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奥赛辅导第7讲振动与波动(湖南郴州市湘南中学 陈礼生)


第七讲

振动与波动

湖南郴州市湘南中学 陈礼生

一、知识点击
1.简谐运动的描述和基本模型 ⑴简谐振动的描述:当一质点,或一物体的质心偏离其平衡位置 x,且其所受合力 F 满足 F ? ? kx ( k ? 0 ) ,故得 a ? ?
k m x ? ?? x ,? ?
2

k m

则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。 ⑵简谐运动的能量:一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成,即

?

E ?

1 2

m? ?
2

1 2

kx ?
2

1 2

kA

2

⑶简谐运动的周期:如果能证明一个物体受的合外力 ? F ? ? k x ,那么这个物体一 定做简谐运动,而且振动的周期 T ?
2? ? 2? m k

??

?

?

,式中 m 是振动物体的质量。

⑷弹簧振子:恒力对弹簧振子的作用:只要 m 和 k 都相同,则弹簧振子的振动周期 T 就是相同的,这就是说,一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。 多振子系统: 如果在一个振动系统中有不止一个振子, 那么我们一般要找振动系统的等 效质量。 悬点不固定的弹簧振子: 如果弹簧振子是有加速度的, 那么在研究振子的运动时应加上 惯性力. ⑸单摆及等效摆:单摆的运动在摆角小于 50 时可近似地看做是一个简谐运动,振动的 周期为 T ? 2 ?
l g

,在一些“异型单摆”中, l 和 g 的含义及值会发生变化。

(6)同方向、同频率简谐振动的合成:若有两个同方向的简谐振动,它们的圆频率都是 ω ,振幅分别为 A1 和 A2,初相分别为 ? 1 和 ? 2 ,则它们的运动学方程分别为
x1 ? A1 co s( ? t ? ? 1 ) x 2 ? A 2 co s( ? t ? ? 2 )

因振动是同方向的, 所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移 x 仍应在同一直线上, 而 且等于这两个分振动位移的代数和,即 x ? x1 ? x 2 由旋转矢量法,可求得合振动的运动学方程为 x ? A co s( ? t ? ? ) 这表明,合振动仍是简谐振动,它的圆频率与分振动的圆频率相同,而其合振幅为
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A ?

A1 ? A 2 ? 2 A1 A 2 c o s(? 2 ? ? 1 )
2 2

合振动的初相满足 ta n ? ? 2.机械波:

A1 s in ? 1 ? A 2 s in ? 2 A1 c o s ? 1 ? A 2 c o s ? 2

(1)机械波的描述:如果有一列波沿 x 方向传播,振源的振动方程为 y=Acosω t,波 的传播速度为 ? , 那么在离振源 x 远处一个质点的振动方程便是 y ? A c o s ? ? ( t ?
? ? x ? ) , 在 ? ? ?

此方程中有两个自变量:t 和 x,当 t 不变时,这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位 置的位移;当 x 不变时,这个方程就是波中某一点的振动方程. (2)简谐波的波动方程:简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做 平面简谐波。如果一列简谐波在 o ? xy 平面内,以波速 u 沿 o x 轴正方向传播,振源(设其 位于坐标原点)的振动方程为 y ? A co s( ? t ? ? ) ,由于波是振动状态的传播,故知坐标原 点的振动状态传播到离振源 x ( x ? 0 ) 处要滞后 t 0 ?
x u

的时间。这表明若坐标原点振动了 t

时间,x 处的质点只振动了 t ? t 0 的时间,于是 x 处振动质点的位移可表为

? y ? Ac o s ? ? ?

(t?

x u

?) ?

? ? ?

显然,上式适用于表述 ox 轴上所有质点的振动,它就是平面简谐波的波函数,也常 称为平面简谐波的波动方程。
? ? x u ? ? ?

同理,如果简谐波沿 ox 轴负方向传播,则波函数为 y ? A c o s ? ? ( t ?

)??

为了加深对波函数物理含义的理解,下面以 y ? A c o s ? ? ( t ?
?

?

