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§2.4.1抛物线及其标准方程练习题(教师)


§2.4.1 抛物线及其标准方程练习题(教师)
一.基础练习题 1 1.已知抛物线的焦点是(0,- ),则抛物线的标准方程是( ) 4 2 2 2 A.x =-y B.x =y C.y =x D.y2=-x 答案:A 1 2.抛物线 y=- x2 的焦点坐标是( ) 8 1 1 A.(0, ) B.( ,0) C.(0,-2) D.(-2,0) 32 32 答案:C 3.(2009 年高考四川卷)抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是________. 解析:抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线 x=-1. ∴焦点到准线的距离为 2. 答案:2 y2 x2 4.以双曲线 - =1 的焦点为焦点的抛物线的方程为________. 9 16 2 答案:x =20y 或 x2=-20y 5.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上. 4 解:(1)设抛物线方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p>0),则将点(-3,2)代入方程得 2p= 或 2p 3 9 4 2 2 9 = ,故抛物线方程为 y =- x 或 x = y. 2 3 2 (2)①令 x=0,由方程 x-2y-4=0,得 y=-2. ∴抛物线的焦点为 F(0,-2). p 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则由 =2,得 2p=8. ∴所求抛物线方程为 x2=-8y. 2 ②令 y=0,由方程 x-2y-4=0,得 x=4. ∴抛物线的焦点为 F(4,0). p 设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则由 =4,得 2p=16.∴所求抛物线方程为 y2=16x. 2 2 综上,所求抛物线方程为 y =16x 或 x2=-8y. 二.能力提升题 1.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则实数 a 的值为( ) 1 1 A. B.- C.8 D.-8 8 8 1 1 1 解析:由 y=ax2,得 x2= y, =-2,a=- . 选 B. a 4a 8 2.若抛物线 y2=2px 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则焦点到准线的距离为( ) 1 A. B.1 C.2 D.4 2 p 解析:利用抛物线的定义,由 y2=2px 可知准线方程为 x=- ,横坐标为 4 的点到准线的距 2 p p 离为 4+ ,所以 4+ =5,得 p=2. 选 C. 2 2 2 3.抛物线 y=4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( ) 17 15 7 A. B. C. D.0 16 16 8 1 1 15 解析:方程可化为 x2= y,设 M(x0,y0),则 y0+ =1,∴y0= . 选 B. 4 16 16 4.当 a 为任何值时,直线(a-1)x-y+2a+1=0 恒过定点 P,则过 P 点的抛物线的标准方程 为( ) 9 4 9 4 A.y2=- x 或 x2= y B.y2= x 或 x2= y 2 3 2 3

9 4 D.y2=- x 或 x2=- y 2 3 ? ?x+2=0, 解析:由直线过定点 P,所以? 得定点 P(-2,3).因为抛物线过定点 P,所 ? ?-x-y+1=0, 9 4 以,当焦点在 x 轴上时,方程为 y2=- x;当焦点在 y 轴上时,抛物线方程为 x2= y.选 A. 2 3 5.抛物线 y2=2px(p>0)过点 M(2,2),则点 M 到抛物线准线的距离为________. p 5 5 解析:y2=2px 过点 M(2,2),于是 p=1,所以点 M 到抛物线准线的距离为 2+ = .答案: 2 2 2 6.设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为 x=-1,则它的焦点坐标为________. 解析:准线与坐标轴的交点和焦点连线的中点即为顶点.答案:(5,0) 7.若抛物线 y2=-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,求抛物线 方程和 M 点的坐标. p p 解:由抛物线的定义,设焦点 F(- ,0).则准线为 x= .设 M 到准线的距离为|MN|, 2 2 p 则|MN|=|MF|=10,即 -(-9)=10,∴p=2. 故抛物线方程为 y2=-4x. 2 将 M(-9,y),代入抛物线方程得 y=± 故 M(-9,6)或 M(-9,-6). 6. 8.动圆 M 经过点 A(3,0)且与直线 l:x=-3 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解:设圆 M 与直线 l 相切于点 N. ∵|MA|=|MN|,∴圆心 M 到定点 A(3,0)和定直线 x=-3 的距离相等.根据抛物线的定义,M 在以 A 为焦点,l 为准线的抛物线上. p ∵ =3,∴p=6. ∴圆心 M 的轨迹方程为 y2=12x. 2 3 9.已知抛物线 C 的焦点 F 在 x 轴的正半轴上,点 A(2, )在抛物线内.若抛物线上一动点 P 2 到 A、F 两点距离之和的最小值为 4,求抛物线 C 的方程. p 解:设抛物线方程为 y2=2px(p>0),其准线为 x=- ,过 P 点作抛物线准线的垂线,垂足为 2 H(图略),由定义知,|PH|=|PF|.∴|PA|+|PF|=|PA|+|PH|,故当 H、P、A 三点共线时,|PA| p +|PF|最小. ∴|PA|+|PF|的最小值为 +2=4,p=4, 即抛物线 C 的方程为 y2=8x. 2

9 4 C.y2= x 或 x2=- y 2 3


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