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2003年全国高中数学联赛


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2 0 0 3年 第 6期   l 9  

● 竞赛之窗● 

2 0 0 3年 全 国 高 中 数 学 联 赛 




选择 题 ( 每小题 6分 , 共 3 6分 )  

3. 过抛 物线 Y  

:8 (   +2 ) 的 焦 点 F 作 坝 斜 角 为 

1 . 删去 正整 数数 列 1 , 2 , 3 , …中 的所有 完全 平 方  数, 得到一个 新数列 . 这个新 数列 的第 2   0 0 3项 是 
(   ) .  

6 0  ̄ f  ̄直线 . 若此 直线 与 抛物 线 交于 A、   两点 , 弦A B   的中 垂 线 - q   轴 交 于 点 P, 则线 段 P F 的 长 等 于 
(   ) .  

f A) 2   0 4 6 ( B ) 2   0 4 7 ( 02   0 4 8 ( D) 2   0 4 9   2 . 设 口 、 b ∈ R, a b≠0. 那么 , 直线 a x—Y+ b=0  

( A ) 誓 ( B ) 詈 ( c , 学
t an

( D ) 8  

和曲线 

+a y   =a b的图像 是 (  

) .  

>  I   ) ,  


、  / , :  
一  

4 . 若   ∈ 【 一  , 一 号 】 。 则 y = t a n (   + 萼 ) 一   (   + 詈 ) + c 0 s (   + 詈 ) 的 最 大 值 是 (  ) .  
( A ) 萼  ( B )   ( c ) 等  ( D ) 萼  
5 . 已知 x , y都在区间f 一2 , 2 ) 内, 且  :一i .  

‘ 



 

( A)  
J  -  

( B )  
‘  

则 函数 u=  4   i  
一  

的最 小值 是 (  


. 

、  




 

0 

( A ) 詈  ( B ) 鲁  ( c ) 号  ( D )  
6 . 在 四面 体 A B C D 中, 设 A B=1 , C D=   , 直 线 

|  
( C)  
图 1  

( D)  

A B 与C D 的 距 离 为2 , 夹 角 为 号. 则四 面 体A B C D的  
体积 筹干 f   )  

一 ( 2   )   . 【 L  3  J 】   = - 3 J   (   3 r) J   . ‘  
=  

2   n 6? 2√ 6 c? 2 ̄ /c 口   ,  
≥ — — —   — 一   ‘  

由E u l e r 不 等 式 R> . 2 r知式 ③ 强 于式 ① .   命题 2 设 △ A B C的角平 分线 长 , 旁 切  圆半 径 分别 为 t   、 t 6 、 t   , r d 、  、  . 则 
⑤ 

其 中“ Ⅱ” 表示循环积 .  
由 t 。 ≥h 。 , t 6 ≥h 6 , t   ≥h   , 知 

涨 ≥  
故式⑤ 强于式② .  

当且 仅 当△ A B C是 正 三 角 形 时 等 号 成 立 .  
证明 : 没 三 角 形 三 边 长 和 面 积 分 别 为 口、   b 、 C和 5, 则 

注: 命题 l 由邹守文先生给 出 , 命题 2由   闵飞先生给 出 .  
参考 文献 :  
[ 1   0. f } 0 u —a 等著. 儿 何 不等 式 [ M] . 单
京大学 出版社 , 1 9 9 1 .  

蹲译 . 北京 : 北 

[ 2 ] 孙

泰. H. G I l 器e l l l  

不 等式 的加强 [ J ] . 中等 数学 ,  

2 0 o 3 ( 1 ) .  

[ 3 ] 邹守文 . 一个 优美 的等 式及其 对若 干几何 不 等式 的改 

( 口+b ) ( b+C ) ( C +n)  
— — — —   — 一  

进『 J 1 . 中学教 学研 究 , 2 O O l ( 5 ) .  

