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2014-2015学年浙江省嘉兴市桐乡市凤鸣高中高二(上)期中数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年浙江省嘉兴市桐乡市凤鸣高中高二(上)期中数学 试卷(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求. 1. (4 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)若命题 p 为真,命题 q 为假,则( ) A. 命题“p∧q”为真 B. 命题“p∨q”为真 C. 命题“¬p”为真 D. 命题“¬q”为假 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用复合命题的真假判断方法即可得出. 解答: 解:∵命题 p 为真,命题 q 为假, ∴命题“p∨q”为真. 故选:B. 点评: 本题考查了复合命题的真假判断方法,属于基础题. 2. (4 分) (2010 秋?海淀区期末)下列命题正确的是( A. 经过三点,有且仅有一个平面 B. 经过一条直线和一个点,有且仅有一个平面 C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D. 四边形确定一个平面 )

考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 阅读型. 分析: 根据不共线的三点确定一个平面和定理的推论可以判断 A,B,D 在叙述时都说的不 全面.缺少条件.只有 C 选项可以证明成立. 解答: 解:对于 A,须为不共线的三点才能确定平面. 对于 B,点须不在直线上才能确定平面 对于 D,四边形为空间四边形时,就不能确定平面, 两两相交且交点不重合的三条直线共面, 故选 C. 点评: 本题考查平面的性质及其推论,本题解题的关键是理解并且会应用三点共面的判定 定理和三个推论,本题是一个基础题. 3. (4 分) (2013 秋?陆河县校级期末)“x>2”是“x>3”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.

解答: 解:当 x= 时,满足 x>2,但 x>3 不成立,即充分性不成立, 若 x>3,则 x>2,即必要性成立, 则“x>2”是“x>3”的必要不充分条件, 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 4. (4 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)空间两条异面直线是指它们( ) A. 没有公共点 B. 不在同一平面内 C. 分别在两个不同的平面内 D. 不同在任何一 个平面内 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用异面直线的概念求解. 解答: 解:没有公共点的两条直线有可能平行,不一定是异面直线,故 A 错误; 不在同一平面的两条直线有可能相交或平行,不一定是异面直线,故 B 错误; 分别在两个不同的平面内的两条直线有可能相交或平行,不一定是异面直线,故 C 错误; 不同在任何一个平面内的两条直线既不相交,又不平行,是异面直线,故 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查异面直线的判断,是基础题,解题时要熟练掌握异面直线的概念. 5. (4 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)已知 a+b>0,b<0,则( A. a>b>﹣b>﹣a B.a>﹣b>﹣a>b D.a>﹣b>b>﹣a 考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意易得 a>0 且 a>|b|,结合选项易得答案. 解答: 解:∵a+b>0,b<0, ∴a>0 且 a>|b|,即 a>﹣b, ∴a>﹣b>b>﹣a 故选:D 点评: 本题考查不等式的基本性质,属基础题. 6. (4 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)下列命题中,正确的是( A. 两个平面同垂直于一个平面,则此二平面平行 B. 同垂直于两个平行平面的两个平面平行 C. 同垂直于两条平行直线的两个平面平行 D. 同垂直于一条直线的两个平面不一定平行 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. ) ) C. a>b>﹣a>﹣b

解答: 解:两个平面同垂直于一个平面,则此二平面平行或相交,故 A 错误; 同垂直于两个平行平面的两个平面平行或相交,故 B 错误; 则平面与平面平行的判定定理得:同垂直于两条平行直线的两个平面平行,故 C 正确; 同垂直于一条直线的两个平面一定平行,故 D 错误. 故选:C. 点评: 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养. 7. (4 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)不等式 x ﹣ax﹣b<0 的解集是(2,3) ,则 bx ﹣ax﹣1 >0 的解集是( ) A. (2,3) 考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 计算题. 2 2 分析: 根据不等式 x ﹣ax﹣b<0 的解集是(2,3) ,可得 a=5,b=﹣6,从而 bx ﹣ax﹣1>0 2 为﹣6x ﹣5x﹣1>0,故可求其解集. 2 解答: 解:∵不等式 x ﹣ax﹣b<0 的解集是(2,3) , 2 ∴x ﹣ax﹣b=0 的解为 2,3 ∴2+3=a,2×3=﹣b ∴a=5,b=﹣6 2 2 ∴bx ﹣ax﹣1>0 为﹣6x ﹣5x﹣1>0 2 即 6x +5x+1<0 ∴(2x+1) (3x+1)<0 ∴ ∴不等式 bx ﹣ax﹣1>0 的解集是 故选 A. 点评: 本题重点考查解不等式,解题的关键是理解一元二次不等式与对应方程解之间的关 系. 8. (4 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)平行四边形 ABCD 中,∠ABD=55°,∠BAD=85°,将 △ ABD 绕 BD 旋转至与面 BCD 重合, 在旋转过程中(不包括起始位置和终止位置) ,有可能正确的是( )
2 2 2

B.(﹣3,﹣2)

C.

