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2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)


2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一 选择题
1.如果集合 A.B 同时满足 A

B ? ?1.2.3.4? A B ? ?1? , A ? ?1? , B ? ?1? 就称有序集对 ? A, B ? 为“好集


对” 。 这里的有序集对 ? A, B ? 意指当 A ? B , 那么 “好集对” 一共有 ( ? A, B? 和? B, A? 是不同的集对, 个。

A

64

B

8

C

6

D

2
)

?x 2.设函数 f ? x ? ? lg 10 ? 1 , 方程f ? ?2 x ? ? f ?1 ? 2 x ? 的解 为(

?

?

A.log2 ? lg 2? ?1

B .lg ? log2 10? ?1

C .lg ? lg 2? ?1

D. log2 ? log2 10? ?1

3.设 A ? 100101102 499500 是一个 1203 位的正整数,由从 100 到 500 的全体三位数按顺序排列而成 那么 A 除以 126 的余数是( )

A

78

B

36

C

6

D

0

4.在直角 ABC 中 , ?C ? 90 , CD 为斜边上的高 ,D 为垂足 . AD ? a, BD ? b, CD ? a ? b ? 1 .设数列

?uk ? 的通项为 uk ? a k ? a k ?1b ? a k ?2b2 ?
A. u2008 ? u2007 ? u2006 C. 2007 u2008 ? 2008u2007

? ? ?1? b k , k ? 1, 2,3,
k

, 则( )

B. u2008 ? u2007 ? u2006 D. 2008 u2008 ? 2007u2007
那么 a2007 ? ____________

5.在正整数构成的数列 1.3.5.7……删去所有和 55 互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一 个新的数列 ?an ? ,易见 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 7, a4 ? 9, a5 ? 13

A. 9597
6.设
0

B. 5519
0

C. 2831
0

D. 2759
1+cos870 1-cos87
0

A ? 1 ? cos30 + 1+cos70 + 1+cos110 + B ? 1 ? cos3 + 1-cos7 + 1-cos11 +
A. 2- 2
2

则 A: B ? ?

?

B.

2+ 2
2

C.

2-1

D.

2+1

二.填空题
7.边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形一共有______________种. 8.设 n ? 2007 ,且 n 为使得 an =

?

2- 2 ? i 2+ 2 取实数值的最小正整数,则对应此 n 的 an 为

?

n

9. 若 正 整 数 n 恰 好 有 4 个 正 约 数 , 则 称 n 为 奇 异 数 , 例 如 6,8,10 都 是 奇 异 数 . 那 么 在 27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个数中奇异数有_____________________个.

A 出发的三条棱 AA1, AB, AD 的长度分别为 2,3,4,且两两夹角 10.平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,顶点
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都 为 60 那 么 这 个 平 行 六 面 体 的 四 条 对 角 线 AC1 , BD1 , DB1 , CA 1 的长度(按顺序)分别为 ___________________
1 2 11.函数 f ? x ? , g ? x ? 的迭代的函数定义为 f ? ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ? ? x ? ? f

? f ? x ?? ,

f ? n? ? x ? ? f f ? n ?1? ? x ? , g ?1? ? x ? ? g ? x ? , g ? 2? ? x ? ? g ? g ? x ? ? ,

?

?

g ? n ? ? x ? ? g g ? n ?1? ? x ?

?

?





n =2,3,4…
? f ?9? ? x ? ? g ? 6? ? y ? ? ? ?9? ? 6? 设 f ? x ? ? 2x ? 3, g ? x ? ? 3x ? 2 ,则方程组 ? f ? y ? ? g ? z ? 的解为_________________ ? ?9? ? 6? ? ? f ? z ? ? g ? x?
12.设平行四边形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 2, BD ? 2 3, 则平行四边形 ABCD 绕直线 AC 旋转所得 的旋转体的体积为_______________

三解答题
13.已知椭圆 ? :3x2 ? 4 y 2 ? 12 和点 Q ? q,0? , 直线 l过Q且与?交于A, B 两点(可以重合). 1)若 ?AOB 为钝角或平角( O 为原点),

q ? 4, 试确定 l 的斜率的取值范围.

2)设 A 关于长轴的对称点为 A , q ? 4, 试判断 A1和F , B 三点是否共线,并说明理 1 , F为椭圆的右焦点 由. 3)问题 2)中,若 q ? 4, 那么A 1, F , B 三点能否共线?请说明理由.

第 2 页

14. 数列 ?xn ? 由下式确定 : xn?1 ?

xn , n ? 1,2,3, 2 2 xn ?1

, x1 ? 1 , 试求 lg x2007整数部分k ? ? lg x 2007 ? .( 注

? a ? 表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分.)

15. 设给定的锐角 ABC 的三边长 a, b, c, 正实数x, y, z 满足

ayz bzx cxy ? ? ? p, 其中 p 为给定的正 x y z

2 2 2 实数 ,试求 s ? ? b ? c ? a? x ? ? c ? a ? b? y ?? a ? b ? c? z 的最大值,并求出当 s 取此最大值时 , x, y , z

的取值.


一、



选择题 1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D. 1.逐个元素考虑归属的选择. 元素 1 必须同时属于 A 和 B. 元素 2 必须至少属于 A、B 中之一个,但不能同时属于 A 和 B,有 2 种选择:属于 A 但不属于 B, 属于 B 但不属于 A.
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同理,元素 3 和 4 也有 2 种选择. 但元素 2,3,4 不能同时不属于 A,也不能同时不属于 B. 所以 4 个元素满足条件的选择共有 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 种.换句话说, “好集对”一共有 6 个. 2.令 y ? lg(10? x ? 1) ,则 y ? 0 ,且 10
?x

答:C.