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中 等 数 学 

( A )   ( B )   ( c ) 号  ( D )  
二、 填 空题 ( 每小 题 9分 , 共5 4分 )   7 . 不等 式 I  I  一2   一4I   +3<0的 解 集 是 

二、 ( 5 0分 ) 设 三角形 的三边 长分 别是 整数 Z 、  

m  ̄ r t ) 且 z > m > n . 已 知 { 丢 ) = {  ) = {  ) , 其  
中{  } _   一[  ] , 而[  ] 表示 不 超 过  的最 大整 数 .  

求 这种 三 角形周 长 的最 小值 .   8 . 设 F, 、   是 椭 圆  +   4 =l的 两 个 焦 点 , P   是 椭 圆上 的点 , 且I P F 。 I : I   的面 积等 于  .   已知此 图中任 意 四点 不 共 面 , 每点 至 少 有一 条连 线 
段, 存在 一 点至 少有 口+2条 连线 段 . 证明 : 图 中必存  在 一 个空 间 四边形 ( 即 由 四点 A、 B、 C 、 D 和 四条 连  线段船 、   、 c D、   组 成 的 图形 ) .   三、 ( 5 o分 ) 由 n个 点 和 这 些 点 之 间 的 z 条 连 线  段组 成 一个 空 问 图形 , 其 中 
=g   +g +1 , Z ≥—   1   g ( g+1 )  +1 g≥ 2 , qE N .  


l _2 : 1 . 则△ P F 。  

9 . 已知 A={  I   一4 x+3<0 ,  ∈R} , B: { 冀I   2   +口≤0 ,   一2 ( a+7 )   +5≤0 ,   ∈R} . 若 A  

曰, 则 实数 a的取 值范 围是 

.  

1 0 . 已知 口 、 b 、 c 、 d均为正整数 , 且l o s  ̄ b=妄 ,  

参 考 答 案 


l o g  ̄ d = {. 若口 一 c = 9 , 则b — d = —— .  
1 1 . 将八 个 半径 都 为 1的球 分 两 层 放 置 在 一 个  圆柱 内 , 并使 得 每个 球 和其相 邻 的 四个 球 相 切 , 且 与  圆柱 的一 个底 面及 侧 面都 相 切 , 则 此 圆柱 的高 等 于  l 2 . 设 眠 ={ ( 十进制 ) n位 纯小 数 0 .a 。 n 2 …a   I a   只 取 0或 1 (  =1 , 2 , …, n一1 ) , a n=1 } ,   是  中元素 的个 数 ,   是 
,.  
,  



1 . ( C ) .  

注意 到 

=2   0 2 5 .   =2   1 1 6 , 有 


2   02 6 : a2 嘶

4 5= al   9 8 l , 2   1 1 5= a 2 l l 5 — 4 5= n 2 o 砷.  

而且 在从 第 1   9 8 1 项 到第 2   0 7 0项 之 间 的 9 o项 中没  有完 全 平方 数 . 又 1   9 8 1 +2 2=2   0 0 3 , 则 
a 2 仰 = al   9 8 l+2 2=2   O 2 6+2 2=2   0 4 8.  

2 . ( B ) .   3 . ( A) .  

中所 有元 素 的和 . 则 

易知抛 物 线 焦 点 F 与 坐 标 原 点 重 合 , 故 直 线  船 的方 程为 Y=   . 因此 , A、 B两 点 的横 坐标 满 足  方程 3   一8  一1 6=0 . 由 此 求 得 弦 船 中 点 的 横 坐 

三、 解答 题 ( 每小 题 2 0分 , 共6 0分 )  

1 3 . 设妄 ≤  ≤5 . 证明:  
二 

标   。 = 号, 纵 坐 标Y o =   4 , 进 而 求 得 其 中 垂 线 方 程  
<2  
. 