? ) ? ? 为例做-讨论。 ? u ? x

①当 x ? x 0 时(好似用摄像机对着坐标为 x 0 这一质点进行拍摄) ,则
x ? ? y ? A c o s ? (t ? 0 ) ? ? ? A c o s ? ? u ? ?

? x0 ? ? t ? (? ? ? u ?

? ) 。它表示的是坐标为 x 0 的质 ? ?

点在不同时刻的位移,即该处质点的振动方程。 ②当 t ? t 0 时(好似用照相机对一组质点在 t 0 时刻进行照相) ,则

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x ? ? ?? x ? y ? A c o s ? (t0 ? ) ? ? ? A c o s ? (? ? ? t 0 ) 。 它表示在给定的 t 0 时刻各质 ? ? ? u ? u ? ? ? ?

点的位移分布情况,相应的图像称为 t 0 时刻的波形图。 3.波的干涉和多普勒效应 ⑴波的叠加:几列波在同一介质中传播时,在它们相遇的区域内,每列波都将保持各 自原有的频率、波长和传播方向,并不相互干扰.波的这种性质叫做波的独立性.因此在几 列波重叠的区域内, 每个介质质点都将同时参与几列波引起的振动, 每个质点的振动都是由 几个分振动合成的. 故在任一时刻, 每个质点的位移都是几列波各自的分振动引起的位移的 矢量和.这种现象称为波的叠加. ⑵波的干涉:两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的波叫做相干波。两列相干 波传到同一个区域,可使某些位置的质点振动加强,某些位置的质点振动减弱,而且振动加 强和振动减弱的区域相互间隔,这种现象叫做波的干涉。 ⑶多普勒效应:当声源和观察者之间存在相对运动时,会发生收听频率和声源频率不 一致的现象.该种现象神称为多普勒效应. 为了简单,这里仅讨论波源或观察者的运动方向与波的传播方向共线的情况. 设波速为 ? 0 ,波的频率为 f ,接收到的频率为 f ? : (a)观察者以速度 u 向波源运动: f ? ?
?0 ? u ?0 ?0 ?0 ??

f

(b)波源以速度 ? 向观察者运动: f ? ?

f

(c)波源和观察者都运动: f ? ?

?0 ? u ?0 ??

f

二、方法演练
类型一、根据简谐振动的基本模型和各种变形的振动模型,求振动周期是振动问题的 一种基本类型,解题中要注意简谐振动的动力学特征 F ? ? kx 或 a ? ?
k m x 的形式,从中得

出有关等效量。 例 1.一简谐运动的系统如图 7—1 所示,不计一切摩擦,绳不可伸长, m1、m2 及弹簧的劲度系数 k 已知求 m2 上下振动的周期。 分析和解:本题是一个弹簧振子的变式模型,解题时要根据受力分析 由牛顿运动定律得出振动的动力学特征,然后由周期公式就可求出其 振动周期 设某一时刻弹簧伸长 x ,绳上张力是 FT。 分析 m1: kx ? m 1 g ? FT ? m 1 a 分析 m2: FT ? m 2 g ? m 2
a 2
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消去 FT: 2 k x ? 2 m 1 g ? m 2 g ? a ( 2 m 1 ?

m2 2

),

假设振子平衡时弹簧伸长 ? x 0 , 此时 m1、 2 的加速度为零, m 则有 2 k ? x 0 ? m 2 g ? 2 m 1 g 设 m1 偏离平衡位置的位移为 ? x ,则 x ? ? x ? ? x 0
2 k ( ? x ? ? x0 ) ? 2 m1 g ? m 2 g ? a ( 2 m1 ? m2 2 m2 2 ) )



将 ? x0 ?

m 2 g ? 2 m1 g 2k

代入①式,可得 2 k ? x ? a ( 2 m 1 ?
m2 4
m2 4

?

F ?k ? x ? a ( m1 ?

)

所以这个振子系统的等效质量是 m 1 ?

,周期为 T ? 2 ?