? 1 ? 10 y , 10? x ? 10 y ? 1 , ? x ? lg(10y ? 1) ,

x ? ? lg(10y ? 1) .从而 f ?1 ( x) ? ? lg(10x ? 1) .
令 2 ? t ,则题设方程为
x

f (?t ) ? f ?1 (t ) ,即

lg(10t ? 1) ? ? lg(10t ? 1) ,

故 解得

lg[(10t ? 1)(10t ? 1)] ? 0 , (10t ? 1)(10t ? 1) ? 1 , 102t ? 2 , 2t ? lg 2 ,
2x ? t ?

1 1 lg 2 . 从而 x ? log 2 ( lg 2) ? l o g 2) ? 1 . 答:A. 2(l g 2 2 3. 注意 126 ? 2 ? 7 ? 9 ,2,7 和 9 两两互质. 因为 A ? 0 (mod2), A? ( 1 ? 0 ? 0) ? ( 1? 0 ?1 ) ? ( 1 ? 0 ? 2) ??? (4 ? 9 ? 9) ? (5 ? 0 ? 0) ?100 ?1 0 1 ?1 0 2 ? ? ? 5 0 0? ( 100 ? 500) ? 401 ? 2 ? 1 2 0 3 0? 0 6 (mod9), A ? 6 (mod18). 所以 (1)
3n n 又因为 10 ? ?1, 10 ? (?1) (mod7), 所以 A ?
3

i (? 1 ) ? (500? i) ?103i ? ? (500 ? i) ? i ?0 i ?0

400

400

? (500 ? 499) ? (498? 497) ? (496 ? 495) ? ? ? (102 ? 101 ) ? 100 ? 300 ? 6 (mod7).
由(1) , (2)两式以及 7 和 18 互质,知 A ? 6 (mod126). 答:C.

(2)

6 ( 10 6 ? 1 ) ( 10 6 n ? 1 ) 另解: 126 ? 2 ? 63 , 63999999, 999999? 10 ? 1 , , n ? 1,2,3,? .所以

A ? 100? 101200 ? 101102 ?101194 ? 103104 ? 101188 ? ? ? 497498 ? 106 ? 499500 ? 100? ( 101200 ? 1 ) ? 101102 ? ( 101194 ? 1 ) ? 103104 ? ( 101188 ? 1 ) ? ? ? 497498 ? ( 106 ? 1 ) ?
( 100 ? 101102 ? 103104 ? ? ? 497498 ? 499500) ? 999999 B ? 100 ? ( 101102 ? 499500) ? 200 ? 2 ? 999999 B ? 100 ? 60060200 ? 999999 B ? 60060300 ? 999999 C ? 60360 , 其中 B,C 为整数.从而 A ? 63 D ? 60360 ? 63 E ? 6 ,其中 D,E 为整数.所以 A 除以 63 的余数为 6.因
为 A 是偶数,所以 A 除以 126 的余数也为 6. 答:C.
2 2 (a ? b) ? ab , 又 已 知 a ? b ? 1 , 故 ab ? 1 , a(a ? 1) ? 1 , 4. 易 见 CD ? AD ? BD , 即

a 2 ? a ? 1 ? 0 ; b(b ? 1) ? 1 , b 2 ? b ? 1 ? 0 .
k 显然 u k 是首项为 a ,公比为 q ? ?

b 的等比数列的前 k ? 1 项和.故 a

uk ?
从而

a k (1 ? q k ?1 ) a k ?1 ? (?b) k ?1 , ? 1? q a?b

k ? 1,2,3? .

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u k ? u k ?1 ?
?

1 a k ?1 ? (?b) k ?1 a k ? 2 ? (?b) k ? 2 ? [a k ? 2 ? a k ?1 ? (?b) k ? 2 ? (?b) k ?1 ] ? a?b a?b a?b

1 1 [a k ?1 (a ? 1) ? (?b) k ?1 (?b ? 1)] ? [a k ?1 ? a 2 ? (?b) k ?1 ? b 2 ] a?b a?b 1 ? [a k ?3 ? (?b) k ?3 ] ? u k ? 2 , k ? 1,2,3? . a?b
故答案为 A.(易知其余答案均不成立)
2 2 另 解 : 易 见 CD ? AD ? BD , 即(a ? b) ? ab , 又 已 知 a ? b ? 1 , 故 ab ? 1 ,

2 (a ? b) ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 12 ? 4 ?1 ? 5 , a ? b ? 5 .解得

a?

5 ?1 , b? 2

5 ?1 . 2

k 显然 u k 是首项为 a ,公比为 q ? ?

b 的等比数列的前 k ? 1 项和,故 a

a k (1 ? q k ?1 ) a k ?1 ? (?b) k ?1 1 1 ? 5 k ?1 1 ? 5 k ?1 uk ? ? ? [( ) ?( ) ], 1? q a?b 2 2 5
于是数列 ?u k ? 就是斐波那契数列 1,2,3,5,8,13,21,?, 它满足递推关系

k ? 1,2,3,? .

uk ?2 ? uk ?1 ? uk ,

k ? 1,2,3,? .

所以答案为 A.

5. ?an ? 可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,?中删去所有能被 2,5 或 11 整除的项之 后,把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理,1,2,3,4,?, m 中不能被 2,5 或 11 整除的项的个数为

?m? ?m? ? m ? ? m ? ? m ? ? m ? ? m ? , xm ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 5 ? ?11? ? 55? ? 22? ?10? ?110? ?
其中 ?a ? 不表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分. 估值:设 2007 ? x m ? m ?

