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湖南省长沙县实验中学、汝城县第一中学2014届高三11月联考数学(理)试题 Word版含答案


长沙县实验中学高三数学备课组组稿 命题人:曾福旺 审题人:张 旭
时量:120 分钟 满分:150 分 (考试范围:集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、 数系的扩充与复数的引入、数列、不等式、推理与证明、立体几何) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将

所选答案填在答题卡对应位置。 1. 已知集合 A={1, a-1}, 2, B={0, a2+1}, A ? B ? {} , 3, 若 ) 2 则实数 a 的值为 ( A.0 B.±1 C.-1 D.1 2. A ? {x || x ? 1|? 1, x ? R}, B ? {x | log 2 x ? 1, x ? R}, 则 “x∈A”是“x∈B”的( A.充分非必要条件 非必要条件 3.已知 {an } 是等比数列,对任意 n ? N *, an ? 0 恒成立,且 a1a3 ? 2a2a5 ? a4a6 ? 36, ,则 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 )

D.既非充分也

a2 ? a5 等于(
A.36

) B.±6 C.-6 D.6

?x ? 1 ? 4.若 x, y ? R ,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值等于( ?y ? x ?
A.9 B.5 C.3



D.2 C B

5.如图,平面内的两个单位向量 OA, OB ,它们的夹角是 60°, OC 与 OA 、 且| 若 则 OB 向量的夹角都为 30? , OC |= 2 3 , OC ? ?OA ? ?OB , ? ? ? 值为( A.2 ) B.4 C. 2 3 D. 4 3 O A 第 5 题图

6.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2,正视图和俯视图如图所示, 则其侧视图的面积为 ( ) A. 2 3 C.4 B. 3 D.2

7. 已知数列 {an },{bn } 满足 a1 ? 1 , an , an ?1 是函数 f ( x) ? x2 ? bn x ? 2n 的两个零点, b10 且 则 等于( A.24 ) B.32 C.48 D.64

8.若直角坐标系中有两点 P, Q 满足条件: (1) P, Q 分别在函数 y ? f ( x ) 、 y ? g ( x ) 的图象 上, (2) P, Q 关于点(1,0)对称,则称 P, Q 是一个“和谐点对”。函数 y ? 数 y ? 2 sin πx ( ?2 ? x ? 4) 的图象中“和谐点对”的个数是( A.4 B.6 C.8 ) D.10
1 1? x

的图象与函

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分(第 14、15 题第一空 2 分,第二空 3 分) ,共 35 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.复数
4+3i 1+2i
a 1

的虚部是



10.若

?

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值是 x



11 . 若 关 于 x 的 不 等 式 m ? x ?1? ? x2 ? x 的 解 集 为 x 1 ? x ? 2 , 则 实 数 m 的 值 为 。

?

?

12.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? x ? c( x ? R) 的值域为 [0, ??) ,则 为 。

c?2 a?2 ? 的最小值 a c

13.在平面几何里有射影定理:设△ABC 的两边 AB⊥AC,D 是 A 点在 BC 上的射影,则 AB2 =BD· BC.拓展到空间,在四面体 A—BCD 中,DA⊥面 ABC,点 O 是 A 在面 BCD 内的射影, 且 O 在面 BCD 内,类比平面三角形射影定理,△ABC,△BOC,△BDC 三者面积之间关系 为 .

14. 定义一种运算 “*” 对于正整数满足以下运算性质: 2* 2014 ? 1 ; (2n ? 2)*2014 ? (1) (2)

3 ? [(2n)*2014] ,则 2012* 2014 ?
15.若函数 y ? f ( x), x ? D 同时满足下列条件, (1)在 D 内为单调函数; (2)存在实数 m ,

n . 当 x ? [m, n] 时 , y ? [m, n] , 则 称 此 函 数 为 D 内 的 等 射 函 数 , 设
f ( x) ? ax ? a ? 3 (a ? 0, 且a ? 1) 则: ln a
(填增函数或减函数);(2)当 f (x) 为 R 内的等 .

(1) f (x) 在(-∞,+∞)的单调性为 射函数时, a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,△ABC 的面积 S 满足 S ?

3 bc cos A 。 2

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, 用 x 表示 c ,并求 c 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)已知 x=1 是函数 f ( x) ? (ax ? 2)e x (a ? R) 的一个极值点, (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ?[0, 2] 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,侧面 ABB1 A , ACC1 A 均为 1 1 1 正方形,∠ BAC = 90 ,点 D 是棱 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证: A1D ⊥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证: AB1 // 平面 A1DC ; (Ⅲ)求二面角 D ? AC ? A 的余弦值. 1
?