4 m1 ? m 2 4k

例 2.如图 7—2 所示,轻杆 AB 左端 A 被光滑铰链固定,右端 B 被一劲度系数为 k2 的弹簧 拉住,弹簧的上端系于一固定点 D。杆上的 C 点系有另一劲度系数为 k1 的轻弹簧,弹 簧的下端系有一质量为 m 的物体。系统平衡时,杆恰处于水平而两弹簧轴线均沿竖直 方向.已知 AC=a,AB=b,求杆绕 A 点在竖直平面内作微小振动的周期. 分析和解: 该题的解答过程即将整个系统等效为一弹簧振子并求其劲度系数的过程: 将物体 移动 x,计算出其受力为 f=-k'x,则 kˊ即为等效的劲度系数. 注意到系统在初始状态下已平衡, 所以可以不考虑重力的影响. 现设物体偏离平衡位置 一极小位移 ? x ,由此而引起两个弹簧的长度变化为 ? x1 , ? x 2 ,则有 ? x ? ? x1 ? 又 AB 为轻杆,其受合力矩必定为 0. 即 k 1 ? x1 ? a ? k 2 ? x 2 ? b 由以上两式解得 ? x1 ?
b k2 a k1 ? b k 2
2 2 2 2

a b

? x2

?x

物体受力满足 f ? ? k 1 ? x1 ? ?

b k1k 2 a k1 ? b k 2
2 2

?x

T ? 2?

m ( a k1 ? b k 2 )
2 2

b k1k 2

2

类型二、波的干涉问题大多是问题简单,解答繁复,根 据矢量叠加原理和波的干涉特征,大多产生多值问题,在处 理这类问题时,一般先不急于代人数据,文字运算有助于从 物理意义角度思考问题. 例 3.如图 7—3 所示,在半径为 45 m 的圆形跑道的 P 点和圆
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心 Q 点各有一个相同的扬声器,发出的都是波长 10 m 的完全 相同的声波, 一个人从直径 PH 的 H 点出发, 沿逆时针方向绕 圆周走一圈,问他离开 H 点后,到达 P 点前共听到几次最 弱的声音? 分析和解:本题是根据波的干涉原理来解决声波干涉的现象, 解题时可从波程差和振动加强或减弱的条件出发。 如图 7—4 所示,设人走到圆弧上的 A 点处,∠APH=θ , 则 P、Q 两点波源到 A 的路程差Δ S 满足:Δ S=2Rcos θ ?R 考虑人的运动范围,对于θ ,有 0 ? ? ?
? R ? ?S ? R

?
2




?
2 ( 2 n ? 1)
n? N

为使人能听到最弱的声音,Δ S 又应满足: ? S ?



结合①②,将 R=45 m, λ =10 m 代入,得到 N=0,±1,±2,±3,±4,?5 时,人能听到最弱的声音,共 10 次。 类型三、波动问题的最大特征就是其多解性,包括速度的正负方向,距离相差整数倍 波长时振动的完全等效,都应仔细考虑,在处理这类问题时,一般应先求出产生多解量的 表达式,然后通过文字运算得到所求量的表达式,最后根据有关物理意义确定题解。 例 4.图 7—5 中的实线和虚线分别表示沿 x 轴方向传播的正弦波 t=0 和 t=1s 时刻的波形。

(1)求该波的频率和波速; (2)写出 X=0 及 X=1 m 处的质点振动方程。 分析和解: 本题的特点是波的传播方向不确定和周期的不确定 (或距离相差整数倍波长时振 动的完全等效)形成多解。 (1)由题给图象可知,如果波向 x 正方向传播,则两时间间隔内该机械波可能向前传播 了 (n ?
1 4
?S ?t (n ? ? 1 )? ? 2(n ? 1 4

) ? ,其中 n=0,1,2,3,?

? ?

4 ?t

)m / s , f ?

? ?

? (n ?

1 4

)Hz

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同理,如果波沿 x 轴负方向传播
(n ? 3 )? ? 2(n ?

? ?

4 ?t

3 4

)m / s , f ?

? ?

? (n ?

3 4

)Hz

(2)如果波向 x 轴正方向传播,则有 x=0 时, y ? A c o s ( ? t ? ? 0 ) ? 0 .0 1 c o s ?
? ? ( 4 n ? 1) ? 2 ? ( 4 n ? 1) ? ? 2 t?

