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第六章正弦稳态电路分析10电气用2


第五章 正弦电路的稳态分析

第六章 正弦电路的稳态分析
6.1 正弦电压和电流 6.2 利用相量表示正弦信号 6.3 R、 L、 C元件VAR的相量形式和 KCL、KVL的相量形式 6.4 阻抗与导纳 6.5 电路基本元件的功率和能量 6.6 正弦稳态电路中的功率 6.7 正弦稳态电路中的最大功率传输 6.8 正弦稳态电路的相量分析法 6.9 三相

电路概述 6.10 小结

第五章 正弦电路的稳态分析

6.1 正弦电压和电流
6.1.1 正弦量的三要素 所谓周期信号,就是每隔一定的时间 T,电流或电 压的波形重复出现;或者说,每隔一定的时间 T ,电 流或电压完成一个循环。图 5.1-1 给出了几个周期 信号的波形, 周期信号的数学表示式为

f (t ) ? f (t ? kT )
式中 k 为任何整数。周期信号完成一个循环所需要 的时间T称为周期, 单位为秒(s)。

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图 6.1-1 周期信号

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周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频

率,用f表示。 显然,频率与周期的关系为

1 f ? T
频率的单位为赫兹 (Hz)。 我国电力网所供给 的交流电的频率是 50 Hz ,其周期是 0.02s 。实 验室用的音频信号源的频率大约从 20~20×103Hz 左右,相应的周期为0.05s~0.05 ms 左右。

第五章 正弦电路的稳态分析

图 6.1-2 正弦电流

第五章 正弦电路的稳态分析

按正弦(余弦)规律变化的周期信号,称为正弦交 流电,简称交流电。以电流为例,其瞬时表达式为

i(t ) ? I m cos(?t ? ?i )
由于正弦信号变化一周,其相位变化了2π弧度,于 是有

[? (t ? T ) ? ?i ] ? (?t ? ?i ) ? 2?
2? ?? ? 2?f T

ω表示了单位时间正弦信号变化的弧度数,称为 角频率,其单位是弧度 /秒(rad/s) 。当t=0时,相位 角为 θi ,称为初相位或初相角,简称初相。工程上 为了方便,初相角θi常用角度表示。

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6.1.2 相位差 假设两个正弦电压分别为

u1 (t ) ? U1m cos(?t ? ?1 ) u2 (t ) ? U 2 m cos(?t ? ? 2 )
它们的相位之差称为相位差,用ψ表示,即

? ? (?t ? ?1 ) ? (?t ? ?2 ) ? ?1 ? ?2
两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差。

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图 6.1-3 相位差

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例 6.1-1 已知正弦电流 i(t) 的波形如图 6.1-4 所示,角频率ω=103rad/s。试写出i(t)的表达式,

并求i(t)达到第一个正的最大值的时间t1。

图 6.1-4

例 6.1-1用图

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解: 由图可知,i(t)的振幅为 100A, 即

i(t ) ? 100cos(10 t ? ?i ) A
3

当t=0 时,电流为 50A,用t=0 代入上式,得

i(0) ? 100cos?i ? 50


cos? ? 0.5

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由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后,初相 角为负值,即 ? ?i ? ?
3

于是
? 3 ?? i (t ) ? 100cos?10 t ? ? A 3? ?

当ωt1=π/3时,电流达到正最大值,即

?i ? t1 ? ? ? 10 ?3 ? 1.047 ms ? 3

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例 6.1-2

设有两频率相同的正弦电流

( i1 t) ? 5 cos(?t ? 60?) A i ( ? 10sin(?t ? 40?) A 2 t)
问哪个电流滞后,滞后的角度是多少? 解 首先把i2(t)改写成用余弦函数表示,即 i2 (t ) ? 10sin(?t ? 40?) ? 10sin(90? ? ?t ? 50?)
? 10cos(?t ? 50?) A

故相位差

? ? ?1 ? ?2 ? 60? ? (?50?) ? 110?

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6.1.3 有效值

正弦信号的有效值定义为:让正弦信号和直流 电分别通过两个阻值相等的电阻。如果在相同的时 间T内(T可取为正弦信号的周期),两个电阻消耗的 能量相等,那么,我们称该直流电的值为正弦信号 的有效值。
当直流电流I流过电阻R时,该电阻在时间T内消 耗的电能为

W? ? I RT
2

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当正弦电流i流过电阻R时,在相同的时间T内, 电阻消耗的电能为

W~ ? ? p(t )dt ? ? Ri (t )dt
2 0 0

T

T

上式中 p(t) 表示电阻在任一瞬间消耗的功率,即

p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)。根据有效值的定义,有

W~ ? W? I RT ? ? Ri2 (t )dt
2 0 T

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故正弦电流的有效值为

1 T 2 I? i (t )dt ? T 0

(6.1-5)

正弦电流的有效值是瞬时值的平方在一个周期内 的平均值再取平方根,故有效值也称为均方根值。 类似地,可得正弦电压的有效值为

1 T 2 U? u (t )dt ? T 0

第五章 正弦电路的稳态分析

将正弦电流的表达式

i(t ) ? I m cos(?t ? ?i )
代入(6.1-5)式, 得正弦电流的有效值为
1 I? T

?

T

0

2 Im cos2 (?t ? ? i )dt

2 T 1 Im ? [1 ? cos2(?t ? ? i )]dt ? T 2 0

1 ? I m ? 0.707I m 2

第五章 正弦电路的稳态分析

同理,可得正弦电压的有效值

1 U? U m ? 0.707 Um 2
必须指出,交流测量仪表指示的电流、电压读数一 般都是有效值。

引入有效值以后,正弦电流和电压的表达式也 可写成

i(t ) ? I m cos(?t ? ?i ) ? 2 I cos(?t ? ?i ) u(t ) ? Um cos(?t ? ?u ) ? 2U cos(?t ? ?u )

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6.2

利用相量表示正弦信号

一个复数既能表示成代数型,也能表示成指 数型。设A为一复数,a1和a2分别为其实部和虚部, 则

A ? a1 ? ja2 ? ae
代数型

j?

指数型

式中a称为复数A的模;φ称为复数A的辐角。

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图 6.2-1 复数的图示

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坐标间关系



a ? a ?a ? ? ? a2 ? ? ? arctg ? a1 ? ?
2 1 2 2

a1 ? a cos? ? ? ? a2 ? a sin ? ? ?

实部a1和虚部a2也表示为

a1 ? Re[ A],

a2 ? Im[A]

A ? a??

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6.2.1 利用相量表示正弦信号 假设某正弦电流为
i (t ) ? I m cos(?t ? ?i )

根据欧拉公式

e j? ? cos? ? j sin ?
j(ωt+θi)展开成

可以把复指数函数Im e

I me j (?t ??i ) ? I m cos(?t ? ? i ) ? jIm sin(?t ? ?i )

i(t ) ? Re[I me

j (?t ??i )

] ? I m cos(?t ? ?i )

(6.2-3)

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把式(6.2-3)进一步写成

i (t ) ? Re[ I m e
?

j (?t ?? i )

] ? Re [ I m e

j? i

e j?t ]

? Re[ I m e
式中

j?t

]

j? i ? I m ? I me

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图 6.2-2 相量图

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I m cos(?t1 ? ?i )
? e j?t ] i(t ) ? Re[I m

u ? U m cos( ?t ? ? u ) ? Re[U m e ? Re[U m e e
j? u j?t

j ( ?t ?? u )

]

j?t ? ] ? Re[U m e ]

j?u ? ? ?? Um ? Ume ?U m u

第五章 正弦电路的稳态分析

图 6 2 3 旋 转 相 量 及 其 在 实 轴 上 的 投 影

. -

第五章 正弦电路的稳态分析

例如,已知角频率为ω的正弦电流的相量
? ? 5e j 30? A , 那么该电流的表达式为 I m

i(t ) ? 5 cos(?t ? 30?) A
若已知正弦电压u=10cos(ωt-45°) V,则电压 相量为

? ? 10e? j 45? ? 10? ? 45?V U m

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相量也可以用有效值来定义, 即

Im j? i ? I ? Ie ? I?? i ? ?? i 2 ? ? Ue j?u U

? ? ? ? Um ? U?? u ? ?? u ? ? 2 ?

1 ? ? ? I? Im ? 2 ? ? 1 ? ? ? U? Um ? 2 ?

第五章 正弦电路的稳态分析

6.2.2 几个定理
1. 定理 1 如果K是一个实常数,A(t)是任何实变数t的复函数, 则

Re[ KA(t )] ? K Re[ A(t )]
证明:设 则 故

A(t ) ? a1 (t ) ? ja 2 (t ) KA(t ) ? Ka1 (t ) ? jKa 2 (t ) Re[ KA(t )] ? Ka1 (t ) ? K Re[ A(t )]

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2. 定理 2 如果A(t)和B(t)是任何实变数t的复函数,则

Re[ A(t ) ? B(t )] ? Re[ A(t )] ? Re[B(t )]
证明:设

A(t ) ? a1 (t ) ? ja2 (t ), B(t ) ? b1 (t ) ? ja2 (t ), 则 Re[ A(t ) ? B(t )] ? a1 (t ) ? b1 (t ) ? Re[ A(t )] ? Re[B(t )]

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3. 定理 3
? ? Ae j? ,则 设相量 A

d ? d ? j?t ? j?t ? ? e j?t ] [Re( Ae )] ? Re ? ( Ae )? ? Re[ j?A dt ? dt ?
d d j?t j (?t ?? ) ? [Re( Ae )] ? Re( Ae ) dt dt

?

?

d ? [ A cos(?t ? ? )] ? ??A sin(?t ? ? ) dt ? e j?t ] ? Re[ j?Ae j(?t ??)] ? Re[ j?A ? d ? j?t ? ? Re ? ( Ae )? ? dt ?

