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【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮素能训练:专题1 第2讲 函数的概念、图象与性质]


专题一
一、选择题

第二讲

1 1.(文)(2013· 朝阳一模)已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lgx,则 f(f( ))的 100 值等于( 1 A. lg2 C.lg2 [答案] D [解析] 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=lg(-x). 又函数为奇函数,f(-x)

=-f(x), ∴f(x)=-lg(-x). 1 1 1 ∴f( )=lg =-2,f(f( ))=f(-2)=-lg2. 100 100 100 1 (理)(2013· 辽宁文,7)已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg2)+f(lg )=( 2 A.-1 C.1 [答案] D [解析] 本题主要考查函数的性质与换底公式. ∵f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1=-ln( 1+9x2+3x)+1, f(-x)=ln( 1+9x2+3x)+1,∴f(x)+f(-x)=2, 1 1 又 lg =-lg2,∴f(lg2)+f(lg )=2,故选 D. 2 2 2.已知 f(x)=2x,则函数 y=f(|x-1|)的图象为( ) B.0 D.2 ) ) 1 B.- lg2 D.-lg2

[答案] D [解析] 法一:f(|x-1|)=2|x 1|.


当 x=0 时,y=2.可排除 A、C. 当 x=-1 时,y=4.可排除 B. 法二:y=2x→y=2|x|→y=2|x 1|,经过图象的对称、平移可得到所求.


3.(2014· 新课标Ⅰ文,5)设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函

数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 [答案] C

)

[解析] 本题考查函数的奇偶性. 由 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,得 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x). ∴f(x)· g(x)是奇函数,|f(x)|g(x)是偶函数, f(x)|g(x)|是奇函数,|f(x)g(x)|是偶函数,选 C. 4.(2013· 山东文,5)函数 f(x)= 1-2x+ A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] [答案] A [解析] 本题考查了定义域的求法.
?1-2x≥0, ?2x≤1, ?x≤0, ? ? ? 由题意知? 即? 即? ? ? ? ?x+3>0, ?x>-3, ?x>-3,

1 的定义域为( x+3 B.(-3,1]

)

D.(-∞,-3)∪(-3,1]

∴3<x≤0,∴f(x)定义域为(-3,0]. 5.(文)(2013· 北京东城区模拟)对于函数 y=f(x),部分 x 与 y 的对应关系如下表: x y 1 7 2 4 3 5
*

4 8

5 1

6 3

7 5

8 2

9 6

数列{xn}满足 x1=2,且对任意 n∈N ,点(xn,xn+1)都在函数 y=f(x)的图象上,则 x1+ x2+x3+x4+…+x2012+x2013 的值为( A.9394 C.9396 [答案] A [解析] ∵点(n,xn+1))在函数 y=f(x)的图象上, ∴xn+1=f(xn),n∈N*,∵x1=2,∴x2=f(x1)=f(2)=4,x3=f(4)=8,x4=f(8)=2,x5=f(2) =4,即数列{xn}为周期数列,周期为 3, ∴x1+x2+…+x2013=671×(2+4+8)=9394. (理)(2013· 和平区质检)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)单调递 1 减,设 a=f(- ),b=f(3),c=f(0),则 a、b、c 的大小关系为( 2 ) ) B.9380 D.9400

A.b<a<c C.b<c<a [答案] A [解析] ∵f(x+1)为偶函数, ∴f(x)的图象关于直线 x=1 对称,

B.c<b<d D.a<b<c

∴f(3)=f(-1),∵x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减, ∴x∈(-∞,1)时,f(x)单调递增, 1 ∴f(-1)<f(- )<f(0),∴b<a<c. 2 a 6.(文)(2013· 霍邱二中模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 在区间(1,2)上都是减函数, x+1 则实数 a 的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) [答案] D a [解析] 由 f(x)在(1,2)上为减函数得 a≤1;由 g(x)= 在(1,2)上为减函数得 a>0,∴ x+1 0<a≤1. 1 (理)(2013· 江西师大附中、鹰潭一中联考)函数 f(x)=( )-x2+2mx-m2-1 的单调增区间 2 与值域相同,则实数 m 的取值为( A.-2 C.-1 [答案] B [解析] ∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1, 1 ∴( )-x2+2mx-m2-1≥2, 2 ∴f(x)的值域为[2,+∞), 1 ∵y=( )x 单调递减,y=-(x-m)2-1 的单调减区间为[m,+∞),∴f(x)的单调增区间 2 为[m,+∞). 由条件知 m=2. 二、填空题 7.(文)(2013· 上海黄浦区模拟)设 a 为常数,函数 f(x)=x2-4x+3,若 f(x+a)在[0,+∞) 上是增函数,则 a 的取值范围是________. [答案] [2,+∞) ) B.2 D.1 ) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]