? ?
2? ?

m

x=lm 时, y ? A c o s ( ? t ? ? 0 ) ? 0 .0 1 c o s ? 同理,如果波向 x 轴负方向传播,则有 x=0 时, y ? 0 .0 1 c o s ?
? ? ( 4 n ? 3) ? 2 t?

t?

3? ? m 2 ? ?

3? ? m 2 ? ?

x=1 时, y ? 0 .0 1 c o s ?
?

? ( 4 n ? 3) ? 2

t?

? ?
2? ?

m

类型四、等效摆的问题也简谐振动的另一基本模型单摆的变形模型,求振动周期时一 般考虑等效摆长和等效重力加速度,但对于刚体构成的复摆,其等效量的计算往往要考虑 质心及刚体的转动惯量才能简化解题过程。 例 5.如图 7—6 所示,由匀质金属丝做成的等腰三角形可在图示平面内作小振幅振动.在 位置(a)和(b)的情形,长边是水平的.所有三种情形的振动周期均相等.试求出该 周期.

分析和解:该题中,悬挂的三角形架为一复摆,而复摆的周期公式为 T ? 2 ?

I m gh

,对象

是刚体,I 为刚体对悬点的转动惯量,h 为质心与悬点间的距离.另外,题中得出两位置相 异、周期相同的置点与质量心间的距离 S1、S2 满足 S 1 ? S 2 ?
T g 4?
2 2

,与 m,I 无关,这是一

个非常重要的结论。 如图 7—7,设三个悬点分别距金属架 Sa,Sb,Sc,对于悬 挂点距质心为 S 的复摆的周期 T, 讨论如下: T ? 2 ?
I m gh ? 2? I0 ? mS m gS
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2

S ?
2

T g 4?
2

2

S ?

I0 m

? 0



其中 Io 为系统绕质心的转动惯量。将①式视为一关于 S 的一元二次方程,则当 T 为一确定 G 位于 AC 的中点, Sa=Sc=5cm, S b ?
Sc ? BC
2 2

? 2 1 .6 c m

①式的两解为 Sa=5 cm,Sb=21. 6 cm 即 T ? 2?
Sa ? Sb g ? 1 .0 4 s

类型五、多普勒效应的问题是波源或观察者的运动与波的传播三者间的相对运动的问 题,一般地说可化为行程问题来解,但解题过程会比较复杂,所以直接用推导得出的公式 比较简单。 例 6.一个人站在广场中央,对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子(频率? ? 1 2 0 0 H z ) ,甲、乙、 丙距广场中央都是 100m 远,且分别在广场中央的南东北面,第四个伙伴丁从西面乘车以 40m/s 的速度赶来,忽然有一阵稳定的风由南 向北吹来,速度为速度为 10m/s,如图 7—8 所示,求甲、乙、丙、丁四人听到哨声的频率 各是多少?已知当时声速为 320m/s。 分析和解: 由于风吹动引起介质相对声源和观 察者以速度 ? F 运动,即 u ? ? ? ? F ,应用 多 普 勒 效 应 公 式 ???
? ? 1200 H z
V ?? V ??

?

对甲: ? ? ?? F , u ? ? F
? 则? 甲 ? V ??F V ??F

? ? 1200 H z

对乙:由于 ? F 在东西方向无速度分量,故 ? ? u ? 0 ,
? 所以? 乙 ? V ?0 V ?0

? ? 1200 H z
V ??F V ??F

? 对丙: ? ? ? F , u ? ?? F ,? 丙 ?

? ? 1200 H z

对丁:u=0, ? ? 4 0 m / s ,
? ?丁 ? V ?? V ?0

? ?

