2-x1 随 S 的增大而减小.双击按钮“第(3)题” ,拖动点 Q 在 DM 上运动,可以体验 到,如果∠GAF=∠GQE,那么△GAF 与△GQE 相似.

思路点拨
1.第(2)题用含 S 的代数式表示 x2-x1,我们反其道而行之,用 x1,x2 表示 S.再注 意平移过程中梯形的高保持不变,即 y2-y1=3.通过代数变形就可以了. 2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位 置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证. 3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线 AB 与 x 轴的夹角不变,直线 AB 与抛物 线的对称轴的夹角不变.变化的直线 PQ 的斜率,因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴 的下方,或者假设交点 G 在 x 轴的上方.

满分解答
(1)抛物线的对称轴为直线 x ? 1 ,解析式为 y ? ( 2 ) 梯 形 O1A1B1C1 的 面 积 S ?

2( x1 ? 1 ? x2 ? 1) ? ? ? 3( x1 ? x2 ) ? 6 , 由 此 得 到 2 s 1 2 1 1 1 x1 ? x2 ? ? 2 .由于 y2 ? y1 ? 3 ,所以 y2 ? y1 ? x2 ? x2 ? x12 ? x1 ? 3 .整理,得 3 8 4 8 4 72 1? ?1 . ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? ? ? 3 .因此得到 x2 ? x1 ? S 4? ?8 ? x2 ? x1 ? 14, ? x1 ? 6, 当 S=36 时, ? 解得 ? 此时点 A1 的坐标为(6,3) . ? x2 ? x1 ? 2. ? x2 ? 8.
(3)设直线 AB 与 PQ 交于点 G,直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E,直线 PQ 与 x

1 2 1 1 . x ? x ,顶点为 M(1, ? ) 8 4 8

轴交于点 F,那么要探求相似的△GAF 与△GQE,有一个公共角∠G. 在△GEQ 中,∠GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角,为定值. 在△GAF 中,∠GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF. 因此只存在∠GQE=∠GAF 的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD. 由于 tan ?GAF ?

3 3 t 20 DQ t , tan ?PQD ? ,所以 ? .解得 t ? . ? 4 4 5?t 7 QP 5 ? t

图3

图4

考点伸展
第(3)题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况?如图 4,假如存在,说理过程相同,求得 的 t 的值也是相同的.事实上,图 3 和图 4 都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图 3.

例5

2009 年临沂市中考第 26 题

如图 1,抛物线经过点 A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点. (1)求此抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上的一个动点,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以 A、P、M 为顶点的三角形与△OAC 相似?若存在,请求出符合条件的 点 P 的坐标;若不 存在,请说明理由; (3) 在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D, 使得△DCA 的面积最大, 求出点 D 的坐标.

, 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“09 临沂 26” ,拖动点 P 在抛物线上运动,可以体验到,△PAM 的形状在变化,分别双击按钮“P 在 B 左侧” 、 “ P 在 x 轴上方”和“P 在 A 右侧” ,可以显 示△PAM 与△OAC 相似的三个情景. 双击按钮“第(3)题” , 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动,观察△DCA 的形状和面 积随 D 变化的图象,可以体验到,E 是 AC 的中点时,△DCA 的面积最大.

思路点拨
1.已知抛物线与 x 轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便. 2.数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长. 3.按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程. 4.把△DCA 可以分割为共底的两个三角形,高的和等于 OA.

满分解答
( 1 ) 因 为 抛 物 线 与 x 轴 交 于 A(4 , 0) 、 B ( 1 , 0) 两 点 , 设 抛 物 线 的 解 析 式 为

1 y ? a( x ? 1)(x ? 4) ,代入点 C 的 坐标(0,-2) ,解得 a ? ? .所以抛物线的解析式为 2 1 1 5 y ? ? ( x ? 1)( x ? 4) ? ? x 2 ? x ? 2 . 2 2 2 1 (2)设点 P 的坐标为 ( x,? ( x ? 1)( x ? 4)) . 2 1 ①如图 2,当点 P 在 x 轴上方时,1<x<4, PM ? ? ( x ? 1)( x ? 4) , AM ? 4 ? x . 2 1 ? ( x ? 1)(x ? 4) AM AO ? ? 2 ,那么 2 如果 ? 2 .解得 x ? 5 不合题意. PM CO 4? x 1 ? ( x ? 1)(x ? 4) AM AO 1 1 ? ? ,那么 2 如果 ? .解得 x ? 2 . PM CO 2 4? x 2
此时点 P 的坐标为(2,1) .

②如图 3,当点 P 在点 A 的右侧时,x>4, PM ?

1 ( x ? 1)( x ? 4) , AM ? x ? 4 . 2

1 ( x ? 1)(x ? 4) 解方程 2 ? 2 ,得 x ? 5 .此时点 P 的坐标为 (5,?2) . x?4 1 ( x ? 1)(x ? 4) 1 解方程 2 ? ,得 x ? 2 不合题意. x?4 2 1 ③如图 4,当点 P 在点 B 的左侧时,x<1, PM ? ( x ? 1)( x ? 4) , AM ? 4 ? x . 2 1 ( x ? 1)(x ? 4) 解方程 2 ? 2 ,得 x ? ?3 .此时点 P 的坐标为 (?3,?14) . 4? x 1 ( x ? 1)(x ? 4) 1 2 解方程 ? ,得 x ? 0 .此时点 P 与点 O 重合,不合题意. 4? x 2 综上所述,符合条件的 点 P 的坐标为(2,1)或 (?3,?14) 或 (5,?2) .

图2

图3

图4

(3)如图 5,过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E.直线 AC 的解析式为 y ? 设点 D 的横坐标为 m (1 ? m ? 4) ,那么点 D 的坐标为 (m,?

1 x?2. 2

1 2 5 m ? m ? 2) ,点 E 的 2 2 1 1 2 5 1 1 2 坐标为 ( m, m ? 2) .所以 DE ? (? m ? m ? 2) ? ( m ? 2) ? ? m ? 2m . 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 因此 S ?DAC ? (? m ? 2m) ? 4 ? ?m ? 4m ? ?(m ? 2) ? 4 . 2 2 当 m ? 2 时,△DCA 的面积最大,此时点 D 的坐标为(2,1) .

图5

图6

考点伸展
第(3)题也可以这样解: 如图 6,过 D 点构造矩形 OAMN,那么△DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去 △CDN 和△ADM 的面积. 设点 D 的横坐标为(m,n) (1 ? m ? 4) ,那么

1 1 1 (2n ? 2) ? 4 ? m(n ? 2) ? n(4 ? m) ? ?m ? 2n ? 4 . 2 2 2 1 2 5 2 由于 n ? ? m ? m ? 2 ,所以 S ? ?m ? 4m . 2 2 S?

例6

2008 年苏州市中考第 29 题

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“08 苏州 29” ,拖动表示 a 的点在 y 轴上运动,可以体验到,当 抛物线经过点 E1 和 E3 时, 直线 NE1、 NE3 和直线 AB 交于同一个点 G, 此时△POB∽△PGN. 当 抛物线经过点 E2 和 E4 时,直线 NE2、NE4 和直线 AB 交于同一个点 G,可以体验到,这个点 G 在点 N 右侧较远处.

思路点拨
1.求等腰直角三角形 OAB 斜边上的高 OH,解直角三角形 POH 求 k、b 的值. 2.以 DN 为边画正方形及对角线,可以体验到,正方形的顶点和对角线的交点中,有 符合题意的点 E,写出点 E 的坐标,代入抛物线的解析式就可以求出 a. 3 . 当 E 在 x 轴 上 方 时 , ∠ GNP = 45 ° , △ POB ∽ △ PGN , 把 P B ? P G 转 化 为 PO ? PN ? 14 . 4.当 E 在 x 轴下方时,通过估算得到 PB ? PG 大于 10 2 .

满分解答
3 2 3 ,b ? . 3 3 (2)由抛物线的解析式 y ? a( x ? 1)( x ? 5) ,得 点 M 的坐标为 (?1, 0) ,点 N 的坐标为 (5, 0) .
(1) OH ? 1 , k ? 因此 MN 的中点 D 的坐标为(2,0) ,DN=3. 因为△AOB 是等腰直角三角形,如果△DNE 与△AOB 相似,那么△DNE 也是等腰直角 三角形. ①如图 2,如果 DN 为直角边,那么点 E 的坐标为 E1(2,3)或 E2(2,-3) . 将 E1(2,3)代入 y ? a( x ? 1)( x ? 5) ,求得 a ? ? .

1 3

1 2 4 5 x ? x? . 3 3 3 1 将 E2(2,-3)代入 y ? a( x ? 1)( x ? 5) ,求得 a ? . 3 1 1 2 4 5 此时抛物线的解析式为 y ? ( x ? 1)( x ? 5) ? x ? x ? . 3 3 3 3 1 1 1 1 ②如果 DN 为斜边,那么点 E 的坐标为 E3 (3 ,1 ) 或 E4 (3 ,?1 ) . 2 2 2 2 1 1 2 将 E3 (3 ,1 ) 代入 y ? a( x ? 1)( x ? 5) ,求得 a ? ? . 2 2 9 2 2 2 8 10 此时抛物线的解析式为 y ? ? ( x ? 1)( x ? 5) ? ? x ? x ? . 9 9 9 9 1 1 2 将 E4 (3 ,?1 ) 代入 y ? a( x ? 1)( x ? 5) ,求得 a ? . 2 2 9 2 2 2 8 10 此时抛物线的解析式为 y ? ( x ? 1)( x ? 5) ? x ? x ? . 9 9 9 9
此时抛物线的解析式为 y ? ? ( x ? 1)( x ? 5) ? ?

1 3

图2

图3

1 1 对于点 E 为 E1(2,3)和 E3 (3 ,1 ) ,直线 NE 是相同的,∠ENP=45°. 2 2
又∠OBP=45°,∠P=∠P,所以△POB∽△PGN. 因此 PB ? PG ? PO ? PN ? 2 ? 7 ? 14 ? 10 2 .

1 2 14 3. 此时点 G 在直线 x ? 5 的右侧, PG ? 3 4 14 4 4 3 ,所以 PB ? PG ? 3? 3 ? 14 ? ? 10 2 . 又 PB ? 3 3 3 3
对于点 E 为 E2(2,-3)和 E4 (3 ,?1 ) ,直线 NE 是相同的.

1 2

考点伸展
在本题情景下,怎样计算 PB 的长? 如图 3, 作 AF⊥AB 交 OP 于 F, 那么△OBC≌△OAF, OF=OC= PA=

2 2 3, 3, PF= 2 ? 3 3

3 3 2 PF ? (2 ? 3) ? 3 ? 1,所以 PB ? 3 ? 1 . 2 2 3

1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题

如图 1,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点 D 为边 BC 的中点,DE⊥BC 交边 AC 于点 E,点 P 为射线 AB 上的一动点,点 Q 为边 AC 上的一动点,且∠PDQ=90°. (1)求 ED、EC 的长; (2)若 BP=2,求 CQ 的长; (3)记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F,若△PDF 为等腰三角形,求 BP 的长.

图1

备用图

动感体验
请打开几何画板文件名 “13 虹口 25” , 拖动点 P 在射线 AB 上运动, 可以体验到, △PDM 与△QDN 保持相似.观察△PDF,可以看到,P、F 可以落在对边的垂直平分线上,不存在 DF=DP 的情况. 请打开超级画板文件名 “13 虹口 25” , 拖动点 P 在射线 AB 上运动, 可以体验到, △PDM 与△QDN 保持相似.观察△PDF,可以看到,P、F 可以落在对边的垂直平分线上,不存在 DF=DP 的情况.

思路点拨
1.第(2)题 BP=2 分两种情况. 2.解第(2)题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系. 3.第(3)题探求等腰三角形 PDF 时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三 角形 CDQ.

满分解答
(1)在 Rt△ABC 中, AB=6,AC=8,所以 BC=10. 在 Rt△CDE 中,CD=5,所以 ED ? CD ? tan ?C ? 5 ?

3 15 25 , EC ? . ? 4 4 4

(2)如图 2,过点 D 作 DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为 M、N,那么 DM、DN 是 △ABC 的两条中位线,DM=4,DN=3. 由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN. 因此△PDM∽△QDN. 3 4 PM DM 4 所以 ? ? .所以 QN ? PM , PM ? QN . 4 3 QN DN 3

图2 图3 ①如图 3,当 BP=2,P 在 BM 上时,PM=1. 此时 QN ?

图4

3 3 3 19 PM ? .所以 CQ ? CN ? QN ? 4 ? ? . 4 4 4 4 3 15 15 31 PM ? .所以 CQ ? CN ? QN ? 4 ? ? . 4 4 4 4

②如图 4,当 BP=2,P 在 MB 的延长线上时,PM=5. 此时 QN ?

(3)如图 5,如图 2,在 Rt△PDQ 中, tan ?QPD ? 在 Rt△ABC 中, tan ?C ?

QD DN 3 ? ? . PD DM 4

BA 3 ? .所以∠QPD=∠C. CA 4

由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ. 因此△PDF∽△CDQ. 当△PDF 是等腰三角形时,△CDQ 也是等腰三角形. ①如图 5,当 CQ=CD=5 时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图 3 所示) .

4 4 4 5 QN ? .所以 BP ? BM ? PM ? 3 ? ? . 3 3 3 3 5 4 25 CH ②如图 6,当 QC=QD 时,由 cos C ? ,可得 CQ ? ? ? . 2 5 8 CQ 25 7 所以 QN=CN-CQ= 4 ? . ? (如图 2 所示) 8 8 4 7 7 25 此时 PM ? QN ? .所以 BP ? BM ? PM ? 3 ? ? . 3 6 6 6
此时 PM ? ③不存在 DP=DF 的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图 5,图 6 所示) .

图5

图6

考点伸展
如图 6,当△CDQ 是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP 也是等腰 三角形,PB=PD.在△BDP 中可以直接求解 BP ?

25 . 6

例2

2012 年扬州市中考第 27 题

如图 1,抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线 l 是抛物线的 对称轴. (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; (3)在直线 l 上是否存在点 M,使△MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合 条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 扬州 27” ,拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动,可以体验 到,当点 P 落在线段 BC 上时,PA+PC 最小,△PAC 的周长最小.拖动点 M 在抛物线的对 称轴上运动,观察△MAC 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系,可以看到,点 M 有 1 次机会落在 AC 的垂直平分线上;点 A 有 2 次机会落在 MC 的垂直平分线上;点 C 有 2 次 机会落在 MA 的垂直平分线上,但是有 1 次 M、A、C 三点共线.

思路点拨
1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点 P 在线段 BC 上时△PAC 的周长最小. 2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.

满分解答
(1)因为抛物线与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3, 0)两点,设 y=a(x+1)(x-3), 代入点 C(0 ,3),得-3a=3.解得 a=-1. 所以抛物线的函数关系式是 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)如图 2,抛物线的对称轴是直线 x=1. 当点 P 落在线段 BC 上时,PA+PC 最小,△PAC 的周长最小. 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H. BH PH 由 ,BO=CO,得 PH=BH=2. ? BO CO 所以点 P 的坐标为(1, 2). 图2 (3)点 M 的坐标为(1, 1)、(1, 6 )、(1, ? 6 )或(1,0).

考点伸展
第(3)题的解题过程是这样的: 设点 M 的坐标为(1,m). 在△MAC 中,AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2. ①如图 3,当 MA=MC 时,MA2=MC2.解方程 4+m2=1+(m-3)2,得 m=1. 此时点 M 的坐标为(1, 1). ②如图 4,当 AM=AC 时,AM2=AC2.解方程 4+m2=10,得 m ? ? 6 . 此时点 M 的坐标为(1, 6 )或(1, ? 6 ). ③如图 5,当 CM=CA 时,CM2=CA2.解方程 1+(m-3)2=10,得 m=0 或 6. 当 M(1, 6)时,M、A、C 三点共线,所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0).

图3

图4

图5

例3

2012 年临沂市中考第 26 题

如图 1,点 A 在 x 轴上,OA=4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置. (1)求点 B 的坐标; (2)求经过 A、O、B 的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等 腰三角形?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 临沂 26” ,拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动,可以体验 到,⊙O 和⊙B 以及 OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点,当点 P 运动到 ⊙O 与对称轴的另一个交点时,B、O、P 三点共线. 请打开超级画板文件名“12 临沂 26” ,拖动点 P,发现存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形

思路点拨
1.用代数法探求等腰三角形分三步:先分类,按腰相等分三种情况;再根据两点间的 距离公式列方程;然后解方程并检验. 2.本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点 P 重合在一起.

满分解答
(1)如图 2,过点 B 作 BC⊥y 轴,垂足为 C. 在 Rt△OBC 中,∠BOC=30°,OB=4,所以 BC=2, OC ? 2 3 . 所以点 B 的坐标为 (?2, ?2 3) . (2)因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0),设抛物线的解析式为 y=ax(x-4), 代入点 B (?2, ?2 3) , ?2 3 ? ?2a ? (?6) .解得 a ? ?

3 . 6 3 3 2 2 3 所以抛物线的解析式为 y ? ? x( x ? 4) ? ? x ? x. 6 6 3 (3)抛物线的对称轴是直线 x=2,设点 P 的坐标为(2, y). ①当 OP=OB=4 时,OP2=16.所以 4+y2=16.解得 y ? ?2 3 .
当 P 在 (2, 2 3) 时,B、O、P 三点共线(如图 2) . ②当 BP=BO=4 时,BP2=16.所以 42 ? ( y ? 2 3)2 ? 16 .解得 y1 ? y2 ? ?2 3 . ③当 PB=PO 时,PB2=PO2.所以 42 ? ( y ? 2 3)2 ? 22 ? y 2 .解得 y ? ?2 3 . 综合①、②、③,点 P 的坐标为 (2, ?2 3) ,如图 2 所示.

图2

图3

考点伸展
如图 3,在本题中,设抛物线的顶点为 D,那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三 角形.

3 3 2 3 2 3 ,得抛物线的顶点为 D (2, x( x ? 4) ? ? ( x ? 2)2 ? ). 6 6 3 3 2 3 因此 tan ?DOA ? .所以∠DOA=30°,∠ODA=120°. 3
由y??

例4

2011 年盐城市中考第 28 题
4 x 的图象交于点 A,且与 x 轴交于 3

如图 1,已知一次函数 y=-x+7 与正比例函数 y ?

点 B. (1)求点 A 和点 B 的坐标; (2) 过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C, 过点 B 作直线 l//y 轴. 动 点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个单位长的速度,沿 O— C— A 的路线向点 A 运动;同时直线 l 从点 B 出发,以相同速度 向左平移,在平移过程中,直线 l 交 x 轴于点 R,交线段 BA 或线段 AO 于点 Q.当点 P 到达点 A 时,点 P 和直线 l 都 停止运动.在运动过程中,设动点 P 运动的时间为 t 秒. ①当 t 为何值时,以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积 为 8? ②是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在,求 t 的值;若不存在,请说明理由. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 盐城 28” ,拖动点 R 由 B 向 O 运动,从图象中可以看到, △APR 的面积有一个时刻等于 8.观察△APQ,可以体验到,P 在 OC 上时,只存在 AP= AQ 的情况;P 在 CA 上时,有三个时刻,△APQ 是等腰三角形.

思路点拨
1.把图 1 复制若干个,在每一个图形中解决一个问题. 2.求△APR 的面积等于 8,按照点 P 的位置分两种情况讨论.事实上,P 在 CA 上运动 时,高是定值 4,最大面积为 6,因此不存在面积为 8 的可能. 3.讨论等腰三角形 APQ,按照点 P 的位置分两种情况讨论,点 P 的每一种位置又要讨 论三种情况.

满分解答
? y ? ? x ? 7, (1)解方程组 ? 4 ? y ? x, ? 3 ?

? x ? 3, 所以点 A 的坐标是(3,4). 得? ? y ? 4.

令 y ? ? x ? 7 ? 0 ,得 x ? 7 .所以点 B 的坐标是(7,0). (2)①如图 2,当 P 在 OC 上运动时,0≤t<4.由 S△APR ? S 梯形CORA ?S △ , A C P ?S P △ O R ? 8

1 1 1 得 (3+7 ? t ) ? 4 ? ? 4 ? (4 ? t ) ? ? t (7 ? t ) ? 8 .整理,得 t 2 ? 8t ? 12 ? 0 .解得 t=2 或 t=6 2 2 2 (舍去) .如图 3,当 P 在 CA 上运动时,△APR 的最大面积为 6. 因此,当 t=2 时,以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8.

图2 图3 图4 ②我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形,0≤t<4. 如图 1, 在△AOB 中, ∠B=45°, ∠AOB>45°, OB=7,AB ? 4 2 , 所以 OB>AB. 因 此∠OAB>∠AOB>∠B. 如图 4,点 P 由 O 向 C 运动的过程中,OP=BR=RQ,所以 PQ//x 轴. 因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ 越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP 的情况. 此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以 BR=1,t=1. 我们再来讨论 P 在 CA 上运动时的情形,4≤t<7. 3 5 5 20 在△APQ 中, cos ?A ? 为定值, AP ? 7 ? t , AQ ? OA ? OQ ? OA ? OR ? t ? . 5 3 3 3 5 20 41 如图 5,当 AP=AQ 时,解方程 7 ? t ? t ? ,得 t ? . 3 3 8 如图 6,当 QP =QA 时,点 Q 在 PA 的垂直平分线上, AP = 2(OR -OP).解方程 7 ? t ? 2[(7 ? t ) ? (t ? 4)] ,得 t ? 5 . 1 AQ 如 7 , 当 PA = PQ 时 , 那 么 cos ?A ? 2 . 因 此 A Q? 2 A P .解方程 ? c o s? A AP 5 20 3 226 . t? ? 2(7 ? t ) ? ,得 t ? 3 3 5 43 41 226 综上所述,t=1 或 或 5 或 时,△APQ 是等腰三角形. 8 43

图5

图6

图7

考点伸展
当 P 在 CA 上,QP=QA 时,也可以用 AP ? 2 AQ ? cos ?A 来求解.

