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【全国百强校】四川省成都市石室中学高2013届二诊模拟数学(理)试题


石室中学高 2013 届二诊模拟数学试题(理科)
(时间 120 分钟 满分 150 分) 说明:本卷分 I 卷和 II 卷,I 卷试题答在机读卡上,其余试题全部答在答题卷上! 第I卷 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分。每小题有唯一正确答案) 1、设集合 A={1,2},则满足 A A.1 B. 3

B ? {1, 2,3} 的集合 B 的

个数是(
C. 4 D. 8 ) D. ? 2



a?i 2、已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a 等于( 1? i
A. ? 1 B.1 C. 2

3、如图是一个空间几何体的三视图, 则该几何体的体积为( A. 12? B. 8? C. 6? D. 4? 4、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )
4 3

4

正视图

左视图

?

?
4

)( x ? R, ? ? 0) 的

俯视图

最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ( x) ? cos ? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象(



? 个单位长度 8 ? C .向左平移 个单位长度 4
A.向左平移

B. 向右平移

? 个单位长度 8 ? D .向右平移 个单位长度 4

? x ? 2 y ? 8, ?2 x ? y ? 8, ? 5、已知 x , y 满足不等式组 ? 则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为( ? x ? 0, ? ? y ? 0, 32 A. B. 12 C. 8 D. 24 3



6、在 ?ABC 中, ?BAC ? 60 ° , AB ? 2, AC ? 1, E、F 为边 BC 的三等分点,则 AE ? AF 等于( A. )

5 3

B.

5 4

C.

10 9

D.

15 8

7、 若直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2) ? y ? 1的两个交点关于直线 2 x ? y ? b ? 0 对称, 则 k , b 的值
2 2

分别为( A. k ?

) B. k ? ? , b ? 4

1 , b ? ?4 2

1 2

C.

1 1 k ? , b ? 4 D. k ? ? , b ? ?4 2 2

* 8、数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? r ? an ? r ( n ? N , r ? R 且 r ? 0 ) ,则“ r ? 1 ”是“数列 ?an ?

成等差数列”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

9、将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大 3 所大学,若每所 大学至少保送 1 人,且甲不能被保送到北大,则不同的保送方案共有( A. 150 B. 114 C. 100 D.72 )种.

10、定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12x ? 18,若函数 y ? f ( x) ? loga (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零
2

点,则 a 的取值范围是( A. (0,



2 ) 2

B. (0,

3 ) 3
第 II 卷

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分。直接将答案填在答卷指定位置) 11、 ( 3 x +

1 2 x

)5 的展开式中常数项为
0.6



开始

输入i

12、已知 a ? log 1 2 , b ? 2
3

, c ? log4 3 , .

S ? 0; n ? 0


则 a, b, c 的大小关系从小到大为

n?i



13、某程序的框图如图所示,执行该程序, 若输入 i ? 10 ,则输出的 s 为
2

S ? S ? 2n ? 1
n ? n ?1

输出S



结束

14、设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 第 13 题 点 A(0, 2) .若线段 FA 的中点 B 在抛物线上, 则 B 到该抛物线准线的距离为____.

15、定义在 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) ? kx ? b(k , b 为常数 ) ,使得 f ( x) ? g ( x) 对一 切实数 x 都成立,则称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个“承托函数”. 现有如下命题: ① g ( x) ? x 为函数 f ( x) ? 2 x 的一个承托函数;

ln(? x) 1 的一个承托函数,则实数 k 的取值范围是 [ , ??) ; 2 x ③定义域和值域都是 R 的函数 f ( x) 不存在承托函数; ④对给定的函数 f ( x) ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个.
②若 g ( x ) ? kx ? 1 为函数 f ( x) ? 其中正确的命题是 ; 三、解答题(共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