1 4 10 4 ? m? ? ? ? m ,故 2 5 11 11
又因为

m m m m m m m 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? m ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) 2 5 11 55 22 10 110 2 5 11 11 m ? 2007 ? ? 5519 . 4

? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? ? 5519? x5519 ? 5519? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 11 ? ? ? ? 55 ? ? ? ? 22 ? ? ? ? 10 ? ? ? ? 110 ? ?
=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007, 并且 5519 不是 2,5,11 的倍数,从而知 a2007 ? 5519.
第 5 页

答:B.

又解: ?an ? 可看成是在正整数数列 1,2,3,4,5,6,7,?中删去所有能被 2,5 或 11 整除的 项之后,把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为 2,5,11 是质数,它们的最小公倍数为 110. , ? 3, ? 7, ? 9; ? 13, ? 17, ? 19; ? 21, 易见, -54, -53, ?, 0, 1, 2, 3, ?, 55 中不能被 2, 5, 11 整除的数为 ? 1 ? 23, ? 27, ? 29; ? 31, ? 37, ? 39; ? 41, ? 43, ? 47, ? 49; ? 51, ? 53 ,共 40 个. (或由欧拉公式, 1, 2, 3, ?, 110 中不能被 2,5,11 整除的数的个数,等于 1,2,3,?,110 中与 110 互质的数的个数,等于

1 1 1 ?( 110) ? 110 ? ( 1? ) ? ( 1? ) ? ( 1? ) ? 40 .) 2 5 11
显然 1,2,3,?中每连续 110 个整数,不能被 2,5,11 整除的数都有 40 个.所以,1,2,3,?,

110 ? 50 ? 5500 中,不能被 2,5,11 整除的数有 40 ? 50 ? 2000 个.大于 5500 中的数不能被 2,5,11
整除的,是 5500+1,5500+3,5500+7,5500+9,5500+13,5500+17,5500+19,?.所以 5519 是第 2007 个不能被 2,5,11 整除的数,亦即所求的 a2007 ? 5519. 答:B .

6.显然

A 2

?

1 ? cos3? 1 ? cos7 ? 1 ? cos87? ? ??? 2 2 2

? cos1.5? ? cos3.5? ? cos5.5? ? ? ? cos43.5? ;

B

1 ? cos3? 1 ? cos7 ? 1 ? cos87? ? ? ??? 2 2 2 2

? sin 1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ? ? sin 43.5? .
注意到

2 cos? sin 1? ? sin(? ? 1? ) ? sin(? ? 1? ) , 2 sin ? sin 1? ? cos(? ? 1? ) ? cos(? ? 1? ) ,
所以

2 sin 1? ?

A 2

? (sin 2.5? ? sin 0.5? ) ? (sin 4.5? ? sin 2.5? ) ? (sin 6.5? ? sin 4.5? ) ? ?

? (sin 44.5? ? sin 42.5? ) ? sin 44.5? ? sin 0.5? ? 2 cos22.5? sin 22? ,
2 sin 1? ? B 2 ? (cos0.5? ? cos2.5? ) ? (cos2.5? ? cos4.5? ) ? (cos4.5? ? cos6.5? ) ? ?

? (cos42.5? ? cos44.5? ) ? cos0.5? ? cos44.5? ? 2 sin 22.5? sin 22? .
故 A : B ? (2 sin 1 ?
?

A 2

) : (2 sin 1? ?

B 2

) ? (2 cos 22.5? sin 22? ) : (2 sin 22.5? sin 22? ) ? cot 22.5?

? 2 ? 1.
另解:

答:D.

A 2

? cos1.50 ? cos3.50 ? cos5.50 ? ? ? ? cos43.50 ,
第 6 页

B 2
A 2 ?i B 2

? sin 1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ? ? sin 43.5? ,

? (cos1.5? ? i sin 1.5? ) ? (cos3.5? ? i sin 3.5? ) ? ? ? (cos43.5? ? i sin 43.5? )
21

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) k
k ?0

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

1 ? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) 22 1 ? (cos2 ? ? i sin 2 ? ) 1 ? (cos44? ? i sin 44? ) 1 ? (cos2 ? ? i sin 2? )
2 sin 2 22? ? 2i sin 22? cos22? 2 sin 2 1? ? 2i sin 1? cos1?

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

? (cos1.5? ? i sin 1.5? )

?

(cos1.5? ? i sin 1.5? )(?2i sin 22? )(cos22? ? i sin 22? ) (?2i sin 1? )(cos1? ? i sin 1? )

=

sin 22? (cos22.5? ? i sin 22.5? ) . ? sin 1

因为

A B A sin 22? cos 22.5? B sin 22? sin 22.5? 和 是实数,所以 , , ? ? sin 1? sin 1? 2 2 2 2
cos 22.5 ? 2 cos2 22.5 ? 1 ? cos 45? : ? ? ? ? ? 2 sin 22.5 ? cos 22.5 ? sin 45? 2 2 sin 22.5 B 1? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1. 2 2 2

A: B ?

A

答:D. 二、 填空题(满分 54 分,每小题 9 分) 7.解:设△ABC 三边长 a, b, c 为整数, a ? b ? c ? 60, a ? b ? c, a, b, c 成等差数列, ? A 为钝角,
2 2 2 则必有 2b ? a ? c , b ? c ? a .

易解得 60 ? a ? b ? c ? b ? (a ? c) ? b ? 2b ? 3b , b ? 20, a ? c ? 40; b ? a ? c
2 2

2

? (a ? c)(a ? c) ,即 202 ? 40(a ? c),10 ? a ? c .因此 50 ? (a ? c) ? (a ? c) ? 2a,25 ? a ,即
a ? 26 .另外, b ? c ? a,60 ? a ? b ? c ? a ? a ? 2a, a ? 30, a ? 29 .易检验 (a, b, c)
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? (26,20,14), (27,20,13), (28,20,12), (29,20,11) 都是钝角三角形.
8. 注意到 x ?