例5

2010 年南通市中考第 27 题

如图 1,在矩形 ABCD 中,AB=m(m 是大于 0 的常数) ,BC=8,E 为线段 BC 上的动 点(不与 B、C 重合) .连结 DE,作 EF⊥DE,EF 与射线 BA 交于点 F,设 CE=x,BF=y. (1)求 y 关于 x 的函数关系式; (2)若 m=8,求 x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少? 12 (3)若 y ? ,要使△DEF 为等腰三角形,m 的值应为多少? m

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“10 南通 27” ,拖动点 E 在 BC 上运动,观察 y 随 x 变化的函数 图象,可以体验到,y 是 x 的二次函数,抛物线的开口向下.对照图形和图象,可以看到, 当 E 是 BC 的中点时,y 取得最大值.双击按钮“m=8” ,拖动 E 到 BC 的中点,可以体验 到,点 F 是 AB 的四等分点. 拖动点 A 可以改变 m 的值,再拖动图象中标签为“y 随 x” 的点到射线 y=x 上,从图 形中可以看到,此时△DCE≌△EBF.

思路点拨
1.证明△DCE∽△EBF,根据相似三角形的对应边成比例可以得到 y 关于 x 的函数关 系式. 2.第(2)题的本质是先代入,再配方求二次函数的最值. 3.第(3)题头绪复杂,计算简单,分三段表达.一段是说理,如果△DEF 为等腰三 角形,那么得到 x=y;一段是计算,化简消去 m,得到关于 x 的一元二次方程,解出 x 的值; 第三段是把前两段结合,代入求出对应的 m 的值.

满分解答
(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角,所以∠EDC=∠FEB.又因为∠C=∠B= 90°,所以△DCE∽△EBF.因此 系为 y ? ?

DC EB m 8? x ? ,即 ? .整理,得 y 关于 x 的函数关 CE BF x y

1 2 8 x ? x. m m
1 2 1 x ? x ? ? ( x ? 4) 2 ? 2 .因此当 x=4 时,y 取得最大 8 8

(2)如图 2,当 m=8 时, y ? ? 值为 2.

12 1 8 12 2 ? ? x2 ? x . , 那么 整理, 得 x ? 8x ? 12 ? 0 . 解得 x=2 或 x=6. 要 m m m m 使△DEF 为等腰三角形,只存在 ED=EF 的情况.因为△DCE∽△EBF,所以 CE=BF,即 12 12 x=y.将 x=y =2 代入 y ? ,得 m=6(如图 3) ;将 x=y =6 代入 y ? ,得 m=2(如 m m 图 4) .
(3) 若 y ?

图2

图3

图4

考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系,例如: 由第(1)题得到 y ? ?

1 2 8 1 1 16 x ? x ? ? ( x 2 ? 8 x) ? ? ( x ? 4) 2 ? , m m m m m

那么不论 m 为何值,当 x=4 时,y 都取得最大值.对应的几何意义是,不论 AB 边为多 长,当 E 是 BC 的中点时,BF 都取得最大值.第(2)题 m=8 是第(1)题一般性结论的一 个特殊性. 再如,不论 m 为小于 8 的任何值,△DEF 都可以成为等腰三角形,这是因为方程

x??

1 2 8 x ? x 总有一个根 x ? 8 ? m 的. 第 (3) 题是这个一般性结论的一个特殊性. m m

例 6

2009 年江西省中考第 25 题

如图 1,在等腰梯形 ABCD 中,AD//BC,E 是 AB 的中点,过点 E 作 EF//BC 交 CD 于 点 F,AB=4,BC=6,∠B=60°. (1)求点 E 到 BC 的距离; (2)点 P 为线段 EF 上的一个动点,过点 P 作 PM⊥EF 交 BC 于 M,过 M 作 MN//AB 交折线 ADC 于 N,连结 PN,设 EP=x. ①当点 N 在线段 AD 上时 (如图 2) , △PMN 的形状是否发生改变?若不变, 求出△PMN 的周长;若改变,请说明理由; ②当点 N 在线段 DC 上时(如图 3) ,是否存在点 P,使△PMN 为等腰三角形?若存在, 请求出所有满足条件的 x 的值;若不存在,请说明理由.

图1

图2

图3

动感体验
请打开几何画板文件名“09 江西 25” ,拖动点 P 在 EF 上运动,可以体验到,当 N 在 AD 上时,△PMN 的形状不发生改变,四边形 EGMP 是矩形,四边形 BMQE、四边形 ABMN 是平行四边形,PH 与 NM 互相平分. 当 N 在 DC 上时,△PMN 的形状发生变化,但是△CMN 恒为等边三角形,分别双击按 钮“PM=PN” 、 “MP=MN”和“NP=NM” ,可以显示△PMN 为等腰三角形.

思路点拨
1. 先解读这个题目的背景图, 等腰梯形 ABCD 的中位线 EF=4, 这是 x 的变化范围. 平 行线间的距离处处相等,AD 与 EF、EF 与 BC 间的距离相等. 2.当点 N 在线段 AD 上时,△PMN 中 PM 和 MN 的长保持不变是显然的,求证 PN 的 长是关键.图形中包含了许多的对边平行且相等,理顺线条的关系很重要. 3.分三种情况讨论等腰三角形 PMN,三种情况各具特殊性,灵活运用几何性质解题.

满分解答
(1)如图 4,过点 E 作 EG⊥BC 于 G.

1 AB ? 2 ,∠B=60°, 2 所以 BG ? BE ? cos 60? ? 1 , EG ? BE ? sin 60? ? 3 .
在 Rt△BEG 中, BE ? 所以点 E 到 BC 的距离为 3 . (2)因为 AD//EF//BC,E 是 AB 的中点,所以 F 是 DC 的中点. 因此 EF 是梯形 ABCD 的中位线,EF=4. ①如图 4,当点 N 在线段 AD 上时,△PMN 的形状不是否发生改变. 过点 N 作 NH⊥EF 于 H,设 PH 与 NM 交于点 Q. 在矩形 EGMP 中,EP=GM=x,PM=EG= 3 . 在平行四边形 BMQE 中,BM=EQ=1+x. 所以 BG=PQ=1. 因为 PM 与 NH 平行且相等,所以 PH 与 NM 互相平分,PH=2PQ=2. 在 Rt△PNH 中,NH= 3 ,PH=2,所以 PN= 7 .

在平行四边形 ABMN 中,MN=AB=4. 因此△PMN 的周长为 3 + 7 +4.

图4 图5 ②当点 N 在线段 DC 上时,△CMN 恒为等边三角形. 如图 5,当 PM=PN 时,△PMC 与△PNC 关于直线 PC 对称,点 P 在∠DCB 的平分线 上. 在 Rt△PCM 中,PM= 3 ,∠PCM=30°,所以 MC=3. 此时 M、P 分别为 BC、EF 的中点,x=2. 如图 6,当 MP=MN 时,MP=MN=MC= 3 ,x=GM=GC-MC=5- 3 . 如图 7,当 NP=NM 时,∠NMP=∠NPM=30°,所以∠PNM=120°. 又因为∠FNM=120°,所以 P 与 F 重合. 此时 x=4. 综上所述,当 x=2 或 4 或 5- 3 时,△PMN 为等腰三角形.

图6

图7

图8

考点伸展
第(2)②题求等腰三角形 PMN 可以这样解: 如图 8,以 B 为原点,直线 BC 为 x 轴建立坐标系,设点 M 的坐标为(m,0) ,那么点 P 的坐标为(m, 3 ) ,MN=MC=6-m,点 N 的坐标为( 由两点间的距离公式,得 PN ? m ? 9m ? 21.
2 2 2 当 PM=PN 时, m ? 9m ? 21 ? 9 ,解得 m ? 3 或 m ? 6 .此时 x ? 2 .

m?6 3 (6 ? m) , ) . 2 2

当 MP=MN 时, 6 ? m ? 3 ,解得 m ? 6 ? 3 ,此时 x ? 5 ? 3 .
2 2 当 NP=NM 时, m ? 9m ? 21 ? (6 ? m) ,解得 m ? 5 ,此时 x ? 4 .

1.3

因动点产生的直角三角形问题
2013 年山西省中考第 26 题

例1
如图 1,抛物线 y ?

1 2 3 ,与 y 轴 x ? x ? 4 与 x 轴交于 A、B 两点(点 B 在点 A 的右侧) 4 2

交于点 C,连结 BC,以 BC 为一边,点 O 为对称中心作菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个 动点,设点 P 的坐标为(m, 0),过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q. (1)求点 A、B、C 的坐标; (2)当点 P 在线段 OB 上运动时,直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N.试探究 m 为何 值时,四边形 CQMD 是平行四边形,此时,请判断四边形 CQBM 的形状,并说明理由; (3)当点 P 在线段 EB 上运动时,是否存在点 Q,使△BDQ 为直角三角形,若存在, 请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“13 山西 26” ,拖动点 P 在线段 OB 上运动,可以体验到,当 P 运动到 OB 的中点时, 四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形. 拖动点 P 在线段 EB 上运动,可以体验到,∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角. 请打开超级画板文件名“13 山西 26” ,拖动点 P 在线段 OB 上运动,可以体验到,当 P 运动到 OB 的中点时, 四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形. 拖动点 P 在线段 EB 上运动,可以体验到,∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角.

思路点拨
1.第(2)题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长,再根据 MQ=DC 列方程. 2.第(2)题要判断四边形 CQBM 的形状,最直接的方法就是根据求得的 m 的值画一 个准确的示意图,先得到结论. 3.第(3)题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂 线可以构造相似三角形.

满分解答
1 2 3 1 x ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 8) ,得 A(-2,0),B(8,0),C(0,-4). 4 2 4 1 (2)直线 DB 的解析式为 y ? ? x ? 4 . 2 1 1 3 由点 P 的坐标为(m, 0),可得 M (m, ? m ? 4) , Q (m, m 2 ? m ? 4) . 2 4 2 1 1 3 1 所以 MQ= (? m ? 4) ? ( m 2 ? m ? 4) ? ? m 2 ? m ? 8 . 2 4 2 4
(1)由 y ? 当 MQ=DC=8 时,四边形 CQMD 是平行四边形. 解方程 ?

1 2 . m ? m ? 8 ? 8 ,得 m=4,或 m=0(舍去) 4

此时点 P 是 OB 的中点,N 是 BC 的中点,N(4,-2),Q(4,-6). 所以 MN=NQ=4.所以 BC 与 MQ 互相平分. 所以四边形 CQBM 是平行四边形.

图2 (3)存在两个符合题意的点 Q,分别是(-2,0),(6,-4).

图3

考点伸展
第(3)题可以这样解:设点 Q 的坐标为 ( x, ( x ? 2)( x ? 8)) .

1 4

1 ? ( x ? 2)( x ? 8) QG BH 1 1 ①如图 3,当∠DBQ=90°时, ? ? .所以 4 ? . GB HD 2 8? x 2
解得 x=6.此时 Q(6,-4).

1 4 ? ( x ? 2)( x ? 8) QG DH 4 ②如图 4,当∠BDQ=90°时, ? ? 2 .所以 ? 2. GD HB ?x
解得 x=-2.此时 Q(-2,0).

图3

图4

例1

2012 年广州市中考第 24 题

3 3 如图 1,抛物线 y ? ? x 2 ? x ? 3 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 8 4 轴交于点 C. (1)求点 A、B 的坐标; (2)设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积 时,求点 D 的坐标; (3)若直线 l 过点 E(4, 0),M 为直线 l 上的动点,当以 A、B、M 为顶点所作的直角三 角形有且只有 三个时,求直线 l 的解析式. ....

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 广州 24” ,拖动点 M 在以 AB 为直径的圆上运动,可以体验 到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点 M 只有 1 个. 请打开超级画板文件名“12 广州 24” ,拖动点 M 在以 AB 为直径的圆上运动,可以体验 到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点 M 只有 1 个.

思路点拨
1.根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的 点 D 有两个. 2.当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时,符合∠AMB=90°的点 M 有 2 个;当直线 l 与圆相切时,符合∠AMB=90°的点 M 只有 1 个. 3.灵活应用相似比解题比较简便.

满分解答
3 3 3 (1)由 y ? ? x 2 ? x ? 3 ? ? ( x ? 4)( x ? 2) , 8 4 8 得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(-4, 0)、B(2, 0).对称轴是直线 x=-1. (2) △ACD 与△ACB 有公共的底边 AC,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时,点 B、 D 到直线 AC 的距离相等. 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D,在 AC 的另一侧有对应的点 D′. 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G,与 AC 交于点 H. DG CO 3 由 BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以 ? ? . BG AO 4 3 9 9 所以 DG ? BG ? ,点 D 的坐标为 (1, ? ) . 4 4 4 因为 AC//BD,AG=BG,所以 HG=DG. 27 27 而 D′H=DH,所以 D′G=3DG ? .所以 D′的坐标为 (1, ) . 4 4

图2 图3 (3)过点 A、B 分别作 x 轴的垂线,这两条垂线与直线 l 总是有交点的,即 2 个点 M. 以 AB 为直径的⊙G 如果与直线 l 相交,那么就有 2 个点 M;如果圆与直线 l 相切,就 只有 1 个点 M 了. 联结 GM,那么 GM⊥l. 在 Rt△EGM 中,GM=3,GE=5,所以 EM=4. M A 3 在 Rt△EM1A 中,AE=8, tan ?M 1 EA ? 1 ? ,所以 M1A=6. AE 4 3 所以点 M1 的坐标为(-4, 6),过 M1、E 的直线 l 为 y ? ? x ? 3 . 4 3 根据对称性,直线 l 还可以是 y ? x ? 3 . 4

考点伸展
第(3)题中的直线 l 恰好经过点 C,因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式. 在 Rt△EGM 中,GM=3,GE=5,所以 EM=4. 在 Rt△ECO 中,CO=3,EO=4,所以 CE=5. 因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线 CM 过点 C.

例3

2012 年杭州市中考第 22 题

在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数 y=k(x2+x-1)的图象交于点 A(1,k)和点 B(-1,-k). (1)当 k=-2 时,求反比例函数的解析式; (2)要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大,求 k 应满足的条件以及 x 的 取值范围; (3)设二次函数的图象的顶点为 Q,当△ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时,求 k 的值.

动感体验
请打开几何画板文件名 “12 杭州 22” , 拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动, 可以体验到, 当 k<0 并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大.观察 抛物线的顶点 Q 与⊙O 的位置关系,可以体验到,点 Q 有两次可以落在圆上. 请打开超级画板文件名 “12 杭州 22” , 拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动, 可以体验到, 当 k<0 并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大.观察 抛物线的顶点 Q 与⊙O 的位置关系,可以体验到,点 Q 有两次可以落在圆上.

思路点拨
1.由点 A(1,k)或点 B(-1,-k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是 y ?

k .题目 x

中的 k 都是一致的. 2.由点 A(1,k)或点 B(-1,-k)的坐标还可以知道,A、B 关于原点 O 对称,以 AB 为直 径的圆的圆心就是 O. 3.根据直径所对的圆周角是直角,当 Q 落在⊙O 上是,△ABQ 是以 AB 为直径的直角 三角形.

满分解答
(1)因为反比例函数的图象过点 A(1,k),所以反比例函数的解析式是 y ? 当 k=-2 时,反比例函数的解析式是 y ? ? (2)在反比例函数 y ?

k . x

2 . x

k 中,如果 y 随 x 增大而增大, x

那么 k<0. 当 k<0 时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y 随 x 增大而增大. 1 5 抛物线 y=k(x2+x+1)= k ( x ? ) 2 ? k 的对称轴是直 2 4 线 1 图1 x?? . 2 1 所以当 k<0 且 x ? ? 时,反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大. 2 1 5 (3)抛物线的顶点 Q 的坐标是 (? , ? k ) ,A、B 关于原点 O 中心对称, 2 4 当 OQ=OA=OB 时,△ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形. 1 5 由 OQ2=OA2,得 (? ) 2 ? (? k )2 ? 12 ? k 2 . 2 4

解得 k1 ?

2 2 , k2 ? ? . 3 (如图 2) 3 (如图 3) 3 3

图2

图3

考点伸展
k (k>0)交于 A、B x 和 C、D,那么 AB 与 CD 互相平分,所以四边形 ACBD 是平行四边形. 问平行四边形 ABCD 能否成为矩形?能否成为正方形? 如图 5,当 A、C 关于直线 y=x 对称时,AB 与 CD 互相平分且相等,四边形 ABCD 是 矩形. 因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以 OA 与 OC 无法垂直,因 此四边形 ABCD 不能成为正方形.
如图 4,已知经过原点 O 的两条直线 AB 与 CD 分别与双曲线 y ?

图4

图5

例4

2011 年浙江省中考第 23 题

设直线 l1:y=k1x+b1 与 l2:y=k2x+b2,若 l1⊥l2,垂足为 H,则称直线 l1 与 l2 是点 H 的直角线. 1 (1)已知直线① y ? ? x ? 2 ;② y ? x ? 2 ;③ y ? 2 x ? 2 ;④ 2 y ? 2 x ? 4 和点 C(0,2),则直线_______和_______是点 C 的直角线 (填序号即可) ; (2) 如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形 OABC 的顶点 A(3, 0)、B(2,7)、C(0,7),P 为线段 OC 上一点,设过 B、P 两点的直 线为 l1,过 A、P 两点的直线为 l2,若 l1 与 l2 是点 P 的直角线,求 直线 l1 与 l2 的解析式. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 浙江 23” ,拖动点 P 在 OC 上运动,可以体验到,∠APB 有两个时刻可以成为直角,此时△BCP∽△POA.

答案
(1)直线①和③是点 C 的直角线. (2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么 =6 或 OP=1.

BC PO 2 PO ,即 .解得 OP ? ? CP OA 7 ? PO 3

1 x ? 6 , l2:y=-2x+6. 2 1 如图 3,当 OP=1 时,l1:y=3x+1, l2: y ? ? x ? 1 . 3
如图 2,当 OP=6 时,l1: y ?

图2

图3

例5

2010 年北京市中考第 24 题
m ? 1 2 5m x ? x ? m 2 ? 3m ? 2 与 x 轴的交点 4 4

在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ?

分别为原点 O 和点 A,点 B(2,n)在这条抛物线上. (1)求点 B 的坐标; (2)点 P 在线段 OA 上,从点 O 出发向点 A 运动,过点 P 作 x 轴的垂线,与直线 OB 交于点 E,延长 PE 到点 D,使得 ED=PE,以 PD 为斜边,在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当点 P 运动时,点 C、D 也随之运动) . ①当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长; ②若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA 上另一 个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动, 速度为每秒 2 个单位 (当点 Q 到达点 O 时停止运动, 点 P 也停止运动) .过 Q 作 x 轴的垂线,与直线 AB 交于点 F,延长 QF 到点 M,使得 FM= QF,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN(当点 Q 运动时,点 M、N 也 随之运动) .若点 P 运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线 上,求此刻 t 的值.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“10 北京 24” ,拖动点 P 从 O 向 A 运动,可以体验到,两个等 腰直角三角形的边有三个时刻可以共线.

思路点拨
1.这个题目最大的障碍,莫过于无图了. 2.把图形中的始终不变的等量线段罗列出来,用含有 t 的式子表示这些线段的长. 3.点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t),代入抛物线的解析式就可以计算此刻 OP 的长. 4.当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于 t 的方程 就可以求解了.

满分解答
m ? 1 2 5m x ? x ? m 2 ? 3m ? 2 经 过 原 点 , 所 以 4 4 1 2 5 m2 ? 3m ? 2 ? 0 . 解得 m1 ? 2 , m2 ? 1 (舍去) .因此 y ? ? x ? x .所以点 B 的坐 4 2
(1) 因 为 抛 物 线 y?? 标为(2,4) . (2) ①如图 4,设 OP 的长为 t,那么 PE=2t,EC=2t,点 C 的坐标为(3t, 2t).当点 C 落在抛物线上时, 2t ? ?

1 5 22 ? (3t ) 2 ? ? 3t .解得 t ? OP ? . 4 2 9

②如图 1,当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时,点 P、Q 重合.此时 3t=10.解

得t ?

10 . 3

如图 2,当两条直角边 PC 与 MN 在同一条直线上,△PQN 是等腰直角三角形,PQ= PE.此时 10 ? 3t ? 2t .解得 t ? 2 . 如图 3,当两条直角边 DC 与 QN 在同一条直线上,△PQC 是等腰直角三角形,PQ= PD.此时 10 ? 3t ? 4t .解得 t ?

10 . 7

图1

图2

图3

考点伸展
在本题情境下,如果以 PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆 F 相切,求 t 的值. 如图 5,当 P、Q 重合时,两圆内切, t ?

10 . 3

如图 6,当两圆外切时, t ? 30 ? 20 2 .

图4

图5

图6

例6

2009 年嘉兴市中考第 24 题

如图 1,已知 A、B 是线段 MN 上的两点, MN ? 4 , MA ? 1 , MB ? 1.以 A 为中心顺 时针旋转点 M,以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M、N 两点重合成一点 C,构成△ABC,设 AB ? x . (1)求 x 的取值范围; (2)若△ABC 为直角三角形,求 x 的值; (3)探究:△ABC 的最大面积?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“09 嘉兴 24” ,拖动点 B 在 AN 上运动,可以体验到,三角形的 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;∠CAB 和∠ACB 可以成为直角,∠CBA 不可 能成为直角;观察函数的图象,可以看到,图象是一个开口向下的“U”形,当 AB 等于 1.5 时,面积达到最大值.

思路点拨
1.根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组,可 以求得 x 的取值范围. 2.分类讨论直角三角形 ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确定直角三角形的 存在性. 3.把△ABC 的面积 S 的问题,转化为 S2 的问题.AB 边上的高 CD 要根据位置关系分 类讨论,分 CD 在三角形内部和外部两种情况.

满分解答
(1)在△ABC 中, AC ? 1 , AB ? x , BC ? 3 ? x ,所以 ?

?1 ? x ? 3 ? x, 解得 1 ? x ? 2 . 1 ? 3 ? x ? x . ?