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4. 定理 4

? 和 B ? 为相量,ω为角频率。如果在所有 设A 时刻都满足
j?t j?t ? ? Re[ Ae ] ? Re[Be ]



??B ? A

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关于j:

e

j 90 0

? cos 90 ? j sin 90 ? j
0 0

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例 6.2 – 1 电路如图 6.2 - 4(a) 所示,已知 电流i1和i2分别为

i1 (t ) ? 5 cos(?t ? 36.9?) A i2 (t ) ? 10cos(?t ? 53.1?) A

图 6.2 – 4

例 6.2 - 1用图

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

作业题:P256 6.4 6.5 6.6

第五章 正弦电路的稳态分析

6.3
6.3.1

电路定律的相量形式

无源元件VAR的相量形式
?e j?t ] u(t ) ? 2U cos(?t ? ?u ) ? Re [ 2U

?e j?t ] i(t ) ? 2I cos(?t ? ?i ) ? Re [ 2I

1.电阻元件(R)
假设电阻R两端的电压与电流采 用关联参考方向,如图所示。设通过 电阻的正弦电流为

i(t ) ? I m cos(?t ? ?i )

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电压电流关系 对电阻元件而言,在任何瞬间,电流和电压之
间满足欧姆定律,即

u(t ) ? Ri(t ) ? RIm cos(?t ? ?i ) ? Um cos(?t ? ?u )

U m ? RI m ? ? ?u ? ?i ?

第五章 正弦电路的稳态分析

电流和电压用相量表示为
j? i ? ? I m ? I m e ,U m ? U m e j?u 根据欧姆定律,有

? e j?t ] ? R Re[I ? e j?t ] Re[U m m
j?t j?t ? ? Re[Ume ] ? Re[RI me ]

? ? RI ? U m m ? ? RI ? U

Ume

j?u

? RIme

j?i

第五章 正弦电路的稳态分析

U m ? RIm

?u ? ?i

图6.3-2

电阻元件的电流、电压波形和相量图

第五章 正弦电路的稳态分析

2. 电感元件 设有一电感L,其电压、电流采用关联参考方向, 如图 (a)所示,当通过电感的电流为 (1) 电压电流瞬时关系

i(t ) ? I m cos(?t ? ?i )
di u(t ) ? L ? ??LI m sin(?t ? ? i ) dt

? ?LI m cos(?t ? ?i ? 90?) ? U m cos(?t ? ? u )

第五章 正弦电路的稳态分析

U m ? ?LI m ? ? ? ? u ? ?i ? 90?? ?
它们振幅之间的关系为
Um U ? ? ?L ? X L Im I

式中XL=ωL=2πfL具有电阻的量纲,称为感抗。当
L 的单位为 H ,ω的单位为 rad/s 时, XL 单位为Ω


第五章 正弦电路的稳态分析

对于一定的电感 L ,当频率越高时,其所呈现的 感抗越大;反之越小。

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(2) 电压电流相量关系

? e j?t ] i (t ) ? I m cos(?t ? ?i ) ? Re[ I m
j?t ? u(t ) ? U m cos(?t ? ? u ) ? Re[U me ]

j?i ? j?u ? 式中 I m ? I me ,U m ? U me

di 根据 u ? L dt

d j?t ? ? e j?t ] Re[U m e ] ? L Re[ I m dt
j?t j?t ? ? Re[Ume ] ? Re[ j?LI me ]

第五章 正弦电路的稳态分析

? ? j?LI ? ? jX I ? ? U m m L m? ? ? ? jX I ? ? U ? L ? ? U U m ? ? j?L ? Im I
因为(6.3-6)式可以写成

(5.3-6)

Ume

j?u

? j?LIme

j?i

? ?LIme

j (?i ?90?)

Um ? ?LIm ,?u ? ?i ? 90?

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

3. 电容元件 设有一电感C,其电压、电流采用关联参考方向, 如图所示,当电容两端电压为 (1) 电压电流瞬时关系

u(t ) ? Um cos(?t ? ?u )
du i ?C ? ??CU m sin(?t ? ? u ) dt ? ?CU m cos(?t ? ? u ? 90?) ? I m cos(?t ? ?i )

第五章 正弦电路的稳态分析

I m ? ?CU m ? ? ? ?i ? ? u ? 90?? ?

它们振幅之间的关系为
Um U 1 ? ? ? XC Im I ?C 1 1 XC ? ? ?C 2?fC

具有电阻的量纲,称为容抗。当C的单位为F,

ω的单位为rad/s时,XC的单位为Ω。

第五章 正弦电路的稳态分析

当电容C一定时,频率越高,其所呈现的容抗越 小;反之越大。

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(2) 电压电流相量关系
? e j?t ] u (t ) ? U m cos(?t ? ? u ) ? Re[U m ? e j?t ] i(t ) ? I cos(?t ? ? ) ? Re[ I
m i m

? ? U e j?u , I ? ? I e j?i ,根据 式中 U m m m m

du i?C dt

上式可写成

d j?t ? ? e j?t ] Re[ I m e ] ? C Re[U m dt

? e j?t ] ? Re[ j?CU ? e j?t ] Re[I m m

第五章 正弦电路的稳态分析

? e j?t ] ? Re[ j?CU ? e j?t ] Re[I m m
? ? j?CU ? I m m ? ??j 1 I ? ? ? jX I ? ? U m C m? ?C m ? ? ? ? ? jX I ? U C ?



因为式可以写成

U me


j? u

1 1 j? i ??j I me ? I m e j (?i ?90?) ?C ?C

1 Um ? Im , ?C

? u ? ? i ? 90?

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

4. 耦合电感

di1 di2 u1 ? L1 ?M dt dt di2 di1 u2 ? L2 ?M dt dt

di1 di2 u1 ? L1 ?M dt dt di2 di1 u 2 ? L2 ?M dt dt

第五章 正弦电路的稳态分析

u1 ? 2U1 cos(?t ? ?u1 ) d ? L1 dt

?

d 2 I1 cos(?t ? ?i1 ) ? M dt

?

?

2 I 2 cos(?t ? ?i 2 )

?
?

d d j?t j?t ? ? ? e j?t Re[ 2U1e ] ? L1 Re[ 2 I1e ] ? M R 2 I 2 dt dt e ? e j?t ? 2 j?MI ? e j?t Re 2 j?L1 I 1 2

?

?

?

? ? j?L I ? ? j?MI ? U 1 1 1 2

第五章 正弦电路的稳态分析

u2 ? 2U 2 cos(?t ? ?u 2 ) d ? L2 dt

?

d 2 I 2 cos(?t ? ?i 2 ) ? M dt

?

?

2 I1 cos(?t ? ?i1 )

?
?

d d j?t j?t ? ? ? e j?t Re[ 2U 2e ] ? L2 Re[ 2 I 2e ] ? M R 2 I 1 e dt dt ? e j?t ? 2 j?MI ? e j?t Re 2 j?L2 I 2 1

?

?

?

? ? j?L I ? ? j?MI ? U 2 2 2 1

第五章 正弦电路的稳态分析

? ? j?L I ? ? j?MI ? U 1 1 1 2
? ? j?L I ? ? j?MI ? U 2 2 2 1

第五章 正弦电路的稳态分析

? ? j?L I ? ? j?MI ? U 1 1 1 2 ? ? j?L I ? ? j?MI ? U 2 2 2 1

第五章 正弦电路的稳态分析

6.3.2 KCL、KVL的相量形式 对于任意瞬间,KCL的表达式为

? i (t ) ? 0
k ?1 k

n

?R ?
n k ?1 e

j?t ? 2I k e ? 0

?

第五章 正弦电路的稳态分析

对于图 6.3-9 所示的节点A 有

?i ? i1 ? i2 ? i3 ? 0

图 6.3-9 流向节点A的电流分布

第五章 正弦电路的稳态分析

? e j?t ] ? Re[I ? e j?t ] ? Re[I ? e j?t ] ? 0 Re[I 1m 2m 3m
j?t ? ? ? Re[(I1m ? I 2m ? I3m )e ] ? 0

? ?I ? ?I ? ?0 I 1m 2m 3m
对于任意节点,则有

? I ? k ?0
k ?1 n

n

? I ? mk ? 0 k ?1 流出任意节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。

第五章 正弦电路的稳态分析

同理可得KVL的相量形式为

? ?U
k ?1 n

n

k

?0 ?0

? ?U
k ?1

mk

它表明,在正弦稳态电路中,沿任意闭合回路 绕行一周,各支路电压相量的代数和恒等于零。

第五章 正弦电路的稳态分析

例 图 (a) 所 示 RL 串 联 电 路 。 已 知 R=50Ω, L=25μH, us(t)=10cos106tV。求电流i(t),并画出相量图。 解 :已知激励us(t)的相量为
j 0? ? U sm ? 10e

相量形式KVL方程

? ?U ? ?U ? U sm Rm Lm

? ? RI ? ,U ? ? jX I ? U Rm m Lm L m

第五章 正弦电路的稳态分析

X L ? ?L ? 106 ? 25?10?6 ? 25?

? ? RI ? ? jX I ? ? ( R ? jX ) I ? U sm m L m L m
? U 10?0? 10 sm ? Im ? ? ? R ? jX L 50 ? j 25 55.9?26.6? ? 0.179? ? 26.6? A

i(t ) ? 0.179cos(10 t ? 26.6?) A
6

? 26

0

? U sm

? I m

第五章 正弦电路的稳态分析

例 RC并联电路如图(a)所示。已知R=5Ω, C=0.1 F, us(t)= 10cos2t 2 V。求电流i(t)并画出相量图。 解 电压源us的有效值相量为

? ? 10?0?V U 1 1 XC ? ? ? 5? ? C 2 ? 0. 1
相量形KCL方程

??I ? ?I ? I R C

第五章 正弦电路的稳态分析

? 10?0? U 0 ? ? ? I ? 2 ? 0 A R R 5 ? U 10?0? ? IC ? ? ? j2 A ? jX C ? j5

? ? 2 ? j 2 ? 2 2?45? A I
i(t ) ? 4 cos(2t ? 45?) A
? I C
450
? I R

I?