2  

+ 

。  

+  

'  

为 , , 一 万 4 = 一  (   一 号 ) . 令y = 0 , 得 点P 的 横 坐  

1 4 . 设A 、 B 、 C分 别是复数 : 0 =口i , : l =÷ +  
b   i , Z 2 =1 +C   i 对应 的不 共线 的三点 ( a 、 b 、 C都 是 实 
数) . 证明: 曲线 :=Z 0 c   t +2 : l c   t ? s i  t +Z 2 s  t  

标   = 4 + 号 = 了 1 6 , 即 P F = 萼 .  
4. ( C) .  
, ,=t an

( t ER ) 与△ A B C中平 行 于 A C的中位线 只有 一 个公 
共点 , 并求 出此 点 .  
1 5 . 一 张 纸上 画 有半 径 为 R 的 ④ 0和 圆 内一 定 

(   + 竽 ) + c o t (   + 竽 ) + c o s (   + 詈 )   詈 ) .  


点 A, 且 O A:a . 折叠 纸 片 , 使 圆周 上 某 一 点 A   刚 好  与点 A重 合 , 这 样 的每 一种 折法 , 都 留下 一 条 直线 折.   痕. 当A   取 遍 圆周 上 所 有 点 时 , 求 所有 折 痕 所 在 直  线 上 点 的集合 .  

因 为 一 老 ≤   ≤ 一 号, 所 以 ,   2   + 警 ∈ [ 号 , 萼 】 ,   + 詈 ∈ [ 一   4 , 一 詈 ) .  

加 试 题 




( 5 o分 ) 过 圆外 一 点 P作 圆的 两条 切 线 和一 

可 见 = 冈2 与 o 0 s (   + 詈 ) 在 [ 一 老 , 一 号 】 上  
同 为 递 增 函 数 . 故 当   : 一 号 时 , , , 取 最 大 值   .  

条割 线 , 切 点 为 A、 B. 所作 割线 交 圆于 C、 D两 点 , C   在 P、 D之间. 在弦 C D上 取 一 点 Q, 使  D A Q=  

P B C . 求证 :  D 8 Q:/ P A C .  

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2 0 0 3年第 6期  由 已知得 , , =一  1 故 


易 得n = (  ) 2 , c = (  ) ‘ . 因 此 , n ? 6 , c ? d . 又  

u =   +  



硐 _ 7   3 5  

由 于 。 ~   : 9 , 易 得 (  + 等 ) (  一 - j   ) = 9 . 故  

而   ∈ ( 一 2 , 一   1 ) u (   1 , 2 ) , 当 9   2 =  , 即  

号 时 , 9 x 2 +  的 值 最 小 , 此 时 u 有 最 小 值 了 1 2 .  
6 . ( B ) .   如图 2 , 过 C  

鳇 羞  
如图 3 , 由 已知 ,  

作 c E  

仙 ,以 

△ C D E为 底面 , B C  

为 侧 棱 作 棱 柱 
A B F— E C D, 则 所  求 四 面 体 的 体 积 

上 下 层 四个 球 的球 心 
A   、 曰   、 c , 、 D, 和 A、 曰、   A  

C、 D分 别 是 上 下 两 个  边 长 为 2的 正 方 形 的 
C  

等 于 上 述 棱 柱 
1  

顶点 , 且 以它 们 的外 接 
图 2  



. 

体积  的{ . 而 


圆00   和 o 0为 上 下  …  底面构成 圆柱. 同时 ,   A   在 下 底 面 的射 影 必 
图3  

. s △ 伽 =  1  C E?C Ds i n   L EC D A B与 C D 的 公 垂 线 

MN 就是 棱柱 A B F—E C D 的高 , 故 


丢 删? C E ? C D s i n   坳= 导 .  

是忸 的 中点 肼 .   在△ A   A B中, A ' A=A   B=A B=2 . 设 A B的 中点 
为 N, 则 A ' N=   . 又 O M =O A=   , O N =I , 所以 ,  

因 此 ,  = 号  = 丢 .  

M N:   一I , A ,   : ̄ / r  

=   .  

二  (  一   ) u (   , 3 ) .  
0 , 由此 可得 所 求不 等式 的解 集 .  
8.4 .  