(2)①若 AC 为斜边,则 1 ? x 2 ? (3 ? x) 2 ,即 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,此方程无实根. 5 ②若 AB 为斜边,则 x 2 ? (3 ? x) 2 ? 1 ,解得 x ? ,满足 1 ? x ? 2 . 3 4 ③若 BC 为斜边,则 (3 ? x) 2 ? 1 ? x 2 ,解得 x ? ,满足 1 ? x ? 2 . 3 5 4 因此当 x ? 或 x ? 时,△ABC 是直角三角形. 3 3 1 (3)在△ABC 中,作 CD ? AB 于 D,设 CD ? h ,△ABC 的面积为 S,则 S ? xh . 2 ① 如 图 2 , 若 点 D 在 线 段 AB 上 , 则 1 ? h 2 ? (3 ? x) 2 ? h 2 ? x . 移 项 , 得

(3 ? x) 2 ? h 2 ? x ? 1 ? h 2 .两边平方,得 (3 ? x) 2 ? h 2 ? x 2 ? 2x 1 ? h 2 ? 1 ? h 2 .整理,
得 x 1 ? h 2 ? 3x ? 4 . 两 边 平 方 , 得 x 2 (1 ? h 2 ) ? 9x 2 ? 24x ? 16 . 整 理 , 得
x 2 h 2 ? ?8x 2 ? 24x ? 16

所以 S 2 ? 当x?

4 1 2 2 3 1 . x h ? ?2 x 2 ? 6 x ? 4 ? ?2( x ? ) 2 ? ( ≤ x ? 2 ) 4 2 2 3

4 2 3 1 时(满足 ≤ x ? 2 ) , S 2 取最大值 ,从而 S 取最大值 . 2 2 2 3

图2

图3

②如图 3,若点 D 在线段 MA 上,则 (3 ? x) 2 ? h 2 ? 1 ? h 2 ? x . 同理可得, S 2 ? 易知此时 S ?

4 1 2 2 3 1 . x h ? ?2 x 2 ? 6 x ? 4 ? ?2( x ? ) 2 ? ( 1 ? x ≤ ) 4 2 2 3

2 . 2 2 . 2

综合①②得,△ABC 的最大面积为

考点伸展
第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设 AD ? a , 例如在图 2 中,由 AC ? AD ? BC ? BD 列方程 1 ? a 2 ? (3 ? x) 2 ? ( x ? a) 2 .
2 2 2 2

整理,得 a ?

3x ? 4 .所以 x

? 8x 2 ? 24x ? 16 ? 3x ? 4 ? 1? a ? 1? ? . ? ? x2 ? x ?
2

2

因此

S2 ?

1 2 x (1 ? a 2 ) ? ?2 x 2 ? 6 x ? 4 . 4

例 7
如图 1,直线 y ? ?

2008 年河南省中考第 23 题

4 x ? 4 和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C,点 A 的坐标是(-2,0). 3

(1)试说明△ABC 是等腰三角形; (2)动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动,同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动, 运动的速度均为每秒 1 个单位长度. 当其中一个动点到达终点时, 他们都停止运动. 设 M 运动 t 秒时,△MON 的面积为 S. ① 求 S 与 t 的函数关系式; ② 设点 M 在线段 OB 上运动时,是否存在 S=4 的情形?若存在,求出对应的 t 值;若 不存在请说明理由; ③在运动过程中,当△MON 为直角三角形时,求 t 的值.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“08 河南 23” ,拖动点 M 从 A 向 B 运动,观察 S 随 t 变化的图 象,可以体验到,当 M 在 AO 上时,图象是开口向下的抛物线的一部分;当 M 在 OB 上时, S 随 t 的增大而增大. 观察 S 的度量值,可以看到,S 的值可以等于 4. 观察△MON 的形状,可以体验到,△MON 可以两次成为直角三角形,不存在∠ONM =90°的可能.

思路点拨
1.第(1)题说明△ABC 是等腰三角形,暗示了两个动点 M、N 同时出发,同时到达 终点. 2.不论 M 在 AO 上还是在 OB 上,用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的,用 含有 t 的式子表示 OM 要分类讨论. 3.将 S=4 代入对应的函数解析式,解关于 t 的方程. 4.分类讨论△MON 为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.

满分解答
(1)直线 y ? ?

4 x ? 4 与 x 轴的交点为 B(3,0)、与 y 轴的交点 C(0,4).Rt△BOC 3

中,OB=3,OC=4,所以 BC=5.点 A 的坐标是(-2,0),所以 BA=5.因此 BC=BA, 所以△ABC 是等腰三角形.

sin B ? (2) ①如图 2, 图 3, 过点 N 作 NH⊥AB, 垂足为 H. 在 Rt△BNH 中, BN=t,
所以 NH ?

4 , 5

4 t. 5 S? 1 1 4 2 4 ? OM ? NH ? (2 ? t ) ? t ? ? t 2 ? t . 2 2 5 5 5

如图 2,当 M 在 AO 上时,OM=2-t,此时

定义域为 0<t≤2.

如图 3,当 M 在 OB 上时,OM=t-2,此时

S?
定义域为 2<t≤5.

1 1 4 2 4 ? OM ? NH ? (t ? 2) ? t ? t 2 ? t . 2 2 5 5 5

图2

图3

2 2 4 2 2 4 ②把 S=4 代入 S ? t ? t ,得 t ? t ? 4 .解得 t1 ? 2 ? 11 , t2 ? 2 ? 11 (舍 5 5 5 5 去负值) .因此,当点 M 在线段 OB 上运动时,存在 S=4 的情形,此时 t ? 2 ? 11 . 3 ③如图 4,当∠OMN=90°时,在 Rt△BNM 中,BN=t,BM ? 5 ? t , cos B ? ,所 5 5?t 3 25 ? .解得 t ? 以 . t 5 8 如图 5,当∠OMN=90°时,N 与 C 重合, t ? 5 .不存在∠ONM=90°的可能. 25 所以,当 t ? 或者 t ? 5 时,△MON 为直角三角形. 8

图4

图5

考点伸展
在本题情景下,如果△MON 的边与 AC 平行,求 t 的值. 如图 6,当 ON//AC 时,t=3;如图 7,当 MN//AC 时,t=2.5.

图6

图7

例8
如图 1,直线 y ? ?

2008 年河南省中考第 23 题

4 x ? 4 和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C,点 A 的坐标是(-2,0). 3

(1)试说明△ABC 是等腰三角形; (2)动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动,同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动, 运动的速度均为每秒 1 个单位长度. 当其中一个动点到达终点时, 他们都停止运动. 设 M 运动 t 秒时,△MON 的面积为 S. ① 求 S 与 t 的函数关系式; ② 设点 M 在线段 OB 上运动时,是否存在 S=4 的情形?若存在,求出对应的 t 值;若 不存在请说明理由; ③在运动过程中,当△MON 为直角三角形时,求 t 的值.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“08 河南 23” ,拖动点 M 从 A 向 B 运动,观察 S 随 t 变化的图 象,可以体验到,当 M 在 AO 上时,图象是开口向下的抛物线的一部分;当 M 在 OB 上时, S 随 t 的增大而增大. 观察 S 的度量值,可以看到,S 的值可以等于 4. 观察△MON 的形状,可以体验到,△MON 可以两次成为直角三角形,不存在∠ONM =90°的可能.

思路点拨
1.第(1)题说明△ABC 是等腰三角形,暗示了两个动点 M、N 同时出发,同时到达 终点. 2.不论 M 在 AO 上还是在 OB 上,用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的,用 含有 t 的式子表示 OM 要分类讨论. 3.将 S=4 代入对应的函数解析式,解关于 t 的方程. 4.分类讨论△MON 为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.

满分解答
(1)直线 y ? ?

4 x ? 4 与 x 轴的交点为 B(3,0)、与 y 轴的交点 C(0,4). 3

Rt△BOC 中,OB=3,OC=4,所以 BC=5. 点 A 的坐标是(-2,0),所以 BA=5. 因此 BC=BA,所以△ABC 是等腰三角形. (2)①如图 2,图 3,过点 N 作 NH⊥AB,垂足为 H. 在 Rt△BNH 中,BN=t, sin B ?

4 4 ,所以 NH ? t . 5 5

如图 2,当 M 在 AO 上时,OM=2-t,此时

S?

1 1 4 2 4 ? OM ? NH ? (2 ? t ) ? t ? ? t 2 ? t .定义域为 0<t≤2. 2 2 5 5 5

如图 3,当 M 在 OB 上时,OM=t-2,此时

1 1 4 2 4 S ? ? OM ? NH ? (t ? 2) ? t ? t 2 ? t .定义域为 2<t≤5. 2 2 5 5 5

图2

图3

2 2 4 2 4 t ? t ,得 t 2 ? t ? 4 . 5 5 5 5 解得 t1 ? 2 ? 11 , t2 ? 2 ? 11 (舍去负值) .
②把 S=4 代入 S ? 因此,当点 M 在线段 OB 上运动时,存在 S=4 的情形,此时 t ? 2 ? 11 . ③如图 4,当∠OMN=90°时,在 Rt△BNM 中,BN=t,BM ? 5 ? t , cos B ? 所以

如图 5,当∠OMN=90°时,N 与 C 重合, t ? 5 . 不存在∠ONM=90°的可能. 所以,当 t ?

5?t 3 25 ? .解得 t ? . t 5 8

3 , 5

25 或者 t ? 5 时,△MON 为直角三角形. 8

图4

图5

考点伸展
在本题情景下,如果△MON 的边与 AC 平行,求 t 的值. 如图 6,当 ON//AC 时,t=3;如图 7,当 MN//AC 时,t=2.5.

图6

图7

1.4
例1

因动点产生的平行四边形问题
2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题

如图 1,已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A(0, 1)、B(4, 3)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)求 tan∠ABO 的值; (3)过点 B 作 BC⊥x 轴,垂足为 C,在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N,交抛物线于点 M,若四边形 MNCB 为平行四边形,求点 M 的坐标.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名 “13 松江 24” , 拖动点 N 在直线 AB 上运动, 可以体验到, 以 M、 N、 C、 B 为顶点的平行四边形有 4 个, 符合 MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个. 请打开超级画板文件名“13 松江 24” ,拖动点 N 在直线 AB 上运动,可以体验到,MN 有 4 次机会等于 3,这说明以 M、N、C、B 为顶点的平行四边形有 4 个,而符合 MN 在抛物 线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个.

思路点拨
1.第(2)题求∠ABO 的正切值,要构造包含锐角∠ABO 的角直角三角形. 2.第(3)题解方程 MN=yM-yN=BC,并且检验 x 的值是否在对称轴左侧.

满分解答
(1)将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 y=-x2+bx+c,得

9 ?c ? 1, 解得 b ? ,c=1. ? 2 ??16 ? 4b ? c ? 3. 9 所以抛物线的解析式是 y ? ? x 2 ? x ? 1 . 2
(2)在 Rt△BOC 中,OC=4,BC=3,所以 OB=5. 如图 2,过点 A 作 AH⊥OB,垂足为 H. 在 Rt△AOH 中,OA=1, sin ?AOH ? sin ?OBC ? 所

4 , 5


A

?

s

4 . 5

H

? i

图2

3 22 , BH ? OB ? OH ? . 5 5 AH 4 22 2 在 Rt△ABH 中, tan ?ABO ? ? ? ? . BH 5 5 11
所以 OH ?

(3)直线 AB 的解析式为 y ? 设点 M 的坐标为 ( x, ? x 2 ? 那么 MN ? (? x 2 ?

1 x ?1. 2

9 1 x ? 1) ,点 N 的坐标为 ( x, x ? 1) , 2 2

9 1 x ? 1) ? ( x ? 1) ? ? x 2 ? 4 x . 2 2

当四边形 MNCB 是平行四边形时,MN=BC=3. 解方程-x2+4x=3,得 x=1 或 x=3. 因为 x=3 在对称轴的右侧(如图 4) ,所以符合题意的点 M 的坐标为 (1, ) (如图 3) .

9 2

图3

图4

考点伸展
第(3)题如果改为:点 M 是抛物线上的一个点,直线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于 N, 如果 M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形,求点 M 的坐标. 那么求点 M 的坐标要考虑两种情况:MN=yM-yN 或 MN=yN-yM. 由 yN-yM=4x-x2,解方程 x2-4x=3,得 x ? 2 ? 7 (如图 5) . 所以符合题意的点 M 有 4 个: (1, ) , (3,

9 2

11 5? 7 5? 7 ) , (2 ? 7, ) , (2 ? 7, ). 2 2 2

图5

例2

2012 年福州市中考第 21 题

如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向 点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位 长度的速度运动,过点 P 作 PD//BC,交 AB 于点 D,联结 PQ.点 P、Q 分别从点 A、C 同 时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为 t 秒(t≥0) . (1)直接用含 t 的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______; (2)是否存在 t 的值,使四边形 PDBQ 为菱形?若存在,求出 t 的值;若不存在,说 明理由,并探究如何改变点 Q 的速度(匀速运动) ,使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形,求 点 Q 的速度; (3)如图 2,在整个运动过程中,求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长.

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“12 福州 21” ,拖动左图中的点 P 运动,可以体验到,PQ 的中 点 M 的运动路径是一条线段.拖动右图中的点 Q 运动,可以体验到,当 PQ//AB 时,四边 形 PDBQ 为菱形. 请打开超级画板文件名“12 福州 21” ,拖动点 Q 向上运动,可以体验到,PQ 的中点 M 的运动路径是一条线段.点击动画按钮的左部,Q 的速度变成 1.07,可以体验到,当 PQ//AB 时,四边形 PDBQ 为菱形.点击动画按钮的中部,Q 的速度变成 1.

思路点拨
1.菱形 PDBQ 必须符合两个条件,点 P 在∠ABC 的平分线上,PQ//AB.先求出点 P 运动的时间 t,再根据 PQ//AB,对应线段成比例求 CQ 的长,从而求出点 Q 的速度. 2.探究点 M 的路径,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点 M 的路 径.

满分解答
4 (1)QB=8-2t,PD= t . 3 (2)如图 3,作∠ABC 的平分线交 CA 于 P,过点 P 作 PQ//AB 交 BC 于 Q,那么四边形 PDBQ 是菱形. 过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E,那么 BE=BC=8. 在 Rt △ ABC 中 , AC = 6 , BC = 8 , 所 以 AB = 10. AE 2 3 10 在 Rt△APE 中, cos A ? ? ? ,所以 t ? . AP t 5 3 10 6? CQ CP CQ 3 .解得 CQ ? 32 . 当 PQ//AB 时, ,即 ? ? CB CA 9 8 6 32 10 16 所以点 Q 的运动速度为 ? ? . 9 3 15

图3

(3)以 C 为原点建立直角坐标系. 如图 4,当 t=0 时,PQ 的中点就是 AC 的中点 E(3,0). 如图 5,当 t=4 时,PQ 的中点就是 PB 的中点 F(1,4). 直线 EF 的解析式是 y=-2x+6. 6?t 6?t 如图 6,PQ 的中点 M 的坐标可以表示为( ,t) .经验证,点 M( ,t)在直 2 2 线 EF 上. 所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长,EF= 2 5 .

图4

图5

图6

考点伸展
第(3)题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数: 当 t=2 时,PQ 的中点为(2,2). 设点 M 的运动路径的解析式为 y=ax2+bx+c,代入 E(3,0)、F(1,4)和(2,2), ?9a ? 3b ? c ? 0, 得? 解得 a=0,b=-2,c=6. ?a ? b ? c ? 4, ?4a ? 2b ? c ? 2. ? 所以点 M 的运动路径的解析式为 y=-2x+6.

例3

2012 年烟台市中考第 26 题

如图 1, 在平面直角坐标系中, 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1, 0)、 C(3, 0)、 D(3, 4). 以 A 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C.动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动,同 时动点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向点 D 运动.点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位, 运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)过点 E 作 EF⊥AD 于 F,交抛物线于点 G,当 t 为何值时,△ACG 的面积最大? 最大值为多少? (3)在动点 P、Q 运动的过程中,当 t 为何值时,在矩形 ABCD 内(包括边界)存在 点 H,使以 C、Q、E、H 为顶点的四边形为菱形?请直接写出 t 的值.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 烟台 26” ,拖动点 P 在 AB 上运动,可以体验到,当 P 在 AB 的中点时,△ACG 的面积最大.观察右图,我们构造了和△CEQ 中心对称的△FQE 和 △ECH′,可以体验到,线段 EQ 的垂直平分线可以经过点 C 和 F,线段 CE 的垂直平分线可 以经过点 Q 和 H′,因此以 C、Q、E、H 为顶点的菱形有 2 个. 请打开超级画板文件名“12 烟台 26” ,拖动点 P 在 AB 上运动,可以体验到,当 P 在 AB 的中点时,即 t=2,△ACG 的面积取得最大值 1.观察 CQ,EQ,EC 的值,发现以 C、 Q、E、H 为顶点的菱形有 2 个.点击动画按钮的左部和中部,可得菱形的两种准确位置。

思路点拨
1.把△ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形,高的和等于 AD. 2.用含有 t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来. 3.构造以 C、Q、E、H 为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.

满分解答
(1)A(1, 4).因为抛物线的顶点为 A,设抛物线的解析式为 y=a(x-1)2+4, 代入点 C(3, 0),可得 a=-1. 所以抛物线的解析式为 y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. AP AB 1 1 (2)因为 PE//BC,所以 ? ? 2 .因此 PE ? AP ? t . PE BC 2 2 1 所以点 E 的横坐标为 1 ? t . 2 1 1 将 x ? 1 ? t 代入抛物线的解析式,y=-(x-1)2+4= 4 ? t 2 . 2 4 1 2 1 2 1 所以点 G 的纵坐标为 4 ? t .于是得到 GE ? (4 ? t ) ? (4 ? t ) ? ? t 2 ? t . 4 4 4

1 1 1 因此 S?ACG ? S?AGE ? S?CGE ? GE ( AF ? DF ) ? ? t 2 ? t ? ? (t ? 2) 2 ? 1 . 2 4 4 所以当 t=1 时,△ACG 面积的最大值为 1. 20 (3) t ? 或 t ? 20 ? 8 5 . 13

考点伸展
第(3)题的解题思路是这样的: 因为 FE//QC,FE=QC,所以四边形 FECQ 是平行四边形.再构造点 F 关于 PE 轴对称 的点 H′,那么四边形 EH′CQ 也是平行四边形. 再根据 FQ=CQ 列关于 t 的方程,检验四边形 FECQ 是否为菱形,根据 EQ=CQ 列关 于 t 的方程,检验四边形 EH′CQ 是否为菱形. 1 1 E (1 ? t , 4 ? t ) , F (1 ? t , 4) , Q(3, t ) , C (3, 0) . 2 2 1 如图 2,当 FQ=CQ 时,FQ2=CQ2,因此 ( t ? 2) 2 ? (4 ? t ) 2 ? t 2 . 2 整理,得 t 2 ? 40t ? 80 ? 0 .解得 t1 ? 20 ? 8 5 , t2 ? 20 ? 8 5 (舍去) .

1 如图 3,当 EQ=CQ 时,EQ2=CQ2,因此 ( t ? 2) 2 ? (4 ? 2t ) 2 ? t 2 . 2 20 整理,得 13t 2 ? 72t ? 800 ? 0 . (13t ? 20)(t ? 40) ? 0 .所以 t1 ? , t2 ? 40 (舍去) . 13

图2

图3

例4

2011 年上海市中考第 24 题
3 x ? 3 的图象与 y 轴交于点 A,点 M 4

已知平面直角坐标系 xOy(如图 1) ,一次函数 y ? 在正比例函数 y ?

3 x 的图象上,且 MO=MA.二次函数 2 y=x2+bx+c 的图象经过点 A、M. (1)求线段 AM 的长; (2)求这个二次函数的解析式; (3)如果点 B 在 y 轴上,且位于点 A 下方,点 C 在上述 3 二次函数的图象上,点 D 在一次函数 y ? x ? 3 的图象上,且 4 四边形 ABCD 是菱形,求点 C 的坐标.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 上海 24” ,拖动点 B 在 y 轴上点 A 下方运动,四边形 ABCD 保持菱形的形状,可以体验到,菱形的顶点 C 有一次机会落在抛物线上.

思路点拨
1.本题最大的障碍是没有图形,准确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画出来, 但是对抛物线的位置要心中有数. 2.根据 MO=MA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上,并且求得点 M 的坐标,是整个题 目成败的一个决定性步骤. 3.第(3)题求点 C 的坐标,先根据菱形的边长、直线的斜率,用待定字母 m 表示点 C 的坐标,再代入抛物线的解析式求待定的字母 m.

满分解答
(1)当 x=0 时, y ?

3 x ? 3 ? 3 ,所以点 A 的坐标为(0,3),OA=3. 4 3 3 . 将y? 2 2

如图 2, 因为 MO=MA, 所以点 M 在 OA 的垂直平分线上, 点 M 的纵坐标为 代入 y ?

3 3 13 . x ,得 x=1.所以点 M 的坐标为 (1, ) .因此 AM ? 2 2 2 ?c ? 3, 3 5 (2)因为抛物线 y=x2+bx+c 经过 A(0,3)、M (1, ) ,所以 ? 解得 b ? ? , ? 3 2 2 1? b ? c ? . ? ? 2 5 c ? 3 .所以二次函数的解析式为 y ? x 2 ? x ? 3 . 2 (3)如图 3,设四边形 ABCD 为菱形,过点 A 作 AE⊥CD,垂足为 E. 在 Rt△ADE 中,设 AE=4m,DE=3m,那么 AD=5m. 5 因此点 C 的坐标可以表示为(4m,3-2m).将点 C(4m,3-2m)代入 y ? x 2 ? x ? 3 ,得 2 1 2 . 3 ? 2 m ? 16 m ?10 m ?3 .解得 m ? 或者 m=0(舍去) 2 因此点 C 的坐标为(2,2) .