D.

A. AC⊥BD

AB∥CD

B.AB⊥CD

C. AD⊥BC D.

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: 根据空间直线的位置关系进行判断即可. 解答: 解:A.AB∥CD,不可能,若 AB∥CD,则 AB 与 CD 共面,在旋转过程中不可能 共面. B.∵∠ABD=55°,∠BAD=85°, ∴∠C=85°,∠CBE=180°﹣55°﹣55°=15°, ∴B 选项有可能. C.∵∠ADB=45°,∠ADC=95°, ∴∠ADE=90°,∠CDF=95°﹣90°=5°, ∴∠CFD=90°,但此时是终止位置,∴C 不正确. D.如图,在旋转过程中,点 A 在平面 BCD 上的投影的轨迹即为线段 AE, ∵∠ABD=55°>∠ABD=45°, ∴∠CGB>90°, ∴在旋转过程中 AC 与 BD 的夹角(钝角部分)会越来越大, ∴D 选项不可能. 故选:B.

点评: 本题主要考查空间直线平行或垂直的判断,利用旋转过程中直线轨迹的变化是解决 本题的关键.综合性较强,难度较大. 9. (4 分) (2014?浙江) 某几何体的三视图 (单位: cm) 如图所示, 则此几何体的表面积是 ( )

A. 2 138cm

90cm

2

B.129cm

2

C. 132cm

2

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面 的形状及相关几何量的数据, 判断四棱柱的高与底面矩形的边长, 把数据代入表面积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体, 其中直三棱柱的侧棱长为 3,底面是直角边长分别为 3、4 的直角三角形, 四棱柱的高为 6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为 3 和 4, ∴几何体的表面积 S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2× ×3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138 (cm ) . 故选:D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对 应的几何量是解题的关键. 10. (4 分) (2010?四川)设 a>b>c>0,则 是( ) A. 的最小值
2

2

B.

4

C.

D. 5

考点: 基本不等式. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先把 整理成 ,进而利用均值不等式求得原式的最小值. 解答: 解: = =

≥0+2+2=4 当且仅当 a﹣5c=0,ab=1,a(a﹣b)=1 时等号成立 如取 a= ,b= ,c= 满足条件.

故选 B 点评: 本题主要考查了基本不等式的应用.主要口考查了运用基本不等式求最值的问题. 二.填空题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. 11. (3 分) (2011 秋?嘉兴期中)若圆柱的底面半径为 1cm,母线长为 2cm,则圆柱的体积为 3 2π cm . 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 2 分析: 根据已知中圆柱的底面半径为 1cm,母线长为 2cm,代入圆柱的体积公式 V=πr l, 可得答案. 解答: 解:∵圆柱的底面半径 r=1cm,母线长 l=2cm, ∴圆柱的体积 V=πr l=2πcm . 故答案为:2π 点评: 本题考查的知识点是圆柱的体积公式,直接代入计算即可,难度不大,属于基础题.
2 3

12. (3 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)设 f(x)=x+ 则 a+b 的值为 6 . 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵x>0,∴f(x)=x+

,在 x=a 时取得最小值 b,

=4,在 x=2 时取得最小值 4,

∴a+b=6. 故答案为:6. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 13. (3 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)已知△ ABC 的平面直观图△ A′B′C′是边长为 a 的正三 角形,那么原三角形的面积为 .

考点: 平面图形的直观图. 专题: 计算题. 分析: 由原图和直观图面积之间的关系 此关系求原图的面积即可得到答案 ,先求出直观图三角形的面积,再由

解答: 解:直观图△ A′B′C′是边长为 a 的正三角形,故面积为



而原图和直观图面积之间的关系



那么原△ ABC 的面积为: 故答案为 点评: 本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本运算的考查,解题的 关键是理解记忆原图和直观图面积之间的关系 ,能根据斜二测画法的规则推出

这一关系,明确知道其来龙去脉的结论记忆起来才有把握,记得牢.