。  

因此 , 所 求原 来 圆柱 的高 为  8+2 .  
1 2.   .  

由原 不等 式 分解 可得 ( I   一3 ) (   +I   一1 )<  

因为 

中小 数 的 小 数 点 后 均 有 n位 , 而 除 最 
=2  。 . 又因在这 2  。  

后 一位 上 的数 字 必 为 I 外, 其 余 各 位 上 的 数字 均 有 
两 种选 择 ( O或 I ) 方法 , 故 

设 椭 圆 的长 轴 、 短 轴 的 长及 焦距 分 别 为 2 n 、 2 6 、   2 c . 由其 方 程 知 n=3 , 6=2 , c=√ 5 , 则 I   P n  I +  
I   I =2 a=6 . 又 I   P F l   I :   I P   I =2: l , 故 I   l   I =  

个数中, 小数 点后 第 n 位 上 的数 字 全 是 I , 而 其 余各 
位 上数 字 是 0或 I , 各有 一 半 , 所以,  

4,I   PF2   I: 2.  

s =  ×   一 。 (   I + 面 I + … + 面 I   ) +  × 面 I  
中, 三边之 长分别 为 2 、 4 、 2 √ 5 , 而 


在△ P  

+4 2 =( 2   )  , 可 见△ P  

是直 角 三 角形 , 且 两 

2  ×   1 ( 1 -   )  ~ × 而 1 .  

直 角 边 长 为2 和4 , 故  P , l  = 专   眠『 . f   『 ’ 4 ?  
9. 一4≤ n≤ 一 1 .  

故   :  【  (   一   I ) +   I 】 = 去 .  
三、 1 3 . 因口 +6 +c +d ≤2  ̄ /   +b   +c   +   ( 当且仅当 D =b =C =d时取等号) , 取 D =b =  
 ̄ / r   。  :   , d:   =  , 则 

易 得 A=( 1 , 3 ) . 设  ) =2 。 一  +n, g (  ) =   一2 ( n+7 ) x+5 .  

要使 A   曰, 只需 

) 、 g(  ) 在( 1 , 3 ) 上 的 图像 均在 

2厢

+  

+  

轴 下方 . 其充要 条件 是 : 同 时有  1 ) ≤O , f ( 3 ) ≤O ,   g ( 1 ) ≤O , g ( 3 ) ≤O . 由此推 出 一4 ≤D ≤ 一1 .  

≤2   (   +1 ) +( 聋+1 ) +( 2 x一3 ) +( 1 5 —3  
=2   ≤ 2   .  

1 0 _ . 9 3 .  

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中 等 数 学 

因为 

, 、  

,   话=  不 能 同 时 相 

得   m ( 0 +   ) : 竺  2 R 、 /  

等, 所以, 2 ̄ / _  

+  

+ ̄ / .  =  < 2  

.  

+ v 

, 其 中  

1 4 . 设 z :   +Y   i (  、 yER) , 则 

+ y   i = 。  t . i + 2 (   1 + 6   i )  
( 1 +c   i ) s i  ̄t .  

n 2 f +  

s i n  南
平 方后 可 化为 
+ 

,c o s  南

。  

故 l   ;   I i  。  

实 虚部 分 离 , 可得 
=o 0  t ? s i  t +s i  t =B i n 2 t 。  

Y=口 ( 1 一  )  +2 6 ( 1 一  )  +  

( 0 ≤  ≤ 1 ) ,  

即  y=( 口+c 一2 b )   +2 ( 6一口 )  +口.   因 为 A、 曰、 c  
I  

① 

因 此 , 所 求 点 的 集 合 为  
外( 含边界 ) 部分.  
, l 口  


+  2 _= l  
P 

三点不共 线 , 故 o  
+c一2 b ≠0 . 可 见 

曰 


试 

如图 6 , 连 结 

.  

所 给 曲 线 是 抛 物  线段 ( 如图 4 ) ,   和 髓 的 中 点 分 别 

易 证△  
BC
一 一  

∽  A B C, 有 

AB 一 ^ D 

是 D (   1 ,   )  

即 
图 4  

? A D=  

?  