19.(本小题满分 13 分)湖南省环保研究所对长沙市中心每天环境放射性污染情况进行调查 研 究 后 , 发 现 一 天 中 环 境 综 合 放 射 性 污 染 指 数 f ( x) 与 时 刻 x 的 关 系 为

f ( x) ?

1 x 2 ? a ? 2a ? , x ? [0, 24] ,其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? [0, ] ,若用 2 x ?1 3
2

每天 f ( x ) 的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作 M (a) 。 (Ⅰ)令 t ?

x , x ? [0, 24] ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(Ⅱ)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标?

20. (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ? an?1 ? 4n, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和.数列 {bn } 前 n 项的积为 Tn ,且 Tn ? 2
n ( n ?1) 2

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在常数 a,使得 {Sn ? a} 成等差数列?若存在,求出 a,若不存在,说明理 由; (Ⅲ)是否存在 m ? N * ,满足对任意自然数 n ? m 时, bn 出 m 的值;若不存在,说明理由。

? Sn 恒成立,若存在,求

21. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ?

1 3 mx ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3 3 ( I )若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P,且点 P 关于直线 x ? 的对称点在 y ? f ( x) 的图 2

象上,求 m 的值; (Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设 G( x) ? ?

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G ( x) 上是否存在两点 P、Q,使 ? g ( x), x ? 2

△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由.

汝城县第一中学 2014 届高三年级十一月份联考理科数学 长沙县实验中学
长沙县实验中学高三数学备课组组稿 命题人:曾福旺 审题人:张 旭
时量:120 分钟 满分:150 分 (考试范围:集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、 数系的扩充与复数的引入、数列、不等式、推理与证明、立体几何) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡对应位置。 1.已知集合 A={1,2,a-1},B={0,3,a2+1},若 A ? B ? {2 ,则实数 a 的值为 ( C ) } A.0 B.±1 C.-1 D.1 2. A ? {x || x ? 1|? 1, x ? R}, B ? {x | log 2 x ? 1, x ? R}, 则 “x∈A”是“x∈B”的( B ) A.充分非必要条件 非必要条件 3.已知 {an } 是等比数列,对任意 n ? N *, an ? 0 恒成立,且 a1a3 ? 2a2a5 ? a4a6 ? 36, ,则 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也

a2 ? a5 等于( D )
A.36 B.±6 C.-6 D.6

?x ? 1 ? 4.若 x, y ? R ,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值等于( C ) ?y ? x ?
A.9 B.5 C.3 D.2 C B

5.如图,平面内的两个单位向量 OA, OB ,它们的夹角是 60°, OC 与 OA 、 且| 若 则 OB 向量的夹角都为 30? , OC |= 2 3 , OC ? ?OA ? ?OB , ? ? ? 值为( B ) A.2 B.4 C. 2 3 D. 4 3 O A 第 5 题图

6.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2,正视图和俯视图如图所示, 则其侧视图的面积为 ( A ) A. 2 3 C.4 B. 3 D.2

7. 已知数列 {an },{bn } 满足 a1 ? 1 , an , an ?1 且 是 函 数 f ( x) ? x ? n x 2 的 两 个 零 b ?
2 n

第 6 题图

点,则 b10 等于(D) A.24 B.32 C.48 D.64

8.若直角坐标系中有两点 P, Q 满足条件: (1) P, Q 分别在函数 y ? f ( x ) 、 y ? g ( x ) 的图象 上, (2) P, Q 关于点(1,0)对称,则称 P, Q 是一个“和谐点对”。函数 y ? 数 y ? 2 sin πx ( ?2 ? x ? 4) 的图象中“和谐点对”的个数是( A ) A.4 B.6 C.8 D.10
1 1? x

的图象与函

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分(第 14、15 题第一空 2 分,第二空 3 分) ,共 35 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.复数
4+3i 1+2i
a 1

的虚部是 -1 。

10.若

?

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值是 2 x



11.若关于 x 的不等式 m ? x ?1? ? x2 ? x 的解集为 x 1 ? x ? 2 ,则实数 m 的值为 2 。 12.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? x ? c( x ? R) 的值域为 [0, ??) ,则 为 10 。 13.在平面几何里有射影定理:设△ABC 的两边 AB⊥AC,D 是 A 点在 BC 上的射影,则 AB2 =BD· BC.拓展到空间,在四面体 A—BCD 中,DA⊥面 ABC,点 O 是 A 在面 BCD 内的射影, 且 O 在面 BCD 内,类比平面三角形射影定理,△ABC,△BOC,△BDC 三者面积之间关系为
2 S?A B C? S? OBC ?

?