[解析] ∵f(x)=x2-4x+3 在[2,+∞)上为增函数,f(x+a)在[0,+∞)上为增函数,∴ 应将 f(x)的图象至少向左平移 2 个单位得到 f(x+a)的图象,∴a≥2. (理)已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x+1).若 f(a)=-2,则实数 a =__________. [答案] -1 [解析] 令 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-x(1-x),又 f(x)为奇函数,所以当 x<0 时有 f(x)=x(1-x),当 a≥0 时,f(a)=a(a+1)=-2,无解;当 a<0 时,f(a)=a(1-a)=-2,得 a2-a-2=0,解得 a=-1 或 a=2(舍去),综上知 a=-1.
? ?log4x,x>0 1 8.(2014· 吉林市质检)已知函数 f(x)=? x ,则 f[f( )]=________. 4 ?3 ,x≤0 ?

[答案]

1 3

1 1 1 1 - [解析] f( )=log4 =-1,∴f[f( )]=f(-1)=3 1= . 4 4 4 3 2π 2π 9.(2014· 唐山市一模)函数 y=log3(2cosx+1),x∈(- , )的值域为________. 3 3 [答案] (-∞,1] 2π 2π 1 [解析] ∵x∈(- , ),∴cosx∈(- ,1], 3 3 2 ∴2cosx+1∈(0,3],∴log3(2cosx+1)≤log33=1.
?2x-a, x≤0, ? 10.(2013· 北京海淀区期中)已知函数 f(x)=? 2 有三个不同的零点, ?x -3ax+a, x>0 ?

则实数 a 的取值范围是________. [答案] [解析] 4 <a≤1 9
x ? ?2 -a=0, ? 由条件知 且方程 x2-3ax+a=0 有两不等正根, ?x≤0, ?

3a>0, ? ? ∴0<a≤1,且?a>0, ? ?9a2-4a>0,

4 ∴ <a≤1. 9

一、选择题
? ?8x-8,x≤1, 11.(2013· 吉林省吉大附中二模)已知函数 f(x)=? g(x)=log2x,则 f(x)与 ?0,x>1, ?

g(x)两函数图象的交点个数为( A.4

) B.3

C.2 [答案] C

D.1

[解析] 画出两函数的图象知,当 0<x<1 时,有一个交点,又 f(1)=g(1)=0;当 x>1 时, f(x)>g(x)恒成立,故选 C. 12.(文)(2014· 湖南理,3)已知 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x) -g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( A.-3 C.1 [答案] C [解析] 本题考查函数的奇偶性. 分别令 x=1 和 x=-1 可得 f(1)-g(1)=3 且 f(-1)-g(-1)=1?f(1)+g(1)=1,则
?f?1?-g?1?=3, ?f?1?=2, ? ? ? ?? ?f(1)+g(1)=1,故选 C. ?f?1?+g?1?=1. ? ? ?g?1?=-1. ?log2?-x?,x<0 ? (理)(2013· 江西八校联考)已知 f(x)=? ,则 f(2013)等于( ? ?f?x-5?,x≥0

) B.-1 D.3

)

A.-1 C.0 [答案] D

B.2 D.1

[解析] ∵2013=403×5-2,∴f(2013)=f(-2)=log22=1. 1 π π 13.(文)(2013· 福建质检)函数 f(x)=log cosx(- <x< )的图象大致是( 2 2 2 )

[答案] C [解析] 解法 1: 由奇偶性定义易知函数为偶函数, 故其图象关于 y 轴对称, 排除 A, B;