.  

由切割 线关 系 知 
△ P C A∽ △ P A D.  

和 E (   3 , 字) .  
所 以 , 直 线 DE 盯 万 崔 为  

故雨 P C=   A C


. 

y = ( c 一 。 )   + 丢 ( 3 。 + 2 b — c ) .  
由① 、 ② 联立 得 

②  

同理 , 有丽 P C=面 B C
.  

图 6  

( 。 + c 一 2 6 ) (   —   1 ) 2 = o .  

又 因 

=P B, 故  A C=  
。  



得 
.  

AC ‘BD = BC ‘ AD =  

由 于。 + c 一 2 6 ≠ 0 , 故 (   一 专 )   = 0 . 于 是   =  



又 由 托 勒 密 定 理 知 
AC ?BD + 曰C ? AD =   ?CD .  

注 意 到 丢<   1 < 寻 , 所 以 , 抛 物 线 与 △ A B C 中  
) , 其 对 应 的 复 数 为  
。 l?  

于是, 得  ? C D=2 A B?   .   故  =  1   C D, 即 c O=   .  

平行 于 A C的 中位线 D E有 且 只 有 一个 公 共 点 , 此 点 

的 坐 标 为 (   1 ,  
l  
z 。  — —  

在△ (   与△ A B D中 ,  
AD


口 + c+ 2 b .  

器=  ,   曰 c Q =  ̄ t l 4 1 ) ,  
∽△ A B D. 故  凹 Q=   A B D.  

l 5 . 如图 5 , 建 立 直 
l  

于是 , △ 

角坐标 系 , 则 有 A( o ,  

所 以,   D 印 =   A B C=   P A C.  

0 ) . 设 折 叠 时 0 0 上 点 
A   ( Ro 0 s口, R s i n 口) 与 

二、 由题 设可 知 
- 3  


点 A重合 , 而 折 痕 为 直 
线 删 , 则 删 为 线 段  的 中垂 线 . 设 P(  ,  

【  ] =  一 【  ] =  一 【  】 .  
① 

于是 , 3   -3 =  - =3   ( 1 n 0 d   l 0 4 )  

f 3   l3  - =3   ( 1 n 0 d   2 . ) ,  
图 5  

y ) 为 删 上 任意一点 ,  
则I   P A   I :I   P AI , 即 

甘1 L  ; 3  3   m  3 n ( m 0 d   5 4 ) .  
由于 ( 3 , 2 ) =( 3 , 5 ) =1 , 则 由① 可知 
3   i3 … E1 ( m0 d   2 . ) .  

② (    

(  —Ro 0 s   a )  +( y—R s i n口 )  =(   一口 )  +  
=   .  

设 u是满 足 3 。  l ( t n 0 d   2 . ) 的最小 正 整 数 , 则 对  任意 满足 3 。 ;l ( t n 0 d   2 . ) 的正整 数 , 有 “ I 口 , 即 “整 

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2 0 0 3 年 第 6期 

除 . 事实 上 , 若  , 则 由带 余 除法 可 知 , 存在 非 负  整 数 0及 6 , 使得  =伽 +6 , 其 中 0<6 ≤ “一1 . 从 
而, 可推 出 3   -3 _ ¨   ;3   l ( m o a   2 4 ) , 而这 显 然与 u  
的定义 矛盾 , 所以 , u I  .   注 意到 3 -3 _ ( oo r d   ) , 3 2 -9 _ ( m o o   ) , 3   ;2 7 z  1 1 ( mo d   2 4 ) , 3   ;1 ( o r o d   2 4 ) , 从 而, 可 设 m 一, l :4 k ,  

B   与 E 无 公共 点对 , 即I 匠 n马 I ≤1 ( 0 ≤i <  ≤ , l 一  

其中 J 】 ; : 为正整 数 .   同理 , 可 由②推 出 3 …   1 ( o r o d   5 4 ) .   故 3 4   ;1 ( o r o d   5 4 ) .  