图2

图3

考点伸展
如果第(3)题中,把“四边形 ABCD 是菱形”改为“以 A、B、C、D 为顶点的四边形 是菱形” ,那么还存在另一种情况: 7 27 如图 4,点 C 的坐标为 ( , ) . 4 16

图4

例5

2011 年江西省中考第 24 题

将抛物线 c1: y ? ? 3x2 ? 3 沿 x 轴翻折,得到抛物线 c2,如图 1 所示. (1)请直接写出抛物线 c2 的表达式; (2)现将抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为 M,与 x 轴的交点从左到右依次为 A、B;将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度,平移后得到新抛物 线的顶点为 N,与 x 轴的交点从左到右依次为 D、E. ①当 B、D 是线段 AE 的三等分点时,求 m 的值; ②在平移过程中,是否存在以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形?若存在, 请求出此时 m 的值;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 江西 24” ,拖动点 M 向左平移,可以体验到,四边形 ANEM 可以成为矩形,此时 B、D 重合在原点.观察 B、D 的位置关系,可以体验到,B、D 是线 段 AE 的三等分点,存在两种情况.

思路点拨
1.把 A、B、D、E、M、N 六个点起始位置的坐标罗列出来,用 m 的式子把这六个点 平移过程中的坐标罗列出来. 2.B、D 是线段 AE 的三等分点,分两种情况讨论,按照 AB 与 AE 的大小写出等量关 系列关于 m 的方程. 3.根据矩形的对角线相等列方程.

满分解答
(1)抛物线 c2 的表达式为 y ? 3x2 ? 3 . (2)抛物线 c1: y ? ? 3x2 ? 3 与 x 轴的两个交点为(-1,0)、(1,0),顶点为 (0, 3) . 抛物线 c2: y ? 3x2 ? 3 与 x 轴的两个交点也为(-1,0)、(1,0),顶点为 (0, ? 3) . 抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度后,顶点 M 的坐标为 (?m, 3) ,与 x 轴的两个交点为 A(?1 ? m, 0) 、 B(1 ? m, 0) ,AB=2. 抛物线 c2 向右平移 m 个单位长度后,顶点 N 的坐标为 (m, ? 3) ,与 x 轴的两个交点为 D(?1 ? m,0) 、 E (1 ? m, 0) .所以 AE=(1+m)-(-1-m)=2(1+m). ①B、D 是线段 AE 的三等分点,存在两种情况: 1 情形一,如图 2,B 在 D 的左侧,此时 AB ? AE ? 2 ,AE=6.所以 2(1+m)=6.解得 3 m=2. 2 情形二,如图 3,B 在 D 的右侧,此时 AB ? AE ? 2 ,AE=3.所以 2(1+m)=3.解得 3

m?

1 . 2

图2

图3

图4

②如果以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形,那么 AE=MN=2OM.而 OM2=m2 +3,所以 4(1+m)2=4(m2+3).解得 m=1(如图 4) .

考点伸展
第(2)题②,探求矩形 ANEM,也可以用几何说理的方法: 在等腰三角形 ABM 中,因为 AB=2,AB 边上的高为 3 ,所以△ABM 是等边三角形. 同理△DEN 是等边三角形.当四边形 ANEM 是矩形时,B、D 两点重合. 因为起始位置时 BD=2,所以平移的距离 m=1.

例6

2010 年山西省中考第 26 题

在直角梯形 OABC 中,CB//OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA= 3 5 .分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系. (1)求点 B 的坐标; (2)已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点,OD=5,OE=2EB,直线 DE 交 x 轴于 点 F.求直线 DE 的解析式; (3)点 M 是(2)中直线 DE 上的一个动点,在 x 轴上方的平面内是否存在另一点 N, 使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说 明理由.

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“10 山西 26” ,拖动点 M 可以在直线 DE 上运动.分别双击按 钮“DO、DM 为邻边” 、 “ DO、DN 为邻边”和“DO 为对角线”可以准确显示菱形.

思路点拨
1.第(1)题和第(2)题蕴含了 OB 与 DF 垂直的结论,为第(3)题讨论菱形提供了 计算基础. 2.讨论菱形要进行两次(两级)分类,先按照 DO 为边和对角线分类,再进行二级分 类,DO 与 DM、DO 与 DN 为邻边.

满分解答
(1)如图 2,作 BH⊥x 轴,垂足为 H,那么四边形 BCOH 为矩形,OH=CB=3. 在 Rt△ABH 中,AH=3,BA= 3 5 ,所以 BH=6.因此点 B 的坐标为(3,6).

2 2 xB ? 2 , yE ? yB ? 4 ,E(2,4). 3 3 ?b ? 5, 1 设直线 DE 的解析式为 y=kx+b,代入 D(0,5),E(2,4),得 ? 解得 k ? ? , 2 ?2k ? b ? 4. 1 b ? 5 .所以直线 DE 的解析式为 y ? ? x ? 5 . 2 1 (3) 由 y ? ? x ? 5 ,知直线 DE 与 x 轴交于点 F(10,0),OF=10,DF= 5 5 . 2
(2) 因为 OE=2EB,所以 xE ? ①如图 3, 当 DO 为菱形的对角线时, MN 与 DO 互相垂直平分, 点 M 是 DF 的中点. 此 时点 M 的坐标为(5,

5 5 ),点 N 的坐标为(-5, ). 2 2

②如图 4,当 DO、DN 为菱形的邻边时,点 N 与点 O 关于点 E 对称,此时点 N 的坐标 为(4,8). ③如图 5,当 DO、DM 为菱形的邻边时,NO=5,延长 MN 交 x 轴于 P.

由△ NPO ∽△ DOF ,得

NP PO NO NP PO 5 ? ? ? ? ,即 .解得 NP ? 5 , DO OF DF 5 10 5 5

PO ? 2 5 .此时点 N 的坐标为 (?2 5, 5) .

图3

图4

考点伸展
如果第(3)题没有限定点 N 在 x 轴上方的平面内,那么菱形还有如图 6 的情形.

图5

图6

例7

2009 年江西省中考第 24 题

如图 1,抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴相交于点 C,顶点为 D. (1)直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴; (2)连结 BC,与抛物线的对称轴交于点 E,点 P 为线段 BC 上的一个动点,过点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F,设点 P 的横坐标为 m. ①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长,并求出当 m 为何值时,四边形 PEDF 为平行四 边形? ②设△BCF 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“09 江西 24” ,拖动点 P 在 BC 上运动,可以体验到,四边形 PEDF 可以成为平行四边形.观察△BCF 的形状和 S 随 m 变化的图象,可以体验到,S 是 m 的二次函数,当 P 是 BC 的中点时,S 取得最大值.

思路点拨
1.数形结合,用函数的解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长. 2.当四边形 PEDF 为平行四边形时,根据 DE=FP 列关于 m 的方程. 3.把△BCF 分割为两个共底 FP 的三角形,高的和等于 OB.

满分解答
(1)A(-1,0) ,B(3,0) ,C(0,3) .抛物线的对称轴是 x=1. (2)①直线 BC 的解析式为 y=-x+3. 把 x=1 代入 y=-x+3,得 y=2.所以点 E 的坐标为(1,2) . 把 x=1 代入 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ,得 y=4.所以点 D 的坐标为(1,4) . 因此 DE=2. 因为 PF//DE,点 P 的横坐标为 m,设点 P 的坐标为 (m,?m ? 3) ,点 F 的坐标为

(0,?m 2 ? 2m ? 3) ,因此 FP ? (?m2 ? 2m ? 3) ? (?m ? 3) ? ?m2 ? 3m . 2 当四边形 PEDF 是平行四边形时,DE=FP.于是得到 ? m ? 3m ? 2 .解得 m1 ? 2 , m2 ? 1(与点 E 重合,舍去) .
因此,当 m=2 时,四边形 PEDF 是平行四边形时. ②设直线 PF 与 x 轴交于点 M,那么 OM+BM=OB=3.因此

1 1 FP ? OM ? FP ? BM 2 2 1 3 9 ? (?m 2 ? 3m) ? 3 ? ? m 2 ? m . 2 2 2 S ? S ?BCF ? S ?BPF ? S ?CPF ?
m 的变化范围是 0≤m≤3.

图2

图3

考点伸展
在本题条件下,四边形 PEDF 可能是等腰梯形吗?如果可能,求 m 的值;如果不可能, 请说明理由. 如图 4,如果四边形 PEDF 是等腰梯形,那么 DG=EH,因此 y D ? y F ? y P ? y E . 于是 4 ? (?m 2 ? 2m ? 3) ? (?m ? 3) ? 2 . 解得 m1 ? 0(与点 CE 重合, 舍去) ,m2 ? 1 (与点 E 重合,舍去) . 因此四边形 PEDF 不可能成为等腰梯形.

图4

1.5
例1

因动点产生的梯形问题

2012 年上海市松江区中考模拟第 24 题

已知直线 y=3x-3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A,B,抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A,B. (1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶 点坐标; (2) 记该抛物线的对称轴为直线 l, 点 B 关于直线 l 的对称 点为 C,若点 D 在 y 轴的正半轴上,且四边形 ABCD 为梯形. ①求点 D 的坐标; ②将此抛物线向右平移, 平移后抛物线的顶点为 P, 其对称 3 轴与直线 y=3x-3 交于点 E, 若n 求四边形 BDEP a t ?D P E ? , 7 的面积. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 松江 24” ,拖动点 P 向右运动,可以体验到,D、P 间的垂 直距离等于 7 保持不变,∠DPE 与∠PDH 保持相等. 请打开超级画板文件名“12 松江 24” , 拖动点 P 向右运动,可以体验到,D、P 间的 垂直距离等于 7 保持不变,∠DPE 与∠PDH 保持相等,tan ?DPE ? 0.43 ,四边形 BDEP 的 面积为 24.

思路点拨
1.这道题的最大障碍是画图,A、B、C、D 四个点必须画准确,其实抛物线不必画出, 画出对称轴就可以了. 2. 抛物线向右平移, 不变的是顶点的纵坐标, 不变的是 D、 P 两点间的垂直距离等于 7. 3.已知∠DPE 的正切值中的 7 的几何意义就是 D、P 两点间的垂直距离等于 7,那么 点 P 向右平移到直线 x=3 时,就停止平移.

满分解答
(1)直线 y=3x-3 与 x 轴的交点为 A(1,0),与 y 轴的交点为 B(0,-3). 将 A(1,0)、B(0,-3)分别代入 y=ax2+2x+c, 得? ?
a ? 2 ? c ? 0, a ? 1, 解得 ? ? ?c ? ?3. ?c ? ?3.

所以抛物线的表达式为 y=x2+2x-3. 对称轴为直线 x=-1,顶点为(-1,-4). (2)①如图 2,点 B 关于直线 l 的对称点 C 的坐标为(-2,-3). 因为 CD//AB,设直线 CD 的解析式为 y=3x+b, 代入点 C(-2,-3),可得 b=3. 所以点 D 的坐标为(0,3) . ②过点 P 作 PH⊥y 轴,垂足为 H,那么∠PDH=∠DPE. 3 由 tan ?DPE ? ,得 tan ?PDH ? PH ? 3 . DH 7 7 而 DH=7,所以 PH=3. 因此点 E 的坐标为(3,6) . 所以 S梯形BDEP ? 1 ( BD ? EP) ? PH ? 24 . 2

图2

图3

考点伸展
第(2)①用几何法求点 D 的坐标更简便: 因为 CD//AB,所以∠CDB=∠ABO. 因此 BC ? OA ? 1 .所以 BD=3BC=6,OD=3.因此 D(0,3) . BD OB 3

例2

2012 年衢州市中考第 24 题

如图 1,把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△COD 方别置于平面直角坐标系中,使直角边 OB、OD 在 x 轴上.已知点 A(1,2),过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F.抛 物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点. (1)求该抛物线的函数解析式; (2)点 P 为线段 OC 上的一个动点,过点 P 作 y 轴的 平行线交抛物线于点 M,交 x 轴于点 N,问是否存在这样的 点 P,使得四边形 ABPM 为等腰梯形?若存在,求出此时点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若△AOB 沿 AC 方向平移(点 A 始终在线段 AC 上,且不与点 C 重合) ,△AOB 在平移的过程中与△COD 重叠部分的面积记为 S. 试探究 S 是否存在最大值?若存在, 求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 衢州 24” , 拖动点 P 在线段 OC 上运动,可以体验到,在 AB 的左侧,存在等腰梯形 ABPM.拖动点 A′在线段 AC 上运动,可以体验到,Rt△A′OB′、 Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG 和 Rt△EHK 的两条直角边的比都为 1∶2. 请打开超级画板文件名“12 衢州 24” ,拖动点 P 在线段 OC 上运动,可以体验到,在 AB 的左侧,存在 AM=BP.拖动点 A′在线段 AC 上运动,发现 S 最大值为 0.375.

思路点拨
1.如果四边形 ABPM 是等腰梯形,那么 AB 为较长的底边,这个等腰梯形可以分割为 一个矩形和两个全等的直角三角形,AB 边分成的 3 小段,两侧的线段长线段. 2.△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH,可以通过割补得到,即△OFG 减去△OEH. 3.求△OEH 的面积时,如果构造底边 OH 上的高 EK,那么 Rt△EHK 的直角边的比为 1∶2. 4.设点 A′移动的水平距离为 m,那么所有的直角三角形的直角边都可以用 m 表示.

满分解答
(1)将 A(1,2)、O(0,0)、C(2,1)分别代入 y=ax2+bx+c, ? a ? b ? c ? 2, 7 3 7 3 得? 解得 a ? ? , b ? , c ? 0 . 所以 y ? ? x 2 ? x . ?c ? 0, 2 2 2 2 ? 4a ? 2b ? c ? 1. ? (2)如图 2,过点 P、M 分别作梯形 ABPM 的高 PP′、MM′,如果梯形 ABPM 是等腰 梯形,那么 AM′=BP′,因此 yA-y M′=yP′-yB. 直线 OC 的解析式为 y ?

1 x ,设点 P 的坐标为 ( x, 1 x) ,那么 M ( x, ? 3 x 2 ? 7 x) . 2 2 2 2

3 7 1 2 解方程 2 ? (? x 2 ? x) ? x ,得 x1 ? , x2 ? 2 . 2 2 2 3

2 1 x=2 的几何意义是 P 与 C 重合,此时梯形不存在.所以 P ( , ) . 3 3

图2 图3 (3)如图 3,△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形 EFGH,作 EK⊥OD 于 K. 设点 A′移动的水平距离为 m,那么 OG=1+m,GB′=m. 1 1 1 在 Rt△OFG 中, FG ? OG ? (1 ? m) .所以 S ?OFG ? (1 ? m) 2 . 2 2 4 1 1 1 在 Rt△A′HG 中,A′G=2-m,所以 HG ? A ' G ? (2 ? m) ? 1 ? m . 2 2 2 1 3 所以 OH ? OG ? HG ? (1 ? m) ? (1 ? m) ? m . 2 2 在 Rt△OEK 中,OK=2 EK;在 Rt△EHK 中,EK=2HK;所以 OK=4HK. 4 4 3 1 因此 OK ? OH ? ? m ? 2m .所以 EK ? OK ? m . 3 3 2 2 1 1 3 3 2 所以 S ?OEH ? OH ? EK ? ? m ? m ? m . 2 2 2 4 1 3 1 1 1 1 1 3 于是 S ? S?OFG ? S ?OEH ? (1 ? m) 2 ? m 2 ? ? m 2 ? m ? ? ? (m ? ) 2 ? . 4 4 2 2 4 2 2 8 1 3 因为 0<m<1,所以当 m ? 时,S 取得最大值,最大值为 . 8 2

考点伸展
第(3)题也可以这样来解:设点 A′的横坐标为 a. 由直线 AC:y=-x+3,可得 A′(a, -a+3). 1 1 由直线 OC: y ? x ,可得 F (a, a ) . 2 2 由直线 OA:y=2x 及 A′(a, -a+3),可得直线 O′A′:y=2x-3a+3, H ( 由直线 OC 和直线 O′A′可求得交点 E(2a-2,a-1). 由 E、F、G、H 4 个点的坐标,可得

3a ? 3 , 0) . 2

例 4

2011 年义乌市中考第 24 题

已知二次函数的图象经过 A(2,0) 、C(0,12) 两点,且对称轴为直线 x=4,设顶点为 点 P,与 x 轴的另一交点为点 B. (1)求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标; (2)如图 1,在直线 y=2x 上是否存在点 D,使四边形 OPBD 为等腰梯形?若存在, 求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 2,点 M 是线段 OP 上的一个动点(O、P 两点除外) ,以每秒 2 个单位长度 的速度由点 P 向点 O 运动,过点 M 作直线 MN//x 轴,交 PB 于点 N. 将△PMN 沿直线 MN 对折,得到△P1MN. 在动点 M 的运动过程中,设△P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面 积为 S,运动时间为 t 秒,求 S 关于 t 的函数关系式.

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“11 义乌 24” ,拖动点 M 从 P 向 O 运动,可以体验到,M 在到 达 PO 的中点前,重叠部分是三角形;经过中点以后,重叠部分是梯形.

思路点拨
1.第(2)题可以根据对边相等列方程,也可以根据对角线相等列方程,但是方程的解 都要排除平行四边形的情况. 2.第(3)题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段,临界点是 PO 的中点.

满分解答
( 1 )设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 4) ? k ,代入 A ( 2 , 0 ) 、 C(0 , 12) 两点,得
2

?4a ? k ? 0, ?a ? 1, 解得 ? ? ?16a ? k ? 12. ?k ? ?4.
所以二次函数的解析式为 y ? ( x ? 4) ? 4 ? x ? 8x ? 12 ,顶点 P 的坐标为(4,-4) .
2 2

(2)由 y ? x ? 8x ? 12 ? ( x ? 2)( x ? 6) ,知点 B 的坐标为(6,0) . 假设在等腰梯形 OPBD,那么 DP=OB=6.设点 D 的坐标为(x,2x). 2 2 2 由两点间的距离公式,得 ( x ? 4) ? (2 x ? 4) ? 36 .解得 x ? 或 x=-2. 5 如图 3,当 x=-2 时,四边形 ODPB 是平行四边形.
2

所以,当点 D 的坐标为(

2 4 , )时,四边形 OPBD 为等腰梯形. 5 5

图3

图4

图5

(3)设△PMN 与△POB 的高分别为 PH、PG. 在 Rt△PMH 中, PM ? 2t , PH ? MH ? t .所以 P ' G ? 2t ? 4 . 1 1 3 在 Rt△PNH 中, PH ? t , NH ? PH ? t .所以 MN ? t . 2 2 2

1 3 3 ① 如图 4, 当 0<t≤2 时, 重叠部分的面积等于△PMN 的面积. 此时 S ? ? t ? t ? t 2 . 2 2 4 ②如图 5,当 2<t<4 时,重叠部分是梯形,面积等于△PMN 的面积减去△P′DC 的面
积.由于
S△P ' DC ? P ' G ? ? 2t ? 4 ? 3 2 3 2 ?? ? ,所以 S△P ' DC ? ? ? ? t ? (2t ? 4) . S△PMN ? PH ? 4 ? t ? 4 3 3 9 此时 S ? t 2 ? (2t ? 4) 2 ? ? t 2 ? 12t ? 12 . 4 4 4
2

2

考点伸展
第(2)题最好的解题策略就是拿起尺、规画图: 方法一,按照对角线相等画圆.以 P 为圆心,OB 长为半径画圆,与直线 y=2x 有两个 交点,一个是等腰梯形的顶点,一个是平行四边形的顶点. 方法二,按照对边相等画圆.以 B 为圆心,OP 长为半径画圆,与直线 y=2x 有两个交 点,一个是等腰梯形的顶点,一个是平行四边形的顶点.

例5

2010 年杭州市中考第 24 题
1 2 x ?1 , 点 C 的坐标为(–4, 4

如图 1, 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线的解析式是 y =

0),平行四边形 OABC 的顶点 A,B 在抛物线上,AB 与 y 轴交于点 M,已知点 Q(x,y)在抛 物线上,点 P(t,0)在 x 轴上. (1) 写出点 M 的坐标; (2) 当四边形 CMQP 是以 MQ,PC 为腰的梯形时. ① 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围; ② 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为 1∶2 时,求 t 的值.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“10 杭州 24” ,拖动点 Q 在抛物线上运动,从 t 随 x 变化的图象 可以看到,t 是 x 的二次函数,抛物线的开口向下.还可以感受到,PQ∶CM=1∶2 只有一 种情况,此时 Q 在 y 轴上;CM∶PQ=1∶2 有两种情况.

思路点拨
1.第(1)题求点 M 的坐标以后,Rt△OCM 的两条直角边的比为 1∶2,这是本题的基 本背景图. 2.第(2)题中,不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等,根据数形结合,列关 于 t 与 x 的比例式,从而得到 t 关于 x 的函数关系. 3.探求自变量 x 的取值范围,要考虑梯形不存在的情况,排除平行四边形的情况. 4.梯形的两底的长度之比为 1∶2,要分两种情况讨论.把两底的长度比转化为 QH 与 MO 的长度比.

满分解答
(1)因为 AB=OC= 4,A、B 关于 y 轴对称,所以点 A 的横坐标为 2.将 x=2 代入 y=

1 2 x ? 1 ,得 y=2.所以点 M 的坐标为(0,2) . 4
(2) ① 如图 2,过点 Q 作 QH ? x 轴,设垂足为 H,则 HQ=y ?

1 2 x ? 1 ,HP=x– t . 4

因 为 CM//PQ , 所 以 ∠ QPH = ∠ MCO . 因 此 tan ∠ QPH = tan ∠ MCO , 即

HQ OM 1 1 1 1 ? ? .所以 x 2 ? 1 ? ( x ? t ) .整理,得 t ? ? x 2 ? x ? 2 . HP OC 2 4 2 2 1 2 如图 3,当 P 与 C 重合时, t ? ?4 ,解方程 ?4 ? ? x ? x ? 2 ,得 x ? 1 ? 5 . 2
如图 4,当 Q 与 B 或 A 重合时,四边形为平行四边形,此时,x=? 2. 因此自变量 x 的取值范围是 x ? 1 ? 5 ,且 x?? 2 的所有实数.