答:4.

2 ? 2 , y ? 2 ? 2 满足 x 2 ? y 2 ? (2 ? 2 ) ? (2 ? 2 ) ? 4 , x, y ? 0 ,故

? , y ? 2 sin ? , 0 < ? < 可 令 x ? 2co s
-

? 2 . 从 而 4 c o s? ? 2 ? 2 , 2

2 ? 4 cos2 ? ? 2 ,

3? 3? 3? 3n? 2 3? ? i sin ) n ? cos , an ? (cos + ? 2 cos2 ? ? 1 ? cos ? cos2? ,故 ? ? 8 8 8 8 2 4

3n ? 3n? ? 0 ,当且仅当 n ? 8k , k ? Z.满足此条件且 n ? 2007 的最 . an 取实数,当且仅当 sin 8 8 3x 2008 ? ? cos 753? ? ?1. 小正整数 n 为 2008 ,此时 a n ? a 2008 ? cos 8 i sin
答:-1. 9.易见奇异数有两类: 第一类是质数的立方 p 3( p 是质数) ; 第二类是两个不同质数的乘积 p1 p 2 ( p1 , p2 为不同的质数).由定义可得

27 ? 33 是奇异数(第一类) ;
42 ? 2 ? 3 ? 7 不是奇异数; 69 ? 3 ? 23 是奇异数(第二类) ; 111 ? 3 ? 37 是奇异数(第二类) ;

125 ? 53 是奇异数(第一类) ;
137 是质数,不是奇异数;

343 ? 7 3 是奇异数(第一类) ;
(30 ? 1 ) (30 ? 1 ) ? 31 ? 29 是奇异数(第二类) 899 ? 900? 1 ? 302 ? 12 ? ; (60 ? 1 ) ? 61 ? 59 是奇异数(第二类) 3599? 3600? 1 ? 602 ? 12 ? (60 ? 1 ) ;

7999? 8000? 1 ? 203 ? 13 ? (20 ? 1)(202 ? 20 ? 1) ? 19? 421是奇异数(第二类).
答:8. 10. 解:将向量 AA 1 , AB , AD 分别记为 a , b , c . 则 a ? a ? 2 , b ? b ? 3 , c ? c ? 4 , 且易见

AC1 ? a ? b ? c ,
所以 AC1
2

A1C ? ?a ? b ? c ,
2 2 2

BD1 ? a ? b ? c ,

DB1 ? a ? b ? c .

? (a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2(a ? b ? b ? c ? c ? a)

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca) cos600 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

第 8 页

? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 2 =55,
故 AC1 ?

55 . 类似地,可算得, BD1 ? 19 , DB1 ? 15 , CA1 ? 27 =3 3 .

答: 55 , 19 , 15 ,3 3 . 11. 令

x?3? t







x ?t ?3



f ( x) ? 2 x ? 3 ? 2(t ? 3) ? 3 ? 2t ? 3



f ( 2) ( x) ? 2(2t ? 3) ? 3 ? 2 2 t ? 3,?, f ( n) ( x) ? 2 n t ? 3 ; 令 y ? 1 ? s , 易 见 y ? s ? 1 ,
g ( y) ? 3 y ? 2 ? 3(s ? 1) ? 2 ? 3s ? 1 , g ( 2) ( y) ? 3(3s ? 1) ? 2 ? 32 s ? 1,? , g ( n) ( y) ? 3n s ? 1 , n ? 1,2,3,? .因此,题设方程组可化为

?2 9 ( x ? 3) ? 3 ? 36 ( y ? 1) ? 1, (1) ? 9 6 ?2 ( y ? 3) ? 3 ? 3 ( z ? 1) ? 1, (2) ?2 9 ( z ? 3) ? 3 ? 36 ( x ? 1) ? 1.(3) ?
(1)-(2) , (2)-(3) , (3)-(1)得

?2 9 ( x ? y ) ? 36 ( y ? z ), (4) ? 9 6 ?2 ( y ? z ) ? 3 ( z ? x), (5) ?2 9 ( z ? x) ? 36 ( x ? y ).(6) ?
所以 x ? y ? 代入(1)得

36 36 2 36 3 ( y ? z ) ? ( ) ( z ? x ) ? ( ) ( x ? y) ? x ? y ? 0 ? y ? z ? 0 ? x ? y ? z . 29 29 29

29 ( x ? 3) ? 3 ? 36 ( x ? 1) ? 1 , 512( x ? 3) ? 3 ? 729( x ? 1) ? 1 ,
512 x ? 1533 ? 729 x ? 728 , ?217 x ? 2261 , ? 31x ? 323 ,
答: x ? y ? z ? ?

x?? 323 . 31

323 . 31

所以原方程组的解为 x ? y ? z ? ?

323 . 31

12.以 VT ?l 表示平面图形 T 绕直线 l 所得旋转体体积. 记直线 AC 为 l ,作 BM , DN ? l ,交 l 于 E , F ,分别交 CD , AB 于 M , N .过 O 作 PQ ? l ,分 别交 AB, CD 于 P, Q .由于 O 是 BD 的中点,所以 P, Q 分别是 BN , DM 的中点.由对称性,易见所求旋 转体体积为

V ? V平行四边形ABCD?l ? 2(V?ADN ?l ? V平行四边形NPQD ?l ) .
由于 AB ? 4,BD ? 2 3,AD ? 2 ,易见 ?ADB ? 90 ,?DBA ? 30 ,
? ?

第 9 页

AO ? AD2 ? DO2 ? 4 ? 3 ? 7 , AC ? 2 7 .显然 ?DAC ? ?DCA ? ?CAB , DF ? FN .
且 DF ?

