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导出1^3+2^3+3^3…+n^3的公式的一种方法


中学生数学 ? 2 0 1 0年 3 月上 ? 第 3 8 9期 ( 高中 )  

导出 1 3 +2 3 +3 3 + … +  3 帕 公 式 帕 一 种 方 法 
北京 师 范大 学 附属 实验 中学 ( 1 0 0 0 3 2 )   曹讨 生  
笔 者 曾在《 巾学 牛数学 } 2 0 0 2年第 5期 ( 上)  

>发表 r 《 导山 1  + 2   +…+   的 公 式 的 一 种 方 
2   2  2   3   3   3   3   3  

数 
嚣 ,  

法》的义章 , 主要 阐述 用“ 全等 蔓角 形”数阵 并进 
第 一 层  第 二 层 
” 

公  

第 j 层 

行“ 二维” 变化进行叠加, 得到 >: 是   结论的方法.  
女   1  

法 

与 发现∑ 是   结论的方法相似, ∑是 。 足前  


1  

t e 一 1  

,   个 自然 数 的 3次 方 的 和 , H 丁 以构 造 “ 立 体 图 
形” , 进行“ 三 维 ”变 换 得 到 .   看数 阵 , 图 】_  图 2  

图 2中 的 “ 正 四面 体 ”  

2  

n f 以看 作 足 两个 “ 正 四 面  体” .   l 巾 的“   四面体 ”  

共有 ”   1层 , 每 层 都 由层 
数 加 1得 到 的 数 构 成 , 规 律  如下 : 第一层 1 个 2 , 第 二 层 

共有 ,   , 每 层 都 由层 数 
构成。 规律如下: 第一层 1   个 1 , 第 二 层 3个 2 , 第 三  层 6个 3 , …. 第 ”层 
厶 

3 个 3 , 第 三层 6 个 4 , …, 第 


1层 

图 2  

图1  

个  . 每 一 层 均 匀 摆 放 成  “ 等边 三 角形 ” , 如下:  
( 下转 第 1 8页 )  

个 ” . 每 一 层 均 匀 摆 放 

成“ 等边三角形 ” , 如下 :  

( 上接 第 1   6页 )  

此表明{ c   } 是 公 比 为 2的 等 比 数 列 .  
③  又c l —Sl 一3 一“ 1 —3 —1 , 所以 c   一2 一 .   于是 S   一3   一2 一 ,   一3   +2 一  (   ? ∈N ) .  



b   - -n   ~ 2?3 一 

所 以  6   +   一2 b   ( ” ≥2 ) .  

此表明 b   , b   , …, b   , …是 公 比为 2的等 比 
数 列.  
又  b 2 一& 2 ~ 2?3  = = = 7 —6 一 l,  

当” ≥ 2时 ,  
Ⅱ ,  一 S  一S  一 1 —3 ” +2  


一3  

一2  

2× 3  
f   4  

+2 “   。  
一 1,  

所 以  b ,   一2 一 

( ” ≥2 ) .  
. , 

J  

代入 ③ 得


“   一2 ×3 一  +2  
4   "一 1.  

( ” ≥2 ) ,  

故。   一 { 2 × 3  + 2   :” ≥ 2 .  
“ 变多 为少 , 化混为单” 的这 种 方 法 不仅 用  于解上 述 问题 , 而 且 也 常用 于解 决 其 他 一些 问  题, 如 三 角 变 换 中的 化 弦 法 等 . 在 研 究 和 解 决  数 学 问题 时 , 我们应注意 运用这种遇 多变少 ,   逢 混 化 单 的处 理 方 法 , 将 问题 化 繁 为 简 , 有 助 
解 题.   ( 责审   王   雷)  

故  一 { 2   ? 十 2 一 :  ≥ 2 .  
解 法 二  考 虑 消 去 “ 项” . 由n   +   =S   +3  
得 S   一S ,   一5   +3  , 即 S   + 1 —2 S   +3   .   由此 得 S   +  一 3   一2 ( S   一3   ) .  