320 ? 40 320

? 1200 ? 1350 H z

三、小试身手
1.如果沿地球的直径挖一条隧道,求物体从此隧道一端自由释放到达另一端所需时间,设
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地球是一个密度均匀的球体,不考虑阻力,地球半径为 R,如图 7 一 9 所示

2.一根劲度系数为 K 的轻弹簧水平放置,一端固定,另一端连接一个质量为 m 的物块,放 在水平桌面上,现将物块沿弹簧长度方向拉离平衡位置 O,使它到 O 点距离为 x 0 时静 止释放,此后物体在平衡位置附近来回运动,由于摩擦,振动不断衰减,当物块第 n 次速度为零时,恰好停在平衡位置处,求物块与桌面间的摩擦因数.

3.沿–X 方向传播的简谐波在 t=0 时刻的波形如图 7 一 10 所示,该波的振幅 A,波速 u 和 波长λ 均已知. (1)试写出该波的波动表达式. (2)试画出 t ?
T 2

时刻的波形图,其中 T 为周期

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4.一固定的超声源发出频率为 100kHz 的超声波,一汽车向超声源迎面驶来,在超声源处 接收到从汽车反射回来的超声波,其频率从差频装置中测出为 110kHz,设空气中声波 速度为 300 m/s,计算汽车行驶速度. 解:设汽车相对于空气以速度 u 趋近超声源.从超声源发出的超声波到达汽车时,汽车 是运动的接收装置,超声波从汽车反射时,汽车又是以速度 u 运动的声源.因此,从固 定的接收装置接收到的反射波频率为? ? ? 由此可解出 u 为 u ?
? ? ?? ? ? ?? ? ?
110 ? 100 110 ? 100

? ?u ? ?u

?

? 3 0 0 ? 1 4 .2 8 m / s

即为汽车的行驶速度.

5.一平面简谐波向负 y 方向传播,振幅为 6cm,圆频率 ? ? 6 ? ( ra d / s ) ,当 t=2s 时,距 原点 O 12 cm 处的 A 点的振动状态为 x A ? 3 c m ,? A ? 0 ;而距原点 22cm 处的 B 点的 振动状态为 x B ? 0 ,? B ? 0 ,设波长 ? ? 1 0 cm ,求波动方程(用余弦函数表示)并画 出 t=0 时的波形图.

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6.同一媒质中有两个平面简谐波,波源作同频率、同方向、同振幅的振动,二波相对传播, 波长为 8m,波传播方向上 A、B 两点相距 20m,一波在 A 处为波峰时,另一波在 B 处 位相为 ?
?
2

,求 AB 连线上因干涉而静止的各点的位置。

7.两辆汽车 A 与 B,在 t = 0 时从十字路口 O 处分别以速度 vA 和 vB 沿水平的、相互正交的 公路匀速前进,如图所示.汽车 A 持续地以固定的频率 v0 鸣笛,求在任意时刻 t 汽车 B 的司机所检测到的笛声频率.已知声速为 u,且当然有 u > vA、vB.

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参考解答
1.解:考察质量为 m 的物体在隧道中离地心距离 r 时的受力,它可以看作受两个力:一是 半径为 r 的球体所产生的引力,一是内外半径为 r 和 R 的均匀球壳对 m 所产生的引力, 如图 1 所示.球壳对 A 点的物体的 m 的引力,等于组成球壳的所有质点对 m 产生引力 的矢量和,现将球壳分成许多薄壳层,如图 2 所示,过 A 点可作 n 对圆锥体(n 很大) , 图中只画出一对.圆锥体将壳层分割成小体积元Δ V,由万有引力定律.它们对 A 点的 m 的引力为

? f1 ? G

? m1 ? m r1
2

, ?f2 ? G

?m2 ? m r2
2

式中 ? m 1 ? ? ? S 1 ? ? r , ? m 2 ? ? ? S 2 ? ? r 因为两圆锥体的顶角(立体角)相同,则
? S1 r1
2

?

?S2 r2
2

由以上三式可得 ? f 1 ? ? f 2 也就是说: ? m 1 与 ? m 2 对 m 的引力大小相等、方向相反,合力为零.
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所以整个壳层上的质点对 m 的引力的合力等于零.地球对 m 的引力, 就等于以物体距地心的距离 r 为半径的球体所产生的引力,力指向地心 O,大小为
F ? GM r R
3 3

?

m r
2

? G

Mm R
3

r

其中 M 为地球质量,因

GM R
3

? g 所以 F ?

mg R

r



mg
位移

物体作简谐振动,由 ? ?