2S ?ADO AD ? DO 2 3 2 12 16 4 .从而 ? ? ? 21 , AF ? AD2 ? DF 2 ? 4 ? ? ? AO AO 7 7 7 7 7

由圆锥体积公式得

1 ? 12 4 16? 16 V?ADN ?l ? V?ADF ?l ? ? ? ? DF 2 ? AF ? ? ? ? ? 7? . 3 3 7 7 7 7 49
又 CF ? AC ? AF ? 2 7 ?

4 7

?

14 ? 4 7

?

10 7

, CO ? AO ?

7 , CF : CO ? DF : QO ,

QO ?

CO ? DF 2 10 1 ? 7? 21 ? ? 21 .从而由圆锥体积公式得 CF 7 7 5

1 1 V平行四边形 NPQD ?l ? V梯形FOQD ?l ? V?CDF ?l ? V?CQO ?l ? ? ? DF 2 ? CF ? ? ? QO 2 ? CO 3 3

?

? 12 10
3 7 ( ? 7

?

21 40 7 1000? 343 657 ? 7 ) ? 7? ( ? ) ? 7? ? ? 7? .从而 25 49 25 1225 1225

V ? 2(

16 657 16 657 1057 302 7? . 7? ? 7? ) ? 2 7? ( ? ) ? 2 7? ? ? 49 1225 49 1225 1225 175 302 7? : 175
2 2

答:所求体积为

13.解:I)可设 l : x ? my ? 4 ,与 ? 联立得 (3m ? 4) y ? 24my ? 36 ? 0 . 这是

y 的一元二次方程,由判别式 ? ? 0 解得 m 2 ? 4 .记 A(x1 , y1) , B(x2 , y 2) ,则 y1 ? y 2 ?

? 24 m , 3m 2 ? 4

y1 y 2 ?

36 . 3m 2 ? 4

由题设条件, OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y 2 ? 0 ,
2 得 (m ? 1) y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 ,即 (m ? 1) ?
2



36 ? 24 m ? 4m ? ? 16 ? 0 , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 25 1 3 m2 ? ( )2 ? , , 9(m2 ? 1) ? 24m 2 ? 4(3m2 ? 4) ? 0 . 得 ? 3m 2 ? 25 ? 0 , 3 m 25

?

3 3 ?m? . 5 5
故 l 的斜率的取值范围为 (?

3 3 , ). 5 5
第 10 页

因为 F(1,0),所以 FA , FB ? ,从而 (x1 ? 1,? y1) (x2 ? 1, y2) 1 ?

( x1 ? 1) y2 ? ( x2 ? 1)(? y1 ) ? (my1 ? 3) y2 ? (my2 ? 3) y1
? 2my 1 y 2 ? 3( y1 ? y 2 ) ? 2m ? 36 ? 24 m ? 3? ? 0. 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

? FA 1 与 F、B 三点共线. 1 与 FB 共线, 即 A
III)假设 q ? 4 ,过 Q(q,0) 的直线与 ? 交于 A、B,且 A 关于长轴的对称点为 A1 ,如果 A1 、F、B 三点共线.我们另取点 P(4,0) .设直线 AP 与 ? 交于 B1 ,那么如 II)的证明, A1 、F、B 三点必共线.故 B 与 B1 重合,从而直线 AB 和 AB1 重合,就是 AQ 与 AP 重合.所以 P 与 Q 重合, q ? 4 ,与假设矛盾.这就 是说, q ? 4 时,三点 A1 、F、B 不能共线.

2x ? 1 1 1 14.解: ? n ? 2 xn ? , xn?1 xn xn
1 x
2006
2 n ?1

2

1 1 2 ? 4 xn ? 4 ? 2 , 2 xn?1 xn

?

1 2 ? 4( xn ? 1) , n ? 1,2,3? . 2 xn



?( x
n ?1

1
2 n ?1

?

1 xn

) ? 4 ? ( xn ? 1) ,亦即 2
2 n ?1

2006

1
2 x2007
2006 n ?1

?

2006 1 2 ? 4 xn ?8024, ? 2 x1 n ?1

由 x1 ? 1 得

1 x
2 2007

? 4 ? xn ?8025.
2

(*)

由于

xn?1 1 ? ? 1 , n ? 1,2,3,?, 且显然 xn ? 0 ,故 ?xn ? 是递减数列,且 2 xn 2 xn ? 1 x2 ?
x2 1 3 ? , x3 ? ? ? , 2 2 x1 ? 1 3 2 x 2 ? 1 2 ? 1 11 9
2

x1

1 3

2006



?x
n ?1

2 n

2006 1 1 2006 3 1 9 2 ? 1 ? ( ) 2 ? ? xn ? 1 ? ? ? ( ) 2 ? 1 ? ? ? 2004? 151, 3 9 n?3 11 9 121 n ?3

由(*)式得

8025?

1 x
2 2007

? 4 ? 151? 8025? 8629,

1 1 1 1 2 2 ? x 2007 ? , lg ? lg x 2007 ? lg , 8629 8025 8629 8025

3 ? lg 8629? 2 lg x2007 ? ? lg 8025, ? 4 ? 2 lg x2007 ? ?3 , ? 2 ? lg x 2007 ? ? , 2
第 11 页

? k ? ?lg x2007 ? ? ?2 .
15.证明:因为△ABC 是锐角三角形,其三边 a, b, c 满足 a, b, c ? 0 ,以及

b ? c ? b, c ? a ? b, a ? b ? c, b 2 ? c 2 ? a 2 , c 2 ? a 2 ? b 2 , a 2 ? b 2 ? c 2 .
因此,由平均不等式可知

(b 2 ? c 2 ? a 2 ) x 2 ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) y 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) z 2

?