图2 ②因为 sin∠QPH=sin∠MCO,所以

图3

图4

PQ HQ HQ OM ? ,即 . ? CM OM PQ CM PQ HQ 1 1 1 ? ? 时, HQ ? OM ? 1 .解方程 x 2 ? 1 ? 1 ,得 x ? 0 (如图 5) 当 .此 CM OM 2 2 4 时 t ? ?2 . PQ HQ 1 ? ? 2 时, HQ ? 2OM ? 4 .解方程 x 2 ? 1 ? 4 ,得 x ? ?2 3 . 当 CM OM 4 如图 6,当 x ? 2 3 时, t ? ?8 ? 2 3 ;如图 6,当 x ? ?2 3 时, t ? ?8 ? 2 3 .

图5

图6

图7

考点伸展
本题情境下,以 Q 为圆心、QM 为半径的动圆与 x 轴有怎样的位置关系呢?

1 2 ? ?1 ? ?1 ? x ? 1? ,那么 QM 2 ? x2 ? ? x2 ? 1? ? ? x2 ? 1? . 4 ? ?4 ? ?4 ? 1 2 而点 Q 到 x 轴的距离为 x ? 1 . 4
设点 Q 的坐标为 ? x, 因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心 Q 到 x 轴的距离,圆 Q 与 x 轴相切.

? ?

2

2

例7

2009 年广州市中考第 25 题

如图 1,二次函数 y ? x 2 ? px ? q( p ? 0) 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 点 C(0,-1) ,△ABC 的面积为

5 . 4

(1)求该二次函数的关系式; (2)过 y 轴上的一点 M(0,m)作 y 轴的垂线,若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点, 求 m 的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角 梯形?若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名 “09 广州 25” , 可以看到, △ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形, AB 是它的外接圆直径,拖动点 M 在 y 轴上运动,可以体验到,过 M 的直线与圆相切或者相 交时有公共点. 在抛物线上有两个符合条件的点 D,使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形.

思路点拨
1. 根据△ABC 的面积和 AB 边上的高确定 AB 的长, 这样就可以把两个点的坐标用一个 字母表示. 2.数形结合,根据点 A、B、C 的坐标确定 OA、OB、OC 间的数量关系,得到△AOC ∽△COB,从而得到△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形,AB 是它的外接圆直径,再根据 对称性写出 m 的取值范围. 3.根据直角梯形的定义,很容易确定符合条件的点 D 有两个,但是求点 D 的坐标比较 麻烦,根据等角的正切相等列方程相对简单一些.

满分解答
5 5 ,所以 AB= . 4 2 5 设点 A 的坐标为(a,0) ,那么点 B 的坐标为(a+ ,0) . 2 5 5 设抛物线的解析式为 y ? ( x ? a)( x ? a ? ) , 代入点 C (0, -1) , 得 a ( a ? ) ? ?1 . 解 2 2 1 得 a ? ? 或 a ? ?2 . 2 2 p ?0, 因为二次函数的解析式 y ? x ? px ? q 中, 所以抛物线的对称轴在 y 轴右侧. 因 1 此点 A、B 的坐标分别为 (? ,0) , ( 2,0) . 2
(1)因为 OC=1,△ABC 的面积为

1 3 )( x ? 2) ? x 2 ? x ? 1 . 2 2 OA OC 2 ? (2) 如图 2, 因为 OA ? OB ? 1 ,OC ? 1 , 所以 . 因此△AOC∽△COB. 所 OC OB
所以抛物线的解析式为 y ? ( x ? 以△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形,外接圆的直径为 AB. 因此 m 的取值范围是 ?

5 5 ≤m≤ . 4 4

图2 (3)设点 D 的坐标为 ( x, ( x ?

图3

图4

1 )( x ? 2)) . 2

①如图 3,过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于 D,过点 D 作 DE⊥x 轴于 E.

DE CO 1 ? ? .因此 因为 tan ?DAB ? tan ?OBC ,所以 AE BO 2 x? 5 5 3 .此时点 D 的坐标为 ( , ) . 2 2 2

1 ( x ? )(x ? 2) 1 2 ? .解得 1 2 x? 2

过 点 B 作 AC 的 平 行 线 交 抛 物 线 于 D , 过 点 D 作 DF ⊥ x 轴 于 F . 因 为

1 ( x ? )(x ? 2) DF CO 5 2 t an?DBF ? t an?C AO, ? ? 2. 所以 因此 解得 x ? ? . 此 ?2. BF AO 2 2? x 5 时点 D 的坐标为 (? ,9) . 2 5 3 5 综上所述,当 D 的坐标为 ( , ) 或 (? ,9) 时,以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直 2 2 2
角梯形.

考点伸展
第(3)题可以用代数的方法这样解:例如图 3,先求得直线 BC 为 y ? 据 AD//BC 求得直线 AD 为 y ? 点 D 的坐标.

1 x ? 1 ,再根 2

1 1 x ? ,由直线 AD 和抛物线的解析式组成的方程组,得到 2 4

1.6
例1
如图 1,已知抛物线 y ?

因动点产生的面积问题
2013 年苏州市中考第 29 题

1 2 x ? bx ? c (b、c 是常数,且 c<0)与 x 轴交于 A、B 两点 2

(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴的负半轴交于点 C,点 A 的坐标为(-1,0). (1)b=______,点 B 的横坐标为_______(上述结果均用含 c 的代数式表示) ; (2)连结 BC,过点 A 作直线 AE//BC,与抛物线交于点 E.点 D 是 x 轴上一点,坐标 为(2,0),当 C、D、E 三点在同一直线上时,求抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点,连结 PB、PC.设△PBC 的面积为 S. ①求 S 的取值范围; ②若△PBC 的面积 S 为正整数,则这样的△PBC 共有_____个.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“13 苏州 29” ,拖动点 C 在 y 轴负半轴上运动,可以体验到, △EHA 与△COB 保持相似.点击按钮“C、D、E 三点共线” ,此时△EHD∽△COD.拖动 点 P 从 A 经过 C 到达 B,数一数面积的正整数值共有 11 个. 请打开超级画板文件名“13 苏州 29” ,拖动点 C 在 y 轴负半轴上运动,可以体验到, △EHA 与△COB 保持相似.点击按钮“C、D、E 三点共线” ,此时△EHD∽△COD.拖动 点 P 从 A 经过 C 到达 B,数一数面积的正整数值共有 11 个.

思路点拨
1.用 c 表示 b 以后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现 OB=2OC. 2.当 C、D、E 三点共线时,△EHA∽△COB,△EHD∽△COD. 3.求△PBC 面积的取值范围,要分两种情况计算,P 在 BC 上方或下方. 4. 求得了 S 的取值范围, 然后罗列 P 从 A 经过 C 运动到 B 的过程中, 面积的正整数值, 再数一数个数.注意排除点 A、C、B 三个时刻的值.

满分解答
1 ,点 B 的横坐标为-2c. 2 1 1 1 1 (2)由 y ? x 2 ? (c ? ) x ? c ? ( x ? 1)( x ? 2c) ,设 E ( x, ( x ? 1)( x ? 2c)) . 2 2 2 2
(1)b= c ? 过点 E 作 EH⊥x 轴于 H. 由于 OB=2OC,当 AE//BC 时,AH=2EH. 所以 x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 2c) .因此 x ? 1 ? 2c .所以 E (1 ? 2c,1 ? c) . 当 C、D、E 三点在同一直线上时,

EH CO 1? c ?c .所以 . ? ? DH DO ?2c ? 1 2

整理,得 2c2+3c-2=0.解得 c=-2 或 c ? 所以抛物线的解析式为 y ?

1 (舍去) . 2

1 2 3 x ? x?2. 2 2

(3)①当 P 在 BC 下方时,过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于 F. 直线 BC 的解析式为 y ? 设 P (m, m 2 ?

1 x?2 . 2

3 1 1 m ? 2) ,那么 F (m, m ? 2) , FP ? ? m 2 ? 2m . 2 2 2 1 所以 S△PBC=S△PBF+S△PCF= FP( xB ? xC ) ? 2 FP ? ?m 2 ? 4m ? ?(m ? 2) 2 ? 4 . 2
因此当 P 在 BC 下方时,△PBC 的最大值为 4. 当 P 在 BC 上方时,因为 S△ABC=5,所以 S△PBC<5. 综上所述,0<S<5. ②若△PBC 的面积 S 为正整数,则这样的△PBC 共有 11 个.

1 2

考点伸展
点 P 沿抛物线从 A 经过 C 到达 B 的过程中,△PBC 的面积为整数,依次为(5) ,4,3, 2,1, (0) ,1,2,3,4,3,2,1, (0) . 当 P 在 BC 下方,S=4 时,点 P 在 BC 的中点的正下方,F 是 BC 的中点.

例 2

2012 年菏泽市中考第 21 题

如图 1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0), 将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°,得到三角形 A′B′O. (1)一抛物线经过点 A′、B′、B,求该抛物线的解析式; (2)设点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点 P,使四边形 PB′A′B 的面 积是△A′B′O 面积的 4 倍?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,试指出四边形 PB′A′B 是哪种形状的四边形?并写出它的两条 性质.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 菏泽 21” ,拖动点 P 在第一象限内的抛物线上运动,可以 体验到,当四边形 PB′A′B 是等腰梯形时,四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍. 请打开超级画板文件名“12 菏泽 21” ,拖动点 P 在第一象限内的抛物线上运动,可以 体验到,当四边形 PB′A′B 是等腰梯形时,四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍.

思路点拨
1.四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍,可以转化为四边形 PB′OB 的面积是 △A′B′O 面积的 3 倍. 2.联结 PO,四边形 PB′OB 可以分割为两个三角形. 3.过点向 x 轴作垂线,四边形 PB′OB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.

满分解答
(1)△AOB 绕着原点 O 逆时针旋转 90°,点 A′、B′的坐标分别为(-1, 0) 、(0, 2). 因为抛物线与 x 轴交于 A′(-1, 0)、B(2, 0),设解析式为 y=a(x+1)(x-2), 代入 B′(0, 2),得 a=1. 所以该抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-2) =-x2+x+2. (2)S△A′B′O=1. 如果 S 四边形 PB′A′B=4 S△A′B′O=4,那么 S 四边形 PB′OB=3 S△A′B′O=3. 如图 2,作 PD⊥OB,垂足为 D. 设点 P 的坐标为 (x,-x2+x+2). 1 1 1 1 S梯形PB 'OD ? DO( B ' O ? PD) ? x(2 ? x 2 ? x ? 2) ? ? x 3 ? x 2 ? 2 x . 2 2 2 2 1 1 1 3 S?PDB ? DB ? PD ? (2 ? x)(? x 2 ? x ? 2) ? x 3 ? x 2 ? 2 . 2 2 2 2 2 所以 S四边形PB ' A' D ? S梯形PB 'OD ? S?PDB ? ?x ? 2x+2 . 解方程-x2+2x+2=3,得 x1=x2=1. 所以点 P 的坐标为(1,2).

图2 图3 图4 (3)如图 3,四边形 PB′A′B 是等腰梯形,它的性质有:等腰梯形的对角线相等;等腰 梯形同以底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线.

考点伸展
第(2)题求四边形 PB′OB 的面积,也可以如图 4 那样分割图形,这样运算过程更简单. 1 1 S?PB 'O ? B ' O ? xP ? ? 2 x ? x . 2 2 1 1 S?PBO ? BO ? yP ? ? 2(? x 2 ? x ? 2) ? ? x 2 ? x ? 2 . 2 2 所以 S四边形PB ' A' D ? S?PB 'O ? S?PBO ? ?x2 ? 2x+2 . 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点 P: 作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE,那么点 E 的坐标为(1,2). 而矩形 EB′OD 与△A′OB′、△BOP 是等底等高的,所以四边形 EB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍.因此点 E 就是要探求的点 P.

例 3

2012 年河南省中考第 23 题

1 2 B 两点, x ? 1 与抛物线 y=ax +bx-3 交于 A、 2 点 A 在 x 轴上,点 B 的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点(不与点 A、 B 重合) ,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C,作 PD⊥AB 于点 D. (1)求 a、b 及 sin∠ACP 的值; (2)设点 P 的横坐标为 m. ①用含 m 的代数式表示线段 PD 的长,并求出线段 PD 长的最大值; ②连结 PB,线段 PC 把△PDB 分成两个三角形,是否存在适合的 m 的值,使这两个三 角形的面积比为 9∶10?若存在,直接写出 m 的值;若不存在,请说明理由.
如图 1, 在平面直角坐标系中, 直线 y ?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 河南 23” ,拖动点 P 在直线 AB 下方的抛物线上运动,可以 体验到,PD 随点 P 运动的图象是开口向下的抛物线的一部分,当 C 是 AB 的中点时,PD 达到最大值.观察面积比的度量值,可以体验到,左右两个三角形的面积比可以是 9∶10, 也可以是 10∶9.

思路点拨
1.第(1)题由于 CP//y 轴,把∠ACP 转化为它的同位角. 2.第(2)题中,PD=PCsin∠ACP,第(1)题已经做好了铺垫. 3.△PCD 与△PCB 是同底边 PC 的两个三角形,面积比等于对应高 DN 与 BM 的比. 4.两个三角形的面积比为 9∶10,要分两种情况讨论.

满分解答
1 x ? 1 与 y 轴交于点 E,那么 A(-2,0),B(4,3),E(0,1). 2 2 5 在 Rt△AEO 中,OA=2,OE=1,所以 AE ? 5 .所以 sin ?AEO ? . 5 2 5 因为 PC//EO,所以∠ACP=∠AEO.因此 sin ?ACP ? . 5 ?4a ? 2b ? 3 ? 0, 将 A(-2,0)、B(4,3)分别代入 y=ax2+bx-3,得 ? ?16a ? 4b ? 3 ? 3. 1 1 解得 a ? , b ? ? . 2 2 1 2 1 1 (2)由 P(m, m ? m ? 3) , C (m, m ? 1) , 2 2 2 1 1 2 1 1 2 得 PC ? ( m ? 1) ? ( m ? m ? 3) ? ? m ? m ? 4 . 2 2 2 2 2 5 2 5 1 2 5 9 5 所以 PD ? PC sin ?ACP ? . PC ? (? m ?m ? 4) ? ? (m ? 1)2 ? 5 5 2 5 5
(1)设直线 y ?

所以 PD 的最大值为

9 5 . 5
5 ; 2

(3)当 S△PCD∶S△PCB=9∶10 时, m ? 当 S△PCD∶S△PCB=10∶9 时, m ?

32 . 9

图2

考点伸展
第(3)题的思路是:△PCD 与△PCB 是同底边 PC 的两个三角形,面积比等于对应高 DN 与 BM 的比. 而 DN ? PD cos ?PDN ? PD cos ?ACP ? BM=4-m.

5 2 5 1 2 1 ? (? m ?m ? 4) ? ? (m ? 2)(m ? 4) , 5 5 2 5

1 9 5 ①当 S△PCD∶S△PCB=9∶10 时, ? (m ? 2)(m ? 4) ? (4 ? m) .解得 m ? . 5 10 2 1 10 32 ②当 S△PCD∶S△PCB=10∶9 时, ? (m ? 2)(m ? 4) ? (4 ? m) .解得 m ? . 5 9 9

例 4

2011 年南通市中考第 28 题

m (x>0)交于点 B(2, 1). 过点 P( p, p ?1) (p x m m >1)作 x 轴的平行线分别交曲线 y ? (x>0)和 y ? ? (x<0)于 M、N 两点. x x (1)求 m 的值及直线 l 的解析式; (2)若点 P 在直线 y=2 上,求证:△PMB∽△PNA; (3)是否存在实数 p,使得 S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的 p 的值; 若不存在,请说明理由.
如图 1, 直线 l 经过点 A(1, 0), 且与双曲线 y ?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 南通 28” ,拖动点 P 在射线 AB 上运动,可以体验到,当直 线 MN 经过(0,2)点时,图形中的三角形都是等腰直角三角形;△AMN 和△AMP 是两 个同高的三角形,MN=4MP 存在两种情况.

思路点拨
1.第(2)题准确画图,点的位置关系尽在图形中. 2.第(3)题把 S△AMN=4S△AMP 转化为 MN=4MP,按照点 M 与线段 NP 的位置关系分 两种情况讨论.

满分解答
m 上,所以 m=2.设直线 l 的解析式为 y ? kx ? b , x ?k ? b ? 0, 解得 ?k ? 1, 所以直线 l 的解析式为 代入点 A(1,0)和点 B(2,1),得 ? y ? x ?1. ? ?2k ? b ? 1. ?b ? ?1. (2)由点 P( p, p ?1) (p>1)的坐标可知,点 P 在直线 y ? x ? 1 上 x 轴的上方.如图 2, 当 y=2 时,点 P 的坐标为(3,2).此时点 M 的坐标为(1,2),点 N 的坐标为(-1,2). 由 P(3,2)、M(1,2)、B(2,1)三点的位置关系,可知△PMB 为等腰直角三角形. 由 P(3,2)、N(-1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知△PNA 为等腰直角三角形. 所以△PMB∽△PNA.
(1)因为点 B(2,1)在双曲线 y ?

图2

图3

图4

(3)△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形,底边 MN 和 MP 在同一条直线上. 当 S△AMN=4S△AMP 时,MN=4MP. 2 2 ? 2? ? ①如图 3,当 M 在 NP 上时,xM-xN=4(xP-xM).因此 ? ? ? (? ) ? ? 4 ? ( x ? 1) ? ? .解 x ? x? ?x ? 1 ? 13 或 1 ? 13 (此时点 P 在 x 轴下方,舍去) 1 ? 13 . 得x? .此时 p ? x? 2 2 2 ② 如 图 4 , 当 M 在 NP 的 延 长 线 上 时 , xM - xN = 4(xM - xP) . 因 此

1? 5 或 1 ? 5 (此时点 P 在 x 轴下方,舍去) 2 ? ?2 ?2 ? .解得 .此 x? x? x( ? 1 ) ? ? ( ? )? ? 4? ? ? 2 2 x ? ?x ?x ? 1? 5 . 时p? 2

考点伸展
在本题情景下,△AMN 能否成为直角三角形? 情形一,如图 5,∠AMN=90°,此时点 M 的坐标为(1,2) ,点 P 的坐标为(3,2) . 情形二,如图 6,∠MAN=90°,此时斜边 MN 上的中线等于斜边的一半. 不存在∠ANM=90°的情况.

图5

图6

例5

2010 年广州市中考第 25 题
1 x ? b 交折线 OAB 于点 E. 2

如图 1,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为(3,0),(0,1).点 D 是线段 BC 上 的动点(与端点 B、C 不重合) ,过点 D 作直线 y ? ?

(1)记△ODE 的面积为 S,求 S 与 b 的函数关系式; (2) 当点 E 在线段 OA 上时, 若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1, 试探究四边形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠 部分的面积;若改变,请说明理由.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“10 广州 25” ,拖动点 D 由 C 向 B 运动,观察 S 随 b 变化的函 数图象,可以体验到,E 在 OA 上时,S 随 b 的增大而增大;E 在 AB 上时,S 随 b 的增大而 减小.双击按钮“第(3)题” ,拖动点 D 由 C 向 B 运动,可以观察到,E 在 OA 上时,重 叠部分的形状是菱形,面积不变.双击按钮“第(2)题”可以切换.

思路点拨
1.数形结合,用 b 表示线段 OE、CD、AE、BE 的长. 2.求△ODE 的面积,要分两种情况.当 E 在 OA 上时,OE 边对应的高等于 OC;当 E 在 AB 边上时,要利用割补法求△ODE 的面积. 3.第(3)题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形. 4.图形翻着、旋转等运动中,计算菱形的边长一般用勾股定理.

满分解答
(1)①如图 2, 当 E 在 OA 上时, 由y?? 时 S=S△ODE=

1 x ? b 可知, 点 E 的坐标为(2b,0), OE=2b. 此 2

1 1 OE ? OC ? ? 2b ?1 ? b . 2 2

1 x ? b 可知,点 D 的坐标为(2b-2,1), 2 1 3 CD=2b-2,BD=5-2b.把 x=3 代入 y ? ? x ? b 可知,点 E 的坐标为 (3, b ? ) ,AE 2 2 3 5 = b ? ,BE= ? b .此时 2 2
②如图 3,当 E 在 AB 上时,把 y=1 代入 y ? ? S=S 矩形 OABC-S△OAE- S△BDE -S△OCD =3?

1 3 1 5 1 ? 3(b ? ) ? ( ? b)(5 ? 2b) ? ?1? (2b ? 2) 2 2 2 2 2 5 ? ?b 2 ? b . 2

(2)如图 4,因为四边形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 关于直线 DE 对称,因此 DM=DN,那 么重叠部分是邻边相等的平行四边形,即四边形 DMEN 是菱形. 作 DH⊥OA,垂足为 H.由于 CD=2b-2,OE=2b,所以 EH=2. 设菱形 DMEN 的边长为 m.在 Rt△DEH 中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以 12+ (2-m)2=m2.解得 m ?

5 5 .所以重叠部分菱形 DMEN 的面积为 . 4 4

图2

图3

图4

考点伸展
把本题中的矩形 OABC 绕着它的对称中心旋转,如果重叠部分的形状是菱形(如图 5) , 那么这个菱形的最小面积为 1,如图 6 所示;最大面积为

5 ,如图 7 所示. 3

图5

图6

图7

例 6

2010 年扬州市中考第 28 题

如图 1,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD 是斜边 AB 上的高,点 E 在斜 边 AB 上,过点 E 作直线与△ABC 的直角边相交于点 F,设 AE=x,△AEF 的面积为 y. (1)求线段 AD 的长; (2)若 EF⊥AB,当点 E 在斜边 AB 上移动时, ①求 y 与 x 的函数关系式(写出自变量 x 的取值范围) ; ②当 x 取何值时,y 有最大值?并求出最大值. (3)若点 F 在直角边 AC 上(点 F 与 A、C 不重合) ,点 E 在斜边 AB 上移动,试问, 是否存在直线 EF 将△ABC 的周长和面积同时平分?若存在直线 EF,求出 x 的值;若不存 在直线 EF,请说明理由.

