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共点力作用下物体的平衡(答案)


共点力作用下物体的平衡
一、学习目标 1.准确且恰当的选取研究对象,进行正确的受力分析且能画出利于解题的受力图。 2.熟练掌握常规力学平衡问题的解题思路。 3.会运用相应数学方法处理力的合成与分解,掌握动态平衡问题的分析方法。 二、知识概要 1. 共点力——几个力作用于物体的一点,或它们的作用线(或其反向延长线)交于一点,这几个力 叫共点力。 2、共点力作用下物体的平衡

状态:静止或匀速运动 3、共点力作用下物体的平衡条件:合外力为零或加速度为零 F 合=0 或 a=0 在正交分解法时表达式为: Fx 合=0,Fy 合=0 4、平衡条件的推论 (1)物体受两个力作用处于平衡,则这两个力是一对平衡力。 (2)物体受三个力处于平衡,则: a、任意两个力的合力与第三个力大小相等,方向相反; b、平移三力一定构成一个封闭的三角形; c、三力平衡不平行必共点。 (3)物体受多个力而平衡,则: a、正交分解法求解 选择 x、y 轴方向时,要使尽可能多的力落在坐标轴上,尽可能少分解力,被分解的力尽可能是已知 力,不宜分解待求力 b、任一个力与其余的力的合力大小相等,方向相反。 5、求解平衡问题的基本思路 (1) 明确平衡状态(加速度为零); (2) 巧选研究对象(整体法和隔离法); 若不涉及物体间内部相互作用,一般用整体法,即以整体为对象;反之,若研究物体间内部的相互作 用,则要用隔离法,选对象的原则是受力较少的隔离体。 (3) 准确分析受力 (规范画出受力示意图); 一般受力分析的顺序是:场力 (重力、电场力、磁场力) 、弹力 (接触面的弹力、绳弹力、杆弹力) 、 摩擦力、已知外力、未知外力。 (4) 据物体的受力和已知条件,采用力的合成(一般适用于三力平衡)、力的分解(正交分解、效 果分解)、力汇交原理、矢量三角形法、相似三角形、正弦定理、余弦定理等,确定解题方法; (5) 求解或讨论(解的结果及物理意义)。 F 三、典型例题 A 例 1.如图所示,轻绳的 A 端固定在天花板上,B 端系一个重力为 G 的小 球,小球静止在固定的光滑的大球球面上。已知 AB 绳长为 l,大球半径为 R, FN C 天花板到大球顶点的竖直距离 AC = d,∠ABO > 900。求绳对小球的拉力和大 B 球对小球的支持力的大小(小球可视为质点) 。 O 解:小球为研究对象,其受力如图所示。绳的拉力 F、重力 G、支持力 FN 三个力构成封闭三解形,它与几何三角形 AOB 相似,则根据相似比的关系得 到: F F G l R = = N ,于是解得 F= G,FN = G。 R l d?R d?R d?R A 例 2.如图所示,质量为 m 的物体用一轻绳挂在水平轻杆 BC 的 C 端,B 端 用铰链连接,C 点由轻绳 AC 系住,已知 AC、BC 夹角为 θ,则轻绳 AC 上的张力 B θ C 和轻杆 BC 上的压力大小分别为多少?
1

m

解:选 C 点为研究对象,受力情况如图所示,由平衡条件和正弦定理可得:

FN FT mg ? ? 0 sin ? sin(90 ? ? ) sin 900 mg 即得 FT ? 和 FN=mgcotθ sin ?
所以由牛顿第三定律知, 轻绳 AC 上的张力大小为 FT ? 小为 FN=mgcotθ 本题还可以用合成法、分解法,正交分解法等。

F
T

F θ
N

mg , 轻杆 BC 上的压力大 mg sin ?

例 3.半径为 R 的半球形光滑碗固定在水平地面上,一根粗细均匀长 度为 2L 的杆斜靠在碗边(如图所示) 。求当杆处于平衡状态时,杆与水平 面之间的倾角 ? 。试讨论要使杆处于平衡状态,杆长与碗的半径应有怎 样的关系。 分析:杆受到重力 G(重心在均匀直杆的中点) ,碗对杆的一端的弹 力 N(方向指向碗的球心) ,碗边缘对杆的弹力 T(垂直杆向上) 。 如图,DB=2Rcosa-L, BC=DB× cota,BC=ABtana,AB=2Rcosa (2Rcosa- L)cota=2Rcosatana 得 L=2Rcos2a/cosa

2 R D

2L

?

四、检测题 1.如图所示,在光滑绝缘水平面上放置 3 个电荷量均为的(q>0)相同小球,小球之间用劲度系数 均为 k0 的轻质弹簧绝缘连接。当 3 个小球处在静止状态时,每根弹簧长度为 l 已知静电力常量为 k,若 不考虑弹簧的静电感应,则每根弹簧的原长为( ) A. l ?