? U S

第五章 正弦电路的稳态分析

例6.3-2 电路如图 所示。已知 iL (t ) ? 4 2 cos(2t ) A,
求电压 u(t ) 。

解:电感与电容阻抗分别为 ? ?U ? ?U ? U
C

L

j?L ? ( j ? 2 ? 3)? ? j 6? 1 1 ?j ? (? j )? ? ? j 4? ?C 2 ? 0.125

第五章 正弦电路的稳态分析

电感电流有效值 电感电压有效值
电阻电流有效值

0 ? I L ? 4?0 A

? ? j?LI ? ? j 6 ? 4?00 ? j 24V U L L
? U j 24 L ? IR ? ? ? j3 A R 8

由KCL求得电容上电流
0 ? ? ? IC ? I R ? I L ? 4 ? j3 ? 5?36.9 A

电容上电压

1 ? ? UC ? ? j I C ? ? j 4 ? (4 ? j 3) ? 12 ? j16 ?C

第五章 正弦电路的稳态分析

由KVL求得电压
j 33.10 ? ? ? U ? U C ? U L ? 12 ? j 6 ? j 24 ? 12 ? j18 ? 14.4e V

u(t ) ? 14.4 2 cos(2t ? 33.1 )V
0

第五章 正弦电路的稳态分析

电阻元件: u (t ) ? Ri (t ), i (t ) ? I m cos(?t ? ? i )

u (t ) ? RI m cos(?t ? ? i ) ? U m cos(?t ? ? u ) U m ? RI m ,? u ? ? i ? m e j?t ?,i (t ) ? Re ?I ?m e j?t ? u (t ) ? Re ?U j ?t j?t j ?t ? ? ? Re ?U m e ? ? R ? Re ?I m e ? ? Re ?RI m e ? ?m U ? U ? m ? RI ?m , U ? ?R ?m ? I I Ue j? ? RIe j? U ? RI, ? u ?? i
u i

第五章 正弦电路的稳态分析

电感元件: u (t ) ? L di(t ) , i (t ) ? I cos(?t ? ? ) m i dt u (t ) ? LI m? cos(?t ? ? i ? 90 0 ) ? U m cos(?t ? ? u )

U m ? L?I m ,? u ? ? i ? 90 0 d j ?t ? ?m e j?t ? ? Re ?LI ?m j?e j?t ? Re ?U m e ? ? L Re ?I dt ?m U ? m ? j ?L I ?m ? jX L I ?m , U ? jX L ?m I U me
j? u

? jX L I m e

j? i

? X L I me
0

j (? i ? 90 0 )

U m ? X L I m ,? u ? ? i ? 90

第五章 正弦电路的稳态分析

du(t ) i (t ) ? C , u (t ) ? U m cos(?t ? ? u ) 电容元件: dt i (t ) ? CU m? cos(?t ? ? u ? 90 0 ) ? I m cos(?t ? ? i ) I m ? C?U m ,? i ? ? u ? 90 0 d j? t ? ? m e j?t ? ? Re ?CU ? m j ? e j ?t ? Re ?I m e ? ? C Re ?U dt ?m ? j?CU ? m ? j? C U ?m I ?m U 1 ? m ? ? jX C I ?m ? ? ? jX C ,U ?m I j ?C I me
j? i

? j?CU m e

j? u

? ?CU m e
0

j (? u ? 90 0 )

I m ? ?CU m ,? i ? ? u ? 90

第五章 正弦电路的稳态分析

6.4 阻 抗 与 导 纳
6.4.1 阻抗

u(t ) ? 2U cos(?t ? ?u )

i(t ) ? 2I cos(?t ? ?i )
j? u ? U ? Ue j? i ? I ? Ie

第五章 正弦电路的稳态分析

端口电压相量与电流相量的比值定义为阻抗,并 用Z表示 ? U Z? m ? I m

可改写成

? U Z? ? I

? ? ZI ? U m m ? ? ZI ? U

第五章 正弦电路的稳态分析

关于Z的讨论: ? ? Ue j?u U j (? ?? ) U U Z ? m ? ? j? i ? e u i ? Z e j? Z ? ? I I I Ie m

? Z cos? Z ? j Z sin ? Z ? R ? jX
坐标间的关系

U Z ? R ?X ? I X ? Z ? arctan ? ?u ? ?i
2 2

Z

R ? Z cos? Z X ? Z sin ? Z

R

?Z
R

X

阻抗三角形

第五章 正弦电路的稳态分析

X L ? X C即? ? 0, 电路为电感性 .电压超前于电流

X L ? X C即? ? 0, 电路为容性 .电压滞后于电流
X L ? X C即? ? 0, 电路为电阻性 .电压电流同相位

第五章 正弦电路的稳态分析

如果无源二端网络分别为单个元件R、L和C, 则它们相应的阻抗分别为 纯电阻元件R: Z ? R 纯电感元件L: 纯电容元件C:

Z ? j?L ? jX L
1 Z? ? ? jX C j?C

第五章 正弦电路的稳态分析

阻抗的串、并联 若有n个阻抗相串联,它的等效阻抗为

? ?U ? ?U ? ? IZ ? IZ ? I ( Z ? Z ) U 1 2 2 1 2 1 ? I ?( R1 ? jX 1 ) ? ( R2 ? jX 2 )? ? IZ

Z ? R1 ? jX 1 ? R2 ? jX 2 ? ( R1 ? R2 ) ? j ( X 1 ? X 2 )
分压公式
? ? U 1 ? ? U 2 Z1 ? U Z1 ? Z 2 Z2 ? U Z1 ? Z 2

第五章 正弦电路的稳态分析

若有n个阻抗相并联,它的等效阻抗为
1 1 1 ? ? ? ? ? I ? I1 ? I 2 ? U ( ? ) ? U Z1 Z 2 Z

等效阻抗 分流公式

Z1Z 2 Z? Z1 ? Z 2

? ? I 1 ? ? I 2

Z2 ? I Z1 ? Z 2 Z1 ? I Z1 ? Z 2

第五章 正弦电路的稳态分析

6.4.2 导纳 把阻抗的倒数定义为导纳,并用Y表示, 即

1 Y? Z ? ? I I Y? m ? ? ? U U m
导纳Y的单位是西门子 (S)。当无源二端网络分别为 单个元件R、L和C时,它们相应的导纳分别为

第五章 正弦电路的稳态分析
j? i ? ? I I Ie I j (?i ??u ) j? Y m Y? ? ? ? e ? Y e j? u ? ? U m U Ue U

? Y cos?Y ? j Y sin ?Y

坐标间关系
I Y ? G ?B ? U B ?Y ? arctan ? ?i ? ? u G
2 2

Y

?Y
G

B

G ? Y cos?Y B ? Y sin ?Y

导纳三角形

第五章 正弦电路的稳态分析

?Y ? 0, 电路为容性 .电流超前于电压

?Y ? 0, 电路为感性 .电流滞后于电压
?Y ? 0, 电路为电阻性 .电压电流同相位

第五章 正弦电路的稳态分析

纯电阻元件R: Y ? 1 ? G
R

纯电感元件L: Y ? 1 ? ? j 1 ? ? jBL
j?L

?L

纯电容元件C: Y ? j?C ? jBC
1 式中G为电导, BL ? 和BC=ωC分别称为感纳和容纳, ?L 单位为西门子(S)。

也可改写为

? ? YU ? I m m ? ? YU ? I

第五章 正弦电路的稳态分析

若有n个导纳串联,它的等效导纳为

? I ? I ? I ? ?U ? ?U ? ? ? ? U 1 2 Y1 Y2 Y
等效导纳为
Y? Y1Y2 Y1 ? Y2

分压公式为

? ? U 1 ? ? U 2

Y2 ? U Y1 ? Y2 Y1 ? U Y1 ? Y2

第五章 正弦电路的稳态分析

若有n个导纳相并联,它的等效导纳为

??I ? ?I ? ?U ? (Y ? Y ) ? U ?Y I 1 2 1 2

Y ? Y1 ? Y2 ? G1 ? jB1 ? G2 ? jB2 ? (G1 ? G2 ) ? j ( B1 ? B2 )

分流公式

? ? I 1 ? ? I 2

Y1 ? I Y1 ? Y2 Y2 ? I Y1 ? Y2

第五章 正弦电路的稳态分析

6.4.3 阻抗与导纳关系
1 1 j? Z Z ? ? Ze ? Y Y e?Y

1 Z ? , ?Z ? ??Y Y

代数形式(直角坐标)
1 1 G B Z ? R ? jX ? ? ? 2 ?j 2 2 Y G ? jB G ? B G ? B2
R? G G2 ? B2 B X ?? 2 G ? B2

第五章 正弦电路的稳态分析

1 1 R X Y ? G ? jB ? ? ? 2 ?j 2 2 2 Z R ? jX R ? X R ?X

R G? 2 R ?X2 B B?? 2 2 R ?X

第五章 正弦电路的稳态分析

例6.4.2已知 电路

? ? 2000 rad / s 求等效阻抗及等效

解: ?L ? 2 ?103 ? 60?10?3 ? 120?
1 1 ? ? 40? 3 ?6 ?C 2 ?10 ?12.5 ?10

Z1 ? (120? j 40)? Z 2 ? (40 ? j120)?
Z1Z 2 (120? j 40)(40 ? j120) Z? ? Z1 ? Z 2 160? j80 20(3 ? j )(1 ? j 3) ? ? (80 ? j 40)? 2? j

第五章 正弦电路的稳态分析

Z1Z 2 (120? j 40)(40 ? j120) Z? ? Z1 ? Z 2 160? j80 20(3 ? j )(1 ? j 3) ? ? (80 ? j 40)? 2? j

R1 ? 80?
40 L1 ? ? 20 mH 2000

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

1 1 1 1 Y? ? ?( ?j ) s ? G ? jB Z 80 ? j 40 100 200
1S G? S , R2 ? 100 ? 100

1 1 B2 ? ? S , L2 ? 0.1H ?L 2 200

第五章 正弦电路的稳态分析

6.4.4

RLC串联电路

图 6.4-2 RLC串联电路及其相量模型

第五章 正弦电路的稳态分析

设电路中的电流为

i(t ) ? 2I cos(?t ? ?i )
j?i ? I ? Ie

? ?U ? ?U ? ?U ? U R L C
根据R、 L、 C元件的VAR, 有
? ? RI ?,U ? ? jX I ? ? ? U R L L , U C ? ? jX C I 1 X L ? ? L, X C ? ?C

第五章 正弦电路的稳态分析

? ? RI ? ? jX I ? ? jX I ? U L C ? ? ZI ? ? [ R ? j ( X L ? X C )]I ? U Z? ? I Z ? R ? j( X L ? X C ) ? R ? jX
阻抗Z也可写成极坐标形式, 即

Z ? R ? jX ? Z e

j?z

? Z ??Z

式中|Z|和φZ分别称为阻抗模和阻抗角。

第五章 正弦电路的稳态分析

Z ? R2 ? X 2 ? ? X ? ? ?Z ? arctg R ? R ? Z cos?Z ? ? ? X ? Z sin ?Z ? ?