图1

备用图

动感体验
请打开几何画板文件名“10 扬州 28” ,拖动点 E 在 AB 上运动,从 y 随 x 变化的图象可 以体验到,当 F 在 AC 上时,y 随 x 的增大而增大;当 F 在 BC 上时,y 随 x 变化的图象是开 口向下的抛物线的一部分,y 的最大值对应抛物线的顶点.双击按钮“第(3)题” ,我们已 经设定好了 EF 平分△ABC 的周长,拖动点 E,观察图象,可以体验到, “面积 AEF”的值 可以等于 3,也就是说,存在直线 EF 将△ABC 的周长和面积同时平分.双击按钮“第(2) 题”可以切换。

思路点拨
1.第(1)题求得的 AD 的长,就是第(2)题分类讨论 x 的临界点. 2.第(2)题要按照点 F 的位置分两种情况讨论. 3.第(3)题的一般策略是:先假定平分周长,再列关于面积的方程,根据方程的解的 情况作出判断.

满分解答
(1) 在 Rt △ ABC 中 , AC = 3 , BC = 4 , 所 以 AB = 5 . 在 Rt △ ACD 中 ,

3 9 AD ? AC cos A ? 3 ? ? . 5 5
(2) ①如图 2, 当 F 在 AC 上时,0 ? x ? 以y?

9 4 . 在 Rt△AEF 中,EF ? AE tan A ? x . 所 5 3

1 2 AE ? EF ? x 2 . 2 3 9 5 3 (5 ? x) .所 4

如图 3,当 F 在 BC 上时, ≤ x ? 5 .在 Rt△BEF 中, EF ? BE tan B ? 以y?

1 3 15 AE ? EF ? ? x 2 ? x . 2 8 8 9 2 2 54 ②当 0 ? x ? 时, y ? x 的最大值为 ; 5 3 25

3 2 15 3 5 75 75 x ? x ? ? (x ? ) 2 ? 的最大值为 . 8 8 8 2 32 32 5 75 因此,当 x ? 时,y 的最大值为 . 2 32
当 ≤ x ? 5 时, y ? ?

9 5

图2

图3

图4

(3)△ABC 的周长等于 12,面积等于 6. 先假设 EF 平分△ABC 的周长,那么 AE=x,AF=6-x,x 的变化范围为 3<x≤5.因 此 S ?AEF ?

1 1 4 2 2 ? AE ? AF sin A ? x(6 ? x) ? ? ? x( x ? 6) .解方程 ? x( x ? 6) ? 3 ,得 2 2 5 5 5

x ? 3?

1 6. 2 1 6 在 3≤x≤5 范围内(如图 4) ,因此存在直线 EF 将△ABC 的周长和面 2

因为 x ? 3 ? 积同时平分.

考点伸展
如果把第(3)题的条件“点 F 在直角边 AC 上”改为“点 F 在直角边 BC 上” ,那么就 不存在直线 EF 将△ABC 的周长和面积同时平分. 先假设 EF 平分△ABC 的周长,那么 AE=x,BE=5-x,BF=x+1. 因此 S ?BEF ? 解方程 ?

1 1 3 3 ? BE ? BF sin B ? (5 ? x)( x ? 1) ? ? ? ( x 2 ? 4 x ? 5) . 2 2 5 10

3 2 ( x ? 4 x ? 5) ? 3 .整理,得 x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 .此方程无实数根. 10

例7

2009 年兰州市中考第 29 题

如图 1, 正方形 ABCD 中, 点 A、 B 的坐标分别为 (0, 10) , (8, 4) , 点 C 在第一象限. 动 点 P 在正方形 ABCD 的边上,从点 A 出发沿 A→B→C→D 匀速运动,同时动点 Q 以相同速 度在 x 轴上运动,当 P 点到 D 点时,两点同时停止运动,设运动的时间为 t 秒. (1)当 P 点在边 AB 上运动时,点 Q 的横坐标 x (长度单位)关于运动时间 t(秒)的 函数图象如图 2 所示,请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度; (2)求正方形边长及顶点 C 的坐标; (3)在(1)中当 t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时 P 点的坐标. (4)如果点 P、Q 保持原速度速度不变,当点 P 沿 A→B→C→D 匀速运动时,OP 与 PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的 t 的值;若不能,请说明理由.

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“09 兰州 29” ,拖动点 Q 在 x 轴上运动,可以体验到,点 Q 运 动的起点为(1,0) ;当 P 在 AB 上时,△OPQ 的面积随 x 变化的图象是开口向下的抛物线 的一部分; 观察点 P 与 OQ 的垂直平分线的位置关系, 可以体验到, 有两个时刻, PO=PQ. 双 击按钮“PO=PQ,P 在 AB 上”和“PO=PQ,P 在 CD 上” ,可以准确显示 PO=PQ.

思路点拨
1.过点 B、C、P 向 x 轴、y 轴作垂线段,就会构造出全等的、相似的直角三角形,出 现相等、成比例的线段,用含有 t 的式子表示这些线段是解题的基础. 2.求点 C 的坐标,为求直线 BC、CD 的解析式作铺垫,进而为附加题用两点间的距离 公式作准备. 3.不论点 P 在 AB、BC 还是 CD 上,点 P 所在的直角三角形的三边比总是 3∶4∶5, 灵活运用方便解题. 4.根据二次函数的解析式求函数的最值时,要注意定义域与对称轴的位置关系.

满分解答
(1) Q (1,0),点 P 每秒钟运动 1 个单位长度. (2)过点 B 作 BE⊥y 轴于点 E,过点 C 作 x 轴的垂线交直线 BE 于 F,交 x 轴于 H. 在 Rt△ABE 中,BE=8,AE=10-4=6,所以 AB=10.由△ABE≌△BCF,知 BF=AE =4,CF=BE=6.所以 EF=8+6=14,CH=8+4=12.因此点 C 的坐标为(14,12) . AP AM MP (3)过点 P 作 PM⊥y 轴于 M,PN⊥ x 轴于 N.因为 PM//BE,所以 , ? ? AB AF BF t AM MP 3 4 3 4 即 ? .因此 AM ? t , PM ? t .于是 PN ? OM ? 10 ? t , ON ? PM ? t . ? 10 6 8 5 5 5 5 1 1 3 3 47 设△OPQ 的面积为 S (平方单位), 那么 S ? ? OQ ? PN ? (1 ? t )(10 ? t ) ? ? t 2 ? t ? 5 , 2 2 5 10 10

定义域为 0≤ t ≤10. 因为抛物线开口向下,对称轴为直线 t ? 时 P 的坐标为(
94 53 , ). 15 10 5 295 (4)当 t ? 或 t ? 时, 3 13 47 47 ,所以当 t ? 时,△OPQ 的面积最大.此 6 6

OP 与 PQ 相等.

图3

图4

考点伸展
附加题的一般思路是:点 Q 的横坐标是点 P 的横坐标的 2 倍.先求直线 AB、BC、CD 的解析式,根据直线的解析式设点 P 的坐标,再根据两点间的距离公式列方程 PO=PQ. 附加题也可以这样解: ①如图 4,在 Rt△AMP 中,设 AM=3m,MP=4 m,AP=5m,那么 OQ=8m.根据 AP、 OQ 的长列方程组 ?

?5m ? t , 5 解得 t ? . 3 ?8m ? 1 ? t ,

②如图 5,在 Rt△GMP 中,设 GM=3m,MP=4 m,GP=5m,那么 OQ=8m.在 Rt△ GAD 中,GD=7.5.根据 GP、OQ 的长列方程组 ?

?5m ? 37.5 ? t , 295 解得 t ? . 13 ?8m ? 1 ? t , ?5m ? 10 ? t ? 10, ③如图 6,设 MP=4m,那么 OQ=8m.根据 BP、OQ 的长列方程组 ? ?8m ? 1 ? t ,

5 解得 t ? ,但这时点 P 不在 BC 上. 3

图5

图6

1.7
例 1

因动点产生的相切问题

2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题

如图 1,已知⊙O 的半径长为 3,点 A 是⊙O 上一定点,点 P 为⊙O 上不同于点 A 的动 点. (1)当 tan A ? 1 时,求 AP 的长;
2

(2)如果⊙Q 过点 P、O,且点 Q 在直线 AP 上(如图 2) ,设 AP=x,QP=y,求 y 关 于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (3)在(2)的条件下,当 tan A ? 4 时(如图 3) ,存在⊙M 与⊙O 相内切,同时与⊙Q
3

相外切,且 OM⊥OQ,试求⊙M 的半径的长.

图1

图2

图3

动感体验
请打开几何画板文件名“13 杨浦 25” ,拖动点 P 在⊙O 上运动,可以体验到,等腰三角 形 QPO 与等腰三角形 OAP 保持相似,y 与 x 成反比例.⊙M、⊙O 和⊙Q 三个圆的圆心距 围成一个直角三角形. 请打开超级画板文件名“13 杨浦 25” ,拖动点 P 在⊙O 上运动,可以体验到, y 与 x 成反比例.拖动点 P 使得 QP ? 5 ,拖动点 M 使得⊙M 的半径约为 0.82,⊙M 与⊙O 相内切,
2

同时与⊙Q 相外切.拖动点 P 使得 QP ? 5 ,拖动点 M 使得⊙M 的半径约为 9,⊙M 与⊙O、
2

⊙Q 都内切.

思路点拨
1.第(1)题的计算用到垂径定理和勾股定理. 2.第(2)题中有一个典型的图,有公共底角的两个等腰三角形相似. 3.第(3)题先把三个圆心距罗列出来,三个圆心距围成一个直角三角形,根据勾股定 理列方程.

满分解答
(1)如图 4,过点 O 作 OH⊥AP,那么 AP=2AH. 在 Rt△OAH 中,OA=3, tan A ? 1 ,设 OH=m,AH=2m,那么 m2+(2m)2=32.
2 12 5 3 5 解得 m ? .所以 AP ? 2 AH ? 4m ? . 5 5

(2)如图 5,联结 OQ、OP,那么△QPO、△OAP 是等腰三角形. 又因为底角∠P 公用,所以△QPO∽△OAP. 因此 QP ? OP ,即 y ? 3 .
PO PA 3 x

由此得到 y ? 9 .定义域是 0<x≤6.
x

图4 图5 (3)如图 6,联结 OP,作 OP 的垂直平分线交 AP 于 Q,垂足为 D,那么 QP、QO 是 ⊙Q 的半径. 在 Rt△QPD 中, PD ? 1 PO ? 3 , tan P ? tan A ? 4 ,因此 QP ? 5 .
2 2 3

2

如图 7,设⊙M 的半径为 r. 由⊙M 与⊙O 内切, rO ? 3 ,可得圆心距 OM=3-r.
2 2 5 5 在 Rt△QOM 中, QO ? ,OM=3-r, QM ? ? r ,由勾股定理,得 2 2 5 5 2 9 2 2 ( ? r ) ? (3 ? r ) ? ( ) .解得 r ? . 2 2 11

由⊙M 与⊙Q 外切, rQ ? QP ? 5 ,可得圆心距 QM ? 5 ? r .

图6

图7

图8

考点伸展
如图 8,在第(3)题情景下,如果⊙M 与⊙O、⊙Q 都内切,那么⊙M 的半径是多少? 同样的,设⊙M 的半径为 r. 由⊙M 与⊙O 内切, rO ? 3 ,可得圆心距 OM=r-3. 由⊙M 与⊙Q 内切, rQ ? QP ? 5 ,可得圆心距 QM ? r ? 5 .
2 2 5 2 5 2 2 在 Rt△QOM 中,由勾股定理,得 (r ? ) ? (r ? 3) ? ( ) .解得 r=9. 2 2

例2

2012 年河北省中考第 25 题

如图 1,A(-5,0),B(-3,0),点 C 在 y 轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD//AB,∠CDA =90°. 点 P 从点 Q(4,0)出发, 沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动, 运动时间为 t 秒. (1)求点 C 的坐标; (2)当∠BCP=15°时,求 t 的值; (3)以点 P 为圆心,PC 为半径的⊙P 随点 P 的运动而 变化,当⊙P 与四边形 ABCD 的边(或边所在的直线)相切 时,求 t 的值. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 河北 25” ,拖动圆心 P 在点 Q 左侧运动,可以体验到,⊙P 可以与直线 BC、直线 DC、直线 AD 相切,不能与直线 AB 相切.

答案

(1)点 C 的坐标为(0,3).

(2)如图 2,当 P 在 B 的右侧,∠BCP=15°时,∠PCO=30°, t ? 4 ? 3 ; 如图 3,当 P 在 B 的左侧,∠BCP=15°时,∠CPO=30°, t ? 4 ? 3 3 .

图2 (3)如图 4,当⊙P 与直线 BC 相切时,t=1; 如图 5,当⊙P 与直线 DC 相切时,t=4; 如图 6,当⊙P 与直线 AD 相切时,t=5.6.

图3

图4

图5

图6

例3

2012 年无锡市中考模拟第 28 题

如图 1,菱形 ABCD 的边长为 2 厘米,∠DAB=60°.点 P 从 A 出发,以每秒 3 厘米 的速度沿 AC 向 C 作匀速运动;与此同时,点 Q 也从点 A 出发, 以每秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动.当点 P 到达点 C 时,P、 Q 都停止运动.设点 P 运动的时间为 t 秒. (1)当 P 异于 A、C 时,请说明 PQ//BC; (2)以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆,请问:在整个运动过 程中,t 为怎样的值时,⊙P 与边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公 共点? 图一

动感体验
请打开几何画板文件名“12 无锡 28” ,拖动点 P 由 A 向 C 运动,可以体验到,⊙P 与 线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点,相切只有 1 个公共点,相交有 2 个公共点,相 交只有 1 个公共点,线段在圆的内部没有公共点. 请打开超级画板文件名“12 无锡 28” ,拖动点 P 由 A 向 C 运动,可以体验到,⊙P 与 线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点,相切只有 1 个公共点,相交有 2 个公共点,相 交只有 1 个公共点,线段在圆的内部没有公共点.

答案

AQ t AP 3t t ,所以 AQ AP .因此 PQ//BC. ? , ? ? ? AB 2 AB AC AC 2 3 2 1 1 (2)如图 2,由 PQ=PH= PC ,得 t ? (2 3 ? 3t ) .解得 t ? 4 3 ? 6 . 2 2 如图 3,由 PQ=PB,得等边三角形 PBQ.所以 Q 是 AB 的中点,t=1. 如图 4,由 PQ=PC,得 t ? 2 3 ? 3t .解得 t ? 3 ? 3 . 如图 5,当 P、C 重合时,t=2. 因此,当 t ? 4 3 ? 6 或 1<t≤ 3 ? 3 或 t=2 时,⊙P 与边 BC 有 1 个公共点. 当 4 3 ? 6 <t≤1 时,⊙P 与边 BC 有 2 个公共点.
(1)因为

图2

图3

图4

图5

1.8
例1

因动点产生的线段和差问题
2013 年天津市中考第 25 题

在平面直角坐标系中,已知点 A(-2,0),B(0,4),点 E 在 OB 上,且∠OAE=∠OBA. (1)如图 1,求点 E 的坐标; (2)如图 2,将△AEO 沿 x 轴向右平移得到△AE′O′,连结 A′B、BE′. ①设 AA′=m,其中 0<m<2,使用含 m 的式子表示 A′B2+BE′2,并求出使 A′B2+BE′2 取得最小值时点 E′的坐标; ②当 A′B+BE′取得最小值时,求点 E′的坐标(直接写出结果即可) .

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“13 天津 25” ,拖动点 A′在线段 AO 上运动,可以体验到,当 A′ 运动到 AO 的中点时,A′B2+BE′2 取得最小值.当 A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最 小值. 请打开超级画板文件名“13 天津 25” ,拖动点 A′在线段 AO 上运动,可以体验到,当 A′ 2 2 运动到 AO 的中点时,A′B +BE′ 取得最小值.当 A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最 小值.

思路点拨
1.图形在平移的过程中,对应点的连线平行且相等,EE′=AA′=m. 2.求 A′B2+BE′2 的最小值,第一感觉是用勾股定理列关于 m 的式子. 3.求 A′B+BE′的最小值,第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称,两点之间线 段最短.

满分解答
(1)由∠OAE=∠OBA,∠AOE=∠BOA,得△AOE∽△BOA. 所以

AO BO 2 4 .因此 ? ? . OE OA OE 2

解得 OE=1.所以 E(0,1). (2)①如图 3,在 Rt△A′OB 中,OB=4,OA′=2-m,所以 A′B2=16+(2-m)2. 在 Rt△BEE′中,BE=3,EE′=m,所以 BE′2=9+m2. 所以 A′B2+BE′2=16+(2-m)2+9+m2=2(m-1)2+27. 所以当 m=1 时,A′B2+BE′2 取得最小值,最小值为 27. 此时点 A′是 AO 的中点,点 E′向右平移了 1 个单位,所以 E′(1,1). ②如图 4,当 A′B+BE′取得最小值时,求点 E′的坐标为 ( ,1) .

8 7

图3

图4

考点伸展
第(2)②题这样解:如图 4,过点 B 作 y 轴的垂线 l,作点 E′关于直线 l 的对称点 E′′, 所以 A′B+BE′=A′B+BE′′. 当 A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′′取得最小值,最小值为线段 A′E′′. 在 Rt△A′O′E′′中,A′O′=2,O′E′′=7,所以 A′E′′= 53 . 当 A′、B、E′′三点共线时, 解得 m ?

A 'O A 'O ' m 2 .所以 ? . ? BO E '' O ' 4 7

8 8 .此时 E '( ,1) . 7 7

例2

2012 年滨州市中考第 24 题

如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-2, -4 )、O(0, 0)、 B(2, 0)三点. (1)求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式; (2)若点 M 是该抛物线对称轴上的一点,求 AM+OM 的最小值.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 滨州 24” ,拖动点 M 在抛物线的对称轴上运动(如图 2) , 可以体验到,当 M 落在线段 AB 上时,根据两点之间线段最短,可以知道此时 AM+OM 最 小(如图 3) . 请打开超级画板文件名“12 滨州 24” ,拖动点 M, M 落在线段 AB 上时, AM+OM 最小.

答案

1 (1) y ? ? x 2 ? x 。 (2)AM+OM 的最小值为 4 2 . 2

图2

图3

例3

2012 年山西省中考第 26 题

如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴 交于点 C,点 D 是抛物线的顶点. (1)求直线 AC 的解析式及 B、D 两点的坐标; (2)点 P 是 x 轴上的一个动点,过 P 作直线 l//AC 交抛物线于点 Q.试探究:随着点 P 的运动,在抛物线上是否存在点 Q,使以 A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形?若存 在,请直接写出符合条件的点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)请在直线 AC 上找一点 M,使△BDM 的周长最小,求出点 M 的坐标.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 山西 26” ,拖动点 P 在 x 轴上运动,可以体验到,点 Q 有 3 个时刻可以落在抛物线上.拖动点 M 在直线 AC 上运动,可以体验到,当 M 落在 B′D 上时, MB+MD 最小,△MBD 的周长最小.

思路点拨
1.第(2)题探究平行四边形,按照 AP 为边或者对角线分两种情况讨论. 2.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,构造点 B 关于“河流”AC 的对称点 B′,那么 M 落在 B′D 上时,MB+MD 最小,△MBD 的周长最小.

满分解答
(1)由 y=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3)=-(x-1)2+4, 得 A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4). 直线 AC 的解析式是 y=3x+3. (2)Q1(2, 3),Q2( 1 ? 7, ?3 ),Q3( 1 ? 7, ?3 ). (3)设点 B 关于直线 AC 的对称点为 B′,联结 BB′交 AC 于 F. 联结 B′D,B′D 与交 AC 的交点就是要探求的点 M. 作 B′E⊥x 轴于 E,那么△BB′E∽△BAF∽△CAO. AF BF AB 12 在 Rt△BAF 中, ,AB=4,所以 BF ? . ? ? 1 3 10 10 12 36 B ' E BE BB ' 24 在 Rt△BB′E 中, , BB ' ? 2 BF ? ,所以 B ' E ? , BE ? . ? ? 5 5 1 3 10 10 36 21 21 12 所以 OE ? BE ? OB ? ? 3 ? .所以点 B′的坐标为 ( ? , ) . 5 5 5 5 因为点 M 在直线 y=3x+3 上,设点 M 的坐标为(x, 3x+3). 12 12 4? 3x ? 3 ? DD ' MM ' yD ? yB ' yM ? yB ' 5 ? 5 . 由 ,得 .所以 ? ? B'D' B'M ' xD ? xB ' xM ? xB ' 21 21 1? x? 5 5 9 9 132 解得 x ? .所以点 M 的坐标为 ( , ). 35 35 35

图2

图3

考点伸展
第(2)题的解题思路是这样的: ①如图 4,当 AP 是平行四边形的边时,CQ//AP,所以点 C、Q 关于抛物线的对称轴对 称,点 Q 的坐标为(2, 3). ②如图 5,当 AP 是平行四边形的对角线时,点 C、Q 分居 x 轴两侧,C、Q 到 x 轴的距 离相等. 解方程-x2+2x+3=-3, 得 x ? 1? 7 . 所以点 Q 的坐标为(1 ? 7, ?3 )或 ( 1 ? 7, ?3 ).

图4

图5

第二部分
2.1

函数图象中点的存在性问题

由比例线段产生的函数关系问题
2013 年宁波市中考第 26 题

例1

如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(0,4),点 B 的坐标为(4,0), 点 C 的坐标为(-4,0),点 P 在射线 AB 上运动,连结 CP 与 y 轴交于点 D,连结 BD.过 P、 D、B 三点作⊙Q,与 y 轴的另一个交点为 E,延 长 DQ 交⊙Q 于 F,连结 EF、BF. (1)求直线 AB 的函数解析式; (2)当点 P 在线段 AB(不包括 A、B 两点) 上时. ①求证:∠BDE=∠ADP; ②设 DE=x,DF=y,请求出 y 关于 x 的函 数解析式; (3)请你探究:点 P 在运动过程中,是否 存在以 B、D、F 为顶点的直角三角形,满足两 条直角边之比为 2∶1?如果存在, 求出此时点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名 “13 宁波 26” , 拖动点 P 在射线 AB 上运动, 可以体验到, △DEF 保持等腰直角三角形的形状, y 是 x 的一次函数. 观察 BD∶BF 的度量值, 可以体验到, BD∶ BF 可以等于 2,也可以等于 0.5. 请打开超级画板文件名 “13 宁波 26” , 拖动点 P 在射线 AB 上运动, 可以体验到, △DEF 保持等腰直角三角形的形状.观察 BD∶BF 的度量值,可以体验到,BD∶BF 可以等于 2, 也可以等于 0.5.