5kq 2 2k 0 l 2 5kq 2 4k 0 l 2

B. l ?

kq 2 k0l 2 5kq 2 2k 0 l 2

C. l ?

D. l ?

2.如图所示,倾角为 θ 的斜面体 C 置于水平面上,B 置于斜面上,通过细 绳跨过光滑的定滑轮与 A 相连接,连接 B 的一段细绳与斜面平行,A、B、C 都 处于静止状态。则 ( ) A.B 受到 C 的摩擦力一定不为零 B.C 受到水平面的摩擦力一定为零 C.不论 B、C 间摩擦力大小、方向如何,水平面对 C 的摩擦力方向一定向左 D.水平面对 C 的支持力与 B、C 的总重力大小相等 3.S1和S2表示劲度系数分别为k1、k2的两根弹簧,k1>k2;a和b表示质量分别为ma和mb 的两个小物块,ma>mb,将弹簧与物块按图所示方式悬挂起来,现要求两根弹簧的总长度 最大,则应使( ) A.S1在上,a在上 B.S1在上,b在上
2





C.S2在上,a在上

D.S2在上,b在上

4.有一个直角支架 AOB,AO 水平放置,表面粗糙, OB 竖直向下,表面光滑。AO 上套有小环 P, OB 上套有小环 Q,两环质量均为 m,两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相 O A P 连,并在某一位置平衡(如图所示) 。现将 P 环向左移一小段距离,两环再次达到 平衡,那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较,AO 杆对 P 环的支持力 FN 和摩擦力 f 的变化情况是( ) Q A.FN 不变,f 变大 B.FN 不变,f 变小 B C.FN 变大,f 变大 D.FN 变大,f 变小 5.用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来,如图所示,今对小球 a 持续施加一个向左偏下 30° 的恒力,并对小球 b 持续施加一个向右偏上 30° 的同样大小的恒力,最后达到平衡,表示平衡状态的图可 能是( )

a 左 b 右

a b A B

a b

a b C

a

Q
b D

P

C G B

6.如图所示,A、B 是两根竖直立在地上的木桩,轻绳系在两木桩不等 A 高的 P、Q 两点,C 为光滑的质量不计的滑轮,当 P 点的位置变化时,轻绳 的张力的大小变化情况是 A、P 点上下移动时,张力不变 B、P 点上下移动时,张力变大 C、P 点上下移动时,张力变小 D、条件不足,无法判断 7.如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O 点为其球心, 碗的内表面及碗口是光滑的,一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为 m1 和 m2 的小球。当它们处于平衡状态时,质量为 m1 的小球与 O 点的连线与 水平线的夹角为 α=60° 两小球的质量比 m2/m1 为( ) C. 3 D. 2 2 2 3 3 8.如图所示,三根长度均为 l 的轻绳分别连接于 C、D 两点,A、B 两端被 悬挂在水平天花板上, 相距 2l。 现在 C 点上悬挂一个质量为 m 的重物, 为使 CD 绳保持水平,在 D 点上可施加力的最小值为( ) A. 3 B. 2 A. mg B.
3 mg 3

O ? m1 m2

C. 1 mg 2

D. 1 mg 4

P

9.一光滑半圆形圆环固定在竖直平面内,环上套着一个质量 为 m 的小球 P,用细绳相连系于 A 点,处于平衡状态,如图所示。 若细绳与水平面夹角为 30?,则细绳对小球的拉力 FT 为_______, A O B 300 环对小球的弹力 FN 为________。 ? 10.如图所示,重为 G 的小球,用一细线悬挂在点 O 处。现用一大小恒定的外力 F(F<G)缓慢将小球 拉起,在小球可能的平衡位置中,细线和竖直方向的夹角最大为多少? O θ

3

11.重 G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置,在该过程 中,斜面和挡板对小球的弹力的大小 F1、F2 各如何变化? F
1

F2

12. 重力为 G 的均质杆一端放在粗糙的水平面上, 另一端系在一条水 平绳上,杆与水平面成 α 角,如图所示,已知水平绳中的张力大小为 F1, 求地面对杆下端的作用力大小和方向?

?
13.如图所示,水平放置的两根固定的光滑硬杆 OA、OB 之间的夹角为 θ,在两杆上各套轻环 P、Q, 两环用轻绳相连,现用恒力 F 沿 OB 杆方向向右拉环 Q,当两环稳定 时,绳的拉力是多大? P A θ O Q F B

14.如图所示,物体的质量为 2kg,两根轻绳 AB 和 AC 的一端连接于竖直墙上,另一端系于物体上, 且 AC 绳水平时,两绳所成角为 θ=600。在物体上另施加一个方向与水平线成 θ=600 的拉力 F,若要使两绳 都能伸直,求拉力 F 的大小范围。 B F θ C A θ