π 1 又 x∈[0, ]时,cosx∈(0,1],f(x)=log cosx>0,排除 D,故选 C. 2 2 π π 解法 2:利用复合函数单调性的判断方法,由于 u=cosx 在区间(- ,0)、(0, )上分别 2 2 1 1 π 为增函数和减函数,而 y=log u 为减函数,故复合函数 f(x)=log cosx 在区间(- ,0)、(0, 2 2 2 π )上分别为减函数和增函数,故选 C. 2 (理)(2013· 北京东城训练)已知定义在 R 上的函数 f(x)的对称轴为 x=-3,且当 x≥-3 时,f(x)=2x-3.若函数 f(x)在区间(k-1,k)(k∈Z)上有零点,则 k 的值为( A.2 或-7 C.1 或-7 [答案] A [解析] ∵f(1)=-1<0,f(2)=1>0,∴f(x)在(1,2)上有零点,又 f(x)的图象关于直线 x= -3 对称, ∴f(x)在(-8,-7)上有零点,∴k=2 或-7. 14.(2014· 豫东、豫北十所名校联考)已知 f(x+1)为偶函数,且 f(x)在区间(1,+∞)上单 1 调递减,a=f(2)、b=f(log32)、c=f( ),则有 ( 2 A.a<b<c C.c<b<a [答案] D [解析] ∵f(x+1)为偶函数,∴其图象关于 y 轴对称, ∴函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 又∵函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减, ∴函数 f(x)在(-∞,1)上单调递增, 1 1 ∵2> >0>log32,∴f(2)<f( )<f(log32), 2 2 ∴a<c<b. 2 15. (文)(2014· 长春市三调)已知函数 f(x)= x +sinx, 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2) 2 +1 =( ) 5 A. 2 C.4 [答案] D [解析] ∵f(x)+f(-x)= 2x 1 2 2 2 + sin x + - sin x = + =2,且 f(0)=1, - 2x+1 2 x +1 2x+1 1+2x


)

B.2 或-8 D.1 或-8

) B.b<c<a D.a<c<b

2 B. 5 D.5

∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=5.
? ?log2?1-x?+1,-1≤x<k (理)(2014· 东北三省三校第一次联考)已知函数 f(x)=? 5 ,若存 ?x -3x+2,k≤x≤a ?

在 k 使得函数 f(x)的值域是[0,2],则实数 a 的取值范围是( A.[ 3,+∞) C.(0, 3] [答案] B 1 B.[ , 3] 2 D.{2}

)

[解析] 当 a=2 时,f(x)=x5-3x+2,k≤x≤2,f(2)=28 不合题意,∴a≠2,排除 A、 1 1 1 1 2 2 D;当 a= 时,∵k≤x≤a,∴k≤ ,当 k= 时,-1≤x< , <1-x≤2,∴log2 <log2(1- 3 3 3 3 3 3 2 x)≤1,又 log2 <0,∴不合题意,排除 C,故选 B. 3 16.(文)(2014· 沈阳市质检)已知函数 f(x)满足:①定义域为 R;②对任意 x∈R,有 f(x
?ex?x≤0? ? +2)=2f(x);③当 x∈[-1,1]时,f(x)= 1-x .若函数 g(x)=? ,则函数 y=f(x)-g(x) ?lnx?x>0? ?
2

在区间[-5,5]上零点的个数是( A.7 C.9 [答案] D

) B.8 D.10

[解析] 如图,当 x≤0 时,y=f(x)与 y=ex 的图象有 6 个交点;当 x>0 时,y=f(x)与 y =lnx 的图象有 4 个交点.故选 D.

(理)(2014· 河北衡水中学模拟)设 f(x)是定义在 R 上的函数,若 f(0)=2008,且对任意 x ∈R,满足 f(x+2)-f(x)≤3· 2x,f(x+6)-f(x)≥63· 2x,则 f(2008)=( A.22006+2007 C.22008+2007 [答案] C [ 解析 ] 由题意 f(2008)≤f(2006) + 3×22006≤f(2004) + 3×22006 + 3×22004≤…≤f(0) + B.22008+2006 D.22006+2008 )