?

c?2 a?2 ? 的最小值 a c

? S

. C DB

14. 定义一种运算 “*” 对于正整数满足以下运算性质: 2* 2014 ? 1 ; (2n ? 2)*2014 ? (1) (2)

3 ? [(2n)*2014] ,则 2012* 2014 ? 31005
15.若函数 y ? f ( x), x ? D 同时满足下列条件, (1)在 D 内为单调函数; (2)存在实数 m ,

n . 当 x ? [m, n] 时 , y ? [m, n] , 则 称 此 函 数 为 D 内 的 等 射 函 数 , 设
ax ? a ? 3 f ( x) ? (a ? 0, 且a ? 1) 则: ln a
(1) f (x) 在(-∞,+∞)的单调性为 增函数 (填增函数或减函数);(2)当 f (x) 为 R 内的等射 函数时, a 的取值范围是 (0,1) ? (1,2) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,△ABC 的面积 S 满足 S ?

3 (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, 用 bc cos A 。 2

x 表示 c ,并求 c 的取值范围.
解: 1) ?ABC 中, S ? ( 在 由 3分 ∵0 ? A ?? ( 2 ) ∴A? 由

1 3 得n bc cos A ? bc sin A , a t 2 2

A? 3

??????????

?
3

????????????5 分

a ? 3, A ?

?
3















a c ? ? sin A sin C

3 ? 2 ,????????????7 分 3 2
2? ? x) ???????????????? 3
2? 3

∴ c ? 2sin C ? 2sin(? ? A ? B) ? 2sin( ??9 分 ∵ ∴0 ?

A?

?
3



0? x?

2? 2? ?x? ???????????????10 分 3 3 2? 2? 0 ? sin( ? x) ? 1 0 ? 2sin( ? x) ? 2 ∴ , 3 3
???????????12 分





c ? (0, 2]

17. (本小题满分 12 分)已知 x=1 是函数 f ( x) ? (ax ? 2)e (a ? R) 的一个极值点,
x

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ?[0, 2] 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,侧面 ABB1 A , ACC1 A 均为 1 1 1 正方形,∠ BAC = 90 ,点 D 是棱 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证: A1D ⊥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证: AB1 // 平面 A1DC ; (Ⅲ)求二面角 D ? AC ? A 的余弦值. 1 (Ⅰ)证明:因为侧面 ABB1 A , ACC1 A 均为正方形, 1 1 所以 AA ? AC, AA ? AB , 1 1 所 以 柱.
?

AA1 ? 平 面

ABC

, 三 棱 柱

A B ? C1

1

A是 直 三 棱 C 1B

?????????1 分 因为 A1D ? 平面 A1B1C1 ,所以 CC1 ? A D , 1 又因为 A B1 ? AC1 , D 为 B1C1 中点, 1 1 所以 A D ? B1C1 . 1 因为 CC1 ? B1C1 ? C1 , 所以 A1D ? 平面 BB1C1C . ???????4 分 y C A O B ?????????3 分 C11 ??2 分 z D A1 x B1

(Ⅱ)证明:连结 AC1 ,交 AC 于点 O ,连结 OD , 1 因为 ACC1 A 为正方形,所以 O 为 AC1 中点, 1 又 D 为 B1C1 中点,所以 OD 为 ?AB1C1 中位线, 所以 AB1 // OD , ???????6 分

因为 OD ? 平面 A1DC , AB1 ? 平面 A1DC ,

所以 AB1 // 平面 A1DC .

????????8 分
?

(Ⅲ)解: 因为侧面 ABB1 A , ACC1 A 均为正方形, ?BAC ? 90 , 1 1 所以 AB, AC, AA1 两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系 A ? xyz .

, 设 AB ? 1 ,则 C (0,1 0), B(1, 0, 0), A1 (0, 0,1), D( , ,1) .
???? ? 1 1 ???? A1 D ? ( , , 0), A1C ? (0,1 ? 1) , , 2 2
???9 分 ??????????

1 1 2 2

? ?n ? A1 D ? 0 ? x ? y ? 0 ? ? 设平面 A1DC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则有 ? ? ,? ?n ? A1C ? 0 ? y ? z ? 0 ? ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1, ?1, ?1) . ??????????
又因为 AB ? 平面 ACC1 A ,所以平面 ACC1 A 的法向量为 AB ? (1,0, , 0) 1 1 设二面角 D ? AC ? A 的平面角为 ? ,则 ? ? ? ? ? n, AB ? 1

10 分

??? ?

? ??? ?

? ??? ? ? ??? ? n ? AB 1 3 ??? ? ? ? ∴ cos ? ? cos(? ? ? n, AB ?) ? ? ? ?? 3 | n | ? | AB | 3
11 分 所以,二面角 D ? AC ? A 的余弦值为 ? 1

???????