质量

,振动角频率 ? ?
m
T 2 ?

R ?

g R

物体从隧道一端到达另一端所需时间 t ?

? ?

??

R g

2.解:由于摩擦阻力的存在,物体的振动为阻尼振动.设物块从距平衡位置为 x 0 处从静止 开始运动,以后各次速度为零时到平衡位置的距离分别为 x1、 x 2 ? ? ? x n ? 2、 x n ? 1 ( x n ? 0 为已知) ,逐次应用动能定理有
1 2 1 K x0 ?
2

1 2 1 2

K x1 ? ? m g x 0 ? x 1) (
2

2 ?????? 1 2
1 2
2

K x1 ?
2

K x 2 ? ? m g x 1 ? x 2) (
2

K xn?2 ?
2

1 2

K x n ? 1 ? ? m g x n ? 2 ? x n ? 1) (
2

K x n ? 1 ? ? m g x n ? 1) (

从以上方程分别可得
x 0 ? x1 + 2? mg K 2? mg K 2? mg K

x1 ? x 2 +

??????
x n ? 2 ? x n ?1 + x n ?1 = 2? mg K

各项相加得
x0 = 2n? m g K

,即 ? ?

K 2nm g

x0

y s 3.解: (1)设坐标原点 O 点的振动为 ( O , t)? A co ( ? t ? ? )

初始条件 t=0 时,y=–A
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Ac o? ? ?A s

则? ? ?
y s 于是 O 点的振动为 ( O , t)? A co ( ? t ? ? )

在+X 轴上任取一点 P,其坐标为 x ,因波沿–X 方向传播,因而 P 点的相位比 O 点超 前
2?

?

x ,于是 P 点的振动为 2? x)

( x, t)? A c o ( ? t ? ? ? y s
? 2? ? (u t ? x ) ? ? ? ? ? ? ?

?

? A cos

此即为波动表达式. (2)如图所示,与 t=0 时刻的波形(图中虚线) 相比, t ?
?
2
T 2

时刻的波形应向–X 方向传播了

的距离,如图中实线所示.

4.解:设汽车相对于空气以速度 u 趋近超声源.从超声源发出的超声波到达汽车时,汽车 是运动的接收装置,超声波从汽车反射时,汽车又是以速度 u 运动的声源.因此,从固 定的接收装置接收到的反射波频率为? ? ? 由此可解出 u 为 u ?
? ? ?? ? ? ?? ? ?
110 ? 100 110 ? 100

? ?u ? ?u

?

? 3 0 0 ? 1 4 .2 8 m / s

即为汽车的行驶速度. 5.解:设波动方程为 x ? 6 c o s ? ? ( t ?
? ? y ) ?? ? ? ?

?

B 点在 t=2s 时的状态为
22 ? ? x B ? 6 c o s 6? ( 2 ? ) ? ? ? 0 ,? B ? ? 3 6 c o s ? ? ? ? ? 22 ? ? 6? ( 2 ? ) ?? ? 0 ? ? ? ? ?

故 6? ( 2 ?

22

?

) ? ? ? 2 n? ?

?
2



A 点在 t=2s 时的状态为
12 ? ? x A ? 6 c o s 6? ( 2 ? ) ? ? ? 3 ,? A ? ? 3 6 c o s ? ? ? ? ? 12 ? ? 6? ( 2 ? ) ?? ? 0 ? ? ? ? ?

故 6? ( 2 ?

12

?

) ? ? ? 2 n? ?

?
3



因 A、 之间的距离小于波长 ? , B 所以①和②式中的 n 应相等, 由①–②式得 ? ? 7 2 m / s 将 ? 代入①式,? 应在 0 到 2 ? 内取值,得? ? ?
4 3

? ,或

2 3

?

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故所求的波动方程为
y 4 ? ? x ? 6 c o s 6? (t ? )? ? ? 72 3 ? ? ?

波长 ? ? ? T ? ?

2?

?