阻抗三角形

? Ue j?u U j (? ?? ) U j? Z ? ? j?i ? e u i ? Ze Z ? I Ie I

U Um ? Z ? ? I Im ? ? ? ?Z ? ? u ? ? i ?

第五章 正弦电路的稳态分析

由于电抗
1 X ? X L ? X C ? ?L ? ?C

与频率有关,因此,在不同的频率下,阻抗有不同的 特性。

第五章 正弦电路的稳态分析

? 与电流相量 I 阻抗模等于电压相量 U ? 的模值之比,阻抗角 ? 超前电流相量 I 等于电压相量U ? 的相位角。若φZ>0,表示电压 ? 超前电流相量 I ? 滞后电流 ? ; 若 φZ<0,表示电压相量 U 相量 U 相量 I ?。

第五章 正弦电路的稳态分析

例 有 一 个 RCL 串联电路 , 已知 R=10KΩ, C=0.001μF, L=5mH ,正弦电压源的电压振幅 Um=10V, ω=106 rad/s 。 求电流和各元件上电压,并画相量图。 解 :根据RLC串联电路公式,首先应先计算感抗和容抗 电路感抗: 电路容抗:

X L ? ?L ? 10 ? 5 ?10 ? 5K?
6 ?3

1 1 XC ? ? 6 ? 1K? ?6 ?C 10 ? 0.001 ?10
X ? X L ? X C ? 5 ?1 ? 4K?
Z ? R ? jX ? 10 ? j 4 ? 10.77?21.8 K?
0

电路电抗: 电路阻抗:

第五章 正弦电路的稳态分析

电路电抗X>0,阻抗角φZ>0,故电路呈感性。
设电压相量为:

? m ? 10?00 V U

0 ?m U 10 ? 0 0 ?m ? 电流相量: I ? ? 0 . 929 ? ? 21 . 8 mA 0 Z 10 .77 ?21 .8

电阻电压相量:

? Rm ? RI ?m ? 10 ?103 ? 0.929? ? 21.80 ?10?3 ? 9.29? ? 21.80 V U
电感电压相量:
3 0 ?3 0 ? ? U Lm ? jX L I m ? j5 ?10 ? 0.929? ? 21.8 ?10 ? 4.65?68.2 V

电容电压相量:

? cm ? ? jX c I ?m ? ? j1?103 ? 0.929? ? 21.80 ?10?3 ? 0.929? ? 111.80 V U

第五章 正弦电路的稳态分析

电流、电压表示式:

i(t ) ? 0.929cos( 10 t ? 21.8 )mA
6 0

uR (t ) ? 9.29 cos( 10 t ? 21.8 )V
6 0

uL (t ) ? 4.65cos( 10 t ? 68.2 )V
6 0

uc (t ) ? 0.929cos( 10 t ? 111.8 )V
6 0

第五章 正弦电路的稳态分析

电流、电压相量图:

第五章 正弦电路的稳态分析

作业题:P256 6.10 6.11 6.12

P258

6.14

6.16

第五章 正弦电路的稳态分析

6.4.3 GCL并联电路

? ? YU ? I m m ? ? YU ? I
1 1 YG ? ? ?G ZR R 1 1 1 YL ? ? ??j ? ? jB L Z L j?L ?L 1 1 YC ? ? ? j?C ? jBC 1 ZC j?c
式中G为电导, 1 BL ? 和 ?L BC=ωC分别

称为感纳和容纳,,
单位为西门子 (S) 。

第五章 正弦电路的稳态分析

? ? Ue j?u U ??I ? ?I ? ?I ? I G C L

? ? GU ? I G ? ?Y U ? ? jB U ? I C C C ? ?Y U ? ? ? jB U ? I L L L
? ? GU ? ? jB U ? ? jB U ? ? [G ? j ( B ? B )]U ? ? YU ? I C L C L ? I Y? ? U

第五章 正弦电路的稳态分析

? ? GU ? ? jB U ? ? jB U ? ? [G ? j ( B ? B )]U ? ? YU ? I C L C L ? I Y? ? U

Y ? G ? j( BC ? BL ) ? G ? jB Y ? G ? jB ? Y e
Y ? G2 ? B2 ? ? B ? ? ? y ? arctg G ?
j? y

导纳三角形

第五章 正弦电路的稳态分析

G ? Y cos? y ? ? ? B ? Y sin ? y ? ?
导纳模|Y|, 导纳角φy与电压

? I Ie j?i I j (?i ??u ) j? y Y? ? ? e ?Ye j? u ? U Ue U

? 、 电流 I? 的关系为 U

? ? ? ? ? y ? ?i ? ? u ? ??Z ? ? 的模值之比。 导纳三角形 ? 与电压U 导纳模等于电流 I ? 的相位差。 ? 与电压 U 导纳角等于电流 I I 1 Y ? ? U Z

第五章 正弦电路的稳态分析

例有一个RCL并联电路,已知R=10 Ω, C=0.5μF, L=5μH, 正弦电压源的电压有效值U=2V, ω=106 rad/s。 求总电流 ,并 说明电路的性质。 解 电路的导纳为

Y ? G ? j ( BC ? BL ) 1 G ? ? 0.1s R BC ? ?C ? 106 ? 0.5 ? 10?6 ? 0.5s 1 1 BL ? ? 6 ? 0.2 s ?6 ?L 10 ? 5 ? 10

第五章 正弦电路的稳态分析

Y ? 0.1 ? j (0.5 ? 0.2) ? 0.1 ? j 0.3 ? 0.316?71.56? s ? ? 2?0?V U ? ? YU ? ? 0.632?71.56? A I

? ?71.56°。 因 导纳角φY=71.56°,表示电流 I 超前电压 为 U
此,电路呈电容性。

第五章 正弦电路的稳态分析

us (t ) ? 210cos5 000tV 例 6.4-4 电路如图 6.4-7(a)所示。其中
求电流i(t), iL(t)和iC(t)。

图6.4-7 例6.4-4用图

第五章 正弦电路的稳态分析



? ? 10?0?V U s

X L ? ?L ? 5 000?1 ? 5k?
XC ? 1 1 ? ? 2 k? ?6 ?C 5 000 ? 0.1 ? 10

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

例6.4-5 电路如图 5.4-9(a)所示。已知R1=30 Ω, R2=100Ω, C=0.1μF, L=1mH, u(t) i2 (t ) ? 2 0.2 cos(105 t ? 60?)。求电压 A 和ab两端的等效阻抗Zab。

图 6.4-9 例 6.4-5 用图

第五章 正弦电路的稳态分析



X L ? ?L ? 105 ?1 ?10?3 ? 100?
XC ? 1 1 ? 5 ? 100 ? ?6 ?C 10 ? 0.1 ? 10

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

6.6 R、L、C电路的功率
一、电阻元件
设电压u(t)为

u(t ) ? U m cos(?t ? ? u ) u(t ) i (t ) ? ? I m cos(?t ? ? u ) R

第五章 正弦电路的稳态分析

p ? u(t )i(t ) 2 p (t ) ? u (t )i (t ) ? U m I m cos (?t ? ? u )
1.瞬时功率为:

1 ? U m I m [1 ? cos 2(?t ? ? u )] 2 1 1 ? U m I m ? U m I m cos 2(?t ? ? u )] 2 2 ? UI ? UI cos 2(?t ? ? u )

第五章 正弦电路的稳态分析

图6.5-1 电阻元件的瞬时功率波形

第五章 正弦电路的稳态分析

2.平均功率(有功功率):瞬时功率在一周期内的 平均值,称为平均功率。用P表示,即

1 T P ? ?0 p(t )dt T 1 T ? ?0 ?UI ? UI cos 2(?t ? ? u )?dt ? UI T
U2 2 P ? UI ? ?I R R

平均功率也称为有功功率。通常,我们所说的功 率都是指平均功率。例如:60W灯泡是指灯泡的平 均功率为60 W。

第五章 正弦电路的稳态分析

二、电感元件 设电感电压u为

u(t ) ? Um cos(?t ? ?u )
电感电流i滞后电压 90°,即

i (t ) ? I m cos(?t ? ? u ? 90?) ? I m sin(?t ? ? u ) Um Um Im ? ? X L ?L

第五章 正弦电路的稳态分析

1.瞬时功率为:

p ? u(t )i(t )

p(t ) ? u (t )i (t ) ? U m I m cos(?t ? ? u ) sin(?t ? ? u ) 1 ? U m I m sin 2(?t ? ? u ) 2 ? UI sin 2(?t ? ? u )

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

2.平均功率(有功功率):