1 2 y2 z2 1 z 2 x2 1 x2 y2 (b ? c 2 ? a 2 ) x 2 ( 2 ? 2 ) ? (c 2 ? a 2 ? b 2 ) y 2 ( 2 ? 2 ) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) z 2 ( 2 ? 2 ) 2 2 2 z y x z y x

?

ayz bzx cxy 2 a2 y 2 z 2 b2 z 2 x2 c2 x2 y 2 ?( ? ? ) ? 2(bcx2 ? cay2 ? abz2 ) , ? ? 2 2 2 x y z x y z [(b ? c) 2 ? a 2 ]x 2 ? [(c ? a) 2 ? b 2 ] y 2 ? [(a ? b) 2 ? c 2 ]z 2 ? ( ayz bzx cxy 2 ? ? ) ? P2 , x y z

从而 亦即

P2 . (a ? b ? c)S ? P , S ? a?b?c
2

上式取等式当且仅当 x 2 ? y 2 ? z 2 ,亦即 x ? y ? z ? 当 S 取最大值时, x ? y ? z ?
A B o l Q x A B o A1 F l Q x C1

P P2 .因此所求的 S 的最大值为 , a?b?c a?b?c

P . a?b?c
B1 D1 B C D A A A1 D F N Q O P M E B C

y

(第 13 题答图)

(第 10 题答图)

(第 12 题答图)

2008 年安徽省高中数学联赛初赛试题
1.若函数 y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转 π 2 后, 与函数 y=g(x)的图象重合, 则 ( (A) g(x)=f?1(?x) (B) g(x)=f?1(x) (C) g(x)=?f?1(?x) (D) g(x)=?f?1(x) 2.平面中,到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为( ) . (A) 椭圆 (B) 双曲线的一部分 (C) 抛物线的一部分 (D) 矩形 3.下列4个数中与 cos1?+cos2?+...+cos2008?最接近的是( ). (A)?2008 (B)?1 (C)1 (D)2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有 ( )个钝角. (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6$
第 12 页

) .

5.12008 写成十进制循环小数的形式 12008=0.000498...625498...625...,其循环节的 长度为( ) (A)30 (B)40 (C)50 (D)60 6.设多项式(1+x)^2008=a_0+a_1x+...+a_2008x^2008,则 a_0,a_1,...,a_2008 中共有 ( )个是偶数. (A) 127 (B) 1003 (C) 1005 (D) 1881 7.化简多项式 sum_{k=m}^{n}C_n^kC_k^mx^(k-m)(1-x)^(n-k)=( 8.函数 f(x)=frac{3+5sinx}{sqrt(5+4cosx+3sinx)}的值域为( ). ).

9.若数列{a_n}满足 a_1>0,a_n=frac{a_1+a_(n-1)}{1-a_1a_(n-1)}(n>=2),且具有最小正 周期 2008,则 a_1=( ). 10.设非负实数 a_1,a_2,...,a_2008 的和等于 1,则 a_1a_2+a_2a_3+...a_2007a_2008+a_2008a_1 的最大值为( 11. 设点 A(1,1),B,C 在椭圆 x^2+3y^2=4 上.当直线 BC 的方程为( DeltaABC 的面积最大$.

). )时,

13.将6个形状相同的小球(其中红色、黄色、蓝色各2个)随机放入3个盒子中,每个 盒子中恰放2个小球,记 η 为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求 η 的分布.

14.设 a1≥1,an=[nan?1?????√](n≥2),其中[x]表示不超过 x 的最大整数. 证明:无论 a1 取何正整数时,不在数列{an}的素数只有有限多个.

15.设⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点,⊙O3 分别与⊙O1,⊙O2 外切于 C,D, 直线 EF 分别与⊙O1,⊙O2 相切于点 E,F,直线 CE 与直线 DF 相交于 G,证明:A,B,G 三点共 线.
第 13 页

参考答案 1.D 2.D 3.B 4. B 5.C 6.D 7.$C_n^m$

8.$(-4/5sqrt10,sqrt10] 9.(错题) 10.$1/4$ 11.$x+3y+2=0 12.2007 13. $P(eta=0)=8/15,P(eta=1)=2/5,P(eta=2)=0,P(eta=3)=1/15$ 14. 思路:先用反证法证明存在$N,使 a_N<=N+1;接着用数学归纳法证 n>=N 时, n-2<=a_n<=n+1$; $最后证 n>=N 时,a_n<=a_(n+1)<=a_n+1$. 这样由$a_n->+oo(n->+oo)知对一切自然数 m(>=a_N),m 都在数列{a_n}中,结论正确. 15. 利用根轴概念,只需证明$C,D,E,F 四点共圆,以 A(或 B)为中心进行反演不难得证!

第 14 页

2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? x 2 的值域是 2.函数 y ? .

的图象与 y ? e x 的图象关于直线 x ? y ? 1 对称. . .

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于

x2 y2 ? ? 1 与双曲线 xy ? 1 相切,则 t ? 4.设椭圆 t ?1 t ?1
5.设 z 是复数,则 | z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 的最小值等于
3 2

.

6.设 a ,b ,c 是实数,若方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个根构成公差为 1 的等差数列,则 a ,b ,c 应 满足的充分必要条件是 .

7.设 O 是 ?ABC 的内心, AB ? 5 , AC ? 6 , BC ? 7 , OP ? xOA ? yOB ? zOC , 0 ? x, y, z ? 1 , 动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是 二、解答题(共 86 分) 9.(20 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ? . .