3 . 3

?????????????

12 分 19.(本小题满分 13 分)湖南省环保研究所对长沙市中心每天环境放射性污染情况进行调查 研 究 后 , 发 现 一 天 中 环 境 综 合 放 射 性 污 染 指 数 f ( x) 与 时 刻 x 的 关 系 为

f ( x) ?

1 x 2 ? a ? 2a ? , x ? [0, 24] ,其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? [0, ] ,若用 2 x ?1 3
2

每天 f ( x ) 的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作 M (a) 。 (Ⅰ)令 t ?

x , x ? [0, 24] ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(Ⅱ)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标?

20. (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ? an?1 ? 4n, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和.数列 {bn } 前 n 项的积为 Tn ,且 Tn ? 2
n ( n ?1) 2

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在常数 a,使得 {Sn ? a} 成等差数列?若存在,求出 a,若不存在,说明理 由; (Ⅲ)是否存在 m ? N * ,满足对任意自然数 n ? m 时, bn 出 m 的值;若不存在,说明理由。 解: (Ⅰ)由题知 an ? an?1 ? 4n ,∴ an?1 ? an?2 ? 4(n ? 1) ,∴ an?2 ? an ? 4 即数列 {an } 隔项成等差数列, 分 又 a1 ? 1 ? an ? 3 ??????????1

? Sn 恒成立,若存在,求

∴当 n 为奇数时, an ? a1 ? 4(

n ?1 ? 1) ? 2n ? 1 , 2 n 当 n 为偶数时, an ? a2 ? 4( ? 1) ? 2n ? 1 2

??????????2



∴ 对 一 切 n ? N*, a ? 2 n ? 1 n 分 又 b1 ? T1 ? 2 ,当 n ? 2 时 bn ? ∴对一切 n ? N*, bn ? 2n

??????????????????????3

Tn ? 2n ,且 n ? 1 时满足上式, Tn ?1
?????????????????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n ? 1,数列 {an } 成等差数列,∴ S n ?

(a1 ? an ) ? n2 2

∴ Sn ? a ? n2 ? a, Sn?1 ? a ? (n ? 1)2 ? a, Sn?2 ? a ? (n ? 2)2 ? a ?????????? 7分 若存在常数 a, 使得 {Sn ? a} 成等差数列, 2(Sn?1 ? a) ? (Sn ? a ? (Sn?2 ? a) 在 n ? N * 则 时恒成立 即 2[(n ? 1)2 ? a] ? n2 ? a ? (n ? 2)2 ? a ? 4 ? 2 ∴不存在常数 a 使数列 {Sn ? a} 成等差数列 (Ⅲ) (3)存在 m=4 使得当 n ? 4 时, bn
n 2

??????????9 分

? Sn 恒成立,

即当 n ? 4 时, 2 ? n ,下面用用数学归纳法证明:略??????????13 分 21. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ?

1 3 mx ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3 3 ( I )若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P,且点 P 关于直线 x ? 的对称点在 y ? f ( x) 的图 2
(Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设 G( x) ? ?

象上,求 m 的值;

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G ( x) 上是否存在两点 P、Q,使 ? g ( x), x ? 2

△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由. 解: I ) 令 ln( x ? 1) ? 0 , x ? 2 , ( 则 即函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P (2, ?????? 0) (1 分)

3 的对称点为(1,0) ????????????(2 分) 2 1 m?4?m ? 0 , ∴ 又 点 (1 , 0) 在 y ? f ( x) 的 图 象 上 , ∴ 3 m ? ?3 ???????????(3 分)
∴P (2,0)关于直线 x ?

(



)



F ( x) ? mx2 ? 2(4 ? m) x ? 8ln x











[0, ??) ????????????(4 分)


F ?( x) ? 2mx ? (8 ? 2m) ?
分) ∵x>0,则 x+1>0

8 2mx 2 ? (8 ? 2m) x ? 8 (2mx ? 8)( x ? 1) ? ? ???????(5 x x x

∴当 m≥0 时 F ?( x) ? 0 ,此时 F ( x) 在(0, +∞)上为增函数。 ??????????? (6 分)

4 4 ,由 F ?( x) ? 0 得 x ? ? m m 4 4 ∴ F ( x) 在 (0, ? ) 上为增函数,在 ( ? , ?? ) 上为减函数。??????????? m m
当 m<0 时,由 F ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? (7 分) 综上,当 m≥0 时, F ( x) 在(0,+∞)上为增函数。 当 m < 0 时 , F ( x) 在 (0, ? 数。??????(8 分)

4 4 ) 上 为 增 函 数 , 在 ( ? , ?? ) 上 为 减 函 m m


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