1) 16、 在△ABC 中, B、 C 的对边, 若 m =( sin 2 B ? C , , a, b, c 分别为角 A、 n ? (?2,cos 2 A ?1) , 2
且m? n . (Ⅰ)求角 A 的度数; (Ⅱ)当 a ? 2 3 ,且△ABC 的面积 S ?

a 2 ? b2 ? c2 时,求边 c 的值和△ABC 的面积。 4 3

17、三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC. (Ⅰ)证明:平面 PAB⊥平面 PBC; (Ⅱ)若 PA ?
P

6 ,PC 与侧面 APB 所成角的
A B C

余弦值为

2 2 ,PB 与底面 ABC 成 60° 角, 3

求二面角 B―PC―A 的大小.

18、为推进成都市教育均衡发展,石室中学需进一步壮大教师队伍,拟准备招聘一批优秀大 学生到本单位就业, 但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。 在待测试的某一个小组中 有男、女生共 10 人(其中女生人数多于男生人数) ,如果从中随机选 2 人参加测试,其中恰 为一男一女的概率为

8 。 15 3 ,每个男 4

(Ⅰ)求该小组中女生的人数; (Ⅱ)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为 生通过的概率均为

2 。现对该小组中男生甲.男生乙和女生丙 3 个人进行测试,记这 3 人 3

中通过测试的人数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望。

19、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 nan?1 ? 2Sn ( n ? N* ),数列 {bn } 满足 b1 ?
b2 ? 1 2 ,对任意 n ? N* ,都有 bn ?1 ? bn ? bn ? 2 . 4

1 , 2

(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)令 Tn ? a1b1 ? a2b2 ?
?a n b n ,若对任意的 n ? N* ,不等式 ? nTn ? 2bn Sn ? 2(? n ? 3bn ) 恒

成立,试求实数 λ 的取值范围.

20、在平面直角坐标系中,若 a ? ( x ? 3, y), b ? ( x ? 3, y) ,且 a ? b ? 4 , (I)求动点 Q ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (II) 已知定点 P(t ,0)(t ? 0) , 若斜率为 1 的直线 l 过点 P 并与轨迹 C 交于不同的两点 A, B , 且对于轨迹 C 上任意一点 M , 都存在 ? ? [0, 2? ] , 使得 OM ? cos? ? OA ? sin ? ? OB 成立, 试求出满足条件的实数 t 的值。

21、已知函数

f ( x) ? e? x ?(1?? )a ? ?ex ,其中 a, ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 .

(I)求函数 f ( x) 的极值; (II)对任意给定的正实数 a ,是否存在正数 x ,使不等式 出 x ,若不存在,说明理由; (III)设 ?1 , ?2 ? R + ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,证明:对任意正数 a1 , a 2 都有:a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ?2 a2 .
? ?

ex ?1 ? 1 ? a 成立?若存在,求 x

石室中学高 2013 届二诊模拟理科试题参考答案:

CBBAB AAACB

11、

5 3 2 ;12、 a ? c ? b ; 13、1033;14、 ;15、④ 2 4

16、解: (I)由于 m ? n ,所以

m ? n ? ?2sin 2

B?C A ? cos 2 A ? 1 ? 1 ? 2 cos 2 ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 cos 2 A ? cos A ? 1 2 2
┄┄┄┄4 分 ┄┄┄┄6 分 ┄┄┄┄┄7 分

? (2cos A ? 1)(cos A ? 1) ? 0 .

1 或 1(舍去) , 2 2 即角 A 的度数为 ? 3
所以 cos A ? ? (II)由 S ?