2 , n ? 2 .求 an 的通项公式. 1 ? an ?1

10.(22 分)求最小正整数 n 使得 n ? n ? 24 可被 2010 整除.
2

第 15 页

11.(22 分)已知 ?ABC 的三边长度各不相等, D , E , F 分别是 ? A ,? B ,?C 的平分线与边 BC , CA , AB 的垂直平分线的交点.求证: ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积.

12.(22 分)桌上放有 n 根火柴,甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取,第一次可取走至多 n ? 1 根火柴, 此后每人每次至少取走 1 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最后一根火柴者获胜.
第 16 页

问:当 n ? 100 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
第 17 页

参考答案及评分标准
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.答案: ? 4 ? 2 5,8? .

?

?

提示:因 0 ? x ? 4 ,设 x ? 2 ? 2 cos ? ( 0 ? ? ? ? ) , 则 y ? 4cos ? ? 2sin ? ? 4 ? 2 5 cos(? ? ? ) ? 4 (其中 cos ? ?

2 1 , sin ? ? , ? 为锐角) , 5 5
? ?

所以当 ? ? 0 时, ymax ? 8 ,当 ? ? ? ? ? 时, ymin ? 4 ? 2 5 ,故 y ? ? 4 ? 2 5,8? . 2. 答案: 1 ? ln(1 ? x) 提示:因两函数图象关于直线 x ? y ? 1 对称,所以 x ? y ? 1 , y ? 1 ? x , ∴1 ? x ? e 3. 答案: ?
1? y

,解得 y ? 1 ? ln(1 ? x) .

1 3

提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以 任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角

? 的 两 倍 . ∵ tan ? ? 2 , ∴ cos 2 ? ?
1 2 cos 2 ? ? 2 co ? s ? ?1? . 3
4. 答案: 5

1 1 ? ,则 2 1 ? tan ? 3

提示:由椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 知, t ? 1 , t ?1 t ?1
( ? 为参数)代入双曲线方程 xy ? 1 ,得 sin 2? ?

设其参数方程为 ?

? ? x ? t ? 1cos ? ? ? y ? t ? 1sin ?

2 t 2 ?1

.

因两曲线相切,∴

2 t ?1
2

? 1 ,故 t ? 5 .

5. 答案: 1 ? 3

B(1, 0) , C (0,1) , | z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 提示: 在复平面上, 设 A(?1, 0) , 则当 Z 为 ?ABC 的费马点时,
取得最小值,最小值为 1 ?

3 2 3 2 3 ? ? ? 1? 3 . 3 3 3

第 18 页

6. 答案: b ?

a2 a3 a ? . ?1 且 c ? 27 3 3

提示:设三个根为 ? ? 1 , ? , ? ? 1 ,则 x3 ? ax2 ? bx ? c ? ( x ? ? ? 1)( x ? ? )( x ? ? ? 1) , 右 边 展 开 与 左 边 比 较 得 ? a ? 3? , b ? (? ?1)? ? ? (? ? 1) ? (? ? 1)(? ?1) ? 3? 2 ?1 ,

? a2 b ? ?1 ? ? 3 消去 ? 得 ? , 这就是所求 ?c ? (? ? 1)? (? ? 1) , 3 a a ?c ? ? ? 27 3 ?
要条件. 7. 答案: 12 6 提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点 P 在图中 个平形四边形及其内部运动, 所以动点 P 的轨迹所覆盖的平 域的面积等于等于 ?ABC 面积的 2 倍,即 12 6 .

的 充

的 三 面 区

8. 答案:

6 7

3 3 提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有 C8 个三角形,其中直角三角形有 12 ? C4 个,所
3 12 ? C4 6 ? . 3 C8 7

求“构成直角三角形”的概率是 二、解答题(共 86 分) 9. 解:特征根法. 又 an ? 2 ?

4 ? 2an ?1 1 ? an?1 , an ? 1 ? ,????(10 分) 1 ? an ?1 1 ? an?1
? (?2) n ,于是 an ?



an ? 2 a ?2 a ?2 ? (?2) ? n?1 ? (?2) 2 n?2 ? an ? 1 an?1 ? 1 an?2 ? 1

(?2) n ? 2 .?(20 分) (?2) n ? 1

?n2 ? n ? 24 ? 0 mod 2 ?n 2 ? n ? 0 mod 3 ? 2 ? ?n ? n ? 24 ? 0 mod 3 2 10. 解: 2010 | n ? n ? 24 ? ? ? ?n 2 ? n ? 1mod 5 ??(10 分) 2 ?n ? n ? 24 ? 0 mod 5 ?n 2 ? n ? 43mod 67 ? ?n2 ? n ? 24 ? 0 mod 67 ?
又 n ? n ? 0 mod 3 ? n ? 0 或 2 mod 3 , n ? n ? 1mod5 ? n ? 2mod5 ,
2 2

n2 ? n ? 43mod 67 ? n ? 10 或 56 mod 67 ,故所求最小正整数 n ? 77 .????(22 分)

第 19 页

11. 证明:由题设可证 A , B C , D , E , F 六点共圆. ????(10 分) 不妨设圆半径为 1,则有 S ?ABC ? 由于 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C

1 1 (sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ) , S?DEF ? (sin A ? sin B ? sin C ) . 2 2

?