14. (3 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)若命题 p:不等式 ax+b>0 的解集为{x|x>﹣ },命 题 q:关于 x 的不等式(x﹣a) (x﹣b)<0 的解集为{x|a<x<b},则“p 且 q”“p 或 q”及“非 p” 形式的复合命题中的真命题是 非 p . 考点: 复合命题. 分析: 命题 p 中不确定 a 的正负性,所以命题 p 是假命题;命题 q 中不知 a、b 的大小关系, 所以命题 q 是假命题. 然后按照复合命题的真假表判断即可. 解答: 解:因为命题 p 是假命题,命题 q 是假命题. 所以命题“p 且 q”是假命题,命题“p 或 q”是假命题,命题“非 p”是真命题. 故只有“非 p”是真命题. 点评: 本题主要考查复合命题的真假情况;同时也考查了一元一次不等式及一元二次不等 式的解法. 15. (3 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)若球的内接正方体的对角面面积为 面积为 12π . 考点: 球的体积和表面积. 专题: 球. 分析: 根据球与内接正方体的关系即可得到结论. 解答: 解:∵球与内接正方体体对角线等于直径, 设球半径为 R,正方体的边长为 a, 则满足 2R= , 则正方体的对角面面积为 即 a =4,解得 a=2, 则 R= ,
2

,则该球的表



在球的表面积为 4πR =12π, 故答案为:12π 点评: 本题主要考查球的表面积的计算,根据球球与内接正方体的关系,求出球半径是解 决本题的关键. 16. (3 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)若关于 x 的不等式 mx +2mx﹣4<2x +4x 时对任意实 数 l 均成立,则实数 m 的取值范围是 (﹣2,2] . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 分类讨论;不等式的解法及应用. 分析: 根据题意,讨论 m 的取值范围,求出使不等式恒成立的 m 的取值范围即可. 解答: 解:∵不等式 mx +2mx﹣4<2x +4x 时对任意实数均成立, 2 ∴(m﹣2)x +2(m﹣2)x﹣4<0, 当 m﹣2=0,即 m=2 时,不等式为﹣4<0,显然成立; 当 m﹣2≠0,即 m≠2 时,应满足 ,
2 2 2 2

2

解得﹣2<m<2; 综上,﹣2<m≤2, 即实数 m 的取值范围是(﹣2,2]. 故答案为: (﹣2,2]. 点评: 本题考查了不等式的恒成立问题,解题时应对字母系数进行讨论,是基础题目. 17. (3 分) (2012?桐乡市模拟)如图,边长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别 是 B1C,D1C1 的中点,则△ AEF 在面 BB1D1D 上的射影的面积为 .

考点: 平行投影及平行投影作图法. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据正方体的几何特征, 可得 AC⊥面 BB1D1D, 结合正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的边 长为 1,E,F 分别是 B1C,D1C1 的中点,可得到△ AEF 在面 BB1D1D 上的射影,进而利用割 补法得到其面积. 解答: 解:根据正方体的几何特征,可得 AC⊥面 BB1D1D, 又由正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的边长为 1,E,F 分别是 B1C,D1C1 的中点, 令 A,E,F 三点在面 BB1D1D 上的射影分别为 P,Q,R,如下图所示:

其中 P 是 BD 的中点,Q 是中位线 GH 的四等分点,R 为 B1D1 的四等分点, ∴D1R=HQ= ,B1R= ,BP=DP= , ﹣ ( + )×1﹣ ( + )× ﹣

故△ AEF 在面 BB1D1D 上的射影的面积 S=1× ( + )×1=

点评: 本题考查的知识点是平行投影及平行投影作图,其中分析出投影的形状是解答的关 键. 18. (3 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)如图,长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 CD 的 中点,F 为线段 EC (端点除外)上一动点,现将三角形 AFD 沿 AF 折起,使平面 AFD⊥平 面 ABC,在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足,设 AK=t,则 t 的取值范围是 .

考点: 平面与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 此题的破解可采用二个极端位置法,即对于 F 位于 DC 的中点时与随着 F 点到 C 点 时,分别求出此两个位置的 t 值即可得到所求的答案

解答: 解:如图,过 D 作 DG⊥AF,垂足为 G,连接 GK, ∵平面 AFD⊥平面 ABC,又 DK⊥AB, ∴AB⊥平面 DKG, ∴AB⊥GK.

容易得到,当 F 接近 E 点时,K 接近 AB 的中点, ∵长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 CD 的中点, ∴计算可得:AG= ∴t=AK= 当 F 接近 C 点时, 可得三角形 ADG 和三角形 ADC 相似. ∴ ∴ = = ,可解得 AG= ,DG= ,DK= ,KG= ,

可得三角形 AKG 和三角形 ABC 相似. ∴ ,



= ,解得 t=

所以 t 的取值范围是( , ) . 点评: 本题主要考查空间图形的想象能力及根据相关的定理对图形中的位置关系进行精准 判断的能力,考查了转化思想,属于中档题. 三.解答题:本大题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. (8 分) (2012 秋?嘉兴期中)已知圆台的上、下底面半径分别是 2、6,且侧面面积等于两 底面面积之和. (1)求该圆台母线的长; (2)求该圆台的体积. 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)求出圆台的上底面面积,下底面面积,写出侧面积表达式,利用侧面面积等于 两底面面积之和,求出圆台的母线长; (2)利用勾股定理求得圆台的高 h,根据圆台的体积公式求出它的体积即可. 2 2 解答: 解: (1)设圆台的母线为 l,则由题意得 π(2+6)l=π?2 +π?6 , ∴8πl=40π,l=5. ∴该圆台的母线长为 5; (2)设圆台的高为 h,由勾股定理可得 ∴圆台的体积 V= π×(2 +6 +2×6)×3=52π. 点评: 本题考查了圆台的侧面积和表面积公式、体积公式,考查计算能力,运算要细心.
2 2