设 C   一S   一3   ,则 C t f _ 1 —2 ( 、  

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● 

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中学生数学 ? 2 0 1 0年 3 月上 ? 第3 8 9 期( 高中)   ( 上接 第 1 7页)  


3  
4 

思  路 
与 

2  

3  3  

4   4  
4   4   4   一  

第 一 层 

第 二 层 

第 三层 
图 4  

洁 



T t  

7 / "  

体” 进行 “ 叠加 ” —— 把 相对 应 的“ 点” 的 四个数  分 别相 加. 由不 完 全 归 纳 法 可 以直 观 的看 出 ,   每个 “ 点” 处 的 四个 数 的和 均 为 3  +2 , 而 每个 
“ 正 四 面 体 ”共 有
( n一 1 ) 。 + ( ” 一 1 )  
2  

第  一1层 

可以发现 , 图 1中 的第二 层 、 第 三层 、 …、 第  层 的数分别 与图 2中的第一 层 、 第二层 、 …、 第 


1 + 3 + 6 + … + 
1  
2  

r / (  + 1 ) ( 2 n + 1 )  
6  

1 层 的数 的和 为 2 。 、 3 。 、 …、   。 , 也就 是 说, 图l  
,l  

与 图 2中的所有数 的总和恰好 为 S  一  
= =  

是 。 .  

] 个“ 点” , 因此 ,  叠 加, , 后得 到 的“ 正 四 

对 图 1中的“ 正 四面体 ” 进 行旋 转 , 可 得 到  以下三个 “ 全等 ” 的“ 正 四面体 ” :  

面体, , 中数的总和为塑  [  旦上 

一  

] . 因此 , 图 2中 的‘ ‘ 正 四面 体 ’ ’ 中数 的  总和 为  [   一  ] .  

因此可得出S   一 妻志 。 一  
图 3  
r 

(  + 1 ) ( 2 n+ 1 )   l   n (  + 1 ) ]   I   3  + 2  
6     。 2   。 8  

显 然每个 “ 正 四 面体 ” 的数 的 总和 相 等 , 把 
图 1中 的 “ 正 四面体 ” 与 图 3中的三 个 “ 正 四 面 

r   ± !  翌 ±  一  丝 ±  ]: r 翌   丝 ±  ] z  
6   2   2   ’  

体” 进行 “ 叠加 ” —— 把 相对 应 的 “ 点” 的 四个数  分 别 相 加. 由不 完 全 归 纳 法 可以直 观 地 看 出 ,   每个“ 点” 处 的 四个 数 的 和均 为 3 ” +1 , 而 每个  ‘ ‘ 正 四面体” 共有 1 +3 +6 +…+   = = =  


再用数 学归纳 法证 明即可 。  

以上是发现∑ 尼 。 结论的方法, 表面看比  
较复 杂 , 也 没 有 常用 的方 法 那 么 直 接 , 但 充 分  体 现 出 了“ 观 察 一 归 纳 一 猜想 ~ 证 明” 这一重 

[ 丛 上 

+  

] 个“ 点” 因 此 ,  
+   0 。   ] J …因 此 u  一  , 图 


要 的数 学 思 想 在 解 决 问 题 中 的 应 用.与 发 现 
、 

“ 叠加” 后得 到 的“ 正 四面体 ” 中数 的 总 和 为 

3 n +1     ) [ L   ± 下 r

k  结 论联 系起 来 看 , 两 种 方 法 的发 现 也 说 
明 了数 学思 维 方 法 的相 互 迁 移 , 用“ 二 维 的平 

1中 的 ‘ ‘ 正 四 面体 ’ ’ 中 的 数 字 总 和 为 
L — — —   — 一
r 

面图形” 解决了’ ∑是  的结论, 用“ 三维的立体  
图形 ”解决 了  是  的结 论 , 体现 出了解 决某 一 
类 数学 问题 方 法 上 的 内 在联 系 及 方 法 上 的 和 

(  + 1 ) ( 2 n +1 ).   (  + 1 ) ]  
十—  

‘  

对 图 2中 的“ 正 四面体 ” 进行旋转, 可得 到 

●  ●  ● 

以下 三个“ 全 等” 的“ 正 四面体” ( 如图 4 ) :  

谐, 会 对数 学思维 的训 练起到 一定 的作用.  
( 责审   王  雷)  

显然每个 “ 正 四面体 ” 的数 的 总 和相 等 , 把  图 2中的“ 正 四面体 ” 与 图 4中的三个“ 正 四面 

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