? 3 a 2 ? b2 ? c 2 ? B 。 ┄┄┄9 分 及余弦定理得: tan C ? ,∴ C ? 6 3 4 3
┄┄┄┄┄11 分 ┄┄┄┄12 分

a c ? 得c ? 2, sin A sin C 1 所以 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? 3 。 2
又由正弦定理 而 BC?面 PBC 中,?面 PAB?面 PBC. ……5 分

17、(1)证明:∵PA?面 ABC,?PA?BC, ∵AB?BC,且 PA∩AB=A, ?BC?面 PAB

解:(2)过 A 作 AE ? PB于E, 过E作EF ? PC于F, 连结AF, 如图所示 : 则?EFA 为 B?PC?A 的二面角的平面角 ……8 分 2 由 PA= 6,在 Rt?PBC 中,cos?COB= 2. 3 PA· AB 6 Rt?PAB 中,?PBA=60?.?AB= 2,PB=2 2,PC=3,?AE= = PB 2 同理:AF= 2 ………10 分

6 2 3 ?sin?EFA= = , 2 2

………11 分??EFA=60.

18、

19、 解 (Ⅰ) ∵ nan?1 ? 2Sn , ∴ (n ? 1)an ? 2Sn ?1 ( n ? 2 ), 两式相减得,nan ?1 ? (n ? 1)an ? 2an , ∴ nan ?1 ? (n ? 1)an ,即
an ?1 n ? 1 a a a 2 3 n ? ? n ( n ? 2 ), ,∴ an ? a1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 1 ? ? ? ? ? an n a1 a2 an ?1 1 2 n ?1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 a1 ? 1 满足上式,故数列 {an } 的通项公式 an ? n ( n ? N* ). ·
2 在数列 {bn } 中,由 bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ,知数列 {bn } 是等比数列,首项、公比均为

1 , 2

∴数列 {bn } 的通项公式 bn ? (Ⅱ)∴ Tn ?

1 (若列出 b1 、 b2 、 b3 直接得 bn 而没有证明扣 1 分) · · · · 6分 2n
1 1 ? (n ? 1) ? ( )n?1 ? n ? ( )n 2 2

1 1 ? 2 ? ( )2 ? 2 2

① ②

1 1 1 ∴ Tn ? ( )2 ? 2 ? ( )3 ? 2 2 2

1 1 ? (n ? 1)( )n ? n( )n?1 2 2

1 1 1 1 由①?②,得 Tn ? ? ( )2 ? ( )3 ? 2 2 2 2

1 1 n?2 ? ( )n ] ? n ? ( )n?1 ? 1 ? n?1 , 2 2 2

∴ Tn ? 2 ?

n?2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2n n ? 2 n(n ? 1) 3 )? ? 2(? n ? n ) , n n 2 2 2

不等式 ? nTn ? 2bn Sn ? 2(? n ? 3bn ) 即为 ? n(2 ?

即 (1 ? ? )n2 ? (1 ? 2? )n ? 6 ? 0 ( n ? N* )恒成立. 也即 ? ? 令 f (n) ?

n2 ? n ? 6 ( n ? N* )恒成立, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 n2 ? 2n
n?6 1 1 n2 ? n ? 6 ?1? 2 ?1? .则 f (n) ? 1 ? 2 ,10 分 2 24 n ? 2n n ? 2n n ? 2n (n ? 6) ? ? 10 n?6 n?6

由 n ? 6 ? 7 , (n ? 6) ?

24 ? 10 单调递增且大于 0,∴ f (n) 单调递增,当 n ? ?? 时, n?6

f (n) ? 1 ,且 f ( n) ? 1 ,故 ? ? 1 ,∴实数 λ 的取值范围是 [1, ??) . 12 分

20、解: (I)∵ a ? ( x ? 3, y), b ? ( x ? 3, y) ,且 a ? b ? 4 , ∴动点 Q ( x, y ) 到两个定点 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0) 的距离的和为 4,

x2 ? y2 ? 1 ∴轨迹 C 是以 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0) 为焦点的椭圆,方程为 4 x2 ? y 2 ? 1, (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? x ? t ,代入 4 2 2 消去 y 得 5 x ? 8tx ? 4t ? 4 ? 0 ,
由 ? ? 0 得 t 2 ? 5 , 且 x1 ? x2 ? ∴ y1 y2 ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ?