1 T P ? ?0 p(t )dt T 1 T ? ?0 {UI sin 2(?t ? ? u )}dt T ?0
表明 : 电感是不消耗能量的,它只是与外电路或 电源进行能量交换,故平均功率等于零。

第五章 正弦电路的稳态分析

3.电感贮存的磁能为

1 2 1 2 2 ? L ? Li ? LI m sin (?t ? ? u ) 2 2 利用三角公式sin2 X=(1-cos2X)/2, 上式可改写成
1 2 ? L ? LI m [1 ? cos2(?t ? ? u )] 4 1 2 1 2 ? LI m ? LI m cos2(?t ? ? u ) 4 4 1 2 1 2 ? LI ? LI cos2(?t ? ? u ) 2 2

WLav

1 T 1 2 ? ? ? Ldt ? LI T 0 2

第五章 正弦电路的稳态分析

当t=T/4 时,电感的贮能达到最大值

WL max

1 2 2 ? ImL ? I L 2

第五章 正弦电路的稳态分析

三、电容元件 设电容电压u为

u(t ) ? Um cos(?t ? ?u )
i(t ) ? I m cos(?t ? ? u ? 90 ?) ? ? I m sin(?t ? ? u ) Um Im ? ? ?CU m XC

第五章 正弦电路的稳态分析

1.瞬时功率为:

p ? u(t )i(t )

p(t ) ? u (t )i (t ) ? ?U m I m cos(?t ? ? u ) sin(?t ? ? u ) 1 ? ? U m I m sin 2(?t ? ? u ) 2 ? ?UI sin 2(?t ? ? u )

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

2.平均功率(有功功率):

1 T P ? ?0 p(t )dt T 1 T ? ?0 {?UI sin 2(?t ? ? u )}dt T ?0
表明:电容也不消耗能量,只是与外电路或电源 进行能量交换, 故平均功率也等于零。

第五章 正弦电路的稳态分析

3.电容贮存的电能为
1 2 1 2 ?C ? Cu ? CU m cos 2 (?t ? ? u ) 2 2

1 ? cos 2 x 利用三角公式 cos x ? 2
2

1 2 1 2 上式可改写成 ?C ? Cu ? CU m cos2(?t ? ? u ) 2 4 1 2 1 ? Cu ? CU 2 cos2(?t ? ? u ) 2 2

电容的平均贮能为 W ? 1 CU 2 Cav

2

第五章 正弦电路的稳态分析

在 (0-T/4)期间: u>0, i<0,故p<0,电容供给功率。 在此期间,电容电压由最大值逐渐减少到零,电容把 贮存的电能全部供给了外电路或电源。当 t=T/4 时, 电容的贮能wC=0。 在 (T/4-T/2) 期间: u<0, i<0, 故 p>0 ,电容吸收功 率。这时, 电容反向充电,电容电压由零逐渐达到负 的最大值,电容从外电路或电源获得能量并贮存在电 场中。当t=T/2时,电容的存贮能量达到最大值

WC max

1 2 2 ? CU m ? CU 2

第五章 正弦电路的稳态分析

例 : 电路如图 (a) 所示,已知 us (t ) ? 2 ?10cos5tV ,
求电阻R1, R2消耗的功率和电感L、电容C的平均贮能。

第五章 正弦电路的稳态分析

解: X L ? ?L ? 5 ? 1 ? 5?
1 1 XC ? ? ? 4? ?C 5 ? 0.05

? ? 10?0?V U s
? U 10?0? s ? I1 ? ? ? 1.41? ? 45? A 5 ? j5 7.07?45? ? U 10?0? s ? I2 ? ? ? 2?53.1? A 3 ? j 4 5? ? 53.1? ? ? ? jX I ?2 ? ? j 4 ? 2?53.1? ? 8? ? 36.9?V U C C

第五章 正弦电路的稳态分析

2 2 P ? I R ? 1 . 41 ? 5 ? 10W 1 1 1

P2 ? I12 R2 ? 22 ? 3 ? 12W WL?v WCav 1 2 1 ? LI1 ? ? 1 ? 2 ? 1J 2 2 1 1 2 ? CU1 ? ? 0.05 ? 64 ? 1.6 J 2 2

第五章 正弦电路的稳态分析

6.6 正弦稳态电路中的功率
6.6.1 二端电路的功率

设端口电压为

u(t ) ? Um cos(?t ? ?u )
电流i是相同频率的正弦量, 设为

i(t ) ? I m cos(?t ? ?i )

第五章 正弦电路的稳态分析

1.瞬时功率为:

p ? u(t )i(t )

p(t ) ? u(t )i(t ) ? U m I m cos(?t ? ?u ) cos(?t ? ?i )

cos( x ? y ) ? cos( x ? y ) cos x cos y ? 2
1 1 p(t ) ? U m I m cos(? u ? ? i ) ? U m I m cos(2?t ? ? u ? ? i ) 2 2 ? UI cos(? u ? ? i ) ? UI cos(2?t ? ? u ? ? i )

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

2.平均功率(有功功率): 当 u>0, i>0 或 u<0, i<0 时,二端电路吸收功 率, p>0;当 u>0, i<0或u<0, i>0 时,二端电路 供给功率,p<0。这表明二端电路中的动态元件与 外电路或电源进行能量交换。 在一周期内,二端电路吸收的功率大于供给的 功率。二端电路的平均功率不为零, 即

1 T 1 P ? ?0 p(t )dt ? U m I m cos(? u ? ? i ) T 2 ? UI cos(? u ? ? i )

第五章 正弦电路的稳态分析

无源二端电路可以等效为阻抗

第五章 正弦电路的稳态分析

电压与电流的相位差等于阻抗角, 即

?Z ? ?u ? ?i
1 P ? U m I m cos ?Z ? UI cos ?Z 2
阻抗的平均功率不仅与电流、电压的振幅(或有效值)大 小有关,而且与 cosφZ 有关。 cosφZ 称为功率因数,通常用 λ 表示,故阻抗角φZ也称为功率因数角。
U I 。当 P ? m m ? UI 2 阻抗为纯电感或纯电容性时,φZ=±90°,cosφZ=0, P=0。

当阻抗为电阻性时,φZ=0, cosφZ=1,

第五章 正弦电路的稳态分析

3.视在功率 把 UmIm/2 或 UI称为视在功率,用S或 PS表示 (本书 为与复功率区分,采用PS作为视在功率符号),即

1 PS ? U m I m ? UI 2
视在功率的单位为伏安(V· A)

第五章 正弦电路的稳态分析

6.6.2 无功功率和复功率 二端电路N的无功功率Q(或PQ)定义为
1 Q ? U m I m sin(? u ? ? i ) ? UI sin(? u ? ? i ) 2

其单位也是伏安,但不叫伏安,而是叫乏(var)。
设二端电路的端口电压与电流的相量图如图6.6-3 所示。

? 同相的分 I? 分解为两个分量:一个与电压相量 U ? ; 另一个与 U ? 。 它们的值分别为 量 I 正交的分量 I ? x x
电流相量

第五章 正弦电路的稳态分析

I x ? I cos(? u ? ?i ) I y ? I sin(? u ? ?i )
图 6.6-3 端口电压、电流相量图

第五章 正弦电路的稳态分析

? ? 与电压U 二端电路的有功功率看作是由电流 I 所产生的, 即 x
P ? UI x ? UI cos(?u ? ?i ) ? 产生的, 即 ? 与电压 U 无功功率看作是由电流 I y

Q ? UI y ? UI sin(?u ? ?i )
当二端电路不含独立源时,φZ=θu-θi,(6.6-5)式可写为

Q ? UI sin ?Z
当电路 N 是纯电阻时, φZ=0, QR=0 ;当电路 N 是电感时, φZ=90°, QL=UI; 当电路N是电容时,φZ=-90°,QC=-UI。

第五章 正弦电路的稳态分析

工程上为了计算方便,把有功功率作为实部,无功功率 作为虚部,组成复功率,用S表示, 即

S ? P ? jQ
S ? UI cos(? u ? ? i ) ? jUI sin(? u ? ?i ) ? UI [cos(? u ? ?i ) ? j sin(? u ? ?i )] ? Se
j (? u ?? i )

S ? P2 ? Q2
若二端电路N不含独立源,φZ=θu-θi, 则

S ? P ? jQ ? S e

j?Z

第五章 正弦电路的稳态分析

图 6.6-4 功率三角形

第五章 正弦电路的稳态分析

S ? UIe

j (? u ??i )

? Ue Ie ? j?i * ? I ? Ie

j?u

? j?i

?I ?* S ?U 1 ? ?* S ? Um Im 2 如果二端电路的独立源为零,且支路数为 m,那么,无

源二端电路的有功功率、无功功率和复功率分别为
? P ? ? Pk ? k ?1 ? ? m ? Q ? ? Qk ? k ?1 ? ? m S ? ? Sk ? ? k ?1 ?
m

第五章 正弦电路的稳态分析

例6.6-1 电路如图 6.6-5 所示。已知R1=6Ω, R2=16Ω, XL=8Ω,
XC=12 Ω, =20∠U 0? °V。求该电路的平均功率P、无功功率Q、 视在功率PS和功率因数。

图 6.6-5 例 6.6-1 用图

第五章 正弦电路的稳态分析

解 设R1L串联支路的阻抗为

Z1 ? R1 ? jX L ? 6 ? j8 ? 10?53.1??
R2C串联支路的阻抗为

Z2 ? R2 ? jX C ? 16 ? j12 ? 20? ? 36.9??
各电流相量分别为:
0 ? U 20 ? 0 0 ?1 ? ? I ? 2 ? ? 53 . 1 ? 1.2 ? j1.6 A 0 Z1 10 ?53 .1

0 ? U 20 ? 0 0 ?2 ? I ? ? 1 ? 36 . 9 ? 0.8 ? j 0.6 A 0 Z 2 20 ? ? 36 .9

??I ?1 ? I ?2 ? 1.2 ? j1.6 ? 0.8 ? j 0.6 I ? 2 ? j1 ? 2.24? ? 26.6 A
0

第五章 正弦电路的稳态分析
? 0 ? I ? 2.24?26.6 A
? 0 0 ? ? S ? UI ? 20?0 ? 2.24?26.6

? 44.8?26 .6 ? 40 ? j 20 P ? 40 (W )
0

Q ? 20 (var) PS ? S ? 44 .8(VA) 0 ?z ? 26.6 cos?Z ? 0.89

第五章 正弦电路的稳态分析

例 6.6-2

某输电线路的相量模型如图 6.6-6 所示。输电线的

损耗电阻R1和等效感抗X1为R1 ? X1 ? 6? 。已知Z2为感性负载, 其消耗功率 P=500kW , Z2 两端的电压有效值 U2=5500V ,功率因

数cosφZ2=0.91。求输入电压的有效值 U和损耗电阻R1消耗的功率。

图6.6-6 例 6.6-2 用图

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

例 : 图所示电路为日光灯简图。图中 L 为铁芯电 感,称为镇流器(扼流图)。已知U=220V, f=50Hz, 日光灯功率为 40W ,额定电流为 0.4 A 。 试求: (1) 电感L和电感上的电压 UL;(2)若要使功率因数 提高到 0.8, 需要在日光灯两端并联多大的电容C。

第五章 正弦电路的稳态分析

解:(1)求L和UL

U 220 Z ? ? ? 550 ? I L 0.4 P 40 cos? z ? ? ? 0.45 UI L 220 ? 0.4

?Z ? ?63
? 250? j 490?