?22?1004-1 3×(22006+22004+…+22+20)=2008+3× 2 =2007+22008① 2 -1 f(2008)≥f(2002)+63×22002≥f(1996)+63×21996≥…≥f(4)+63×(22002+21996+…+24) 24[?26?344-1] =f(4)+63× =f(4)+22008-24② 26-1 又由条件 f(x+2)-f(x)≤3· 2x,f(x+6)-f(x)≥63· 2x, 可得 f(x+6)-f(x+2)≥60· 2x=15· 2x 即 f(x+4)-f(x)≥15· 2x 再由 f(x+2)-f(x)≤3· 2x 得 f(x+4)-f(x+2)≤3· 2x 两式相加得 f(x+4)-f(x)≤15· 2x, ∴f(x+4)-f(x)=15· 2x ∴f(4)-f(0)=15,∴f(4)=f(0)+15=2023,代入②解得 f(2008)≥2007+22008③ 由①③得 f(2008)=2007+22008. 二、填空题 2a-3 17.(文)设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)= ,则实数 a a+1 的取值范围是________. 2 [答案] (-1, ) 3 [解析] f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),得 f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1),又 f(1)>1,所以 2a-3 2 f(2)<-1,即 <-1,解得-1<a< . 3 a+1 (理)设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合:在定义域内存在 x0,使得 f(x0+1) 1 =f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:①f(x)= ;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cosπx. x 其中属于集合 M 的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号). [答案] ②④ 1 1 + [解析] 对于①,方程 = +1,显然无实数解;对于②,由方程 2x 1=2x+2,解得 x+1 x x=1;对于③,方程 lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg3,也无实数解;对于④,方程 cos[π(x+ 1 1)]=cosπx+cosπ,即 cosπx= ,显然存在 x 使等式成立,故填②④. 2 18.(2013· 眉山市二诊)如图所示,f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,令 g(x) =af(x)+b,并有关于函数 g(x)的四个论断:
+2 +2

g?n?-g?m? ①若 a>0,对于[-1,1]内的任意实数 m、n(m<n), >0 恒成立; n-m ②函数 g(x)是奇函数的充要条件是 b=0; ③?a∈R,g(x)的导函数 g′(x)有两个零点; ④若 a≥1,b<0,则方程 g(x)=0 必有 3 个实数根; 其中所有正确结论的序号是________. [答案] ①②③ g?n?-g?m? a[f?n?-f?m?] [解析] ①∵g(x)=af(x)+b, ∴ = , 由图知对于 f(x)在[-1,1]上任 n-m n-m 意两点 A(m,f(m)),B(n,f(n)),有 kAB= ①正确; ②g(x)为奇函数?g(-x)=-g(x)?af(-x)+b=-af(x)-b?2b=-a[f(-x)+f(x)], ∵f(x) 为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,故 g(x)为奇函数?b=0,故②正确; ③g′(x)=af ′(x),由图知 f(x)在[-c,c]上减、增、减,∴f ′(x)在[-c,c]上取值为 负、 正、 负, 从而当 a≠0 时, g′(x)=0 在[-c, c]上与 x 轴必有两个交点, 又 a=0 时, g′(x) =0 在[-c,c]上恒成立,∴?a∈R,g′(x)在[-c,c]上有两个零点,故③正确; ④取 a=1,b=-5,则 g(x)=f(x)-5 与 x 轴无交点,∴方程 g(x)=0 无实根,∴④错误. 三、解答题 1 1 19.已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意的实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+ ,且 f( ) 2 2 1 =0,当 x> 时,f(x)>0. 2 (1)求 f(1); (2)判断 f(x)的增减性并证明. 1 1 1 1 1 [解析] (1)令 x=y= ,得 f(1)=f( )+f( )+ = . 2 2 2 2 2 (2)f(x)为增函数,证明:任取 x1、x2∈R,且 x2>x1,Δx=x2-x1>0,则: 1 1 1 1 Δy= f(x2) - f(x1) = f(x1 +Δx)- f(x1) = f(Δx)+ f(x1) + - f(x1) = f(Δx)+ = f(Δx) + f( ) + = 2 2 2 2 f?n?-f?m? g?n?-g?m? >0,又 a>0,∴ >0 恒成立,故 n-m n-m

1 f(Δx+ ), 2 1 1 1 又∵Δx>0,∴Δx+ > ,∴f(Δx+ )>0, 2 2 2 ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在 R 上是增函数.


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