1 1 1 (sin 2 A ? sin 2 B) ? (sin 2 B ? sin 2C ) ? (sin 2C ? sin 2 A) 2 2 2

? sin( A ? B)sin( A ? B) ? sin( B ? C)sin( B ? C) ? sin(C ? A)sin(C ? A) ? sin( A ? B) ? sin( B ? C ) ? sin(C ? A) ? sin A ? sin B ? sin C
∴ ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积. ????(22 分) 12. 解:把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为: n1 , n2 , n3 ,?,不难发 现其前 4 项分别为 2,3,5,8. 下面我们用数学归纳法证明:

(1) ?ni ? 满足 ni ?1 ? ni ? ni ?1 ; (2)当 n ? ni 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ?1 ; (3)当 ni ? n ? ni ?1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ? ni . ??????????????(10 分) 设 k ? n ? ni ( i ? 4 ) ,注意到 ni ? 2 ? 当1 ? k ? 当

ni ? ni ?1 . 2

ni 时,甲第一次时可取 k 根火柴,剩余 ni ? 2k 根火柴,乙无法获胜. 2

ni ? k ? ni ?1 时, ni ?2 ? k ? ni ?1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并且甲此时所取的火 2

柴数目 ? ni ? 2 ,剩余 ni ? 2ni ?2 根火柴,乙无法获胜. 当 k ? ni ?1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴,若 m ? k ,则乙可取走所有剩小的火柴;若 m ? k , 则根据归纳假设, 乙总可以取到第 k 根火柴, 并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ? 2 , 剩余 ni ? 2ni ?2 根火柴, 甲无法获胜. 综上可知, ni ?1 ? ni ? ni ?1 . 因为 100 不在数列 ?ni ? ,所以当 n ? 100 时,甲有获胜策略. ????(22 分)

2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛





一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1 . 以 X 表 示集合 X 的元素个数 . 若有限集合 A, B, C 满足 A ? B ? 20 , B ? C ? 30 ,
第 20 页

C ? A ? 40 ,则 A ? B ? C 的最大可能值为

.

2 .设 a 是正实数 . 若 f ( x) ? x 2 ? 6ax ? 10a 2 ? x 2 ? 2ax ? 5a 2 ,x ? R 的最小值为 10 ,则

a?

.

3 .已知实系数多项式 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 满足 f (1) ? 2 , f (2) ? 4 , f (3) ? 6 , 则
f (0) ? f (4) 的所有可能值集合为

.

4. 设展开式 (5x ? 1) n ? a0 ? a1 x ? ? ? an x n,n ? 2011. 若

a2011 ? max(a0 , a1 ,?, an ) ,则 n ?

.

5.在如图所示的长方体 ABCD ? EFGH 中,设 P 是矩形
EFGH 的中心,线段 AP 交平面 BDE 于点 Q . 若 AB ? 3 , AD ? 2 , AE ? 1 ,则 PQ ?
第5题

.

6.平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外侧 滚动,其扫过区域的面积为 .
第6题

7.设直角坐标平面上的点 ( x, y ) 与复数 x ? y i 一一对应.

若 点 A, B 分 别 对 应 复 数 z, z ?1 ( z ? R ) , 则 直 线 AB 与 x 轴 的 交 点 对 应 复 数 (用 z 表示). 8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形的概率 为 .

二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分) 9.已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , a n ? 1 ?
a1 ? ? ? a n ? 2 (n ? 3) ,求 an 的通项公式. 4

10.已知正整数 a1 , a2 ,?, an 都是合数,并且两两互素,求证:

1 1 1 1 ? ??? ? . a1 a 2 an 2

11.设 f ( x) ? ax3 ? bx ? c( a, b, c 是实数) ,当 0 ? x ? 1 时, 0 ? f ( x) ? 1. 求 b 的最大可能值.

12.设点 A(?1,0),B(1,0),C (2,0) , D 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支上, D ? A ,直线 CD 交双 曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x ?
1 上. 2

第 21 页

解答
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 10. 2. {32}. 2413.
17 . 4
6ar ? 4 π r 2 .

z?z . 1 ? zz

3 . (n ? 1)(n ? 3)
a1 ? ? an ? 2 a ? an ?1 ? n ? 2 4 4

9. an ? 1 ?

? an ?

an?1 1 ? a ? ? ? an?1 ? n?2 ? ? 2 2? 2 ?

?

1 2n?1
n 2 n ?1

? 2 n ?1 a n ? 2 n ? 2 a n ?1 ? 1 ? ? ? n ? a n ?

.

2 10.设 ak 的最小素因子 p k ,因为 ak 不是素数,所以 ak ? pk . 于是

第 22 页

n 1 1 ? ? ? 2 k ?1 ak k ?1 pk

n

1 n 1 ? ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2 ? 1 n 1 ?? 4 k ? 2 (2k ? 1) 2 ? 1 1 1 1 ? ? ? 2 4n 2

? f (0) ? c ? ? 11.由 ? f (1) ? a ? b ? c ? a b 1 ? ? f ( 3) ? 3 3 ? 3 ?c

可知

2b ? 3 3 f (

1 3

) ? f (1) ? (3 3 ? 1) f (0) ? 3 3

f ( x) ? 3 23 ( x ? x 3 ) 满足题设, b 的最大可能值为 3 2 3 .
12.设 D( x1 , y1 ),E( x2 , y2 ),P( x, y) ,直线 CD 的方程 y ? k ( x ? 2) ,则

x2 ? k 2 ( x ? 2)2 ? 1 ,所以
x1 ? x2 ? ?4k 2 1 ? 4k 2 5 , x x ? ? ? ?1 ? ( x1 ? x2 ) , ① 1 2 2 2 1? k 1? k 4

y1 y ( x ? 1) ? y ? 2 ( x ? 1) , x1 ? 1 x2 ? 1

所以
y2 y ? 1 x ? 1 x1 ? 1 x? 2 ? y2 y1 ? x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 2 x1 ? 2 ? x2 ? 1 x1 ? 1 2 x1 x2 ? 3x1 ? x2 ? 。 x2 ? 2 x1 ? 2 3 x ? x ? 4 2 1 ? x2 ? 1 x1 ? 1

把①代入上式,得 x ?

1 . 2

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