0

Z ? Z ??Z ? 550?630 ? 550cos630 ? j550sin 630

R ? 250?, X L ? 490?

第五章 正弦电路的稳态分析

XL 490 L? ? ? 1.56 H 2?f 2? ? 50

U L ? X L I L ? 490? 0.4 ? 196V
(2) 求并联电容的电容量C。

??I ? I L ??I ? ?I ? I L C

第五章 正弦电路的稳态分析

设电压为参考相量

? ? 220?0?V U
? ? 0.4? ? 63? A I L

cos?Z ? 0.8

? ? ?36.9?
' Z

第五章 正弦电路的稳态分析

功率因数为0.8时输电线电流为:

P 40 I? ? ' U cos?Z 220 ? 0.8 ? 0.227 A
ac边长为: ab边长为:

ac ? I L sin ?Z
ab ? I sin?z?

bc边长为:

I c ? bc ? ac ? ab

第五章 正弦电路的稳态分析

ac ? I L?Z ? 0.4 ? sin 63 ? 0.356( A)
0

? ? 0.227 ? sin 36.9 ? 0.136( A) ab ? I?Z
0

I C ? ac ? ab ? 0.356 ? 0.136 ? 0.22( A)

U 220 Xc ? ? ? 1000 ? I c 0.22
1 1 C? ? ? 3.2?F 2?f 2? ? 50 ? 1000

第五章 正弦电路的稳态分析

6.6.2

Zi ? Ri ? jX i
Z L ? RL ? jX L

第五章 正弦电路的稳态分析

由图可知,电路中的电流为

? ? U U s s ?? I ? Zi ? Z L ( Ri ? RL ) ? j( X i ? X L )
电流的有效值为

I?
负载吸收的功率

Us ( Ri ? RL )2 ? ( X i ? X L )2

2 U 2 S RL PL ? I RL ? ( Ri ? RL ) 2 ? ( X i ? X L ) 2

第五章 正弦电路的稳态分析

1.共轭匹配 当负载电阻和电抗均可独立改变时: 先保持RL不变,只改变XL,当Xi+XL=0 时, PL获得最大值

U RL PL ? ( Ri ? RL ) 2
2 s

2 dP ( Ri ? R ) ? 2 RL ( Ri ? RL ) 2 L L ? Us ?0 4 dRL ( Ri ? RL )

( Ri ? RL )2 ? 2 RL ( Ri ? RL ) ? 0 RL ? Ri

第五章 正弦电路的稳态分析

当负载电阻和电抗均可变时,负载吸收最大功率的条件为

X L ? ?Xi ? ? RL ? Ri ?


ZL ? Zi*

当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时,负载能获 得最大功率,称为最大功率匹配或共轭匹配。

PL max

U s 1U ? ? 4 Ri 2 4 Ri
2 2 sm

第五章 正弦电路的稳态分析

负载为纯电阻: 负载吸收的功率为

? ? U U s s ?? I ? Zi ? RL ( Ri ? RL ) ? jX i

I?

Us ( Ri ? RL ) ? X
2 2 i

2 U 2 s RL PL ? I RL ? ( Ri ? RL )2 ? X i2

第五章 正弦电路的稳态分析

当RL改变,PL获得最大值的条件是

dPL 2 ( Ri ? RL ) ? X ? 2 RL ( Ri ? RL ) ? Us dRL [(Ri ? RL ) 2 ? X i2 ]2
2 2 i

( Ri ? RL ) ? X ? 2 RL ( Ri ? RL ) ? 0
2 2 i

RL ? R ? X ? Z i
2 i 2 i

当负载阻抗为纯电阻时,负载电阻获得最大功率的条

件是负载电阻与电源的内阻抗模相等。

第五章 正弦电路的稳态分析

例 6.7-1 电路如图所示,其中R和L为电源内部损耗和

电感。已知 R ? 5?, L ? 50?H , u ? s

2.10cos10 tV .

5

(1) 当RL=5Ω时, (2) 当RL等于多大时,能获得最大功率? 最大功率等于多少? (3) 若在RL两端并联一电容C,问RL和C等于多大时, 能与内 阻抗共轭匹配? 并求负载吸收的最大功率PLmax。

第五章 正弦电路的稳态分析



电源内阻抗为

Zi ? R ? jX L ? 5 ? j105 ? 50?10?6 ? 5 ? j5?
(1) 当RL=5Ω时,电路中的电流为

? U 10?0? 10?0? s ? I? ? ? Z i ? RL 5 ? j5 ? 5 10 ? j5 10?0? ? ? 0.89? ? 26.6? A 11.18?26.6?
负载RL消耗的功率为

RL ? I 2 RL ? 0.892 ? 5 ? 4W

第五章 正弦电路的稳态分析

(2) 当 RL ? Ri 2 ? X i2 时能获得最大功率, 即

RL ? 5 ? 5 ? 7.07?
2 2

? U 10?0? 10?0? s ? I? ? ? Z i ? RL 5 ? j 5 ? 7.07 12.07 ? j 5 10?0? ? ? 0.766? ? 22.5? A 13.06?22.5?

PL ? I RL ? 0.766 ? 7.07 ? 4.15 W
2 2

第五章 正弦电路的稳态分析

(3) 当负载与内阻抗共轭匹配时, 能获得最大
功率。 由图可知,负载导纳为
1 YL ? ? j?C RL
1 1 RL ? ? 1 YL ? j?C 1 ? j?CRL RL

ZL ?

2 RL ?CRL ? ?j 2 1 ? (?CRL ) 1 ? (?CRL ) 2

第五章 正弦电路的稳态分析
2 1 1 RL RL ?CRL ZL ? ? ? ? ?j 2 2 1 YL 1 ? j ? CR 1 ? ( ? CR ) 1 ? ( ? CR ) L L L ? j?C RL

根据ZL=Z*i=5-j5,得

RL ? ? 5? 2 1 ? (?CRL ) ? ? 2 ?CRL ? ? 5? 2 1 ? (?CRL ) ?

第五章 正弦电路的稳态分析

由上式解得

RL ? 10?, C ? 1?F
? U 10?0? s ? I? ? ? 1A Zi ? Z L 10
负载吸收最大功率为

PL max ? I 2 Re[Z L ] ? 1 ? 5 ? 5W U s2 102 PL max ? ? ? 5W 4 Ri 4 ? 5

第五章 正弦电路的稳态分析

作业题:6.31

第五章 正弦电路的稳态分析

6.5 正弦稳态电路的相量分析法
6.5.1 网孔法
例 电路的相量模型如图 5.8-1 所示,求电流 和

? I?1 I 2

图 5.8-1

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

6.5.2
例 电路的相量模型如图6.8-2所示。求各节点的电压

相量。

图 6.8-2 例 6.8-2 用图

第五章 正弦电路的稳态分析



1 ? ?1 1 1? ? 1 ? ? V1 ? ? ? 2 ? j1 ? 2 ? ?V2 ? 2 V3 ? 0 2 ? ? 1 ? ?1 1 ?? ? V ? ? V3 ? 1.5?0? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? j2 ?

第五章 正弦电路的稳态分析

6.5.3 等效电源定理
例 电路的相量模型如图 6.5-3(a)所示,试问负载阻抗ZL 为何值时能获得最大功率? 最大功率PLmax是多少?

图 6.8-3

第五章 正弦电路的稳态分析

解 将负载ZL断开,电路如图(b)所示。 电阻与电感并联的阻抗为
Z RL 10 ? j10 ? ? 2 ? 5?45? ? 5 ? j5? 10 ? j10

? ?Z I ? U 2 ? 5?45? ? 2?0? ? 10?45?V oc RL s ?

Z 0 ? Z RL ? j8 ? 5 ? j 3? Z L ? Z ? RL ? jX L ? 5 ? j 3?
* 0

PL max

2 U oc 102 ? ? ? 5W 4 RL 4 ? 5

第五章 正弦电路的稳态分析

例 电路如图 6.5-4(a)所示。

us (t ) ? 15 ? 2 ?10cos?t ? 2 ?10cos2?tV
式中ω=103 rad/s。求ab两端的输出电压u(t)。

图 6.5-4

第五章 正弦电路的稳态分析

解 电源us(t)可以看作是 3 个电源叠加而成的,即

u s ( t ) ? u s1 ? u s 2 ? u s 3 us1 ? 15V us 2 ? 2 ? 10cos?tV us 3 ? 2 ? 10cos2?tV
(1) us1作用于电路。

u1(t ) ? us1 ? 15 V

第五章 正弦电路的稳态分析

第五章 正弦电路的稳态分析

(3) us3作用于电路。

第五章 正弦电路的稳态分析

例电路的相量模型如图 6.8-5 所示。已知R=3Ω, XC=4Ω, XL=4Ω,电容电压的有效值UC=20V,求电流有效值I。

? 为参考 解 设电容电压 U C 相量,即 ? ? 20?0?V U C

图 6.8-5

第五章 正弦电路的稳态分析

? U 20?0? C ? I1 ? ? ? j5 A ? jX C ? j4 Z1 ? R ? jX C ? 3 ? j 4 ? 5? ? 53.1??