答案
(1)直线 AB 的函数解析式为 y=-x+4. (2)①如图 2,∠BDE=∠CDE=∠ADP; ②如图 3,∠ADP=∠DEP+∠DPE,如图 4,∠BDE=∠DBP+∠A, 因为∠DEP=∠DBP,所以∠DPE=∠A=45°. 所以∠DFE=∠DPE=45°.因此△DEF 是等腰直角三角形.于是得到 y ? 2 x .

图2 图3 (3)①如图 5,当 BD∶BF=2∶1 时,P(2,2).思路如下: 由△DMB∽△BNF,知 BN ?

图4

1 DM ? 2 . 2 2 . 3

设 OD=2m,FN=m,由 DE=EF,可得 2m+2=4-m.解得 m ?

因此 D (0, ) .再由直线 CD 与直线 AB 求得交点 P(2,2). ②如图 6,当 BD∶BF=1∶2 时,P(8,-4).思路同上.

4 3

图5

图6

例2

2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题
3 ,⊙B 的半径长为 1,⊙B 交边 CB 于 5

在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6, sin B ?

点 P,点 O 是边 AB 上的动点. (1)如图 1,将⊙B 绕点 P 旋转 180°得到⊙M,请判断⊙M 与直线 AB 的位置关系; (2)如图 2,在(1)的条件下,当△OMP 是等腰三角形时,求 OA 的长; (3)如图 3,点 N 是边 BC 上的动点,如果以 NB 为半径的⊙N 和以 OA 为半径的⊙O 外切,设 NB=y,OA=x,求 y 关于 x 的函数关系式及定义域.

图1

图2

图3

动感体验
请打开几何画板文件名“12 徐汇 25” ,拖动点 O 在 AB 上运动,观察△OMP 的三个顶 点与对边的垂直平分线的位置关系,可以体验到,点 O 和点 P 可以落在对边的垂直平分线 上,点 M 不能. 请打开超级画板文件名“12 徐汇 25” , 分别点击“等腰”按钮的左部和中部,观察三 个角度的大小,可得两种等腰的情形.点击“相切”按钮,可得 y 关于 x 的函数关系.

思路点拨
1.∠B 的三角比反复用到,注意对应关系,防止错乱. 2.分三种情况探究等腰△OMP,各种情况都有各自特殊的位置关系,用几何说理的方 法比较简单. 3.探求 y 关于 x 的函数关系式,作△OBN 的边 OB 上的高,把△OBN 分割为两个具有 公共直角边的直角三角形.

满分解答
(1) 在 Rt△ABC 中,AC=6, sin B ? 所以 AB=10,BC=8. 过点 M 作 MD⊥AB,垂足为 D. 在 Rt△BMD 中,BM=2, sin B ? MD ? 3 ,所以 MD ? 6 .
BM 5 5

3 , 5

因此 MD>MP,⊙M 与直线 AB 相离. 图4 (2)①如图 4,MO≥MD>MP,因此不存在 MO=MP 的情况. ②如图 5,当 PM=PO 时,又因为 PB=PO,因此△BOM 是直角三角形. 在 Rt△BOM 中,BM=2, cos B ? BO ? 4 ,所以 BO ? 8 .此时 OA ? 42 .
BM 5 5 5

③如图 6,当 OM=OP 时,设底边 MP 对应的高为 OE. 在 Rt△BOE 中,BE= 3 , cos B ? BE ? 4 ,所以 BO ? 15 .此时 OA ? 65 .
2 BO 5 8 8

图5

图6

(3)如图 7,过点 N 作 NF⊥AB,垂足为 F.联结 ON. 当两圆外切时,半径和等于圆心距,所以 ON=x+y. 在 Rt△BNF 中,BN=y, sin B ? 3 , cos B ? 4 ,所以 NF ? 3 y , BF ? 4 y .
5 5 5 5 2 4 在 Rt△ONF 中, OF ? AB ? AO ? BF ? 10 ? x ? y ,由勾股定理得 ON =OF2+NF2. 5 4 3 2 2 2 于是得到 ( x ? y) ? (10 ? x ? y) ? ( y) . 5 5 250 ? 50 x 整理,得 y ? .定义域为 0<x<5. x ? 40

图7

图8

考点伸展
第(2)题也可以这样思考: 如图 8,在 Rt△BMF 中,BM=2, MF ? 6 , BF ? 8 .
5 5 8 42 在 Rt△OMF 中,OF= 10 ? x ? ? ? x ,所以 OM 2 ? ( 42 ? x)2 ? ( 6 )2 . 5 5 5 5 3 4 在 Rt△BPQ 中,BP=1, PQ ? , BQ ? . 5 5 4 46 在 Rt△OPQ 中,OF= 10 ? x ? ? ? x ,所以 OP2 ? ( 46 ? x)2 ? ( 3)2 . 5 5 5 5 42 6 2 2 ①当 MO=MP=1 时,方程 ( ? x) ? ( ) ? 1 没有实数根. 5 5 46 ②当 PO=PM=1 时,解方程 ( ? x)2 ? ( 3)2 ? 1,可得 x ? OA ? 42 5 5 5 42 6 46 3 2 2 2 2 ③当 OM=OP 时,解方程 ( ? x) ? ( ) ? ( ? x) ? ( ) ,可得 x ? OA ? 65 . 5 5 5 5 8

例3

2012 年连云港市中考第 26 题

如图 1,甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发,点 O 为坐标原点.甲沿 AO 方向、乙 沿 BO 方向均以每小时 4 千米的速度行走, t 小时后, 甲到达 M 点, 乙到达 N 点. (1)请说明甲、乙两人到达点 O 前,MN 与 AB 不可能平行; (2)当 t 为何值时,△OMN∽△OBA? (3)甲、乙两人之间的距离为 MN 的长.设 s=MN2,求 s 与 t 之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小 值. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 连云港 26” ,拖动点 N 在射线 BO 上运动,可以体验到,当 ? M、N 都在 O 右侧时,MN 与 AB 不平行. 当点 A 落在 MNB 上时,∠MNO=∠BAO, △OMN ∽△OBA. 请打开超级画板文件名“12 连云港 26” ,拖动点 N 在射线 BO 上运动,可以体验到,当 ? M、N 都在 O 右侧时,MN 与 AB 不平行. 当点 A 落在 MNB 上时,∠MNO=∠BAO, △OMN ∽△OBA.s 与 t 之间的函数关系式呈抛物线图象,当 t=1 时,甲、乙两人的最小距离为 12 千米.

答案
所以

(1)当 M、N 都在 O 右侧时,

OM 2 ? 4t ON 6 ? 4t 2 ? ? 1 ? 2t , ? ? 1? t , OA 2 OB 6 3

OM ON .因此 MN 与 AB 不平行. ? OA OB (2)①如图 2,当 M、N 都在 O 右侧时,∠OMN>∠B,不可能△OMN∽△OBA. ②如图 3,当 M 在 O 左侧、N 在 O 右侧时,∠MON>∠BOA,不可能△OMN∽△OBA. ON OA ③如图 4,当 M、N 都在 O 左侧时,如果△OMN∽△OBA,那么 . ? OM OB 4t ? 6 2 所以 ? .解得 t=2. 4t ? 2 6

图2 图3 (3)①如图 2, OM ? 2 ? 4t , OH ? 1 ? 2t , MH ? 3(1 ? 2t ) . NH ? ON ? OH ? (6 ? 4t ) ? (1 ? 2t ) ? 5 ? 2t . ②如图 3, OM ? 4t ? 2 , OH ? 2t ? 1 , MH ? 3(2t ?1) . NH ? ON ? OH ? (6 ? 4t ) ? (2t ? 1) ? 5 ? 2t . ③如图 4, OM ? 4t ? 2 , OH ? 2t ? 1 , MH ? 3(2t ?1) . NH ? OH ? ON ? (2t ?1) ? (4t ? 6) ? 5 ? 2t . 综合①、②、③,s ? MN 2 ? MH 2 ? NH 2

图4

2 2 2 ? . ?? ? 3(2t ? 1) ? ? (5 ? 2t ) ? 16t ? 32t ? 28 ? 16(t ? 1) ? 12

2

所以当 t=1 时,甲、乙两人的最小距离为 12 千米.

例4

2011 年上海市中考第 25 题

在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点 P 是 AB 边上任意一点,直线 PE ⊥AB,与边 AC 或 BC 相交于 E.点 M 在线段 AP 上,点 N 在线段 BP 上,EM=EN,

sin ?EMP ?

12 . 13

(1)如图 1,当点 E 与点 C 重合时,求 CM 的长; (2)如图 2,当点 E 在边 AC 上时,点 E 不与点 A、C 重合,设 AP=x,BN=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (3) 若△AME∽△ENB (△AME 的顶点 A、 M、 E 分别与△ENB 的顶点 E、 N、 B 对应) , 求 AP 的长.

图1

图2

备用图

动感体验
请打开几何画板文件名“11 上海 25” ,拖动点 P 在 AB 上运动,从图象中可以看到,y 是 x 的一次函数.观察图形和角度的度量值,可以体验到,点 E 在 AC 和 BC 上,各存在一 个时刻,△AME∽△ENB. 请打开超级画板文件名“11 上海 25” ,拖动点 P 在 AB 上运动,当点 E 与点 C 重合时, CM ? 26 .点 E 在边 AC 上时,y 是 x 的一次函数.当 AP=42 时,三角形相似,且满足顶点

对应。

思路点拨
1.本题不难找到解题思路,难在运算相当繁琐.反复解直角三角形,注意对应关系. 2.备用图暗示了第(3)题要分类讨论,点 E 在 BC 上的图形画在备用图中. 3.第(3)题当 E 在 BC 上时,重新设 BP=m 可以使得运算简便一些.

满分解答
(1)在 Rt△ABC 中,BC=30,AB=50,所以 AC=40, sin ?A ?

3 3 , tan ?A ? . 5 4

3 在 Rt△ACP 中, CP ? AC ? sin ?A ? 40 ? ? 24 . 5 CP 12 13 13 在 Rt△CMP 中,因为 sin ?CMP ? ? ,所以 CM ? CP ? ? 24 ? 26 . CM 13 12 12 3 (2)在 Rt△AEP 中, EP ? AP ? tan ?A ? x . 4 EP 12 EP 12 在 Rt△EMP 中,因为 sin ?EMP ? ? ,所以 tan ?EMP ? ? . EM 13 MP 5 5 5 3 5 13 13 3 13 因此 MP ? EP ? ? x ? x , EM ? EP ? ? x ? x . 12 12 4 16 12 12 4 16

5 x. 16 5 21 于是 y ? BN ? AB ? AP ? NP ? 50 ? x ? x ? 50 ? x . 16 16
已知 EM=EN,PE⊥AB,所以 MP=NP ? 定义域为 0<x<32.

5 13 x? x x AM EN 16 ? 16 (3)①如图 3,当 E 在 AC 上时,由 ,得 . ? ME NB 13 21 x 50 ? x 16 16 解得 x=AP=22. ②如图 4,当 E 在 BC 上时,设 BP=m,那么 AP=50-m. 4 在 Rt△BEP 中, EP ? m . 3 5 5 4 5 13 13 13 在 Rt△EMP 中, MP ? EP ? ? m ? m , EM ? EP ? ? 4m ? m . 12 12 3 9 12 12 9 5 14 5 4 所以 AM ? AB ? BP ? MP ? 50 ? m ? m ? 50 ? m , BN ? BP ? NP ? 5m ? m ? m . 9 9 9 9 14 13 50 ? m m AM EN 9 ? 9 .解得 m=BP=8.所以 AP=50-m=42. 这时由 ,得 ? ME NB 13 4 m m 9 9

图3

图4

图5

考点伸展
如果第(3)题没有条件“△AME 的顶点 A、M、E 分别与△ENB 的顶点 E、N、B 对应” , 那么还存在图 5 所示的一种情况,∠EAM=∠EBN,此时 PE 垂直平分 AB,AP=25.

2.2
例1

由面积产生的函数关系问题
2013 年菏泽市中考第 21 题
3 x ? 3的 4

如图 1, △ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形, 点 A、 C 分别是一次函数 y ? ? 图像与 y 轴、x 轴的交点,点 B 在二次函数 y ?

1 2 x ? bx ? c 的图像上,且该二次函数图像 8

上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形. (1)试求 b、c 的值,并写出该二次函数的解析式; (2)动点 P 从 A 到 D,同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动,问: ①当 P 运动到何处时,由 PQ⊥AC? ②当 P 运动到何处时,四边形 PDCQ 的面积最小?此时四边形 PDCQ 的面积是多少?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“13 菏泽 21” ,拖动点 P 由 A 向 D 运动,观察 S 随 P 变化的图 像,可以体验到,当 S 最小时,点 Q 恰好是 AC 的中点. 请打开超级画板文件名“13 菏泽 21” ,拖动点 P 由 A 向 D 运动,观察 S 随 P 变化的图 像,可以体验到,当 S 最小时,点 Q 恰好是 AC 的中点.

思路点拨
1.求抛物线的解析式需要代入 B、D 两点的坐标,点 B 的坐标由点 C 的坐标得到,点 D 的坐标由 AD=BC 可以得到. 2.设点 P、Q 运动的时间为 t,用含有 t 的式子把线段 AP、CQ、AQ 的长表示出来. 3.四边形 PDCQ 的面积最小,就是△APQ 的面积最大.

满分解答
(1)由 y ? ?

3 x ? 3 ,得 A(0,3),C(4,0). 4

由于 B、C 关于 OA 对称,所以 B(-4,0),BC=8. 因为 AD//BC,AD=BC,所以 D(8,3).

1 2 ?2 ? 4b ? c ? 0, x ? bx ? c ,得 ? 8 ?8 ? 8b ? c ? 3. 1 1 1 解得 b ? ? ,c=-3.所以该二次函数的解析式为 y ? x 2 ? x ? 3 . 4 8 4
将 B(-4,0)、D(8,3)分别代入 y ? (2)①设点 P、Q 运动的时间为 t. 如图 2,在△APQ 中,AP=t,AQ=AC-CQ=5-t,cos∠PAQ=cos∠ACO= 当 PQ⊥AC 时,

AQ 4 5?t 4 25 . ? .所以 ? .解得 AP ? t ? AP 5 t 5 9

4 . 5

图2 ②如图 3,过点 Q 作 QH⊥AD,垂足为 H. 由于 S△APQ=

图3

1 1 1 3 3 3 AP ? QH ? AP ? AQ sin ?PAQ ? t (5 ? t ) ? ? ? t 2 ? t , 2 2 2 5 10 2 1 1 S△ACD= AD ? OA ? ? 8 ? 3 ? 12 , 2 2 3 3 3 5 81 所以 S 四边形 PDCQ=S△ACD-S△APQ= 12 ? (? t 2 ? t ) ? (t ? ) 2 ? . 10 2 10 2 8 5 81 所以当 AP= 时,四边形 PDCQ 的最小值是 . 2 8

考点伸展
如果把第(2)①题改为“当 P 运动到何处时,△APQ 是直角三角形?” 除了 PQ⊥AC 这种情况,还有 QP⊥AD 的情况. 这时

t 4 20 AP 4 (如图 4 所示) . ? .解得 t ? ? ,所以 5?t 5 9 AQ 5

图4

例2
如图 1,抛物线 y ?

2012 年广东省中考第 22 题

1 2 3 x ? x ? 9 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,联结 BC、 2 2

AC. (1)求 AB 和 OC 的长; (2)点 E 从点 A 出发,沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、B 不重合) ,过点 E 作 BC 的 平行线交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m,△ADE 的面积为 s,求 s 关于 m 的函数关系式,并 写出自变量 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,联结 CE,求△CDE 面积的最大值;此时,求出以点 E 为圆心, 与 BC 相切的圆的面积(结果保留π ) .

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“12 广东 22” ,拖动点 E 由 A 向 B 运动,观察图象,可以体验 到,△ADE 的面积随 m 的增大而增大,△CDE 的面积随 m 变化的图象是开口向下的抛物线 的一部分,E 在 AB 的中点时,△CDE 的面积最大.

思路点拨
1.△ADE 与△ACB 相似,面积比等于对应边的比的平方. 2.△CDE 与△ADE 是同高三角形,面积比等于对应底边的比.

满分解答
1 2 3 1 x ? x ? 9 ? ( x ? 3)( x ? 6) ,得 A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9). 2 2 2 所以 AB=9,OC=9. (2)如图 2,因为 DE//CB,所以△ADE∽△ACB. S AE 2 . 所以 ?ADE ? ( ) S?ACB AB 1 81 而 S?ACB ? AB ? OC ? ,AE=m, 2 2 AE 2 m 81 1 所以 s ? S?ADE ? ( ) ? S?ACB ? ( ) 2 ? ? m 2 . AB 9 2 2 m 的取值范围是 0<m<9.
(1)由 y ?

图2 (3)如图 2,因为 DE//CB,所以

图3

CD BE 9 ? m . ? ? AD AE m S CD 9 ? m . 因为△CDE 与△ADE 是同高三角形,所以 ?CDE ? ? S?ADE AD m 9?m 1 2 1 9 1 9 81 所以 S?CDE ? ? m ? ? m 2 ? m ? ? (m ? ) 2 ? . m 2 2 2 2 2 8 9 81 当 m ? 时,△CDE 的面积最大,最大值为 . 8 2 9 此时 E 是 AB 的中点, BE ? . 2 如图 3,作 EH⊥CB,垂足为 H.

3 3 13 . ? 13 13 9 3 13 27 13 在 Rt△BEH 中, EH ? BE ? sin B ? ? . ? 2 13 26 729 当⊙E 与 BC 相切时, r ? EH .所以 S ? ? r 2 ? ?. 52
在 Rt△BOC 中,OB=6,OC=9,所以 sin B ?

考点伸展
在本题中,△CDE 与△BEC 能否相似? 如图 2,虽然∠CED=∠BCE,但是∠B>∠BCA≥∠ECD,所以△CDE 与△BEC 不能 相似.

例3

2012 年河北省中考第 26 题

5 . 13 探究 如图 1,AH⊥BC 于点 H,则 AH=_____,AC=______,△ABC 的面积 S△ABC= ________. 拓展 如图 2,点 D 在 AC 上(可与点 A、C 重合) ,分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线, 垂足为 E、F.设 BD=x,AE=m,CF=n. (当点 D 与点 A 重合时,我们认为 S△ABD=0) (1)用含 x,m 或 n 的代数式表示 S△ABD 及 S△CBD; (2)求(m+n)与 x 的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值; (3)对给定的一个 x 值,有时只能确定唯一的点 D,指出这样的 x 的取值范围. 发现 请你确定一条直线,使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小(不必写出 过程) ,并写出这个最小值.
如图 1,图 2,在△ABC 中,AB=13,BC=14, cos ?ABC ?

图1

图2

动感体验
请打开几何画板文件名“12 河北 26” ,拖动点 D 由 A 向 C 运动,观察(m+n)随 x 变化 的图象,可以体验到,D 到达 G 之前,(m+n)的值越来越大;D 经过 G 之后,(m+n)的值 越来越小.观察圆与线段 AC 的交点情况,可以体验到,当 D 运动到 G 时(如图 3) ,或者 点 A 在圆的内部时(如图 4) ,圆与线段 AC 只有唯一的交点 D.

图3

图4

答案

探究 AH=12,AC=15,S△ABC=84. 1 1 拓展 (1)S△ABD= mx ,S△CBD= nx . 2 2 1 1 168 (2)由 S△ABC=S△ABD+S△CBD,得 mx ? nx ? 84 .所以 m ? n ? . 2 2 x 56 56 由于 AC 边上的高 BG ? ,所以 x 的取值范围是 ≤x≤14. 5 5 所以(m+n)的最大值为 15,最小值为 12. 56 (3)x 的取值范围是 x= 或 13<x≤14. 5 56 发现 A、B、C 三点到直线 AC 的距离之和最小,最小值为 . 5

例4

2011 年淮安市中考第 28 题

如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点 P 在 AB 上,AP=2.点 E、 F 同时从点 P 出发,分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、B 匀速运动,点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿 AB 向点 B 运动, 点 F 运动到点 B 时停止, 点 E 也随之停止. 在 点 E、F 运动过程中,以 EF 为边作正方形 EFGH,使它与△ABC 在线段 AB 的同侧.设 E、 F 运动的时间为 t 秒(t>0),正方形 EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为 S. (1)当 t=1 时,正方形 EFGH 的边长是________;当 t=3 时,正方形 EFGH 的边长 是________; (2)当 1<t≤2 时,求 S 与 t 的函数关系式; (3)直接答出:在整个运动过程中,当 t 为何值时,S 最大?最大面积是多少?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 淮安 28” ,拖动点 F 由 P 向 B 运动,可以体验到,点 E 在 向 A 运动时,正方形 EFGH 越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形; 点 E 折返以后,正方形 EFGH 的边长为定值 4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、 六边形、五边形.在整个运动过程中,S 的最大值在六边形这个时段. 请打开超级画板文件名“11 淮安 28” ,拖动点 F 由 P 向 B 运动,可以体验到,点 E 在 向 A 运动时,正方形 EFGH 越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形; 点 E 折返以后,正方形 EFGH 的边长为定值 4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、 六边形、五边形.在整个运动过程中,S 的最大值在六边形这个时段.

思路点拨
1.全程运动时间为 8 秒,最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画 8 个图形,这叫做 磨刀不误砍柴工. 2.这道题目的运算太繁琐了,如果你的思路是对的,就坚定地、仔细地运算,否则放 弃也是一种好的选择.