? 24cm

当 t=0 时,波形如图所示. 6.解:由已知条件知,此二平面简谐波为相干波,在二波源间的连线上形成驻波.如果以 A 为原点建立 OX 坐标轴,如图所示,以甲波在 A 点位相为零的时刻作为计时起点.
s 在 A、B 间,甲波的方程为 y甲 ? A c o ( ? t ? 2?

?

x)

s 乙波的方程为 y乙 ? A c o ( ? t ?

2?

?

x ??)

当甲波使 A 质元位移最大正值时, 乙波在 B 点的位相为 ?
?t ?
2? x ?? ? ?

?
2

, t=0 时, 处 x ? 2 0 m 因 B

?
2

?
11 2

? ? ?

?
?? ? ( 2 n ? 1) ?

当 AB 间的点因干涉而静止时,甲、乙二波在该点的位相差满足?
?t ?
2? x ? ? ? (? t ? 2? x ) ? ( 2 n ? 1) ?

B

A

?

?

得 x ? 4n ? 13 当 n ? ? 3, ? 2 , ? 1, 0 ,1 时, x ? 1, 5, 9,1 3,1 7 m 这就是 AB 连线上因干涉而静止的各点的位置坐标。 7.解:如图所示,t 时刻汽车 B 位于 B ?t ? 处,距 O 点的距离为 vBt.此时传播到汽车 B 的笛 声不是 t 时刻而是较早时刻 t1 由 A 车发出的.汽车 A 发出此笛声时位于 A ?t 1 ? 处,距 O 点的距离为 v A t 1 .此笛声由发出点到接收点(t 时刻 B 车所在点)所传播的路程为 u(t –t1),由几何关系可知
( v B t ) ? ? v A t1 ? ? [ u ( t ? t1 )]
2 2 2 即 ( u 2 ? v 2 ) t12 ? 2 u 2 tt 1 ? ( u 2 ? v B ) t 2 ? 0 A 2

(1) vA

A(t1) ?A(t1) O A(t)

这是以 t1 为变量的一元二次方程,其解为
t1 ? ?u ? ? ? ?
2

?

2 2 2 2 2 u (v A ? v B ) ? v A v B ? ? t 2 2 ? ? u ? vA ?

B(t)

由于 u 2 ? u 2 ? v 2 ,但 t1< t, A

?B(t)

vB

第 14 页 共 15 页

所以上式中只能取减号
t1 ? u
2

?

u (vA ? vB ) ? vA vB
2 2 2 2 2

u
2 2

2

? vA
2 2 2 2

t

(2)

t ? t1 ?

u (vA ? vB ) ? vA vB ? vA
2

u

2

? vA
2

t

(3)

2 2 令 u 2 (v 2 ? v B ) ? v 2 v B ? k A A

(4)
2

有 t1 ?

u u
2

2

?k ? vA
2

t

, t - t1 ?

k ? vA u
2

? vA

2

t

(5)

A 在 t 1 时刻, 位于 A ?t 1 ? 处的汽车 A 发出的笛声沿直线 (即波线) ?t 1 ? B ?t ? 在 t 时刻传到 B ?t ?

处,以 ? A ? t ? 、 ? B ? t ? 分别表示车速与笛声传播方向的夹角,有
1

cos ? A ? t ? ? 1

u ?t - t 1 ?
vBt u ?t - t 1 ?

v A t1

?

v A (u

2

? k)
2

u (k ? v A )
v B (u
2

(6)

cos ? B ? t ? ?

?

? vA)
2 2

u (k ? v A )

(7)

令?表示 B 车司机接收到的笛声的频率,由多普勒效应可知 ?
? ?
u ? v B cos ? B ? t ? u ? v A cos ? A ? t ? 1

?

0

(8)

由(6)(7)(8)式,得 、 、
2 u ? ? ?

u

2

?v ?u

? ?

2 A 2

2 2 2 2 2 2 2 ? vB ? vAvB ? vA ? ? vB u ? vA ? ?

?

?

?
?
0

? vA
2

?

u

2

?v

2 A

? vB ? vAvB
2 2 2

?

(9)

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