? ?Z I ? ? 25?36.9?V U 1 1

第五章 正弦电路的稳态分析

? U 25?36.9? ? I2 ? ? ? 6.25? ? 53.1? ? 3.75 ? j5 A jX L j4

??I ? ?I ? ? j5 ? 3.75 ? j5 ? 3.75?0? A I 1 2

第五章 正弦电路的稳态分析

例 电路如图6. 5-6(a)所示。已知 C=0.02F,L=1H,

iC ? 2 cos(5t ? 90?) A,
电路消耗的功率P=10 W,试求电阻R和电压uL。

图6.5-6

第五章 正弦电路的稳态分析



X L ? ?L ? 5 ?1 ? 5? 1 1 XC ? ? ? 10? ?C 5 ? 0.02 ? ? ? jX I ? U C C C ? ? j10 ? j1 ? 10?0?V U P? R 2 UC 100 R? ? ? 10? P 10
2 C

第五章 正弦电路的稳态分析

通过电阻的电流相量为

? U 10?0? C ? IR ? ? ? 1?0? A R 10
根据KCL得

??I ? ?I ? ? 1 ? j1 ? 2?45? A I R C ? ? jX I ? ? j5 ? 2?45? ? 2 ? 5?135?V U L L uL ? 10 cos(5t ? 135?)V

第五章 正弦电路的稳态分析
0 ? ? U S ? 10?0 V , 求电压 U P227例6.5.3 已知: ab

解:

(1 ? j 3)(1 ? j 3) Z ab ? ? 5? (1 ? j 3)(1 ? j 3)

第五章 正弦电路的稳态分析

Z ab ? 5 ? U? US ? ?10?00 ? 5?00V 5 ? Z ab 5?5

第五章 正弦电路的稳态分析

? ? U 1

j3 ? j3 j15 0 U? ? 5?0 ? V 1 ? j3 1 ? j3 1 ? j3

? ? U 2

1 ? 1 5 0 U? ? 5?0 ? V 1 ? j3 1 ? j3 1 ? j3

j15 5 ? ? ? U ab ? U1 ? U 2 ? ? ? 4?00V 1 ? j3 1 ? j3

第五章 正弦电路的稳态分析

作业题:P258 6.17

6.18

第五章 正弦电路的稳态分析

6.7含耦合电感与理想变压器电路的正弦稳态分析 一、回路分析法

? ? j?L I ? ? j?MI ? ? jX I ? ?U ? R1I 1 1 1 2 C1 1 S
? ? j?L I ? ? j?MI ? ? jX I ? ?0 R2 I 2 2 3 1 C2 2

第五章 正弦电路的稳态分析

? ? j?L I ? ? j?MI ? ? jX I ? ?U ? R1I 1 1 1 2 C1 1 S
? ? j?L I ? ? j?MI ? ? jX I ? ?0 R2 I 2 2 3 1 C2 2
令:
自阻抗: 互阻抗:

Z11 ? R1 ? j?L1 ? jX C1
Z 22 ? R2 ? j?L2 ? jX C 2

Z12 ? Z 21 ? ? j?M

回路 方程

? ?Z I ? ?U ? Z11 I 1 12 2 S ? ?Z I ? ?0 Z 21 I 1 22 2

第五章 正弦电路的稳态分析

? ?Z I ? ?U ? Z11 I 1 12 2 S ? ?Z I ? ?0 Z 21 I 1 22 2
? ? U U S S ? I1 ? ? 2 Z12 Z 21 ( ? M ) Z11 ? Z11 ? Z 22 Z 22 ? Z 21 ? ? I2 ? I1 Z 22

第五章 正弦电路的稳态分析

二、一次侧、二次侧等效电路 1.一次侧等效电路
? ? I 1 ? ? U U S S ? 2 Z12 Z 21 ( ? M ) Z11 ? Z11 ? Z 22 Z 22

Z f1 ?

? 2M 2
Z 22

称为二次侧回路对一次侧回路的反映阻抗。
? ? ? U U U S S S ? ? I ? ? 1 2 Z12 Z 21 ( ? M ) Z11 ? Z f 1 Z11 ? Z11 ? Z 22 Z 22

第五章 正弦电路的稳态分析

讨论:
Z f1 ?

Z 22 ? R2 ? jX 22
?

? 2M 2
Z 22

? 2M 2
R22 ? jX 22

?

? 2M 2
R ?X
2 22 2 22

R22 ? j

? 2M 2
R ?X
2 22 2 22

X 22 ? R f 1 ? jX f 1

Rf 1 ?

? 2M 2
R ?X
2 22 2 22

R22

是反映阻抗的电阻部分。它消耗的 功率就是二次侧消耗的功率。也是 二次回路所有电阻消耗功率的和。 是反映阻抗的电抗部分。电抗为感 抗时,Xf1容抗;电抗为容抗时,Xf1 为感抗。

X f1 ? ?

? 2M 2
R ?X
2 22 2 22

X 22

第五章 正弦电路的稳态分析

输入阻抗
Zin ? Z11 ? Z f 1 ? Z11 ?
一次侧回路消 耗的功率

? 2M 2
Z 22

P 1 ?I R

2 1 11

二次侧回路消 耗的功率

P21 ? I R f 1
2 1

第五章 正弦电路的稳态分析

2. 二次侧等效电路

? Z j ? M I 1 ? ? ? 21 I ? ?? I 2 1 Z 22 Z 22
二次侧回路消耗的功率
2 2 ? ? ? MI ? M 2 2 2 2 1? P2 ? I 2 R2 ? ? R ? I R ? I R 22 1 22 1 f1 2 2 ? Z ? R22 ? X 22 ? 22 ? 2

第五章 正弦电路的稳态分析

3. 戴维宁等效电路
图中若一次侧参数已知, 只求二次侧回路中负载 的电压或功率。

? (1)求二次侧开路电压 U OC
? ? U U S S ? ? I ? 10 R1 ? j?L1 ? jX C Z11

j?M ? ? ? U OC ? j?MI10 ? US Z11

第五章 正弦电路的稳态分析

(2)求等效内阻抗 Z 0

? U Z 0 ? ? j?L2 ? Z f 2 ? I ? 2M 2 ? j?L2 ? Z11

Z f 2 一次侧回路对二次侧回路的反映阻抗,与 Z f 1 具 有相同的性质。
(3)戴维宁等效电路

第五章 正弦电路的稳态分析

10 t )V 例:6.7.1已知 us (t ) ? 5 2 cos(
3

一、二次侧 回路自阻抗:

? 1 ? Z11 ? R1 ? j ? ? ?L1 ? ?C ? ? ? 0.5k? 1? ? ? 1 ? Z 22 ? RL ? j ? ? ?L2 ? ?C ? ? ? RL 2 ? ?

第五章 正弦电路的稳态分析

反映阻抗:

Z f1 ?

? 2M 2
Z 22

1 ? k? RL

要想获得最大功率只要
? Z f 1 ? Z11

1 ? 0.5, RL ? 2k? RL

U 5 PL max ? ? mW ? 12.5mW 4R1 4 ? 0.5

2 S

2

第五章 正弦电路的稳态分析

6.7.3 T形去耦等效电路

Z1 ? j 4 ? j8 ? ? j 4?
? ? U R Z2 ? ? ? j100 U V S j4 ? Z2

? j8 ? ? U1 ? U R ? ? j 200 V j 4 ? j8
2 UR 1002 PR ? ? ? 2.5kW R 4

4Z1 4 ? (? j 4) Z2 ? ? ? 2(1 ? j1)? 4 ? Z1 4 ? (? j 4)

第五章 正弦电路的稳态分析

? ?U ? j 4I 2 S ? ? ?4 ? j 4 ?I ? ?0 j 4I 1 2

第五章 正弦电路的稳态分析

作业题:6.35、6.36、6.38

第五章 正弦电路的稳态分析

6.9 三相电路概述

图 6.9-1 三相电源

第五章 正弦电路的稳态分析

三相交流电波形图 三相电压瞬时表达式
? ? ? u B (t ) ? 2U p cos(?t ? 120 ?) ? ? uC (t ) ? 2U p cos(?t ? 240 ?)? ? u A (t ) ? 2U p cos?t
u2
uA uB uC
?t

uab uac ubc uba uca u cb

uVT 1
?t

uba uca u cb uab uac ubc uba uca u cb

第五章 正弦电路的稳态分析

三相电压相量表达式

? A ? U p ?0? ? U ? ? B ? U p ? ? 120 ? U ? ? ? U C ? U p ? ? 240 ? ? U p ?120 ??

对称三相电压相量图

第五章 正弦电路的稳态分析

6.9.1 三相电源的连接

一、三相电 源星形(Y) 连接

图 6.9-3 三相电源的Y形连接

第五章 正弦电路的稳态分析

三个线电压与三个相电压相量关系

? AB ? U ? A ?U ?B ? U ? ? BC ? U ? B ?U ?C ? U ? ? ? ? U CA ? U C ? U A ?

第五章 正弦电路的稳态分析

? AB ? U ? A ?U ?B U ? U p ?0? ? U p ? ? 120 ? ? 1 3? ?Up ?? ?? 2 ? j 2 ? ?U p ? ? ?3 3? ?? ?2? j 2 ? ?U p ? ? ? 3U p ?30 ?