8t 4t 2 ? 4 , x1 x2 ? , 5 5

t2 ? 4 5

设点 M ( x, y ) ,由 OM ? cos? ? OA ? sin ? ? OB 可得 ? ∵点 M ( x, y ) 在 C 上,

? x ? x1 cos? ? x2 sin ? ? y ? y1 cos? ? y2 sin ?

∴ 4 ? x2 ? 4 y2 ? ( x1 cos? ? x2 sin ? )2 ? 4( y1 cos? ? y2 sin ? )2
2 2 ? ( x12 ? 4 y12 ) c o? s ? x2 (2 ? y 4 )? s2i n ? 2

? 2 sin ? x c x2s? ( y1 y2 4 1o

)

? 4(cos2 ? ? sin2 ? ) ? 2sin? cos? ( x1x2 ? 4 y1 y2 ) ? 4 ? 2sin ? cos? ( x1x2 ? 4 y1 y2 ) ∴ 2sin ? cos? ( x1 x2 ? 4 y1 y2 ) ? 0 , 又因为 ? ? [0, 2? ] 的任意性,∴ x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ,
4t 2 ? 4 4(t 2 ? 4) 10 ? ? 0 ,又 t ? 0 , 得 t ? , 5 5 2 10 10 代入 t ? 检验,满足条件,故 t 的值是 。 2 2


21、解:为方便,我们设函数 g ( x) ? e ,于是
x

(1)∵ f ?( x) ? ? g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ?( x) ,

-----------------1 分

由 f ?( x) ? 0 得, g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? g ?( x) , ∴ ? x ? (1 ? ? )a ? x ,即 (1 ? ? )( x ? a) ? 0 ,解得 x ? a ,-----------------3 分 故当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ; ∴当 x ? a 时, f ( x) 取极大值,但 f ( x) 没有极小值.-----------------4 分

(2)∵

ex ?1 ex ? x ?1 , ?1 ? x x

又当 x ? 0 时,令 h( x) ? e x ? x ? 1 ,则 h?( x) ? ex ?1 ? 0 ,故 h( x) ? h(0) ? 0 , 因此原不等式化为

ex ? x ?1 ? a ,即 ex ? (1 ? a) x ?1 ? 0 , -----------------6 分 x

令 g ( x) ? ex ? (1 ? a) x ?1 ,则 g?( x) ? ex ? (1 ? a) , 由 g ?( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) ,
x

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, g ?( x) ? 0 . 故当 x ? ln(1 ? a) 时, g ( x) 取最小值 g[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) , ----------8 分 令 s(a) ?

a 1 1 a ? ln(1 ? a ), a ? 0 ,则 s?(a) ? ? ?? ? 0. 2 1? a (1 ? a) 1 ? a (1 ? a) 2

故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 g[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立.
x

-----------------10 分
x

(3)对任意正数 a1 , a2 ,存在实数 x1 , x2 使 a1 ? e 1 , a2 ? e 2 , 则 a1 1 a2 2 ? e 1 1 ? e
? ?

?

?

?x

?2 x2

? e?1x1 ??2 x2 , ?1a1 ? ?2a2 ? ?1ex1 ? ?2ex2 ,
? x ? ?2 x2

原不等式 a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ?2 a2 ? e 1 1

? ?1ex1 ? ?2ex2 ,
-----------------12 分

? g (?1x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ?2 g ( x2 )

由(1) f ( x) ? (1 ? ? ) g (a) 恒成立,故 g[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ( x) ? (1 ? ? ) g (a) , 取 x ? x1 , a ? x2 , ? ? ?1 ,1 ? ? ? ?2 ,即得 g (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ?2 g ( x2 ) , 即e 1 1
? x ? ?2 x2

? ?1ex1 ? ?2ex2 ,故所证不等式成立.

-----------------14 分


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