20. (8 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)已知 P:方程 x +mx+1=0 有两个不等的实数根,Q: 2 方程 4x +4(m﹣2)x+1=0 无实根.若 P∨Q 为真,P∧Q 为假,求实数 m 的取值范围. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,可分别求得 P 真与 Q 真时 m 的范围,再根据复合命题间的关系分 P 真 Q 假与 P 假 Q 真两类讨论即可求得实数 m 的取值范围. 解答: 解:P 真:△ =m ﹣4>0?m>2 或 m<﹣2; 2 Q 真:△ =16(m﹣2) ﹣16<0?﹣1<m﹣2<1?1<m<3; 若 P∨Q 为真,P∧Q 为假,则有 P 真 Q 假或 Q 真 P 假. 当 P 真 Q 假时, ?m<﹣2 或 m≥3;
2

2

当 P 假 Q 真时,

?1<m≤2;

∴满足题意的实数 m 的取值范围为:m<﹣2 或 1<m≤2 或 m≥3. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查分析清晰与规范解答的能力,属于基础题. 21. (10 分) (2015?横峰县校级一模)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB, AB=4,AD=CD=2,M 为线段 AB 的中点.将△ ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC, 得到几何体 D﹣ABC,如图 2 所示. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACD; (Ⅱ)求二面角 A﹣CD﹣M 的余弦值.

考点: 直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;证明题;综合题. 分析: (Ⅰ)要证 BC⊥平面 ACD,只需证明 BC 垂直平面 ACD 内的两条相交直线 AC、 OD 即可; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量的数量积,求二面角 A﹣CD ﹣M 的余弦值. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)在图 1 中,可得 ,从而 AC +BC =AB ,故 AC⊥BC 取 AC 中点 O 连接 DO,则 DO⊥AC,又面 ADC⊥面 ABC, 面 ADC∩面 ABC=AC,DO?面 ACD,从而 OD⊥平面 ABC, (4 分) ∴OD⊥BC 又 AC⊥BC,AC∩OD=O,

∴BC⊥平面 ACD(6 分) 另解:在图 1 中,可得 , 2 2 2 从而 AC +BC =AB ,故 AC⊥BC ∵面 ADC⊥面 ABC,面 ADE∩面 ABC=AC,BC?面 ABC,从而 BC⊥平面 ACD (Ⅱ)建立空间直角坐标系 O﹣xyz 如图所示, 则 , , , (8 分) 设 为面 CDM 的法向量,





,解得

令 x=﹣1,可得 又 为面 ACD 的一个法向量



∴二面角 A﹣CD﹣M 的余弦值为

. (12 分)

点评: 本题考查直线与平面的存在的判定,二面角的求法,考查逻辑思维能力和空间想象 能力,是中档题. 22. (10 分) (2014 秋?桐乡市校级期中)在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD, PD⊥CD,E 为 PC 上一点,且 PE= EC,F 为 AB 上一点,且 AF=2FB,底面 ABCD 是直角 梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2. (Ⅰ)求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)若 Q 为侧棱 PC 中点,求二面角 Q﹣BD﹣C 的正切值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ) 在 PD 上取一点 G, 使 , 四边形 AFEG 为平行四边形由此能证明 EF∥

平面 PAD. (Ⅱ)取 CD 中点 H,连 BH,QH.取 BD 中点 O,连 HO,QO.∠QOH 为二面角 Q﹣BD﹣ C 的平面角,由此能求出二面角 Q﹣BD﹣C 的正切值. 解答: (本小题 10 分) (Ⅰ)证明:在 PD 上取一点 G,使 ∵PE= EC,∴EG∥CD, ∴ ,AF= , ,

∴AF∥CD,AF∥EF,AF=EF, ∴四边形 AFEG 为平行四边形,∴AG∥EF, ∵EF?平面 PAD,AG?平面 PAD,∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)解:取 CD 中点 H, 连 BH,QH.取 BD 中点 O,连 HO,QO. ∵AB=AD=PD=1,CD=2, ∴DH=BH,DQ=BQ, ∴OQ⊥BD,HO⊥BD, ∴∠QOH 为二面角 Q﹣BD﹣C 的平面角. 在 Rt△ QOH 中,QH= ,HO= ∴ 故二面角 Q﹣BD﹣C 的正切值为 . ,

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的正切值的求法,是中档题,解题时 要认真审题,注意空间思维能力的培养.


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