15.如图所示,一个重为 G 小圆环套在竖直的半径为 R 的大圆环上,轻弹簧原长为 L(L<2R),其劲 度系数为 k,接触光滑,求小圆环静止时弹簧与竖直方向的夹角。

4


q2 q2 5Kq 2 ,得 x ? k0 x ? k 2 ? k l (2l ) 2 4k 0 l 2


5Kq 2 l0 ? l ? x ? l ? 4k0l 2

1.C 解析:第三个小球受三个力的作用它们的关系是

2.C 解:隔离 B 可知当 mA g=mBgsinθ 时,B 与 C 之间无摩擦,A 错误;将 B、C 作为一个整体时, 由 A 对 B 的拉力在水平与竖直两方向上的分力知 C 正确。B 错误,而水平面对 C 的支持力应比 B、C 的 总重力小,D 错误。 F 3. D α 4.B 解:以两环和细绳整体为对象求 FN,可知竖直方向上始终二 力平衡, FN=2mg 不变;以 Q 环为对象,在重力、细绳拉力 F 和 OB 压力 N 作用 下平衡,设细 N 绳和竖直方向的夹角为 α, 则 P 环向左移的过程中 α 将减小, N=mgtanα 也将减小。再 以整体为对象,水平方向只有 OB 对 Q 的压力 N 和 OA 对 P 环的摩擦 力 f 作用,因 此 f=N 也减小。 mg 5.A 解法Ⅰ:将 a、b 两球及两球间的绳看做一个物体系统,以 这个系统为研 究对象,因为作用在 a、b 上的恒力等大反向,其合外力平衡。而 a、b 受的重力竖直向下,要保持平衡, 故 a 到悬点的细绳的力必然沿竖直方向向上,故选 A。 解法Ⅱ:也可以分别将 a、b 隔离进行受力分析,分别对 a、b 两球列出水平分力的平衡方程即可。以 c 图为例,受力如图所示。 对 a:水平方向有

F1 cos30? ? T1 c o ? s ? T2 c o s ?
对 b:水平方向有

F2 cos30? ? T2 c o s ?
因为 F1 = F2 所以 T1 cos? ? 0 ,由于 T1≠0 故 ? ? 90 6.A 7.A 解:本题有多种解法,正弦定理、相似三角形、正交 正弦定理。受力分析如图,等腰三角 OAB 中,α=60°故 ∠OAB=∠OBA=60° 则由几何关系得:三角形 DCA 中, ∠DCA=120° 由正弦定理有:
?

O m1

N

?
A

D T C

B m2

分解等,此处用 ∠CDA=30° ,

m1g

m2 g m1 g ? sin 30? sin 120?
8.C 9. mg, 3mg 10.(θ= arcsin

m 3 所以: 2 ? m1 3

F1 F2

F1

F2

F ) G

11. F1 逐渐变小,F2 先变小后变大。 12.解析:地面对杆的作用力是地面对杆的弹力和摩擦力的两个力的合力,这样杆共受三个彼此不平 行的作用力,根据三力汇交原理知三力必为共点力,如图所示,设 F 与水平方向夹角为 β,根据平衡条件
5

有: Fsinβ=G,Fcosβ=F1, 解得 F= G 2 ? F12 ,β=arctan
G F1

F1 F

? ?
G

13.解: P、Q 稳定后,P、Q 环所弹力分别为 FP、FQ,与杆垂直。 P 受绳弹力 T 与弹力 FP 作用平衡,所以绳必须与杆垂直。 Q 受绳的拉力 T/、弹力 FQ 和拉力 F 三力作用而平衡。如图
/ 环由正交分解法有:T/sinθ=F,所以 T ? T ?

FP P O θ Q y FAB θ FAC θ F T
/

A 所示。对 Q T F FQ B 平衡条件

F sin ?

14.解析:作出 A 受力图如图所示,并建立直角坐标,由 有: 在 x 方向: Fcosθ-FAC-FABcosθ=0 在 y 方向: Fsinθ+FABsinθ-mg=0 由以上两式得 FAC mg mg F? ? FBC F? ? sin ? 2 cos ? 2 sin ? 要使两绳都能绷直,则有:FAB ? 0, FAC ? 0

x G

20 3 40 3 N?F? N 3 3 15.分析:如图所示,环静止时受 F、G、N 三个力作用, F’为 G 与 N 的合力。注意大环对小环的 弹力 N 的方向沿半径方向,从图中的几何关系可知△AOB 与△F’NB 相似。根据比例关系可求出夹角 θ。 解:根据胡克定律弹簧弹力 F 为:F=k(2Rcosθ-L)
由以上各式可解得 F 的取值范围为: 因△AOB∽△F’NB 则有:
A Rθ O F

AO AB ? F ?N F ?B R 2 R c o ?s 2 R c o ?s ? ? 即 G F? F

θ

B N G F


kL 将 F=k(2Rcosθ-L)代入上式得 ? ? arccos 2(kR ? G )

6


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