满分解答
(1)当 t=1 时,EF=2;当 t=3 时,EF=4. (2)①如图 1,当 0<t≤ ②如图 2,当

6 时, EF ? 2t .所以 S ? 4t 2 . 11

6 6 3 3 <t≤ 时, EF ? EH ? 2t , AE ? 2 ? t , NE ? AE ? (2 ? t ) . 11 5 4 4 3 11 3 于是 NH ? EH ? NE ? 2t ? (2 ? t ) ? t ? , 4 4 2

S△NHQ ?

1 1 4 2 2 ? 11 3 ? NH ? QH ? NH ? NH ? NH 2 ? ? t ? ? . 2 2 3 3 3? 4 2?
2

2

11 3 ? 25 2 11 3 所以 S ? 4t 2 ? 2 ? ? t? ? ?? t ? t? . 3? 4 2? 24 2 2 6 ③如图 3,当 <t≤2 时, EF ? 4 , AE ? t ? 2 , AF ? t ? 2 . 5 3 3 所以 S ? S△AFM ? S△AEN ? AF 2 ? AE 2 ? 3t . 8 8

图2 图3 图4 (3)如图 4,图 5,图 6,图 7,重叠部分的最大面积是图 6 所示的六边形 EFNDQN, 1102 146 S 的最大值为 ,此时 t ? . 25 75

图5

图6

图7

考点伸展
第(2)题中 t 的临界时刻是这样求的:

2t 3 6 ? ,得 t ? . 2?t 4 11 2t 3 6 如图 9,当 G 落在 AC 上时, AF ? 2 ? t , GF ? EF ? 2t ,由 ? ,得 t ? . 2?t 4 5
如图 8,当 H 落在 AC 上时, AE ? 2 ? t , EH ? EF ? 2t ,由

图8

图9

例5

2011 年山西省中考第 26 题

如图 1,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是平行四边形.直线 l 经过 O、C 两点, 点 A 的坐标为(8,0),点 B 的坐标为(11,4),动点 P 在线段 OA 上从 O 出发以每秒 1 个单 位的速度向点 A 运动,同时动点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向 向点 C 运动,过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,与折线 O—C—B 相交于点 M.当 P、Q 两点中有 一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点 P、Q 运动的时间为 t 秒(t>0) ,△MPQ 的面积为 S. (1)点 C 的坐标为____________,直线 l 的解析式为____________; (2)试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式,并写出相应的 t 的取值范围. (3)试求题(2)中当 t 为何值时,S 的值最大?最大值是多少?

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 山西 26” ,拖动点 P 由 O 向 A 运动,可以体验到,点 Q 先 到达终点.从 S 随 t 变化的跟踪轨迹可以看到,整个运动过程中,S 随 t 变化的图象是“N” 字型,由四段组成. 请打开超级画板文件名“11 山西 26” ,拖动点 P 由 O 向 A 运动,可以体验到,点 Q 先 到达终点.点击按钮“函数表达式” , S 随 t 先增大后减少。当 t=2.67 时,S=14.22.

思路点拨
1.用含有 t 的式子表示线段的长,是解题的关键. 2.第(2)题求 S 与 t 的函数关系式,容易忽略 M 在 OC 上、Q 在 BC 上的情况. 3.第(2)题建立在第(2)题的基础上,应用性质判断图象的最高点,运算比较繁琐.

满分解答
(1)点 C 的坐标为(3,4),直线 l 的解析式为 y ?

4 x. 3

5 (2)①当 M 在 OC 上,Q 在 AB 上时, 0<t≤ . 2 4 4 在 Rt△OPM 中,OP=t, tan ?OMP ? ,所以 PM ? t . 3 3 3 6 在 Rt△AQE 中,AQ=2t, cos ?QAE ? ,所以 AE ? t . 5 5 6 1 1 2 2 16 于是 PE ? 8 ? t ? t ? 8 ? t .因此 S ? PE ? PM ? t ? t . 5 5 2 15 3 5 ②当 M 在 OC 上,Q 在 BC 上时, <t≤3 . 2 因为 BQ ? 2t ? 5 ,所以 PF ? 11 ? t ? (2t ? 5) ? 16 ? 3t . 1 32 因此 S ? PF ? PM ? ?2t 2 ? t . 2 3

③当 M、Q 相遇时,根据 P、Q 的路程和 t ? 2t ? 11 ? 5 ,解得 t ? 因此当 M、Q 都在 BC 上,相遇前, 3<t≤ 所以 S ?

16 . 3

16 ,PM=4, MQ ? 16 ? t ? 2t ? 16 ? 3t . 3

1 MQ ? PM ? ?6t ? 32 . 2

图3 5 2 16 2 160 (3)①当 0<t≤ 时, S ? t 2 ? t ? (t ? 20) 2 ? . 2 15 3 15 3 因为抛物线开口向上,在对称轴右侧,S 随 t 的增大而增大, 5 85 所以当 t ? 时,S 最大,最大值为 . 2 6 5 32 8 128 2 ②当 <t≤3 时, S ? ?2t ? t ? ?2(t ? ) 2 ? . 2 3 3 9 8 128 因为抛物线开口向下,所以当 t ? 时,S 最大,最大值为 . 3 9 16 1 ③当 3<t≤ 时, S ? MQ ? PM ? ?6t ? 32 . 3 2 因为 S 随 t 的增大而减小,所以当 t ? 3 时,S 最大,最大值为 14. 8 128 综上所述,当 t ? 时,S 最大,最大值为 . 3 9

图2

图4

考点伸展
第(2)题中,M、Q 从相遇到运动结束,S 关于 t 的函数关系式是怎样的? 16 13 1 此时 <t≤ , MQ ? t ? 2t ? 16 ? 3t ? 16 .因此 S ? MQ ? PM ? 6t ? 32 . 3 2 2

图5

例6

2011 年重庆市中考第 26 题

如图 1,矩形 ABCD 中,AB=6,BC= 2 3 ,点 O 是 AB 的中点,点 P 在 AB 的延长线 上,且 BP=3.一动点 E 从 O 点出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动,到达 A 点后,立即以原速度沿 AO 返回;另一动点 F 从 P 点出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿射 线 PA 匀速运动,点 E、F 同时出发,当两点相遇时停止运动,在点 E、F 的运动过程中,以 EF 为边作等边△EFG,使△EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧.设运动的时间为 t 秒(t ≥0) . (1)当等边△EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时,求运 动时间 t 的值; (2) 在整个运动过程中, 设等边△EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S,请直接写出 S 与 t 之间的函数关系 式和相应的自变量 t 的取值范围; (3)设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H, 是否存在这样的 t,使△AOH 是等腰三角形?若存在,求 出对应的 t 的值;若不存在,请说明理由. 图1

动感体验
请打开几何画板文件名“11 重庆 26” ,拖动点 A 由 P 向 A 运动,可以体验到,重叠部 分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形,S 随 t 变化的图象分为四段; 观察△AOH 的形状,可以体验到,△AOH 有 5 个时刻成为等腰三角形. 请打开超级画板文件名“11 重庆 26” ,拖动点 t,当 t=1 时,FG 恰好经过点 C。重叠 部分的形状依次为直角梯形、五边形、等腰梯形和等边三角形,这说明 S 随 t 变化的图象需 要分四段进行分析;观察△AOH 的形状,可以体验到,△AOH 有 5 个时刻成为等腰三角形.

思路点拨
1.运动全程 6 秒钟,每秒钟选择一个点 F 画对应的等边三角形 EFG,思路和思想以及 分类的标准尽在图形中. 2.用 t 表示 OE、AE、EF、AH 的长,都和点 E 折返前后相关,分两种情况. 3.探求等腰三角形 AOH,先按顶点分三种情况,再按点 E 折返前后分两种情况. 4.本题运算量很大,多用到 1∶2∶ 3 ,注意对应关系不要错乱.

满分解答
(1)在 Rt△ABC 中, tan ?BAC ? 所以∠BAC=30° . 如图 2,当等边△EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时, 在 Rt△BCF 中,∠BFC=60° ,BC= 2 3 , 所 以 BF = 2 . 因 此 PF = 3 - 2 = 1 , 运 动 时 间 t = 1.
2

BC 2 3 3 ? ? , AB 6 3

图2

(2)①如图 3,当 0≤t<1 时,重叠部分为直角梯形 BCNE, S ? 2 3t ? 4 3 . ②如图 4,当 1≤t<3 时,重叠部分为五边形 BQMNE, S ? ? 3t ? 4 3t ? 3 3 . ③如图 5,当 3≤t<4 时,重叠部分为梯形 FMNE, S ? ?4 3t ? 20 3 . ④如图 6,当 4≤t<6 时,重叠部分为等边三角形 EFG, S ? 3(t ? 6)2 .

图3 图4 图5 (3)等腰△AOH 分三种情况:①AO=AH,②OA=OH,③HA=HO. 在△AOH 中,∠A=30°为定值,AO=3 为定值,AH 是变化的. △AEH 的形状保持不变,AH= 3 AE.当 E 由 O 向 A 运动时,AE=3-t;当 E 经 A 折返后,AE=t-3.

图6

图7

图8

①当 AO=AH 时,解 3(3 ? t ) ? 3 ,得 t ? 3 ? 3 (如图 7) ; 解 3(t ? 3) ? 3 ,得 t ? 3 ? 3 (如图 8) . ②当 OA=OH 时,∠AOH=120°,点 O 与点 E 重合,t=0(如图 9) . ③当 HA=HO 时,H 在 AE 的垂直平分线上,AO= 3 AH=3AE. 解 3(3 ? t ) ? 3 ,得 t=2(如图 10) ;解 3(t ? 3) ? 3 ,得 t=4(如图 11) .

图9

图 10

图 11

考点伸展
图 3,图 4 中,点 E 向 A 运动,EF=6;图 5,图 6 中,点 E 折返,EF=12-2t.

第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013 年南京市中考第 26 题

已知二次函数 y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m 为常数,且 a≠0) . (1)求证:不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点; (2)设该函数的图像的顶点为 C,与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 D. ①当△ABC 的面积等于 1 时,求 a 的值 ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,求 m 的值.

动感体验
请打开几何画板文件名“13 南京 26” ,拖动 y 轴上表示实数 a 的点可以改变 a 的值,拖 动点 A 可以改变 m 的值.分别点击按钮“m1” 、 “m2” 、 “m3” ,再改变实数 a,可以体验到, 这 3 种情况下,点 C、D 到 x 轴的距离相等. 请打开超级画板文件名“13 南京 26” , 拖动点 A 可以改变 m 的值,竖直拖动点 C 可以 改变 a 的值.分别点击按钮,可得到△ABC 的面积与△ABD 的面积相等的三种情形。

思路点拨
1.第(1)题判断抛物线与 x 轴有两个交点,容易想到用判别式.事实上,抛物线与 x 轴的交点 A、B 的坐标分别为 (m,0)、 (m+1,0),AB=1. 2.当△ABC 的面积等于 1 时,点 C 到 x 轴的距离为 2. 3.当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,C、D 到 x 轴的距离相等. 4.本题大量的工作是代入计算,运算比较繁琐,一定要仔细.

满分解答
(1)由 y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)( x-m-1), 得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(m,0)、B(m+1,0). 因此不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点. (2)①由 y=a(x-m)2-a(x-m) ? a ( x ? m ? ) 2 ? 得抛物线的顶点坐标为 C ( m ?

1 2

1 a, 4

1 1 , ? a) . 2 4 1 1 因为 AB=1,S△ABC= AB ? ? a ? 1 ,所以 a=±8. 2 4
②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,点 C 与点 D 到 x 轴的距离相等. 第一种情况:如图 1,C、D 重合,此时点 D 的坐标可以表示为 (0, ?

1 a) , 4

将 D(0, ? a) 代入 y ? a ( x ? m ? ) 2 ? 解得 m ? ?

1 4

1 2

1 1 1 1 a ,得 ? a ? a (m ? ) 2 ? a . 4 4 2 4

1 . 2

图1 第二种情况:如图 2,图 3,C、D 在 x 轴两侧,此时点 D 的坐标可以表示为 (0, a) , 将 D(0, a) 代入 y ? a ( x ? m ? ) 2 ? 解得 m ?

1 4

1 4

1 2

1 1 1 1 a ,得 a ? a (m ? ) 2 ? a . 4 4 2 4

?1 ? 2 . 2

图2

图3

考点伸展
第(1)题也可以这样说理: 由于由 y ? a ( x ? m ? ) 2 ?

1 2

1 1 1 a ,抛物线的顶点坐标为 C (m ? , ? a ) . 4 2 4

当 a>0 时,抛物线的开口向上,而顶点在 x 轴下方,所以抛物线与 x 轴由两个交点; 当 a<0 时,抛物线的开口向下,而顶点在 x 轴上方,所以抛物线与 x 轴由两个交点. 因此不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点. 第(1)题也可以用根的判别式Δ 说理: 由 y=a(x-m)2-a(x-m)=a[x2-(2m+1)x+m2+m], 得 ? ? a2 [(2m ? 1)2 ? 4(m2 ? m)] ? a2 >0. 因此不论 a 与 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点. 这种方法是同学们最容易想到的,但是这种方法的运算量很大,一定要仔细.

例2

2013 年南昌市中考第 25 题

已知抛物线 yn=-(x-an)2+an(n 为正整数,且 0<a1<a2<?<an)与 x 轴的交点为 An-1(bn-1,0)和 An(bn,0). 当 n=1 时, 第 1 条抛物线 y1=-(x-a1)2+a1 与 x 轴的交点为 A0(0,0) 和 A1(b1,0),其他依此类推 (1)求 a、b 的值及抛物线 y2 的解析式; (2)抛物线 y3 的顶点坐标为(_____,_____); 依此类推第 n 条抛物线 yn 的顶点坐标为(_____,_____)(用含 n 的式子表示) ; 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________; (3)探究下列结论: ①若用 An-1 An 表示第 n 条抛物线被 x 轴截得的线段的长,直接写出 A0A1 的值,并求出 An-1 An; ②是否存在经过点 A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的 长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.

备用图(仅供草稿使用)

动感体验
请打开几何画板文件名“13 南昌 25” ,拖动抛物线的顶点 P 在射线 y=x(x>0)上运动, 可以体验到,经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等. 请打开超级画板文件名“13 南昌 25” ,拖动抛物线的顶点 P 在射线 y=x(x>0)上运动, 可以体验到,经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等.

思路点拨
1.本题写在卷面的文字很少很少,可是卷外是大量的运算. 2.最大的纠结莫过于对字母意义的理解,这道题的复杂性就体现在数形结合上. 3.这个备用图怎么用?边画边算,边算边画.

满分解答
(1)将 A0(0,0)代入 y1=-(x-a1)2+a1,得-a12+a1=0. 所以符合题意的 a1=1. 此时 y1=-(x-1)2+1=-x(x-2).所以 A1 的坐标为(2,0),b1=2. 将 A1(2,0)代入 y2=-(x-a2)2+a2,得-(2-a2)2+a2=0. 所以符合题意的 a2=4. 此时 y2=-(x-4)2+4=-(x-2)(x-6). (2)抛物线 y3 的顶点坐标为(9,9); 第 n 条抛物线 yn 的顶点坐标为(n2,n2); 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 y=x. (3)①如图 1,A0A1=2. 由第(2)题得到,第 n 条抛物线 yn=-(x-an)2+an 的顶点坐标为(n2,n2).

所以 yn=-(x-n2)2+n2=n2-(x-n2)2=(n-x+n2)(n+x-n2). 所以第 n 条抛物线与 x 轴的交点坐标为 An-1(n2-n,0)和 An(n2+n,0). 所以 An-1 An=(n2+n)-(n2-n)=2n. ②如图 1,直线 y=x-2 和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都 相等.

图1

考点伸展
我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用. 第一步,由 yn=-(x-an)2+an,得抛物线的顶点坐标为(an, an).顶点的横坐标和纵坐标 相等,而且已知 an>0,因此先画出顶点所在的射线 y=x(x>0). 第二步,计算出 y1,画抛物线 y1 的顶点、与 x 轴的右交点. 第三步,计算出 y2,画抛物线 y2 的顶点、与 x 轴的右交点.

3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题

已知二次函数 y=-x2+bx+c 的图像经过点 P(0, 1)与 Q(2, -3). (1)求此二次函数的解析式; (2)若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点,过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数 图像于点 B,分别过点 B、A 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D,且所得四边形 ABCD 恰为 正方形. ①求正方形的 ABCD 的面积; ②联结 PA、PD,PD 交 AB 于点 E,求证:△PAD∽△PEA.

动感体验
请打开几何画板文件名“13 黄浦 24” ,拖动点 A 在第一象限内的抛物线上运动,可以 体验到,∠PAE 与∠PDA 总保持相等,△PAD 与△PEA 保持相似. 请打开超级画板文件名“13 黄浦 24” ,拖动点 A 在第一象限内的抛物线上运动,可以 体验到,∠PAE 与∠PDA 总保持相等,△PAD 与△PEA 保持相似.

思路点拨
1.数形结合,用抛物线的解析式表示点 A 的坐标,用点 A 的坐标表示 AD、AB 的长, 当四边形 ABCD 是正方形时,AD=AB. 2. 通过计算∠PAE 与∠DPO 的正切值, 得到∠PAE=∠DPO=∠PDA, 从而证明△PAD ∽△PEA.

满分解答
(1)将点 P(0, 1)、Q(2, -3)分别代入 y=-x2+bx+c,得

?c ? 1, ? ??4 ? 2b ? 1 ? ?3.

解得 ?

所以该二次函数的解析式为 y=-x2+1. (2) ①如图 1, 设点 A 的坐标为(x, -x2+1), 当四边形 ABCD 恰为正方形时, AD=AB. 此时 yA=2xA. 解方程-x2+1=2x,得 x ? ?1 ? 2 . 所以点 A 的横坐标为 2 ? 1 . 因此正方形 ABCD 的面积等于 [2( 2 ?1)]2 ? 12 ? 8 2 . ②设 OP 与 AB 交于点 F,那么 PF ? OP ? OF ? 1 ? 2( 2 ?1) ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ?1)2 .

?b ? 0, ?c ? 1.

PF ( 2 ? 1)2 ? ? 2 ?1. AF 2 ?1 OD 又因为 tan ?PDA ? tan ?DPO ? ? 2 ?1, OP
所以 tan ?PAE ? 所以∠PAE=∠PDA. 又因为∠P 公用,所以△PAD∽△PEA.

图1

图2

考点伸展
事实上,对于矩形 ABCD,总有结论△PAD∽△PEA.证明如下: 如图 2,设点 A 的坐标为(x, -x2+1),那么 PF=OP-OF=1-(-x2+1)=x2. 所以 tan ?PAE ?

PF x 2 ? ? x. AF x
OD ? x, OP

又因为 tan ?PDA ? tan ?DPO ?

所以∠PAE=∠PDA.因此△PAD∽△PEA.

例2

2013 年江西省中考第 24 题

某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程: (1)操作发现: 在等腰△ABC 中,AB=AC,分别以 AB、AC 为斜边,向△ABC 的外侧作等腰直角三角 形,如图 1 所示,其中 DF⊥AB 于点 F,EG⊥AC 于点 G,M 是 BC 的中点,连结 MD 和 ME,则下列结论正确的是__________(填序号即可) . ①AF=AG=

1 AB ;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME. 2

(2)数学思考: 在任意△ABC 中,分别以 AB、AC 为斜边,向△ABC 的外侧作等腰直角三角形,如图 2 所示,M 是 BC 的中点,连结 MD 和 ME,则 MD 与 ME 有怎样的数量关系?请给出证明过 程; (3)类比探究: 在任意△ABC 中,仍分别以 AB、AC 为斜边,向△ABC 的内侧作等腰直角三角形,如 图 3 所示,M 是 BC 的中点,连结 MD 和 ME,试判断△MDE 的形状.答:_________.

图1

动感体验
请打开几何画板文件名“13 江西 24” ,拖动点 A 可以改变△ABC 的形状,可以体验到, △DFM≌△MGE 保持不变,∠DME=∠DFA=∠EGA 保持不变. 请打开超级画板文件名“13 江西 24” ,拖动点 A 可以改变△ABC 的形状,可以体验到, △DFM≌△MGE 保持不变,∠DME=∠DFA=∠EGA 保持不变.

思路点拨
1.本题图形中的线条错综复杂,怎样寻找数量关系和位置关系?最好的建议是按照题 意把图形规范、准确地重新画一遍. 2.三个中点 M、F、G 的作用重大,既能产生中位线,又是直角三角形斜边上的中线. 3.两组中位线构成了平行四边形,由此相等的角都标注出来,还能组合出那些相等的 角?

满分解答
(1)填写序号①②③④. (2)如图 4,作 DF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为 F、G. 因为 DF、EG 分别是等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高, 所以 F、G 分别是 AB、AC 的中点. 又已知 M 是 BC 的中点,所以 MF、MG 是△ABC 的中位线. 所以 MF ?

1 1 AC , MG ? AB ,MF//AC,MG//AB. 2 2

所以∠BFM=∠BAC,∠MGC=∠BAC. 所以∠BFM=∠MGC.所以∠DFM=∠MGE. 因为 DF、EG 分别是直角三角形 ABD 和直角三角形 ACE 斜边上的中线,

所以 EG ?

1 1 AC , DF ? AB . 2 2

所以 MF=EG,DF=NG. 所以△DFM≌△MGE.所以 DM=ME. (3)△MDE 是等腰直角三角形.

图4

图5

考点伸展
第(2)题和第(3)题证明△DFM≌△MGE 的思路是相同的,不同的是证明∠DFM= ∠MGE 的过程有一些不同. 如图 4,如图 5,∠BFM=∠BAC=∠MGC. 如图 4,∠DFM=90°+∠BFM,∠MGE=90°+∠MGC,所以∠DFM=∠MGE. 如图 5,∠DFM=90°-∠BFM,∠MGE=90°-∠MGC,所以∠DFM=∠MGE.


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