故I , n 瓦 中点对的个数 :  . b 0  

下 面求满 足 3 4   s1 . ( m o d   5 4 ) 的正整 数  .  
因为 3 4  一1 =( 1 +5×2   )  一1 {O ( 1 n 0 d   5   ) , 即 

≥   ( 鼠n 瓦 中点对的个数)  
b ≥∑  一 . ( 当  
:- t

n  ?  

5  × 2 4 +生  

x   5 2   x   2 8 +  



2   o  ̄ 或   , 令  一 l : o  

墨 ! 坌 二!   ! 坌 二  2 × 5 3 × 2 1 :  
0 

: 

3 b   ∑( 6   一




2 )

5 k+Yk [ 3 +( J } 一1 ) ×2   ] +  
5   X   2 “= -0 ( o r o d   5 4 ) ,  

二 _ .  

×  
≥  2 

?  

则有 J } :5 t , 并代 入上 式得  t +5 t [ 3+( 5 t —1 )X   2 7 ] - = - O ( m o d  ) .  
所以 , t —O ( o r o d   5 2 ) .  
: 

]  

( 2 t —b 。 一, l +1 ) ( 2 l 一6 。一2 n+2 )  

从而 , J } :5 t :5 3   s , 其 中 s为 正整数 , 故 m 一, l :  
5 0 0 s , s为正 整数 .  

≥  

( 呻 一q+ 2 —6 o ) ( 呻 一g ~, l +3 —6 0 ) ?  

同理可 证 2 一n:5 0 0 r , r 为正 整 数 .  
由于 Z >m >n , 所以, r >s .   即 g ( g+1 ) ( , l 一6 o ) ( n一 6 o—1 )  

于是 , 三 角形 三 边 为 5 0 0 r+, l 、 5 0 0 s+, l 和, 1 . 故  有 , l >5 0 0 ( r —s ) . 因此 , 当 s :1 , r :2 , , l :5 0 1时 三 

≥( , 叼一g+2—6 0 ) ( ,  —g —n+3一b o ) .  
而( ,   口一g一 , l +3一b o ) 一g ( , l —b o一1 )  


① 

角 形周 长最 小 , 其值 为 
( I ( D O+5 O l  +( 5 0 0+5 0 1 ) +5 0 1 =3   0 0 3 .  

( g一1 ) b o一, l +3   ② 

三、 设 这 n个 点 的 集 合 V: { A 0 , A 。 , A : , …,  

≥( g一 1 ) ( g+2 ) 一, l +3:0 ,   及 ( , l q—g+2—6 o ) 一( g+1 ) ( , l —b o )  

A   } 为全 集 , 记 A i 的所有邻点( 与 A   有 连 线 段 的 
点) 的集 合 为 B i , B 。中点 的 个 数 记 为 I B   l -b   . 显 
n— l  

≥g ( g+2 )一g _ _, l +2 :1 >0 .  

③ 

然, ∑b  2 1 且b 。 ≤ ( , l 一 1 ) , i = 0 , 1 , 2 , …, , l — I  
f =0  

由② 、 ③及( , l —b o ) ( g+1 ) , ( , l —b o一1 ) g皆 是正 整 
( , l q—g+2—6 o ) ( , l q—q—n+3一 b o )   >g ( g+ 1 ) ( n—b o ) ( n一 6 o一1 ) .  

若存在 6   n一1 时, 只须取 

2 : ( n _ 1 ) + 【   】 + 1 ≤ 专 ( g + 1 ) ( n _ 1 ) + 1  
1  
= 

g ( g+1 )  +l ,  

致 2 6 读  2 . 我 部目 前尚 有 部分 《 中 等 数学 》 过 刊: 1 9 9 7 ( 4 , 5 ) , 1 9 9 8 ( I ) , 2 o o 0 ( 5 , 6 ) ,  
.  

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