第五章 正弦电路的稳态分析

? BC ? U ? B ?U ?C U ? U P ? ? 120 ? U P ?120
0 0

? 3U p ? ? 90 ? ? CA ? U ?C ?U ?A U ? U P ?120 ? U P ?0
0 0 0

? 3U P ? ? 210 ? 3U p ?150 ?

第五章 正弦电路的稳态分析

若相电压是对称的,则线电压也是对称的,而且线 电压的有效值(振幅)是相电压的
3 倍。设线电压

的有效值为UL,即

U l ? 3U p

Il ? I p
线电压的相位超前相 应相电压300。

第五章 正弦电路的稳态分析

在三个线电压之间的相量 关系: 三个线电压组成的闭合 回路中,回路中的总电 压为

? AB ? U ? BC ? U ? CA U ? A ?U ? B ) ? (U ? B ?U ? C ) ? (U ?C ?U A ) ? (U ?0

第五章 正弦电路的稳态分析

二、三相电源三角形(Δ)连接

? AB ? U ?A U ? BC ? U ?B U ? CA ? U ?C U

UL ? UP

第五章 正弦电路的稳态分析

其相量图如图所示。 如果将某一电压源接反了, 例如电
压源uc,将z与y, c与a相接,这时闭合回路中的总电压为

?a ?U ?b ?U ?c U ? U p (1 ? e
? j 120?

?e

j 120?

)

? 2U p ? ? 60 ? ?c ? ?2U

第五章 正弦电路的稳态分析

6.9.2 三相电路的计算
1.负载对称Y——Y接法

图 6.9-6 对称三相四线制

第五章 正弦电路的稳态分析

设负载阻抗Z=|Z|∠φZ,由于电路只有两个节点,因而用 节点法分析较为方便。设N为参考节点,节点 N′到 N的电压 为

? N 'N ,列出节点方程为 U
?C ?A U ?B U ?1 1 1 1 ?? U ? ?Z ? Z ? Z ? Z ? ?U N 'N ? Z ? Z ? Z ? N ? ? A ?U ?B ?U ?C U ? Z



? A ?U ? B ?U ?C ? 0 U ? N 'N ? 0 U

第五章 正弦电路的稳态分析

?A I ?B I ?C I

? A U p ?0 ? U p ? U ? ? ? ? ? ?Z ? I P ? ? ? Z ? Z Z ??Z Z ? ? ?B U p U 0 ? ? ? ? ? ?Z ? 120 ? ? I P ? ? ? Z ? 120 ? Z Z ? ? ?C U p U 0 ? ? ? ? ?Z ? 120 ? ? I P ? ? ? Z ? 120 ? Z Z ? ?

因负载对称,所以三相线电流也对称,故:

故中线电流

?A ? I ?B ? I ?C ? 0 I ?N ? ?( I ?A ? I ?B ? I ?C ) ? 0 I

第五章 正弦电路的稳态分析

各相负载吸收的平均功率:

Ul Pp ? U p I p cos? Z ? I l cos? Z 3
三相负载吸收的总功率:

P ? 3Pp ? 3U p I p I l cos? Z ? 3Ul I l cos? Z

第五章 正弦电路的稳态分析

2.负载对称Δ接法 设线电压为

? AB ? U l ?0? U ? BC ? U l ? ? 120 ? U ? CA ? U l ?120 ? U

第五章 正弦电路的稳态分析

线电流相电流之间的关系

?A ? I ?AB ? I ?CA I
?B ? I ?BC ? I ?AB I
?C ? I ?CA ? I ?BC I

第五章 正弦电路的稳态分析

各相负载电流为

? AB U l ?0? ? U ?AB ? I ? ? I p ? ? ?Z ? Z Z ??Z ? ? BC ? U ? ? I BC ? ? I p ? ? ?Z ? 120 ? ? Z ? ? CA ? U ?CA ? I ? I p ? ? ?Z ? 120 ? ? Z ? ?

第五章 正弦电路的稳态分析

线电流相电流即线电压之间的关系
? CA U

I?CA

?BC ?I

?B I

?C I
?AB ?I

? AB U

I?BC
? BC U

I?AB ?A I
?CA ?I

第五章 正弦电路的稳态分析

相电流是对称的,其有效值 I p ?

Ul 。线电流为 Z

?A ? I ?AB ? I ?CA ? I p ??Z ? I p ? ? ?Z ? 120 ? ? 3I p ? ? ?Z ? 30 ?? I ? ? ? ? ? I B ? I BC ? I AB ? 3I p ? ? ?Z ? 150 ? ? ? ? ? ? I C ? I CA ? I BC ? 3I p ? ? ?Z ? 90 ? ? ?

I l ? 3I p

Ul ? U p

Pp ? U p I p cos?Z

P ? 3Pp ? 3U p I p cos? Z ? 3Ul I l cos? Z

第五章 正弦电路的稳态分析

例 对称三相三线制的线电压为 380V,每相负载 阻抗为 Z=10∠53.1°Ω,求负载为 Y形和△形连接时 的电流和三相功率。

第五章 正弦电路的稳态分析

解 正弦稳态电路中,如不加说明,电流、电压的大小都 是指有效值。
(1) 负载为Y形连接时,电路如图(a)所示。相电压的有效 值为

U l 380 Up ? ? ? 220 V 3 3
可以设想电源中点 0 与负载中点 0′用理想导体连接, 并设

? ? 220?0?V U a


? U 220?0? a ? Ia ? ? ? 22? ? 53.1? A Z 10?53.1?

第五章 正弦电路的稳态分析

其它两相电流为

? ? 22? ? 53.1? ? 120? ? 22? ? 173.1? A I b ? ? 22? ? 53.1? ? 120? ? 22?66.9? A I c
三相总功率为

P ? 3U l I l cos?Z ? 3 ? 380 ? 22 ? cos 53 .1? ? 8 688W

第五章 正弦电路的稳态分析

(2) 负载为△型连接时,电路如图(b)所示。设
0 ? U ab ? 380?0

则相电流

? ab U 380 ? 0 ? ?ab ? I ? ? 38? ? 53 .1? A Z 10 ?53 .1?
? ? 38? ? 173.1? A I bc ? ? 38?66.9? A I ca

其它两相电流为

第五章 正弦电路的稳态分析

线电流为

? ? 3I ? ? 30? ? ? ? 338? ? 83.1? A I a p Z ? ? 3I ? ? ? ? 150? ? 3 38? ? 203.1? A I b p Z ? ? 3I ? ? ? ? 90? ? 3 38?36.9? A I c p Z
三相功率为

P ? 3U l I l cos?Z ? 3 ? 380 ? 3 ? 38 ? cos 53 .1? ? 26064 W

第五章 正弦电路的稳态分析

作业题:6.45、6.49

第五章 正弦电路的稳态分析

6.10 小 结
1. 正弦信号的三要素和相量表示

i(t ) ? Im cos(?t ? ?i ) ? 2I cos(?t ? ?i )
式中振幅Im(有效值I)、角频率ω(频率f)和初相角θi称为正弦 信号的三要素。设两个频率相同的正弦电流i1和i2,它们的

初相角分别为 θ1 和θ2 ,那么这两个电流的相位差等于它们
的初相角之差,即

? ? ?1 ? ? 2

第五章 正弦电路的稳态分析

若ψ>0, 表示i1的相位超前i2; 若ψ<0,表示i1的相位滞后i2。 正弦电流可以表示为

? e j?t ] Re[ 2I ?e j?t ] i ? Im cos(?t ? ?i ) ? Re[I m
? ? I e j?i ( I ? ? Ie j?i ) 称为电流振幅(有效值)相量。 式中 I m m
相量是一个复常数,它的模表示了正弦电流的振幅(有效 值),辐角表示了正弦电流的初相角。

第五章 正弦电路的稳态分析

2. R , L , C元件VAR相量形式

第五章 正弦电路的稳态分析

3. 阻抗与导纳 一个无源二端电路可以等效成一个阻抗或导纳。 阻抗定义为

? U Z ? ? Z ??Z ? I

U Um Z ? ? I Im

?Z ? ?u ? ?i
Z ? Z ??Z ? R ? jX

第五章 正弦电路的稳态分析

指数型与代数型的转换关系为

R ? Z cos? Z ? ? ? X ? Z sin ? Z ? ?
Z ? R2 ? X 2 ? ? X ? ? ?Z ? arctg R ? ? I Y ? ? Y ?? y ? U

导纳定义为

1 Y ? Z

第五章 正弦电路的稳态分析

|Y|称为导纳模,φy称为导纳角。它们与电流、电压之间有如 下关系:

I Im ? Y ? ? U Um ? ? ? ? y ? ?i ? ? u ?
1 Y ? Z

? y ? ?? Z
导纳也可以表示成代数型,即

Y ? Y ??y ? G ? jB

第五章 正弦电路的稳态分析

指数型与代数型的转换关系为

G ? Y cos? y ? ? ? B ? Y sin ? y ? ?
Y ? G2 ? B2 ? ? ? B ? ? y ? arctg G ?

第五章 正弦电路的稳态分析

4. 电路定律的相量形式和相量分析法 KCL和KVL的相量形式分别为

? I? ? 0
? ?0 ?U
欧姆定律的相量形式为

? ? ZI ? U

第五章 正弦电路的稳态分析

5. 正弦稳态电路的功率 任一阻抗Z的有功功率(平均功率)和无功功率分别为

P ? UI cos?Z Q ? UI sin ?Z
视在功率为

PS ? UI S ? P ? jQ ? S e j?Z

复功率为

在电源和内阻抗Zi一定条件下,负载阻抗ZL获得最大功率的条件为

ZL ? Zi*

第五章 正弦电路的稳态分析

这称为共轭匹配, 此时负载获得的最大功率为

PL ? Ri2 ? X i2 ? Z i
这称为模匹配,即负载电阻RL等于内阻抗的模|Zi|时,能 获得最大功率。计算模匹配情况下的最大功率,首先应

? ,那么负载电阻消耗的 该计算流过负载电阻RL的电流 I R
功率为

PL ? I RL
2 R


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